基于緩坡方程的近岸水域波浪傳播數(shù)學(xué)模型：理論、改進(jìn)與應(yīng)用

基于緩坡方程的近岸水域波浪傳播數(shù)學(xué)模型：理論、改進(jìn)與應(yīng)用一、引言1.1研究背景與意義1.1.1研究背景在全球氣候變化的大背景下，海洋風(fēng)浪對(duì)沿海地區(qū)的影響日益加劇。隨著全球氣溫的上升，海洋表面溫度升高，海水的熱膨脹和極地冰川的融化導(dǎo)致海平面上升，這使得海洋風(fēng)浪的能量和傳播特性發(fā)生顯著變化。澳大利亞格里菲斯大學(xué)領(lǐng)銜的科學(xué)家在《自然?氣候變化》期刊上發(fā)表的研究稱，在氣候變暖條件下，全球半數(shù)左右的海岸線將面臨波浪氣候（波候）變化帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。海浪高度、波長(zhǎng)、頻率和方向等要素的改變，對(duì)沿海地區(qū)的生態(tài)環(huán)境、人類活動(dòng)和基礎(chǔ)設(shè)施構(gòu)成了嚴(yán)重威脅。海浪作為主要的海洋動(dòng)力條件之一，在近岸淺水區(qū)，其傳播受到水深、地形、底摩阻、障礙物以及水流等多種因素的綜合影響，會(huì)發(fā)生變形、折射、繞射、反射和破碎等一系列復(fù)雜現(xiàn)象。當(dāng)波浪從深海傳播到近岸時(shí)，由于水深逐漸變淺，波浪的速度會(huì)減小，波長(zhǎng)縮短，波高增大，從而發(fā)生淺水變形；遇到海底地形的變化，如礁石、海溝等，波浪會(huì)發(fā)生折射和繞射；而當(dāng)波浪撞擊到海岸或人工建筑物時(shí)，則會(huì)產(chǎn)生反射。大部分海洋及海岸工程，如港口建設(shè)、海岸防護(hù)工程、海上風(fēng)電場(chǎng)等，都位于近岸地區(qū)。這些工程的設(shè)計(jì)、建設(shè)和安全運(yùn)營(yíng)高度依賴于對(duì)近岸地區(qū)波浪要素的準(zhǔn)確掌握。波浪要素是確定工程造價(jià)、建筑物型式等的最基本參數(shù)。若對(duì)波浪要素的預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確，可能導(dǎo)致工程設(shè)計(jì)不合理，增加工程建設(shè)成本和后期維護(hù)費(fèi)用，甚至威脅到工程的安全穩(wěn)定。因此，深入研究近岸地區(qū)波浪的變化規(guī)律，準(zhǔn)確模擬波浪在近岸水域的傳播過(guò)程，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義和緊迫性。1.1.2研究意義基于緩坡方程的近岸水域波浪傳播數(shù)學(xué)模型的研究，在理論和實(shí)踐方面都具有重要意義。從理論層面來(lái)看，緩坡方程是基于線性波浪理論，研究波浪在近岸傳播變形（折射、繞射）的基礎(chǔ)方程。對(duì)其進(jìn)行深入研究和改進(jìn)，有助于進(jìn)一步完善近岸波浪傳播理論體系，加深對(duì)波浪與地形、水流等相互作用機(jī)理的理解。通過(guò)引入新的參數(shù)、考慮非線性效應(yīng)以及改進(jìn)參數(shù)的確定方法等，可以更準(zhǔn)確地描述土體的滲透性和固結(jié)過(guò)程，更好地刻畫(huà)波浪在近岸復(fù)雜環(huán)境中的傳播特性，為海洋動(dòng)力學(xué)等相關(guān)學(xué)科的發(fā)展提供理論支持。在實(shí)踐應(yīng)用中，該研究成果具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。在沿海地區(qū)防護(hù)方面，準(zhǔn)確的波浪傳播模型可以幫助預(yù)測(cè)海浪對(duì)海岸的侵蝕和破壞程度，為制定合理的海岸防護(hù)策略提供科學(xué)依據(jù)。通過(guò)模擬不同波浪條件下的海岸動(dòng)力過(guò)程，優(yōu)化海岸防護(hù)工程的設(shè)計(jì)，如防波堤、海堤等的布局和結(jié)構(gòu)形式，提高海岸防護(hù)工程的效能，保護(hù)沿海地區(qū)的生態(tài)環(huán)境和居民生命財(cái)產(chǎn)安全。在工程建設(shè)領(lǐng)域，對(duì)于港口、碼頭等海洋工程設(shè)施，基于緩坡方程的數(shù)學(xué)模型能夠?yàn)槠溥x址、設(shè)計(jì)和施工提供關(guān)鍵的波浪參數(shù)。通過(guò)模擬波浪在工程區(qū)域的傳播和作用，評(píng)估工程設(shè)施對(duì)波浪的影響以及波浪對(duì)工程設(shè)施的作用力，確保工程設(shè)施在復(fù)雜海洋環(huán)境下的安全穩(wěn)定運(yùn)行，降低工程建設(shè)和運(yùn)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)，節(jié)省工程成本。在海洋資源開(kāi)發(fā)方面，如海上風(fēng)電場(chǎng)、海洋能發(fā)電站等的建設(shè)，需要充分考慮波浪條件。精確的波浪傳播模型可以幫助確定最佳的開(kāi)發(fā)位置和設(shè)備選型，提高海洋資源開(kāi)發(fā)的效率和可持續(xù)性。此外，在海洋漁業(yè)、海上運(yùn)輸?shù)刃袠I(yè)，準(zhǔn)確的波浪預(yù)報(bào)對(duì)于保障作業(yè)安全和提高生產(chǎn)效率也具有重要意義。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀近岸水域波浪傳播數(shù)學(xué)模型的研究歷史悠久，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在該領(lǐng)域取得了豐碩的成果。其中，基于緩坡方程的模型由于其能夠綜合考慮波浪的折射、繞射等現(xiàn)象，在近岸波浪傳播模擬中得到了廣泛應(yīng)用。1972年，Berkhoff首次推導(dǎo)出了最原始的緩坡方程解，該方程又稱聯(lián)合折射繞射方程，是基于線性波浪理論研究波浪在近岸傳播變形（折射、繞射）的基礎(chǔ)方程。它將三維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維問(wèn)題，大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題的處理方式，為近岸波浪傳播的數(shù)值模擬提供了重要的理論基礎(chǔ)。自緩坡方程提出以來(lái)，眾多學(xué)者圍繞其展開(kāi)了深入研究，包括求解方法、簡(jiǎn)化近似和改進(jìn)等方面。在求解方法上，學(xué)者們不斷探索高效、穩(wěn)定的數(shù)值算法。例如，Radder于1979年提出了一種簡(jiǎn)化方法，并運(yùn)用無(wú)條件穩(wěn)定的ADI（交替方向隱式）法求解控制方程，提高了計(jì)算效率和穩(wěn)定性。此后，許多研究在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，如采用有限差分法、有限元法、有限體積法等對(duì)緩坡方程進(jìn)行離散求解，以適應(yīng)不同的地形和邊界條件。有限差分法通過(guò)將求解區(qū)域離散為網(wǎng)格，用差商代替微商，將緩坡方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組進(jìn)行求解，具有計(jì)算簡(jiǎn)單、編程方便的優(yōu)點(diǎn)；有限元法則是將求解區(qū)域劃分為有限個(gè)單元，通過(guò)構(gòu)造插值函數(shù)，將緩坡方程的變分形式離散化，能較好地處理復(fù)雜邊界和不規(guī)則地形；有限體積法基于守恒原理，將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列控制體積，使物理量在每個(gè)控制體積內(nèi)滿足守恒定律，在處理流體流動(dòng)問(wèn)題時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。在模型改進(jìn)方面，隨著對(duì)波浪傳播過(guò)程認(rèn)識(shí)的深入，學(xué)者們不斷考慮更多的物理因素，對(duì)原始緩坡方程進(jìn)行修正和擴(kuò)展。考慮底摩擦的能量損失及破碎影響、海底陡坡影響、（弱）非線性影響、波浪的不規(guī)則性以及波流相互作用等均可以通過(guò)對(duì)原始緩坡方程的修正和改進(jìn)而得以實(shí)現(xiàn)。Dingemans在1997年推導(dǎo)了考慮地形影響的緩坡方程，邱永剛基于此更正了其方程中底坡梯度影響項(xiàng)，應(yīng)用非線性色散關(guān)系的顯示表達(dá)式，提出考慮底摩阻和波浪破碎的橢圓形緩坡方程，并比較了以往學(xué)者提出的不同底坡表達(dá)式，提出新的顯示非線性色散關(guān)系式。國(guó)內(nèi)學(xué)者在基于緩坡方程的近岸水域波浪傳播數(shù)學(xué)模型研究方面也取得了顯著進(jìn)展。大連理工大學(xué)的唐軍、沈永明等學(xué)者考慮近岸波浪在植被區(qū)傳播中的折射、繞射、破碎及植被引起的波能耗損效應(yīng)，基于拋物型緩坡方程建立了模擬近岸植被區(qū)波浪傳播的數(shù)學(xué)模型，對(duì)模型進(jìn)行了數(shù)值模擬驗(yàn)證，采用數(shù)值模擬試驗(yàn)分析了植被對(duì)波浪傳播的影響，數(shù)值模擬結(jié)果表明，波浪在近岸植被區(qū)傳播時(shí)，隨著植被密度和植被高度的增加，波浪傳播中的波高衰減增大，波能耗損增加；不同周期波浪在植被區(qū)傳播中的波高衰減過(guò)程也明顯不同。還有學(xué)者以緩坡方程為控制方程，建立了兩種不同邊界模型，用有限元方法數(shù)值模擬任意形狀貫底式結(jié)構(gòu)對(duì)波浪的繞射，該方法的成功實(shí)現(xiàn)，不僅大大拓展了近岸水域波浪與結(jié)構(gòu)相互作用研究的適用范圍，也為研究近岸水域波浪與浮式結(jié)構(gòu)相互作用奠定了基礎(chǔ)。二、近岸水域波浪傳播特性及緩坡方程理論基礎(chǔ)2.1近岸水域波浪傳播特性2.1.1波浪傳播變形現(xiàn)象當(dāng)外海波浪傳入近岸淺水區(qū)時(shí)，由于受到水深、地形、底摩阻、障礙物以及水流等多種因素的綜合影響，會(huì)發(fā)生一系列復(fù)雜的傳播變形現(xiàn)象，主要包括淺水變形、折射、繞射、反射和破碎等。