2023~2024學(xué)年湖北中學(xué)高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題帶解析

2023-2024學(xué)年湖北省中學(xué)高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B．1 C．-1 D．【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念求出虛部.【詳解】，故，的虛部為1.故選：B2．若命題，，則為（

）A．， B．，C．， D．，【正確答案】C根據(jù)含一個量詞的命題的否定方法：修改量詞，否定結(jié)論，直接得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：C．3．在的展開式中，含的項的系數(shù)是（

）A．60 B．160 C．180 D．240【正確答案】D【分析】利用展開式的通項公式計算可得答案.【詳解】展開式的通項為，令，則，則含的項的系數(shù)為.故選：D.4．已知函數(shù)，則的值為A． B． C． D．【正確答案】C【詳解】,所以=,選C.點(diǎn)睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.5．設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3【正確答案】A【分析】設(shè)表示該汽車是貨車，表示該汽車是客車，即得，，設(shè)表示貨車中途停車修理，表示客車中途停車修理，則，，利用條件概率計算公式能求出今有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率．【詳解】設(shè)表示該汽車是貨車，表示該汽車是客車，則，，設(shè)表示貨車中途停車修理，表示客車中途停車修理，則，，表示一輛汽車中途停車修理，則，今有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率為：．故選：A6．已知數(shù)據(jù)是某市100個普通職工2018年8月份的收入(均不超過0.8萬元)，設(shè)這100個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x，平均數(shù)為y，方差為z，如果再加上某人2018年8月份的收入x101(約100萬元)，則相對于x，y，z，這101個數(shù)據(jù)()A．平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變B．平均數(shù)變大，中位數(shù)可能不變，方差也不變C．平均數(shù)變大，中位數(shù)一定變大，方差可能不變D．平均數(shù)變大，中位數(shù)可能不變，方差變大【正確答案】D【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)以及方差的含義分析數(shù)據(jù)變化趨勢即可判斷.【詳解】不妨設(shè)該組數(shù)據(jù)從小到大依次為，即，則，，，設(shè)加上2018年8月份的收入x101(約100萬元)后的中位數(shù)為，所以，而，所以，當(dāng)時，中位數(shù)不變；設(shè)加上2018年8月份的收入x101(約100萬元)后的平均數(shù)為，則，所以，所以平均數(shù)變大；設(shè)加上2018年8月份的收入x101(約100萬元)后的方差為，則，數(shù)據(jù)的集中程度受到比較大的影響，變得更加離散，所以方差變大．故選：D.7．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，過分別作的垂線與軸交于兩點(diǎn)，若，則A．4 B．3 C． D．【正確答案】A【詳解】如圖，由點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線的距離為，又依據(jù)圓的半徑、半弦長及圓心距之間的關(guān)系可得，即，也即，解之得，故直線的斜率為，即該直線的傾斜角為，依據(jù)題設(shè)及圖形可得，應(yīng)選答案A．點(diǎn)睛：解答本題的思路是先依據(jù)題設(shè)條件建立方程求出直線中的參數(shù)，再確定直線的斜率為，即該直線的傾斜角為，進(jìn)而借助幾何圖形中的解直角三角形，求出該直線在y軸上交點(diǎn)的之間的長度．8．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】先證明出為周期為8的周期函數(shù)，把轉(zhuǎn)化為.記，利用導(dǎo)數(shù)判斷出在R上單調(diào)遞減，把原不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，所以，.所以，，所以.令，則.令上式中t取t-4，則，所以.令t取t+4，則，所以.所以為周期為8的周期函數(shù).因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，令，得：，所以，所以，即為，所以.記，所以.因?yàn)?，所以，所以在R上單調(diào)遞減.不等式可化為，即為.所以.故選：C解不等式的常見類型：(1)一元二次不等式用因式分解法或圖像法；(2)指對數(shù)型不等式化為同底的結(jié)構(gòu)，利用單調(diào)性解不等式；(3)解抽象函數(shù)型不等式利用函數(shù)的單調(diào)性.二、多選題9．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A．是偶函數(shù) B．圖象關(guān)于點(diǎn)，對稱C． D．【正確答案】ABC結(jié)合輔助角公式和正弦型函數(shù)的對稱軸可得，從而解得的值，得的解析式，根據(jù)誘導(dǎo)公式對進(jìn)行化簡，可判斷選項；由，判斷選項；利用誘導(dǎo)公式對進(jìn)行變形可判斷選項和．【詳解】的圖象關(guān)于直線對稱，且，解得，，為偶函數(shù)，即選項正確；，選項正確；，即選項正確；對于選項，，即選項錯誤．故選：．10．已知數(shù)列的前項和為，且，（，為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（

