2023~2024學(xué)年全國甲卷貴州鎮(zhèn)遠(yuǎn)高考數(shù)學(xué)文試題5月帶解析

2023-2024學(xué)年全國甲卷貴州省鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣高考數(shù)學(xué)（文）模擬試題（5月）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法和元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系即可求解.【詳解】,，故選:C2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C.2 D.16【正確答案】C【分析】利用虛數(shù)單位的性質(zhì)可求，故可求其虛部.【詳解】因?yàn)?，故，故的虛部?，故選：C.3.已知等比數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】設(shè)公比為，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.4.已知點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則（）A.1 B.2 C.4 D.5【正確答案】C【分析】先證明四邊形是平行四邊形，再利用橢圓的定義求出即得解.【詳解】因?yàn)?所以四邊形是平行四邊形.所以.由橢圓的定義得.所以.故選：C5.已知火箭推進(jìn)系統(tǒng)的燃料攜帶量與速度的關(guān)系為，其中為速度改變量，為噴氣速度，為火箭本體質(zhì)量，為燃料質(zhì)量，若某一火箭發(fā)射時(shí)攜帶的燃料質(zhì)量，記攜帶燃料剩余質(zhì)量為，時(shí)的值分別為，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)的公式結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)可計(jì)算得到.【詳解】因?yàn)?，故，?dāng)攜帶燃料剩余質(zhì)量為時(shí)，故此時(shí)；同理當(dāng)攜帶燃料剩余質(zhì)量為時(shí)，；故，故選：D.6.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)中可能為的解析式的是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合選項(xiàng)中的函數(shù)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得對(duì)于A中，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，其函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，符合題意；對(duì)于B中，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；對(duì)于C中，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；對(duì)于D中，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，不符合題意.故選：A.7.若，則（）A. B. C.或 D.或3【正確答案】A【分析】化簡(jiǎn)方程，通過角度正弦值和余弦值的關(guān)系，即可求出的值.【詳解】由題意，即∵，∴，解得：（舍）或，故選：A.8.國內(nèi)現(xiàn)存兩件國寶級(jí)文物——戰(zhàn)國宴樂水陸攻戰(zhàn)紋銅壺，分別藏于故宮博物院與四川博物館.銅壸上的圖像采用“嵌錯(cuò)”制作工藝，銅壺身上的三圈紋飾，將壺身分為四層.假設(shè)第一層與第二層分別看作圓柱與圓臺(tái)，且圓柱與圓臺(tái)的高之比為，其正視圖如圖2所示，根據(jù)正視圖，可得圓柱與圓臺(tái)這兩個(gè)幾何體的體積之比為（）（注：）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用圓柱和圓臺(tái)體積公式直接求解即可.【詳解】由題意知：圓柱的底面直徑為，設(shè)高為；圓臺(tái)的上下底面直徑分別為和，圓柱與圓臺(tái)的高之比為，則高為，圓柱的體積；圓臺(tái)的體積，圓柱與圓臺(tái)這兩個(gè)幾何體的體積之比為.故選：B.9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè),求出公差和,利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.【詳解】設(shè).所以等差數(shù)列的公差.所以，其中.所以的最小值為，最大值為.所以的取值范圍是.故選：C10.已知，若數(shù)據(jù)1，2，3，，的中位數(shù)與平均數(shù)均為，則點(diǎn)（）A.在直線右下方，在直線右下方B.在直線左上方，在直線左上方C.在直線右下方，在直線左上方D.在直線左上方，在直線右下方【正確答案】A【分析】由題得數(shù)據(jù)2，3，從小到大的順序排列為，在的左邊，求出和，再利用線性規(guī)劃求解.【詳解】由題得數(shù)據(jù)2，3，從小到大的順序排列為，在的左邊，因?yàn)?，所以點(diǎn)在直線右下方.由題得.因?yàn)?，所以，所?所以,所以點(diǎn)在直線右下方.故選：A11.函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】由，令，求得或，即可求解.【詳解】由令，即，解得或，因?yàn)椋獾没?，所以函?shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：B.12.若過點(diǎn)可作兩條直線與的圖象相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)切點(diǎn)為，寫出切線方程代點(diǎn)得，再轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題求解.【詳解】由題得，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，代點(diǎn)得，所以.當(dāng)時(shí)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，，設(shè).當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以.又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)即時(shí)，有兩解，即過點(diǎn)可作兩條直線與的圖象相切.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在中，若點(diǎn)滿足，設(shè)，則______.【正確答案】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可用表示，求出的值后可求的值.【詳解】因?yàn)?，故，整理得到：，故，而，故為線段靠近三等分點(diǎn)，故不共線，故即故答案為.14.在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為______.【正確答案】##0.2【分析】如圖，取的中點(diǎn)為，連接，可證或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，利用余弦定理可求線線角的余弦值.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)為，連接，則由方體可得，故四邊形為平行四邊形，故而，故四邊形為平行四邊形，故，又，故四邊形為平行四邊形，故，故，故四邊形為平行四邊形，故，故或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，故.故異面直線與所成角的余弦值為.故答案為.15.如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之比為，從圖中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率為______.【正確答案】【分析】根據(jù)面積型幾何概型即可求解.【詳解】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為2，小正方形的邊長(zhǎng)為1，則大正方形的面積為，小正方形的面積為，總面積為,，，所以陰影部分的面積，故從圖中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分概率為，故答案為.16.已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為______.【正確答案】##【分析】先求漸近線方程，再根據(jù)弦長(zhǎng)可求的關(guān)系，故可求雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線的方程為.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故該圓的圓心為，半徑為2，而圓心到漸近線的距離為，故漸近線被該圓截得的弦長(zhǎng)為，整理得到：或，而，故，故離心率為.故答案為.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.隨著農(nóng)村電子商務(wù)體系和快遞物流配送體系加快貫通，以及內(nèi)容電商、直播電商等模式不斷創(chuàng)新落地，農(nóng)村電商呈現(xiàn)高速發(fā)展的態(tài)勢(shì)，下表為2017-2022年中國農(nóng)村網(wǎng)絡(luò)零售額規(guī)模（單位：千億元），其中2017-2022年對(duì)應(yīng)的代碼分別為1～6.年份代碼123456農(nóng)村網(wǎng)絡(luò)零售額12.513.717.118.020.523.02（1）根據(jù)2017-2021年數(shù)據(jù)求農(nóng)村網(wǎng)絡(luò)零售額規(guī)模關(guān)于年度代碼的線性回歸方程（，的值精確到0.01）；（2）若由回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過1千億，則認(rèn)為得到的回歸方程是“理想的”，試判斷（1）中所得回歸方程是否是“理想的”.參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，.【正確答案】（1）（2）回歸方程是“理想的”.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的公式可求線性回歸方程.（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可計(jì)算估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差，從而可判斷回歸方程是否是“理想”.【小問1詳解】，，故，故，故.【小問2詳解】當(dāng)，由可得對(duì)應(yīng)的估計(jì)數(shù)據(jù)為，此時(shí)，故回歸方程是“理想的”.18.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.（1）求；（2）若，，求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式，誘導(dǎo)公式即可求解；（2）根據(jù)余弦定理，面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，根?jù)正弦定理，，所以，因?yàn)樵谌切沃?，則，所以，所以，則，即，所以，又因?yàn)樵谌切沃校瑒t，所以，又因?yàn)橛幸饬x，則，所以，即.【小問2詳解】，，，由余弦定理得，所以，則，即，又，則，所以的面積為.19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面，.（1）證明：；（2）若為線段上靠近的三等分點(diǎn)，且平面，平面平面，平面，求的值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面，故可得.（2）設(shè)直線與平面交于點(diǎn)，連接，連接，設(shè)，則由面面平行的性質(zhì)結(jié)合線線平行可得，再由題設(shè)中面面垂直可得平面，利用解直角三角形可求，故可求的值.【小問1詳解】取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉檎切?，故，而為菱形，，故為等比三角形，故，而，平面，故平面，而平面，?【小問2詳解】設(shè)直線與平面交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，故，同?由菱形可得，故，故，又，故，故.連接，設(shè)，則.由（1）可得，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故，故.在中，，故，故，故，故20.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若對(duì)，恒有，求的取值范圍.【正確答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)，分與討論的單調(diào)性；（2）分與討論，求出的最小值，求解即可.【小問1詳解】的定義域?yàn)?，當(dāng)時(shí)，,函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令,得；令，得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由（1）可得，當(dāng),即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以.