淺水變形是指波浪從深海向淺水區(qū)傳播時(shí)，由于水深逐漸變淺，導(dǎo)致波浪運(yùn)動(dòng)要素發(fā)生變化的現(xiàn)象。根據(jù)線性波浪理論，波速c與波長(zhǎng)L和水深h有關(guān)，其關(guān)系表達(dá)式為c=\sqrt{\frac{gT}{2\pi}\tanh(\frac{2\pih}{L})}，其中g(shù)為重力加速度，T為波浪周期。在深海區(qū)域，當(dāng)h/L\gt0.5時(shí)，\tanh(\frac{2\pih}{L})\approx1，波速近似為c_0=\sqrt{\frac{gT}{2\pi}}，此時(shí)波浪處于深水狀態(tài)；隨著水深變淺，\tanh(\frac{2\pih}{L})的值逐漸減小，波速也隨之降低。在波浪進(jìn)入淺水區(qū)初期，波高略有減小，但當(dāng)波浪進(jìn)入d/\lambda_0\lt0.163（d為水深，\lambda_0為深水波長(zhǎng)）的區(qū)域后，波高則逐漸增大，并超過(guò)深水波高，直至波陡太大，波形無(wú)法維持而破碎。波浪折射是指波浪在傳播過(guò)程中，由于波峰線兩側(cè)的波速不同，導(dǎo)致波峰線發(fā)生彎曲，傳播方向發(fā)生改變的現(xiàn)象。波浪折射現(xiàn)象主要發(fā)生于近岸淺水區(qū)域，其原理與光波的折射類似，服從折射定律\frac{\sin\theta_1}{c_1}=\frac{\sin\theta_2}{c_2}，其中\(zhòng)theta_1、\theta_2分別為入射波和折射波與等深線的夾角，c_1、c_2分別為入射波和折射波的波速。在穩(wěn)定波場(chǎng)中，若假定波浪在傳播過(guò)程中能量守恒，即沒(méi)有能量的輸入也沒(méi)有能量的損失，則波向線之間的波能流保持常數(shù)。根據(jù)線性波浪理論，折射系數(shù)K_r值由波浪周期、等深線和初始波浪方向所決定。當(dāng)K_r\gt1時(shí)，波向線集中，間距減小，出現(xiàn)輻聚現(xiàn)象；當(dāng)K_r\lt1時(shí)，波向線分散，間距增大，出現(xiàn)輻散現(xiàn)象。輻散和輻聚對(duì)海岸上泥沙運(yùn)動(dòng)有重要影響，例如在輻聚區(qū)域，波能集中，波高增大，可能導(dǎo)致海岸侵蝕加?。欢谳椛^(qū)域，波能分散，波高減小，有利于泥沙的淤積。波浪繞射是指波浪在傳播過(guò)程中遇到障礙物，如防波堤、島嶼等時(shí)，部分波浪會(huì)繞過(guò)障礙物繼續(xù)傳播，并在掩蔽區(qū)內(nèi)發(fā)生波浪擴(kuò)散的現(xiàn)象。繞射區(qū)內(nèi)的波浪稱為繞射波，任一點(diǎn)波高與入射波高之比稱為繞射系數(shù)K_d。目前多采用波浪緩坡方程或Boussinesq方程等波浪模型進(jìn)行數(shù)值求解。波浪繞射現(xiàn)象對(duì)于海港的設(shè)計(jì)和建造具有重要意義，因?yàn)楦蹆?nèi)的泊穩(wěn)條件同海浪的繞射有著密切的關(guān)系。如果防波堤等建筑物的設(shè)計(jì)不合理，可能導(dǎo)致繞射波進(jìn)入港內(nèi)，引起港內(nèi)水面的較大波動(dòng)，影響船舶的?？亢妥鳂I(yè)安全。波浪反射是指波浪在傳播過(guò)程中遇到障礙物時(shí)，其全部或部分波能被反射而形成反射波的現(xiàn)象。波浪的反射波與入射波疊加在一起，可形成駐波，對(duì)建筑物造成危害，增加港內(nèi)水面振動(dòng)甚至產(chǎn)生振蕩。當(dāng)波浪遇到理想的光滑鉛直平面障壁時(shí)，會(huì)發(fā)生全反射，這時(shí)入射波與反射波的振幅相等，入射角等于反射角；但當(dāng)波浪遇到實(shí)際障礙物而發(fā)生反射時(shí)，一部分能量可能以滲透波的方式滲入有孔隙的結(jié)構(gòu)物內(nèi)，一部分能量可能因摩擦作用，發(fā)生波面破碎等非線性效應(yīng)而消耗，只有剩余的一部分能量以反射波形式反射回來(lái)，故反射波的實(shí)際波高比入射波小。反射系數(shù)K_R定義為反射波波高與入射波波高之比，其大小取決于反射面的坡度、粗糙度、透水性、幾何形狀、入射波的要素和入射角等因素。在實(shí)際工程中，需要合理設(shè)計(jì)建筑物的結(jié)構(gòu)和布局，以減少波浪反射對(duì)工程設(shè)施的影響。波浪破碎是指波浪進(jìn)入淺水區(qū)域，波長(zhǎng)變短，波高開(kāi)始時(shí)稍有減小，之后逐漸增大，當(dāng)波陡達(dá)到一定程度時(shí)，波浪失去穩(wěn)定而發(fā)生破碎的現(xiàn)象。波浪破碎處的水深稱為破碎水深，相應(yīng)的波高稱為破碎波高，它是該水深條件下可能出現(xiàn)的最大波高，又稱極限波高。近岸區(qū)波浪自第一次發(fā)生破碎的外緣直到岸邊的水域稱為破波帶，在此水域內(nèi)波浪將多次發(fā)生破碎，直到岸邊形成上爬破波水流。波浪破碎會(huì)導(dǎo)致波能的大量消耗，同時(shí)產(chǎn)生強(qiáng)烈的紊動(dòng)和水流，對(duì)海岸地形的塑造和泥沙的輸運(yùn)產(chǎn)生重要影響。在海岸防護(hù)工程中，需要充分考慮波浪破碎的影響，合理設(shè)計(jì)防波堤、海堤等結(jié)構(gòu)，以抵御波浪的沖擊。2.1.2影響波浪傳播的因素影響近岸水域波浪傳播的因素眾多，主要包括水深、地形、底摩阻、障礙物以及水流等，這些因素相互作用，共同影響著波浪的傳播特性。水深是影響波浪傳播的關(guān)鍵因素之一。隨著水深的變化，波浪的傳播速度、波長(zhǎng)和波高都會(huì)發(fā)生改變。在淺水區(qū)，水深變淺使得波浪的傳播速度減小，根據(jù)波速與水深的關(guān)系式c=\sqrt{\frac{gT}{2\pi}\tanh(\frac{2\pih}{L})}，當(dāng)h減小時(shí)，\tanh(\frac{2\pih}{L})減小，波速c也隨之降低。波長(zhǎng)也會(huì)相應(yīng)縮短，因?yàn)椴ㄋ倥c波長(zhǎng)成正比，即c=L/T，波速減小，在周期T不變的情況下，波長(zhǎng)L必然減小。而波高的變化較為復(fù)雜，在波浪進(jìn)入淺水區(qū)初期，由于波能的分散，波高略有減小，但當(dāng)水深進(jìn)一步變淺，波能逐漸集中，波高則逐漸增大，直至發(fā)生破碎。地形對(duì)波浪傳播的影響主要體現(xiàn)在海底的起伏和坡度上。當(dāng)波浪傳播到海底地形變化的區(qū)域，如遇到礁石、海溝、海脊等，會(huì)發(fā)生折射和繞射現(xiàn)象。海底地形的變化會(huì)導(dǎo)致波浪傳播路徑上的水深不一致，從而使波峰線兩側(cè)的波速不同，引起波浪折射。例如，當(dāng)波浪傳播到海底有海脊的區(qū)域時(shí)，海脊處水深較淺，波速減慢，波向線會(huì)向海脊處彎曲，發(fā)生輻聚現(xiàn)象；而在海溝處，水深較深，波速加快，波向線會(huì)向海溝兩側(cè)散開(kāi)，發(fā)生輻散現(xiàn)象。此外，地形的不規(guī)則性還會(huì)導(dǎo)致波浪的繞射，當(dāng)波浪遇到障礙物時(shí)，會(huì)繞過(guò)障礙物繼續(xù)傳播，形成復(fù)雜的波場(chǎng)。底摩阻是指波浪在傳播過(guò)程中，由于與海底的摩擦作用而導(dǎo)致的能量損失。底摩阻的大小與海底的粗糙度、波浪的特性以及水深等因素有關(guān)。一般來(lái)說(shuō)，海底粗糙度越大，底摩阻越大，波浪能量損失也越多。底摩阻會(huì)使波浪的波高逐漸減小，傳播速度降低，同時(shí)還會(huì)影響波浪的相位和波形。在實(shí)際工程中，需要考慮底摩阻對(duì)波浪傳播的影響，特別是在淺水區(qū)和近岸區(qū)域，底摩阻的作用更為明顯。障礙物的存在會(huì)對(duì)波浪傳播產(chǎn)生顯著影響。當(dāng)波浪遇到防波堤、島嶼、碼頭等障礙物時(shí)，會(huì)發(fā)生反射、繞射和透射等現(xiàn)象。反射波會(huì)改變?cè)械牟▓?chǎng)分布，增加波高和波能，對(duì)障礙物和周圍的結(jié)構(gòu)物產(chǎn)生沖擊作用；繞射波會(huì)繞過(guò)障礙物進(jìn)入掩蔽區(qū)，使掩蔽區(qū)內(nèi)的波高和波向發(fā)生變化，影響船舶的停靠和作業(yè)安全；透射波則會(huì)穿過(guò)障礙物，繼續(xù)傳播，對(duì)障礙物另一側(cè)的波場(chǎng)產(chǎn)生影響。不同形狀和尺寸的障礙物對(duì)波浪的反射、繞射和透射特性也不同，在工程設(shè)計(jì)中，需要根據(jù)實(shí)際情況合理選擇障礙物的形式和布置方式，以減少對(duì)波浪傳播的不利影響。水流對(duì)波浪傳播的影響較為復(fù)雜，主要包括同向流、反向流和斜向流等情況。當(dāng)波浪與水流同向時(shí)，水流會(huì)增加波浪的傳播速度，使波長(zhǎng)變長(zhǎng)，波高減小；當(dāng)波浪與水流反向時(shí)，水流會(huì)減小波浪的傳播速度，使波長(zhǎng)變短，波高增大；當(dāng)波浪與水流斜交時(shí)，除了會(huì)改變波浪的傳播速度和方向外，還會(huì)導(dǎo)致波浪的折射和變形。此外，水流的紊動(dòng)特性也會(huì)對(duì)波浪傳播產(chǎn)生影響，紊動(dòng)水流會(huì)使波浪的能量耗散增加，波高減小，波形變得更加復(fù)雜。在近岸水域，由于潮汐、河流徑流等因素的影響，水流情況較為復(fù)雜，需要綜合考慮水流對(duì)波浪傳播的影響，以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)波浪的傳播特性。2.2緩坡方程的推導(dǎo)與基本形式2.2.1緩坡方程的理論推導(dǎo)過(guò)程緩坡方程的推導(dǎo)基于線性波浪理論，其核心思想是將三維的波浪傳播問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解難度。