）A．一定是等比數(shù)列 B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．【正確答案】ABC【分析】對于A，利用數(shù)列的遞推關(guān)系得和當(dāng)時，，再利用，結(jié)合等比數(shù)列的概念對A進(jìn)行判斷；對于B，利用A的結(jié)論，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式得，當(dāng)時，利用等比數(shù)列的求和，計算出；對于C，當(dāng)時，利用指數(shù)冪的運(yùn)算，對C進(jìn)行判斷；對于D，利用，計算得，對D進(jìn)行判斷.【詳解】對于A，在數(shù)列中，因?yàn)椋瑸榉橇愠?shù)，所以當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，由得，即，又因?yàn)椋詳?shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故A正確；對于B，由得，因此當(dāng)時，，所以，故B正確；對于C，由得，因此當(dāng)時，，所以，故C正確；對于D，由得，因此，，所以，故D錯誤．故選：ABC．11．在中，設(shè)，，，則下列命題正確的是（

）A．若，則為鈍角三角形B．C．若，則D．若，則【正確答案】BCD【分析】對于A直接化簡表達(dá)式即可，知三角形一個角為銳角，所以無法判斷三角形形狀；對于B通過逆推法化簡不等式，得出一個恒成立的式子，可知原不等式一定成立；對于C運(yùn)用余弦定理角化邊即可得出不等式；對于D先化簡所給條件，再通過三角形中線向量公式與其聯(lián)系起來，在兩個三角形中分別運(yùn)用余弦定理即可.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，所以，所?為銳角，無法判斷是鈍角三角形，故A錯誤；對于B，若，則，即，在中，由余弦定理得，代入上式化簡得顯然成立，以上過程均可逆，故成立，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，即，在中，由余弦定理得，代入化簡得，故，故C正確；對于D，如下圖所示，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，根據(jù)三角形中線向量公式得，因?yàn)椋?即,所以.在中，由余弦定理得；在中，由余弦定理得,化簡得，故，故D正確.故選:BCD12．如圖，在棱長為2的正四面體中，、分別為、上的動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的最小值為；B．的最小值為；C．若四棱錐的體積為，則的取值范圍是D．若，則【正確答案】BC【分析】A將平面PAC和平面BAC沿AC邊展開為平面四邊形PABC即可求解；B設(shè)，又有△△易得DF⊥PC，根據(jù)勾股定理即可求解；C由得，又得又得，再利用余弦定理及均值不等式即可求的取值范圍；D由即可求解.【詳解】A：如下展開圖，為的中點(diǎn)，易知，則，又D,E不能是端點(diǎn)，故，沒有最小值，錯誤；B：設(shè)，又有△△，所以，連接DF，則有DF⊥PC，故，正確；C：設(shè)等邊△ABC的中心為O，連接PO，易知PO⊥平面ABC，則，為的中點(diǎn)，所以得：，所以，又，則有，又，可得，所以，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)可得，正確；D：設(shè)，，解得或1，即或1，錯誤；故選：BC.三、填空題13．若，則__.【正確答案】【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式先化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求解即可.【詳解】解：若，則，故答案為.【點(diǎn)評】本題考查二倍角的正弦公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.14．已知函數(shù).若，則_______.【正確答案】【分析】找到和的關(guān)系，由此得出的值.【詳解】，，故15．已知橢圓，左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)以線段為直徑的圓和此橢圓在第一象限和第三象限內(nèi)的公共點(diǎn)分別為，，四邊形的面積為，周長為，若，則該橢圓的離心率______．