因?yàn)閷?duì)，恒有，所以,化簡(jiǎn)可得,解得或，故.當(dāng),即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,所以,對(duì)，恒有，所以，即，因?yàn)?，所?不滿足.綜上所述，的取值范圍是.21.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)在上，且是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，其周長(zhǎng)為10.（1）求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線與交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)與A，不共線，判斷是否存在實(shí)數(shù)，使得直線，與直線交于點(diǎn)，，且以線段為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【正確答案】（1）（2）存在，.【分析】（1）根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何關(guān)系即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)后，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系和幾何關(guān)系即可求解.【小問1詳解】焦點(diǎn)為，三角形EMF為等腰三角形，所以E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，而點(diǎn)E在拋物線上，所以E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以

解得或-5(舍去),所以.【小問2詳解】設(shè)

則以為直徑的圓的圓心為，

若該圓經(jīng)過原點(diǎn),則原點(diǎn)到的距離為長(zhǎng)度的一半,即,整理得，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)，點(diǎn)B坐標(biāo)，直線直線方程為，聯(lián)立，所以，所以，，所以直線，又因?yàn)椋裕畹?，即，同理可得由，所以，整理得，，又，，所以整理得，即，上式要?duì)任意恒成立，則需要，所以.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，且.（1）求的普通方程及的直角坐標(biāo)方程；（2）若把直線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象恰好與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值.【正確答案】（1）曲線C的普通方程為；直線l的直角坐標(biāo)方程為（2）【分析】（1）曲線C的參數(shù)方程消參可得普通方程，直線l運(yùn)用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式即可化為直角坐標(biāo)方程；（2）求出平移后的直線方程，與曲線方程聯(lián)立方程組，由方程組有1解，求實(shí)數(shù)a的值．【小問1詳解】由得，所以曲線C的普通方程為.由、得，由，得直線l的直