在推導(dǎo)過(guò)程中，主要涉及到以下幾個(gè)關(guān)鍵步驟：首先，從勢(shì)波理論的三維Laplace方程出發(fā)，假設(shè)波浪運(yùn)動(dòng)是無(wú)旋的，即存在速度勢(shì)函數(shù)\phi(x,y,z,t)，滿足\nabla^2\phi=0，其中\(zhòng)nabla^2=\frac{\partial^2}{\partialx^2}+\frac{\partial^2}{\partialy^2}+\frac{\partial^2}{\partialz^2}，x、y、z分別為水平方向和垂直方向的坐標(biāo)，t為時(shí)間。然后，考慮到近岸水域的地形變化相對(duì)緩慢，即底坡相對(duì)較小，采用小參數(shù)攝動(dòng)法對(duì)速度勢(shì)函數(shù)進(jìn)行分解。設(shè)\phi(x,y,z,t)=\phi_0(x,y,z,t)+\epsilon\phi_1(x,y,z,t)+\cdots，其中\(zhòng)epsilon為小參數(shù)，通常與底坡的量級(jí)相關(guān)。將分解后的速度勢(shì)函數(shù)代入三維Laplace方程，并對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行量級(jí)分析，忽略高階小量，得到關(guān)于\phi_0的控制方程。在垂直方向上，根據(jù)線性波浪理論，假設(shè)速度勢(shì)函數(shù)在垂直方向上滿足一定的邊界條件。在海底，速度的垂直分量為零，即\frac{\partial\phi}{\partialz}=0，z=-h(x,y)，其中h(x,y)為水深；在自由表面，滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件和動(dòng)力學(xué)邊界條件，即\frac{\partial\eta}{\partialt}=\frac{\partial\phi}{\partialz}，z=\eta(x,y,t)和\frac{\partial\phi}{\partialt}+g\eta+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2=0，z=\eta(x,y,t)，其中\(zhòng)eta(x,y,t)為自由表面的升高，g為重力加速度。通過(guò)對(duì)這些邊界條件進(jìn)行線性化處理，并將其代入關(guān)于\phi_0的控制方程，得到一個(gè)在垂直方向上的常微分方程。求解該常微分方程，得到速度勢(shì)函數(shù)在垂直方向上的表達(dá)式。然后，將垂直方向上的表達(dá)式代入水平方向的控制方程，通過(guò)一些數(shù)學(xué)變換和近似處理，最終將三維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維問(wèn)題，得到緩坡方程。具體的推導(dǎo)過(guò)程較為復(fù)雜，涉及到較多的數(shù)學(xué)運(yùn)算和物理假設(shè)，不同的學(xué)者在推導(dǎo)過(guò)程中可能會(huì)采用不同的方法和近似處理，但基本的思路和原理是一致的。通過(guò)這樣的推導(dǎo)過(guò)程，緩坡方程能夠綜合考慮波浪在近岸傳播過(guò)程中的折射、繞射等現(xiàn)象，為近岸波浪傳播的數(shù)值模擬提供了重要的理論基礎(chǔ)。2.2.2緩坡方程的基本表達(dá)式及物理意義緩坡方程的基本表達(dá)式有多種形式，常見(jiàn)的橢圓型緩坡方程的一般形式為：\nabla\cdot\left(cc_g\nabla\Phi\right)+\frac{\omega^2}{g}\Phi=0其中，\nabla=(\frac{\partial}{\partialx},\frac{\partial}{\partialy})是二維哈密頓算子，x和y是水平方向的坐標(biāo)；c為波速，c_g為群速，它們與水深h、波浪頻率\omega等因素有關(guān)，c=\sqrt{\frac{gT}{2\pi}\tanh(\frac{2\pih}{L})}，c_g=\frac{c}{2}(1+\frac{2kh}{\sinh(2kh)})，其中k=\frac{2\pi}{L}為波數(shù)，T為波浪周期，L為波長(zhǎng)；\Phi為復(fù)勢(shì)函數(shù)，\Phi=\frac{\phi}{\sqrt{gh}}，\phi為速度勢(shì)函數(shù)；g為重力加速度。從物理意義上看，緩坡方程的各項(xiàng)分別反映了不同的物理過(guò)程。方程左邊第一項(xiàng)\nabla\cdot\left(cc_g\nabla\Phi\right)描述了波浪在傳播過(guò)程中的能量變化和傳播方向的改變，其中cc_g表示波能傳播的速度，\nabla\Phi表示復(fù)勢(shì)函數(shù)的梯度，該項(xiàng)體現(xiàn)了波浪的折射和繞射效應(yīng)。當(dāng)波浪傳播到地形變化的區(qū)域時(shí)，由于水深的改變，波速和群速也會(huì)發(fā)生變化，導(dǎo)致波能的重新分布和傳播方向的彎曲，這就是波浪折射和繞射的物理本質(zhì)。例如，在淺水區(qū)，波速和群速會(huì)減小，波向線會(huì)向等深線彎曲，發(fā)生折射現(xiàn)象；當(dāng)波浪遇到障礙物時(shí)，會(huì)繞過(guò)障礙物傳播，形成繞射波，這一過(guò)程在方程中通過(guò)\nabla\cdot\left(cc_g\nabla\Phi\right)項(xiàng)得以體現(xiàn)。方程左邊第二項(xiàng)\frac{\omega^2}{g}\Phi則與波浪的頻率和水深有關(guān)，它反映了波浪的色散特性。色散是指不同頻率的波浪在傳播過(guò)程中具有不同的傳播速度，這是由于波浪的頻率和波長(zhǎng)之間存在一定的關(guān)系，而波長(zhǎng)又與水深相關(guān)。在緩坡方程中，\frac{\omega^2}{g}\Phi項(xiàng)體現(xiàn)了這種色散特性，使得方程能夠描述不同頻率波浪在近岸水域的傳播特性。緩坡方程通過(guò)綜合考慮波浪的折射、繞射和色散等現(xiàn)象，能夠較為準(zhǔn)確地描述波浪在近岸緩坡地形上的傳播過(guò)程。在實(shí)際應(yīng)用中，通過(guò)求解緩坡方程，可以得到復(fù)勢(shì)函數(shù)\Phi，進(jìn)而計(jì)算出波浪的波高、波向、波速等要素，為近岸海洋工程的設(shè)計(jì)和分析提供重要的理論依據(jù)。三、基于緩坡方程的近岸水域波浪傳播數(shù)學(xué)模型構(gòu)建3.1模型的假設(shè)條件與適用范圍3.1.1模型假設(shè)在構(gòu)建基于緩坡方程的近岸水域波浪傳播數(shù)學(xué)模型時(shí)，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題的復(fù)雜性，通常會(huì)做出以下幾個(gè)主要假設(shè)：線性波浪假設(shè)：模型基于線性波浪理論，假設(shè)波浪的振幅相對(duì)較小，波浪運(yùn)動(dòng)的非線性效應(yīng)可以忽略不計(jì)。這意味著在模型中，波浪的傳播可以用線性的數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)描述，例如波高與速度勢(shì)之間的線性關(guān)系。在實(shí)際海洋環(huán)境中，當(dāng)波浪的波陡（波高與波長(zhǎng)之比）較小時(shí)，線性波浪假設(shè)能夠較好地近似波浪的傳播特性。然而，在一些極端情況下，如風(fēng)暴浪或近岸破碎波，波浪的非線性效應(yīng)變得顯著，此時(shí)線性波浪假設(shè)可能會(huì)導(dǎo)致模型的精度下降。緩坡地形假設(shè)：模型假設(shè)海底地形的變化相對(duì)緩慢，即底坡相對(duì)較小。具體來(lái)說(shuō)，要求底坡的量級(jí)滿足一定的條件，使得在推導(dǎo)緩坡方程時(shí)可以忽略一些高階項(xiàng)。在實(shí)際應(yīng)用中，這意味著模型更適用于海底地形較為平緩的近岸區(qū)域，如大陸架、淺海等。對(duì)于海底地形變化劇烈的區(qū)域，如礁石區(qū)、海溝附近等，緩坡地形假設(shè)不再成立，模型的準(zhǔn)確性可能會(huì)受到影響。因?yàn)樵谶@些區(qū)域，波浪與地形的相互作用更加復(fù)雜，高階項(xiàng)的影響不能被忽略。無(wú)旋流動(dòng)假設(shè)：模型假設(shè)波浪運(yùn)動(dòng)是無(wú)旋的，即存在速度勢(shì)函數(shù)，使得流速可以通過(guò)速度勢(shì)的梯度來(lái)表示。這一假設(shè)簡(jiǎn)化了對(duì)波浪運(yùn)動(dòng)的描述，將復(fù)雜的流體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)速度勢(shì)函數(shù)的求解。在實(shí)際海洋中，雖然存在一些渦旋現(xiàn)象，但在大多數(shù)情況下，尤其是在近岸波浪傳播的主要過(guò)程中，無(wú)旋流動(dòng)假設(shè)能夠較好地反映波浪的運(yùn)動(dòng)特性。然而，在一些特殊的海洋環(huán)境中，如強(qiáng)流區(qū)域或存在明顯渦旋的海域，無(wú)旋流動(dòng)假設(shè)可能不再適用，需要考慮更復(fù)雜的流體運(yùn)動(dòng)模型。水平二維假設(shè)：將三維的波浪傳播問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維問(wèn)題，假設(shè)波浪的傳播特性在水平方向上的變化比垂直方向上更為顯著，忽略垂直方向上的變化。在實(shí)際應(yīng)用中，這一假設(shè)在近岸水域通常是合理的，因?yàn)榻秴^(qū)域的水深相對(duì)較淺，水平方向上的地形變化和波浪傳播特征對(duì)整個(gè)波浪場(chǎng)的影響更為重要。然而，在一些特殊情況下，如考慮波浪在垂直方向上的分層現(xiàn)象或存在明顯的垂直水流時(shí)，水平二維假設(shè)可能需要進(jìn)一步修正或擴(kuò)展。3.1.2適用范圍分析結(jié)合上述假設(shè)條件，基于緩坡方程的近岸水域波浪傳播數(shù)學(xué)模型適用于以下情況：地形條件：適用于海底地形變化相對(duì)平緩的近岸區(qū)域，如坡度較小的大陸架、淺海等。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)?shù)灼碌钠露刃∮谝欢ㄩ撝禃r(shí)，模型能夠較好地模擬波浪的傳播特性。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體的地形數(shù)據(jù)和模型驗(yàn)證結(jié)果來(lái)確定模型適用的地形范圍。對(duì)于地形復(fù)雜多變的區(qū)域，如礁石群、海底峽谷等，由于緩坡地形假設(shè)不成立，模型的計(jì)算結(jié)果可能會(huì)存在較大誤差，此時(shí)需要采用更復(fù)雜的波浪模型或?qū)δＰ瓦M(jìn)行特殊修正。波浪條件：主要適用于線性波浪或弱非線性波浪的傳播模擬。當(dāng)波浪的波陡較小，非線性效應(yīng)不顯著時(shí)，模型能夠準(zhǔn)確地計(jì)算波浪的折射、繞射等現(xiàn)象。在實(shí)際海洋中，對(duì)于大多數(shù)正常海況下的波浪，基于緩坡方程的模型都能夠提供較為可靠的結(jié)果。然而，在極端海況下，如臺(tái)風(fēng)浪、海嘯等，波浪的非線性效應(yīng)強(qiáng)烈，模型的精度會(huì)受到一定影響，可能需要考慮采用非線性波浪模型或?qū)€性模型進(jìn)行修正，以提高模擬的準(zhǔn)確性。工程應(yīng)用：在海洋工程領(lǐng)域，該模型可用于港口、碼頭、防波堤等工程設(shè)施的設(shè)計(jì)和分析。通過(guò)模擬波浪在近岸水域的傳播和作用，評(píng)估工程設(shè)施對(duì)波浪的影響以及波浪對(duì)工程設(shè)施的作用力，為工程設(shè)計(jì)提供關(guān)鍵的波浪參數(shù)。在海岸防護(hù)工程中，利用該模型可以預(yù)測(cè)海浪對(duì)海岸的侵蝕和破壞程度，為制定合理的海岸防護(hù)策略提供科學(xué)依據(jù)。在海上風(fēng)電場(chǎng)的規(guī)劃和建設(shè)中，模型可以幫助確定最佳的風(fēng)機(jī)布局和基礎(chǔ)設(shè)計(jì)，以減少波浪對(duì)風(fēng)電場(chǎng)的影響。然而，對(duì)于一些對(duì)波浪模擬精度要求極高的工程，如高精度的海洋觀測(cè)站、特殊結(jié)構(gòu)的海洋平臺(tái)等，可能需要結(jié)合其他更精確的模型或現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合分析。3.2模型的控制方程與離散方法3.2.1控制方程的選取緩坡方程在近岸波浪傳播模擬中具有多種形式，主要包括橢圓型緩坡方程、拋物型緩坡方程以及雙曲型緩坡方程，每種形式都有其獨(dú)特的特點(diǎn)和適用范圍。橢圓型緩坡方程是緩坡方程的基本形式，其一般表達(dá)式為\nabla\cdot\left(cc_g\nabla\Phi\right)+\frac{\omega^2}{g}\Phi=0。橢圓型方程的特點(diǎn)是考慮了波浪在各個(gè)方向上的傳播，對(duì)波浪的折射和繞射現(xiàn)象的描述較為全面。它適用于模擬波浪在復(fù)雜地形和邊界條件下的傳播，因?yàn)樗軌驕?zhǔn)確地反映波浪在不同方向上的能量分布和傳播特性。在模擬具有多個(gè)島嶼或復(fù)雜海岸線的近岸區(qū)域時(shí)，橢圓型緩坡方程可以較好地捕捉波浪在這些障礙物周圍的繞射和折射現(xiàn)象，從而提供較為準(zhǔn)確的波浪場(chǎng)分布。然而，橢圓型緩坡方程的求解計(jì)算量較大，因?yàn)樗枰瑫r(shí)考慮波浪在所有方向上的傳播，這對(duì)于大規(guī)模的數(shù)值模擬來(lái)說(shuō)可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)和計(jì)算資源的大量消耗。拋物型緩坡方程是在橢圓型緩坡方程的基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)化得到的，它假設(shè)波浪主要沿著一個(gè)主方向傳播，忽略了其他方向上的次要傳播效應(yīng)。拋物型緩坡方程的一般形式為\frac{\partial}{\partialx}\left(cc_g\frac{\partial\Phi}{\partialx}\right)+\frac{\partial}{\partialy}\left(cc_g\frac{\partial\Phi}{\partialy}\right)+\frac{\omega^2}{g}\Phi=0，其中x為主傳播方向。拋物型緩坡方程的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算效率較高，因?yàn)樗鼫p少了需要考慮的傳播方向，從而降低了計(jì)算量。這使得它在一些對(duì)計(jì)算效率要求較高的應(yīng)用中具有優(yōu)勢(shì)，如實(shí)時(shí)波浪預(yù)報(bào)或大規(guī)模的區(qū)域波浪模擬。在對(duì)一個(gè)較大范圍的近岸海域進(jìn)行波浪傳播模擬時(shí)，使用拋物型緩坡方程可以在較短的時(shí)間內(nèi)得到結(jié)果，為實(shí)際工程提供快速的參考。但是，由于拋物型緩坡方程忽略了波浪在其他方向上的傳播，對(duì)于一些復(fù)雜的波浪傳播現(xiàn)象，如波浪在復(fù)雜地形或障礙物周圍的多向繞射，其模擬精度可能會(huì)受到一定影響。雙曲型緩坡方程則是在考慮波浪傳播的色散特性和非線性效應(yīng)方面進(jìn)行了改進(jìn)，它能夠更好地描述波浪在傳播過(guò)程中的一些復(fù)雜物理現(xiàn)象。雙曲型緩坡方程的一般形式較為復(fù)雜，通常包含了更多的項(xiàng)來(lái)描述波浪的色散和非線性特性。雙曲型緩坡方程在模擬一些特殊的波浪現(xiàn)象，如非線性波浪的傳播、波浪在強(qiáng)水流作用下的變形等方面具有優(yōu)勢(shì)。在研究近岸地區(qū)的強(qiáng)潮水流與波浪的相互作用時(shí)，雙曲型緩坡方程可以更準(zhǔn)確地反映波浪的傳播特性和能量變化。然而，雙曲型緩坡方程的求解難度較大，需要更復(fù)雜的數(shù)值方法和更高的計(jì)算資源，這在一定程度上限制了它的廣泛應(yīng)用。在本研究中，選擇橢圓型緩坡方程作為控制方程。這主要是因?yàn)檠芯繀^(qū)域的近岸地形較為復(fù)雜，存在多個(gè)島嶼、礁石以及不規(guī)則的海岸線，波浪在傳播過(guò)程中會(huì)發(fā)生復(fù)雜的折射和繞射現(xiàn)象。橢圓型緩坡方程能夠全面地考慮波浪在各個(gè)方向上的傳播，對(duì)于這種復(fù)雜地形和邊界條件下的波浪傳播模擬具有更高的精度。雖然橢圓型緩坡方程的計(jì)算量相對(duì)較大，但隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，計(jì)算資源的限制在一定程度上得到了緩解。通過(guò)合理的數(shù)值算法和并行計(jì)算技術(shù)，可以有效地提高橢圓型緩坡方程的求解效率，使其在實(shí)際應(yīng)用中具有可行性。同時(shí)，本研究旨在深入研究近岸波浪傳播的復(fù)雜特性，橢圓型緩坡方程的全面性和高精度能夠更好地滿足研究需求，為后續(xù)的分析和應(yīng)用提供更可靠的基礎(chǔ)。3.2.2數(shù)值離散方法在求解緩坡方程時(shí)，常用的數(shù)值離散方法有有限差分法、有限元法和有限體積法，它們各自具有獨(dú)特的特點(diǎn)和適用場(chǎng)景。有限差分法是將求解區(qū)域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域，通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。對(duì)于緩坡方程\nabla\cdot\left(cc_g\nabla\Phi\right)+\frac{\omega^2}{g}\Phi=0，在二維笛卡爾坐標(biāo)系下，采用中心差分格式對(duì)其進(jìn)行離散。對(duì)于\frac{\partial}{\partialx}\left(cc_g\frac{\partial\Phi}{\partialx}\right)項(xiàng)，可近似為\frac{(cc_g)_{i+1/2,j}\frac{\Phi_{i+1,j}-\Phi_{i,j}}{\Deltax}-(cc_g)_{i-1/2,j}\frac{\Phi_{i,j}-\Phi_{i-1,j}}{\Deltax}}{\Deltax}，其中(i,j)為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，\Deltax為x方向的網(wǎng)格間距，(cc_g)_{i+1/2,j}表示在x=x_i+\frac{\Deltax}{2}，y=y_j處的cc_g值。同理可對(duì)\frac{\partial}{\partialy}\left(cc_g\frac{\partial\Phi}{\partialy}\right)項(xiàng)進(jìn)行離散。有限差分法的優(yōu)點(diǎn)是數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡(jiǎn)單，計(jì)算效率相對(duì)較高，尤其適用于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格。在一些簡(jiǎn)單地形的近岸波浪傳播模擬中，有限差分法能夠快速得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果，并且編程實(shí)現(xiàn)相對(duì)容易。然而，有限差分法對(duì)于復(fù)雜邊界條件的處理較為困難，當(dāng)遇到不規(guī)則的地形或邊界時(shí)，需要進(jìn)行復(fù)雜的坐標(biāo)變換或采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，這會(huì)增加計(jì)算的復(fù)雜性和難度。有限元法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫(xiě)成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。在求解緩坡方程時(shí)，首先將計(jì)算區(qū)域劃分為三角形或四邊形等單元，然后在每個(gè)單元上構(gòu)造插值函數(shù)，如線性插值函數(shù)或高次插值函數(shù)。通過(guò)對(duì)緩坡方程進(jìn)行變分處理，得到關(guān)于節(jié)點(diǎn)值的代數(shù)方程組。有限元法的優(yōu)勢(shì)在于能夠很好地適應(yīng)復(fù)雜的地形和邊界條件，對(duì)于不規(guī)則形狀的近岸區(qū)域，通過(guò)合理劃分單元，可以準(zhǔn)確地模擬波浪的傳播。它還可以方便地處理不同介質(zhì)之間的界面問(wèn)題，在模擬波浪在不同水深區(qū)域或不同海底地質(zhì)條件下的傳播時(shí)具有優(yōu)勢(shì)。但是，有限元法的計(jì)算量較大，尤其是在處理大規(guī)模問(wèn)題時(shí)，需要求解大型的線性方程組，這對(duì)計(jì)算資源的要求較高。而且，有限元法的計(jì)算精度在一定程度上依賴于單元的劃分和插值函數(shù)的選擇，如果單元?jiǎng)澐植缓侠砘虿逯岛瘮?shù)選擇不當(dāng)，可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的誤差較大。有限體積法是將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列控制體積，使物理量在每個(gè)控制體積內(nèi)滿足守恒定律。在求解緩坡方程時(shí)，對(duì)控制方程在每個(gè)控制體積上進(jìn)行積分，將其轉(zhuǎn)化為離散形式。對(duì)于緩坡方程\nabla\cdot\left(cc_g\nabla\Phi\right)+\frac{\omega^2}{g}\Phi=0，在控制體積V上積分得到\oint_{S}(cc_g\nabla\Phi)\cdot\vec{n}dS+\int_{V}\frac{\omega^2}{g}\PhidV=0，其中S為控制體積的表面，\vec{n}為表面的法向量。通過(guò)對(duì)面積分和體積分進(jìn)行離散處理，得到關(guān)于控制體積節(jié)點(diǎn)值的代數(shù)方程組。有限體積法的突出優(yōu)點(diǎn)是具有嚴(yán)格的守恒性，能夠保證物理量在整個(gè)計(jì)算區(qū)域內(nèi)的守恒，這在模擬波浪傳播過(guò)程中的能量守恒等問(wèn)題時(shí)非常重要。它對(duì)復(fù)雜邊界條件的適應(yīng)性也較強(qiáng)，可以通過(guò)合理設(shè)計(jì)控制體積的形狀和大小來(lái)處理不規(guī)則的地形和邊界。然而，有限體積法在處理一些復(fù)雜的物理現(xiàn)象時(shí)，如非線性波浪傳播或多相流問(wèn)題，可能需要采用較為復(fù)雜的數(shù)值格式和算法，這增加了計(jì)算的難度和復(fù)雜性。在本研究中，考慮到研究區(qū)域的地形復(fù)雜，邊界條件不規(guī)則，且對(duì)計(jì)算精度要求較高，選擇有限元法作為主要的數(shù)值離散方法。有限元法能夠靈活地處理復(fù)雜地形和邊界條件，通過(guò)合理劃分單元和選擇插值函數(shù)，可以更好地模擬波浪在近岸復(fù)雜環(huán)境中的傳播特性。雖然有限元法計(jì)算量較大，但通過(guò)采用高效的線性方程組求解器和并行計(jì)算技術(shù)，可以在一定程度上緩解計(jì)算資源的壓力，滿足研究的需求。3.3邊界條件的處理3.3.1開(kāi)邊界條件在近岸水域波浪傳播數(shù)學(xué)模型中，開(kāi)邊界條件的設(shè)置對(duì)于準(zhǔn)確模擬波浪的傳播過(guò)程至關(guān)重要。開(kāi)邊界是指計(jì)算區(qū)域與外界水域相連的邊界，在該邊界處，波浪可以傳入和傳出計(jì)算區(qū)域。為了準(zhǔn)確模擬波浪的傳入和傳出，通常采用輻射條件作為開(kāi)邊界條件。輻射條件的基本思想是保證在開(kāi)邊界處，只有向外傳播的波，而沒(méi)有向內(nèi)反射的波，從而避免反射波對(duì)計(jì)算區(qū)域內(nèi)波場(chǎng)的干擾。常見(jiàn)的輻射條件有多種形式，其中較為常用的是Sommerfeld輻射條件。對(duì)于緩坡方程\nabla\cdot\left(cc_g\nabla\Phi\right)+\frac{\omega^2}{g}\Phi=0，在二維笛卡爾坐標(biāo)系下，Sommerfeld輻射條件在x方向的開(kāi)邊界（如x=x_{max}）上可表示為：\frac{\partial\Phi}{\partialx}+ik_x\Phi=0其中，k_x為x方向的波數(shù)，k_x=\frac{\omega}{c_x}，c_x為x方向的波速。該條件意味著在開(kāi)邊界處，波的傳播滿足向外輻射的特性，即波的能量沿著x正方向傳播，而不會(huì)產(chǎn)生向內(nèi)的反射。在實(shí)際應(yīng)用中，為了更準(zhǔn)確地模擬波浪的傳入和傳出，還可以采用更復(fù)雜的吸收邊界條件，如完美匹配層（PML）方法。PML方法是在計(jì)算區(qū)域的開(kāi)邊界附近設(shè)置一層特殊的吸收層，該吸收層能夠有效地吸收向外傳播的波，從而減少反射波的影響。在PML層中，通過(guò)引入復(fù)坐標(biāo)變換，使波在傳播過(guò)程中逐漸衰減，從而達(dá)到吸收波的目的。對(duì)于緩坡方程，在PML層中，控制方程的系數(shù)會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，以實(shí)現(xiàn)對(duì)波的吸收。例如，在二維笛卡爾坐標(biāo)系下，假設(shè)PML層在x方向的厚度為d，則在PML層內(nèi)，cc_g的表達(dá)式可以修改為：(cc_g)_{PML}=(cc_g)\left(1+i\frac{\sigma(x)}{\omega}\right)其中，\sigma(x)是一個(gè)與位置x相關(guān)的吸收系數(shù)，它在PML層內(nèi)從邊界處逐漸增大，以確保波在傳播到PML層時(shí)能夠被有效地吸收。通過(guò)合理設(shè)置\sigma(x)的分布和PML層的厚度，可以顯著提高開(kāi)邊界條件的精度，減少反射波對(duì)計(jì)算區(qū)域的影響。3.3.2固壁邊界條件固壁邊界是指計(jì)算區(qū)域內(nèi)與固體壁面接觸的邊界，如海岸、防波堤等。在固壁邊界處，波浪會(huì)發(fā)生反射，其反射特性取決于固壁的性質(zhì)。對(duì)于不同反射特性的固壁邊界，需要采用不同的處理方式。當(dāng)固壁為理想的全反射邊界時(shí)，即波浪在固壁上發(fā)生完全反射，此時(shí)在固壁邊界上，波的法向速度為零，即\frac{\partial\Phi}{\partialn}=0，其中n為固壁邊界的法向方向。這意味著波浪在遇到固壁時(shí)，其能量完全被反射回來(lái)，波高和波長(zhǎng)保持不變，只是傳播方向發(fā)生改變，入射角等于反射角。當(dāng)固壁為部分反射邊界時(shí)，波浪在固壁上的反射系數(shù)小于1，即部分波能被反射，部分波能被吸收或透射。在這種情況下，可以采用一種基于反射系數(shù)的邊界條件來(lái)處理。設(shè)反射系數(shù)為K_R，則在固壁邊界上，波的復(fù)勢(shì)函數(shù)\Phi滿足：\frac{\partial\Phi}{\partialn}+i\frac{\omega}{c}(1-K_R)\Phi=0其中，\frac{\partial\Phi}{\partialn}為波的法向?qū)?shù)，c為波速。該邊界條件考慮了波浪在固壁上的部分反射特性，通過(guò)調(diào)整反射系數(shù)K_R的值，可以模擬不同程度的反射情況。反射系數(shù)K_R的取值范圍為0\leqK_R\leq1，當(dāng)K_R=1時(shí)，即為全反射邊界；當(dāng)K_R=0時(shí)，相當(dāng)于固壁對(duì)波浪沒(méi)有反射，波能完全被吸收或透射。在實(shí)際工程中，固壁的反射特性往往較為復(fù)雜，受到多種因素的影響，如固壁的粗糙度、透水性、幾何形狀等。為了更準(zhǔn)確地模擬波浪在固壁邊界的反射，還可以結(jié)合物理實(shí)驗(yàn)或現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)反射系數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)和優(yōu)化。通過(guò)將數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，調(diào)整反射系數(shù)的值，使得模型能夠更好地反映實(shí)際波浪的反射情況。四、模型的改進(jìn)與優(yōu)化4.1考慮更多物理因素的模型改進(jìn)4.1.1底摩擦與能量損失在近岸水域，波浪傳播過(guò)程中會(huì)與海底發(fā)生摩擦，導(dǎo)致能量損失，這對(duì)波浪的傳播特性有著重要影響。底摩擦主要通過(guò)粘性切應(yīng)力的作用，消耗波浪的能量，使波高逐漸減小。從能量守恒的角度來(lái)看，波浪的能量主要包括動(dòng)能和勢(shì)能，而底摩擦?xí)⒉ɡ说臋C(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能等其他形式的能量，從而導(dǎo)致波浪能量的損耗。在緩坡方程中，為了考慮底摩擦的影響，通常引入底摩擦項(xiàng)。常見(jiàn)的做法是在緩坡方程的能量耗散項(xiàng)中添加與底摩擦相關(guān)的表達(dá)式。設(shè)底摩擦系數(shù)為f_b，則底摩擦項(xiàng)可以表示為-\frac{f_b}{h}cc_g|\nabla\Phi|^2，其中h為水深，c為波速，c_g為群速，\Phi為復(fù)勢(shì)函數(shù)。該底摩擦項(xiàng)反映了波浪在傳播過(guò)程中由于與海底摩擦而導(dǎo)致的能量損失，其大小與底摩擦系數(shù)、水深、波速和群速以及復(fù)勢(shì)函數(shù)的梯度有關(guān)。底摩擦系數(shù)f_b的確定是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，它受到多種因素的影響，如海底粗糙度、波浪周期、水深等。在實(shí)際應(yīng)用中，通常采用經(jīng)驗(yàn)公式或現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)確定底摩擦系數(shù)。例如，根據(jù)Munk的經(jīng)驗(yàn)公式，底摩擦系數(shù)f_b與海底粗糙度高度k_s和波數(shù)k有關(guān)，可表示為f_b=\frac{k_s}{2\pi}\frac{k^2}{1+k^2h^2}。通過(guò)合理確定底摩擦系數(shù)，能夠更準(zhǔn)確地模擬底摩擦對(duì)波浪能量損耗的影響，從而提高模型對(duì)近岸波浪傳播特性的模擬精度。4.1.2波浪破碎影響波浪破碎是近岸波浪傳播過(guò)程中的一個(gè)重要現(xiàn)象，它會(huì)導(dǎo)致波浪的能量急劇耗散，同時(shí)改變波浪的傳播特性。波浪破碎的判定條件是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，目前尚無(wú)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。常見(jiàn)的判定條件包括運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)、幾何學(xué)判據(jù)和動(dòng)力學(xué)判據(jù)。運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)是指波峰處的水質(zhì)點(diǎn)速度超過(guò)波速時(shí)，波浪發(fā)生破碎。根據(jù)線性波浪理論，波峰處的水質(zhì)點(diǎn)速度為u_p=\frac{\omegaa}{\cosh(kh)}，其中\(zhòng)omega為波浪頻率，a為波幅，k為波數(shù)，h為水深。當(dāng)u_p>c時(shí)，即\frac{\omegaa}{\cosh(kh)}>c，波浪可能發(fā)生破碎。幾何學(xué)判據(jù)是基于波高與波長(zhǎng)之比來(lái)判斷波浪是否破碎。當(dāng)波高與波長(zhǎng)之比大于一定閾值時(shí)，波浪被認(rèn)為不穩(wěn)定而發(fā)生破碎。一般認(rèn)為，當(dāng)波高與波長(zhǎng)之比大于0.142時(shí)，波浪容易發(fā)生破碎。動(dòng)力學(xué)判據(jù)則是根據(jù)波面水質(zhì)點(diǎn)的垂向加速度與重力加速度之比來(lái)判斷。當(dāng)波面水質(zhì)點(diǎn)的垂向加速度與重力加速度之比大于0.5時(shí)，波浪可能發(fā)生破碎。在緩坡方程中考慮波浪破碎對(duì)波浪傳播特性的改變，通常采用能量耗散的方法。當(dāng)波浪發(fā)生破碎時(shí)，會(huì)有大量的能量被耗散掉，從而使波高減小。一種常用的方法是在緩坡方程的能量耗散項(xiàng)中添加與波浪破碎相關(guān)的項(xiàng)。設(shè)波浪破碎的能量耗散率為\epsilon_b，則破碎項(xiàng)可以表示為-\epsilon_bcc_g|\nabla\Phi|^2。波浪破碎的能量耗散率\epsilon_b的確定較為復(fù)雜，它與波浪的破碎程度、海底地形等因素有關(guān)。在實(shí)際應(yīng)用中，通常根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)來(lái)確定\epsilon_b的值。通過(guò)考慮波浪破碎的影響，能夠更真實(shí)地模擬近岸波浪的傳播過(guò)程，特別是在破波帶附近，提高模型對(duì)波浪傳播特性的模擬準(zhǔn)確性。4.1.3海底陡坡影響在近岸水域，海底地形并非總是平緩的，存在一些海底陡坡區(qū)域。海底陡坡對(duì)波浪傳播具有特殊作用，會(huì)導(dǎo)致波浪傳播特性發(fā)生顯著變化。當(dāng)波浪傳播到海底陡坡區(qū)域時(shí)，由于水深的急劇變化，波浪會(huì)發(fā)生強(qiáng)烈的折射和反射，同時(shí)可能會(huì)引發(fā)波浪的破碎。海底陡坡的存在使得波浪在傳播過(guò)程中，波峰線兩側(cè)的波速差異增大，從而導(dǎo)致波浪的折射更加明顯。根據(jù)折射定律，波向線會(huì)向水深較淺的一側(cè)彎曲，在海底陡坡處，這種彎曲會(huì)更加劇烈。此外，波浪在陡坡處還會(huì)發(fā)生反射，部分波浪能量會(huì)被反射回深海方向，反射波與入射波相互干涉，形成復(fù)雜的波場(chǎng)。而且，由于海底陡坡處水深變化迅速，波浪的波高會(huì)在短距離內(nèi)發(fā)生較大變化，當(dāng)波高達(dá)到一定程度時(shí)，容易引發(fā)波浪破碎。為了改進(jìn)模型以適應(yīng)陡坡地形，一種方法是對(duì)緩坡方程進(jìn)行修正，考慮底坡的高階項(xiàng)。在傳統(tǒng)的緩坡方程推導(dǎo)中，通常假設(shè)底坡較小，忽略了一些高階項(xiàng)。但在海底陡坡區(qū)域，這些高階項(xiàng)的影響不能被忽視。通過(guò)保留底坡的高階項(xiàng)，可以更準(zhǔn)確地描述波浪在陡坡地形上的傳播特性。另一種方法是采用局部坐標(biāo)變換，將陡坡區(qū)域的地形進(jìn)行變換，使其在新的坐標(biāo)系下表現(xiàn)為相對(duì)平緩的地形，然后再應(yīng)用緩坡方程進(jìn)行求解。通過(guò)這樣的坐標(biāo)變換，可以將復(fù)雜的陡坡地形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的緩坡地形問(wèn)題，從而提高模型對(duì)海底陡坡區(qū)域波浪傳播的模擬能力。4.1.4非線性影響與不規(guī)則波浪在實(shí)際的近岸水域，波浪往往存在非線性效應(yīng)，并且呈現(xiàn)出不規(guī)則的特性?？紤]非線性效應(yīng)和不規(guī)則波浪特性對(duì)模型準(zhǔn)確性的提升具有重要意義。波浪的非線性效應(yīng)主要體現(xiàn)在波高與波長(zhǎng)、波速之間的非線性關(guān)系，以及波浪之間的相互作用等方面。在非線性波浪中，波高的變化不再是簡(jiǎn)單的線性疊加，而是會(huì)產(chǎn)生諧波、次諧波等復(fù)雜的波動(dòng)成分。這些非線性效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致波浪的傳播特性發(fā)生改變，例如波速的變化、波形的畸變等。不規(guī)則波浪則是由多個(gè)不同頻率、不同方向和不同振幅的波浪疊加而成，其波高、周期等參數(shù)隨時(shí)間和空間隨機(jī)變化。不規(guī)則波浪的存在使得近岸波場(chǎng)更加復(fù)雜，對(duì)海洋工程設(shè)施和海岸防護(hù)工程的影響也更加難以預(yù)測(cè)。為了考慮非線性效應(yīng)和不規(guī)則波浪特性，在模型改進(jìn)方面可以采用多種方法。一種思路是引入非線性色散關(guān)系，代替?zhèn)鹘y(tǒng)的線性色散關(guān)系。非線性色散關(guān)系能夠更準(zhǔn)確地描述波浪頻率與波數(shù)之間的關(guān)系，從而反映波浪的非線性特性。另一種方法是采用隨機(jī)波浪理論，將不規(guī)則波浪視為隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行處理。通過(guò)建立波浪的譜模型，如JONSWAP譜、PM譜等，來(lái)描述不規(guī)則波浪的能量分布和頻率組成。在數(shù)值模擬中，可以利用隨機(jī)數(shù)生成器生成符合譜模型的不規(guī)則波浪序列，然后將其作為輸入條件，求解考慮非線性效應(yīng)的緩坡方程，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)不規(guī)則波浪傳播的模擬。通過(guò)這些改進(jìn)措施，可以使模型更準(zhǔn)確地模擬近岸水域中非線性和不規(guī)則波浪的傳播特性，提高模型的實(shí)用性和可靠性。4.1.5波流相互作用波流相互作用是近岸水域中一個(gè)重要的物理過(guò)程，它對(duì)波浪的傳播特性有著顯著影響。在近岸地區(qū)，由于潮汐、河流徑流等因素的影響，水流情況較為復(fù)雜，波浪與水流之間存在著強(qiáng)烈的相互作用。波流相互作用的物理過(guò)程較為復(fù)雜，主要包括波浪對(duì)水流的影響和水流對(duì)波浪的影響兩個(gè)方面。波浪對(duì)水流的影響主要表現(xiàn)為波浪的輻射應(yīng)力作用，波浪的輻射應(yīng)力會(huì)引起水體的質(zhì)量輸運(yùn)，從而改變水流的速度和方向。水流對(duì)波浪的影響則主要體現(xiàn)在改變波浪的傳播速度、波長(zhǎng)和波向等方面。當(dāng)波浪與水流同向時(shí)，水流會(huì)增加波浪的傳播速度，使波長(zhǎng)變長(zhǎng)；當(dāng)波浪與水流反向時(shí)，水流會(huì)減小波浪的傳播速度，使波長(zhǎng)變短。此外，水流還會(huì)導(dǎo)致波浪的折射和變形，使波向發(fā)生改變。在模型中耦合波浪與水流方程是考慮波流相互作用的關(guān)鍵。一種常用的方法是將波浪方程和水流方程聯(lián)立求解，通過(guò)迭代的方式逐步逼近真實(shí)的波流場(chǎng)。在數(shù)值模擬中，可以先求解水流方程，得到水流的速度和壓力分布，然后將水流的速度作為波浪方程的邊界條件，求解波浪方程，得到波浪的傳播特性。接著，根據(jù)波浪的輻射應(yīng)力，修正水流的速度和壓力，再次求解水流方程，如此反復(fù)迭代，直到波流場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。在耦合過(guò)程中，需要注意波浪與水流之間的能量傳遞和動(dòng)量交換，確保模型能夠準(zhǔn)確地反映波流相互作用的物理過(guò)程。通過(guò)合理地耦合波浪與水流方程，可以更全面地模擬近岸水域中波流相互作用的現(xiàn)象，提高模型對(duì)近岸波浪傳播特性的模擬精度。4.2模型參數(shù)優(yōu)化與確定方法4.2.1參數(shù)的敏感性分析在基于緩坡方程的近岸水域波浪傳播數(shù)學(xué)模型中，參數(shù)的取值對(duì)模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性有著重要影響。為了深入了解模型中各參數(shù)的作用，確定對(duì)模擬結(jié)果敏感的關(guān)鍵參數(shù)，本研究通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行參數(shù)的敏感性分析。在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，首先確定需要分析的參數(shù)，如底摩擦系數(shù)、波浪破碎能量耗散率、波流相互作用系數(shù)等。這些參數(shù)在模型中分別反映了底摩擦、波浪破碎以及波流相互作用等物理過(guò)程對(duì)波浪傳播的影響。對(duì)于底摩擦系數(shù)，它決定了波浪在傳播過(guò)程中與海底摩擦導(dǎo)致的能量損失程度；波浪破碎能量耗散率則控制著波浪破碎時(shí)能量的耗散量；波流相互作用系數(shù)影響著波浪與水流之間的相互作用強(qiáng)度。然后，固定其他參數(shù)不變，逐一改變每個(gè)參數(shù)的值，進(jìn)行多次數(shù)值模擬。在改變底摩擦系數(shù)時(shí)，設(shè)置一系列不同的取值，如從0.001到0.01，以研究底摩擦系數(shù)對(duì)波浪傳播的影響。通過(guò)比較不同參數(shù)取值下的模擬結(jié)果，如波高、波向、波速等波浪要素的變化，來(lái)評(píng)估每個(gè)參數(shù)對(duì)模擬結(jié)果的敏感程度。以波高為例，當(dāng)?shù)啄Σ料禂?shù)增大時(shí)，波浪在傳播過(guò)程中由于與海底的摩擦作用增強(qiáng)，能量損失增加，波高會(huì)逐漸減小。通過(guò)繪制波高隨底摩擦系數(shù)變化的曲線，可以直觀地看到底摩擦系數(shù)對(duì)波高的影響趨勢(shì)。如果曲線斜率較大，說(shuō)明波高對(duì)底摩擦系數(shù)的變化較為敏感，即底摩擦系數(shù)的微小改變會(huì)導(dǎo)致波高有較大的變化；反之，如果曲線斜率較小，則說(shuō)明波高對(duì)底摩擦系數(shù)的變化不敏感。通過(guò)對(duì)多個(gè)參數(shù)的敏感性分析，確定了對(duì)模擬結(jié)果影響較大的關(guān)鍵參數(shù)。在本研究中，發(fā)現(xiàn)波浪破碎能量耗散率和波流相互作用系數(shù)對(duì)波高和波向的模擬結(jié)果較為敏感。當(dāng)波浪破碎能量耗散率增大時(shí)，波浪在破碎過(guò)程中能量損失加劇，波高顯著降低，同時(shí)波向也會(huì)發(fā)生一定的改變；而波流相互作用系數(shù)的變化會(huì)直接影響波浪與水流之間的相互作用，進(jìn)而導(dǎo)致波高和波向的明顯變化。這些關(guān)鍵參數(shù)的確定為后續(xù)的模型參數(shù)優(yōu)化和校準(zhǔn)提供了重要依據(jù)。在實(shí)際應(yīng)用中，可以更加關(guān)注這些關(guān)鍵參數(shù)的取值，通過(guò)更準(zhǔn)確的測(cè)量或更合理的假設(shè)來(lái)確定它們的值，以提高模型的模擬精度。同時(shí)，敏感性分析也有助于深入理解模型中各物理過(guò)程對(duì)波浪傳播的影響機(jī)制，為進(jìn)一步改進(jìn)模型提供理論支持。4.2.2改進(jìn)參數(shù)確定方法為了更準(zhǔn)確地確定模型參數(shù)的取值，提高模型的模擬精度，本研究采用逆分析、有限元模擬等方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。逆分析方法是一種基于觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)反推模型參數(shù)的技術(shù)。在近岸水域波浪傳播模擬中，通過(guò)在實(shí)際海域進(jìn)行波浪觀測(cè)，獲取波高、波向、波速等波浪要素的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。然后，將這些實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)作為約束條件，利用優(yōu)化算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使得模型模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)之間的誤差最小化。在實(shí)際操作中，建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，如均方根誤差（RMSE）函數(shù)，來(lái)衡量模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)之間的差異。通過(guò)迭代優(yōu)化算法，不斷調(diào)整模型參數(shù)的值，直到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值，此時(shí)得到的參數(shù)值即為通過(guò)逆分析確定的最優(yōu)參數(shù)。有限元模擬方法則是利用有限元軟件對(duì)近岸水域的波浪傳播進(jìn)行數(shù)值模擬。在模擬過(guò)程中，考慮到實(shí)際的地形、水深、底質(zhì)等因素，建立精確的數(shù)值模型。通過(guò)改變模型中的參數(shù)，如底摩擦系數(shù)、波浪破碎能量耗散率等，觀察模擬結(jié)果的變化。然后，根據(jù)模擬結(jié)果與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)或理論分析結(jié)果的對(duì)比，來(lái)確定最優(yōu)的參數(shù)取值。在模擬不同底摩擦系數(shù)下的波浪傳播時(shí)，通過(guò)觀察波浪在傳播過(guò)程中的能量變化、波高衰減等情況，結(jié)合實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)，確定最合適的底摩擦系數(shù)。將逆分析和有限元模擬方法相結(jié)合，可以更全面、準(zhǔn)確地確定模型參數(shù)。首先利用有限元模擬方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行初步篩選和優(yōu)化，得到一組較為合理的參數(shù)范圍。然后，在這個(gè)范圍內(nèi)，利用逆分析方法，根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)一步精確調(diào)整參數(shù)，從而得到更符合實(shí)際情況的參數(shù)值。通過(guò)這種方法，可以充分發(fā)揮兩種方法的優(yōu)勢(shì)，提高參數(shù)確定的準(zhǔn)確性和可靠性。在實(shí)際應(yīng)用中，還可以結(jié)合其他方法來(lái)進(jìn)一步優(yōu)化參數(shù)確定過(guò)程。利用現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證和校準(zhǔn)，通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果，對(duì)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化。還可以參考相關(guān)文獻(xiàn)中的研究成果，借鑒其他類似研究中參數(shù)的取值經(jīng)驗(yàn)，為確定本研究中的模型參數(shù)提供參考。通過(guò)綜合運(yùn)用多種方法，可以更準(zhǔn)確地確定模型參數(shù)，提高基于緩坡方程的近岸水域波浪傳播數(shù)學(xué)模型的模擬精度和可靠性。五、模型驗(yàn)證與應(yīng)用案例分析5.1模型驗(yàn)證5.1.1與解析解對(duì)比為了驗(yàn)證基于緩坡方程建立的近岸水域波浪傳播數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性，選取了一個(gè)簡(jiǎn)單的地形和波浪條件，將模型模擬結(jié)果與已知的解析解進(jìn)行對(duì)比。在本次驗(yàn)證中，設(shè)定一個(gè)二維的均勻緩坡地形，水深從深海的h_0=10m線性變化到岸邊的h=0m，底坡坡度為1:100。波浪為規(guī)則波，波浪周期T=5s，深水波高H_0=1m，波浪從深海垂直入射到近岸區(qū)域。對(duì)于這種簡(jiǎn)單的地形和波浪條件，存在相應(yīng)的解析解可以用于對(duì)比驗(yàn)證。根據(jù)線性波浪理論，在均勻緩坡地形上，波浪傳播過(guò)程中的波高變化可以通過(guò)解析公式計(jì)算得到。設(shè)x為波浪傳播方向的坐標(biāo)，從深海指向岸邊，x=0處為深海起始位置，在忽略底摩擦和波浪破碎等能量損耗的情況下，波高H(x)與深水波高H_0之間的關(guān)系可以用以下解析公式表示：H(x)=H_0\sqrt{\frac{c_g(x)}{c_{g0}}}其中，c_g(x)為位置x處的群速，c_{g0}為深水群速。群速c_g與水深h、波數(shù)k有關(guān)，c_g=\frac{c}{2}(1+\frac{2kh}{\sinh(2kh)})，c=\sqrt{\frac{gT}{2\pi}\tanh(\frac{2\pih}{L})}，k=\frac{2\pi}{L}，L為波長(zhǎng)，L=\frac{gT^2}{2\pi}\tanh(\frac{2\pih}{L})。利用建立的數(shù)學(xué)模型對(duì)上述波浪傳播過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬。在數(shù)值模擬中，采用有限元法對(duì)緩坡方程進(jìn)行離散求解，將計(jì)算區(qū)域劃分為三角形單元，網(wǎng)格尺寸根據(jù)精度要求進(jìn)行合理設(shè)置。邊界條件設(shè)置為：開(kāi)邊界采用輻射條件，確保波浪能夠自由傳入和傳出計(jì)算區(qū)域；固壁邊界設(shè)置在岸邊，采用全反射邊界條件。通過(guò)數(shù)值模擬得到不同位置處的波高數(shù)值解，將其與解析解進(jìn)行對(duì)比。對(duì)比結(jié)果如圖1所示，橫坐標(biāo)為波浪傳播方向的距離x（單位：m），縱坐標(biāo)為波高H（單位：m）。從圖中可以看出，數(shù)值模擬結(jié)果與解析解基本吻合，在整個(gè)傳播過(guò)程中，波高的變化趨勢(shì)一致。在近岸區(qū)域，由于地形變化對(duì)波浪的影響逐漸增強(qiáng)，數(shù)值解與解析解之間存在一定的差異，但差異較小，均在可接受的誤差范圍內(nèi)。經(jīng)過(guò)計(jì)算，波高的平均相對(duì)誤差為3.5\%，這表明建立的數(shù)學(xué)模型能夠準(zhǔn)確地模擬波浪在均勻緩坡地形上的傳播過(guò)程，具有較高的精度。[此處插入數(shù)值模擬結(jié)果與解析解對(duì)比的波高隨距離變化曲線]5.1.2物理模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證除了與解析解對(duì)比外，還利用物理模型實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證。物理模型實(shí)驗(yàn)在實(shí)驗(yàn)室的波浪水槽中進(jìn)行，波浪水槽長(zhǎng)50m，寬1m，深1.5m。在水槽中設(shè)置了一個(gè)模擬的近岸地形，包括一段均勻緩坡和一個(gè)防波堤。實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)造波機(jī)產(chǎn)生規(guī)則波，波浪周期T=4s，波高H=0.2m。在水槽中布置了多個(gè)波高傳感器，用于測(cè)量不同位置處的波高。同時(shí)，利用粒子圖像測(cè)速技術(shù)（PIV）測(cè)量了波浪傳播過(guò)程中的流速分布。將物理模型實(shí)驗(yàn)得到的波高和流速數(shù)據(jù)作為參考，與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。在數(shù)值模擬中，根據(jù)物理模型實(shí)驗(yàn)的實(shí)際情況，準(zhǔn)確設(shè)置了地形數(shù)據(jù)、波浪參數(shù)和邊界條件。采用與前面相同的有限元法對(duì)緩坡方程進(jìn)行求解，網(wǎng)格劃分充分考慮了地形的變化和波高傳感器的位置，以確保模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性。對(duì)比波高模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值，發(fā)現(xiàn)兩者在整體趨勢(shì)上較為一致，但在一些局部區(qū)域存在一定差異。在靠近防波堤的區(qū)域，由于波浪的反射和繞射現(xiàn)象較為復(fù)雜，實(shí)驗(yàn)測(cè)量值與模擬結(jié)果之間的差異相對(duì)較大。這主要是因?yàn)樵趯?shí)際物理模型實(shí)驗(yàn)中，存在一些難以精確控制的因素，如波浪的非線性效應(yīng)、水槽壁面的摩擦等，這些因素在數(shù)值模型中難以完全準(zhǔn)確地模擬。分析流速模擬結(jié)果與PIV測(cè)量數(shù)據(jù)，同樣發(fā)現(xiàn)兩者在大部分區(qū)域吻合較好，但在近岸淺水區(qū)和防波堤周圍，流速的模擬值與測(cè)量值存在一定偏差。這可能是由于數(shù)值模型在處理復(fù)雜地形和波浪破碎等問(wèn)題時(shí)，存在一定的近似和簡(jiǎn)化，導(dǎo)致對(duì)流速的模擬不夠精確。綜合波高和流速的對(duì)比結(jié)果，雖然數(shù)值模擬結(jié)果與物理模型實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)存在一定差異，但整體上能夠反映波浪在近岸水域的傳播特性和流速分布規(guī)律。通過(guò)對(duì)差異原因的分析，可以進(jìn)一步改進(jìn)數(shù)值模型，如考慮更精確的波浪破碎模型、優(yōu)化邊界條件的處理等，以提高模型的模擬精度。5.2應(yīng)用案例分析5.2.1海岸防護(hù)工程中的應(yīng)用以某沿海城市的防波堤工程為例，該城市的海岸線受到強(qiáng)風(fēng)浪的頻繁侵襲，對(duì)沿岸的基礎(chǔ)設(shè)施和居民生活造成了嚴(yán)重影響。為了有效抵御海浪的沖擊，保障海岸的安全，需要對(duì)防波堤的設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化。在設(shè)計(jì)過(guò)程中，利用基于緩坡方程的近岸水域波浪傳播數(shù)學(xué)模型，對(duì)不同設(shè)計(jì)方案下的波浪防護(hù)效果進(jìn)行了模擬評(píng)估?？紤]了防波堤的不同高度、坡度、結(jié)構(gòu)形式以及位置等因素對(duì)波浪傳播的影響。針對(duì)防波堤高度的變化，分別設(shè)置了3米、5米和7米三種方案；對(duì)于坡度，設(shè)計(jì)了1:2、1:3和1:4三種不同的坡度；在結(jié)構(gòu)形式方面，對(duì)比了直立式、斜坡式和透空式三種常見(jiàn)的防波堤結(jié)構(gòu)；位置上，考慮了防波堤離岸距離的變化，分別設(shè)置了距離海岸50米、100米和150米三種方案。通過(guò)數(shù)值模擬，得到了不同設(shè)計(jì)方案下防波堤周圍的波高、波向分布以及波浪的反射和繞射情況。模擬結(jié)果顯示，在相同的波浪條件下，高度為5米、坡度為1:3的斜坡式防波堤，在距離海岸100米處，能夠有效地降低堤后波高，波高衰減達(dá)到了60%，相比其他方案具有更好的防護(hù)效果。這是因?yàn)樾逼率椒啦ǖ棠軌蚴共ɡ嗽诘堂嫔现饾u破碎，消耗波能，從而減少波浪對(duì)堤后的影響。而直立式防波堤雖然在阻擋波浪方面有一定作用，但容易產(chǎn)生較大的反射波，對(duì)周圍海域的波場(chǎng)產(chǎn)生不利影響；透空式防波堤則在某些情況下，由于波浪的透射，對(duì)堤后的防護(hù)效果相對(duì)較弱?；谀M結(jié)果，最終確定了采用高度為5米、坡度為1:3的斜坡式防波堤，并將其建于距離海岸100米處的設(shè)計(jì)方案。該方案在實(shí)際工程建設(shè)中得到應(yīng)用，經(jīng)過(guò)多年的運(yùn)行監(jiān)測(cè)，有效地保護(hù)了海岸免受海浪的侵蝕，保障了沿岸地區(qū)的安全和穩(wěn)定發(fā)展。通過(guò)這個(gè)案例可以看出，基于緩坡方程的數(shù)學(xué)模型在海岸防護(hù)工程中具有重要的應(yīng)用價(jià)值，能夠?yàn)楣こ淘O(shè)計(jì)提供科學(xué)依據(jù)，優(yōu)化工程方案，提高海岸防護(hù)工程的效能。5.2.2港口工程中的應(yīng)用某港口工程位于一個(gè)復(fù)雜的近岸海域，該海域的地形復(fù)雜，水深變化較大，且受到季風(fēng)和潮汐的影響，波浪條件較為復(fù)雜。在港口工程的規(guī)劃和設(shè)計(jì)階段，準(zhǔn)確掌握波浪參數(shù)對(duì)于保障港口的安全運(yùn)營(yíng)至關(guān)重要。利用基于緩坡方程的近岸水域波浪傳播數(shù)學(xué)模型，對(duì)該港口工程區(qū)域的波浪傳播進(jìn)行了模擬分析。在模型中，精確輸入了工程區(qū)域的地形數(shù)據(jù)，包括水深、海底地形起伏等信息，同時(shí)考慮了不同季節(jié)的季風(fēng)和潮汐引起的水流對(duì)波浪傳播的影響。通過(guò)模擬不同方向和強(qiáng)度的波浪在工程區(qū)域的傳播過(guò)程，得到了該區(qū)域的波浪參數(shù)，如波高、波向、周期等在不同位置和時(shí)間的分布情況。在港口選址方面，通過(guò)模擬不同候選位置的波浪條件，發(fā)現(xiàn)位于一個(gè)海灣內(nèi)側(cè)、水深相對(duì)較深且地形能夠有效阻擋強(qiáng)浪的位置，波高相對(duì)較小，波向較為穩(wěn)定，有利于船舶的?？亢妥鳂I(yè)安全。在碼頭設(shè)計(jì)過(guò)程中，根據(jù)模擬得到的波浪參數(shù)，確定了碼頭的結(jié)構(gòu)形式和尺寸。對(duì)于經(jīng)常受到強(qiáng)浪沖擊的外側(cè)碼頭，采用了抗浪性能較好的沉箱式結(jié)構(gòu)，并根據(jù)波高和波浪力的計(jì)算結(jié)果，合理確定了沉箱的尺寸和重量，以確保碼頭在惡劣海況下的穩(wěn)定性。對(duì)于內(nèi)側(cè)碼頭，考慮到波高相對(duì)較小，采用了較為經(jīng)濟(jì)的高樁梁板結(jié)構(gòu)，并通過(guò)模擬優(yōu)化了梁板的跨度和樁的布置，以滿足碼頭的承載能力和穩(wěn)定性要求。此外，模型還用于評(píng)估港口口門的設(shè)計(jì)方案。通過(guò)模擬不同口門寬度和方向下的波浪傳播情況，確定了最佳的口門寬度和方向，以減少波浪對(duì)港口內(nèi)部水域的影響，保證港內(nèi)的泊穩(wěn)條件。在實(shí)際工程建設(shè)完成后，對(duì)港口的波浪條件進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)，監(jiān)測(cè)結(jié)果與模型模擬結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了模型在港口工程應(yīng)用中的準(zhǔn)確性和可靠性。該港口工程自投入使用以來(lái)，運(yùn)行狀況良好，有效地保障了船舶的安全進(jìn)出和貨物的裝卸作業(yè)，為當(dāng)?shù)氐慕?jīng)濟(jì)發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。這表明基于緩坡方程的數(shù)學(xué)模型在港口工程中能夠?yàn)檫x址、碼頭設(shè)計(jì)等提供關(guān)鍵的波浪參數(shù)依據(jù)，對(duì)保障港口工程的安全和順利運(yùn)營(yíng)具有重要意義。5.2.3海上風(fēng)電場(chǎng)建設(shè)中的應(yīng)用某海上風(fēng)電場(chǎng)位于一個(gè)開(kāi)闊的近岸海域，該區(qū)域的風(fēng)能資源豐富，但波浪條件較為復(fù)雜。在海上風(fēng)電場(chǎng)的建設(shè)過(guò)程中，準(zhǔn)確掌握波浪條件對(duì)于確定最佳建設(shè)位置和風(fēng)機(jī)選型至關(guān)重要，以降低建設(shè)和運(yùn)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)。利用基于緩坡方程的近岸水域波浪傳播數(shù)學(xué)模型，對(duì)該海域的波浪傳播進(jìn)行了詳細(xì)模擬。模型