【正確答案】【分析】由橢圓的定義知，由圓的性質(zhì)以及橢圓的對稱性知四邊形為矩形，則有求，再由求面積，結(jié)合及橢圓參數(shù)關(guān)系即可求離心率.【詳解】由題意知：，且，由對稱性知：四邊形為矩形，∴設(shè)，即，得，∴解得：或（舍），∴，有，又，即，則.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用圓的性質(zhì)，橢圓的對稱性及定義求出焦點(diǎn)相關(guān)的四邊形的周長和面積，根據(jù)它們的比例關(guān)系以及橢圓參數(shù)關(guān)系，列齊次方程求離心率.四、雙空題16．如圖，點(diǎn)P是半徑為2的圓O上一點(diǎn)，現(xiàn)將如圖放置的邊長為2的正方形（頂點(diǎn)A與P重合）沿圓周逆時針滾動.若從點(diǎn)A離開圓周的這一刻開始，正方形滾動至使點(diǎn)A再次回到圓周上為止，稱為正方形滾動了一輪，則當(dāng)點(diǎn)A第一次回到點(diǎn)P的位置時，正方形滾動了________輪，此時點(diǎn)A走過的路徑的長度為___________.【正確答案】3【分析】將問題化為4和6的最小公倍數(shù)問題求A第一次回到點(diǎn)P的位置正方形滾動的輪數(shù)，再求滾動1輪點(diǎn)A走過的路徑長度，即可求此時A走過的路徑的長度.【詳解】正方形滾動一輪，圓周上依次出現(xiàn)的正方形頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)兩次回到點(diǎn)P時，正方形頂點(diǎn)將圓周正好分成六等分，由4和6的最小公倍數(shù)：，所以到點(diǎn)A首次與P重合時，正方形滾動了3輪.這一輪中，點(diǎn)A路徑是圓心角為，半徑分別為2，，2的三段弧，故路徑長，∴點(diǎn)A與P重合時總路徑長為.故3，.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將A第一次回到點(diǎn)P的位置所滾的輪數(shù)轉(zhuǎn)化為求4和6的最小公倍數(shù)，注意滾動一輪A的圓周運(yùn)動特點(diǎn)求路徑長.五、解答題17．已知正項數(shù)列的首項，前n項和滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為，若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【正確答案】(1)；(2)或.【分析】（1）化簡數(shù)列的遞推公式，得，進(jìn)而可求解數(shù)列的通項公式；（2）利用裂項法，求解，列出不等式，即求.【詳解】（1）當(dāng)時，，∴，即，又，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故，又由（），當(dāng)時，也適合，所以.（2）∵，∴，又∵對任意的，不等式恒成立，，∴，解得或.即所求實(shí)數(shù)的范圍是或.18．已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，，平分交于點(diǎn)，且，.（1）求；（2）求的面積.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）本題首先可以根據(jù)正弦定理邊角互化得出，然后根據(jù)、、是的內(nèi)角得出，最后通過計算即可得出結(jié)果；（2）本題首先可以繪出的圖像并設(shè)、，然后根據(jù)正弦定理得出，再然后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系計算出以及，最后根據(jù)余弦定理求出、，利用即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，，故，解得，?）如圖，繪出，因?yàn)槠椒?，所以，因?yàn)椋钥稍O(shè)，，故在中，有，即；在中，有，即，兩式聯(lián)立，可得，因?yàn)?，所以，即，化簡得，?lián)立，解得，將代入中，可得，故，，在中，，化簡得，解得或（舍去）；在中，，化簡得，解得或（舍去），故.本題考查通過正弦定理以及余弦定理解三角形，考查三角形面積的計算，考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式的使用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查推理能力與計算能力，是難題.19．如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，，，，平面平面，為棱上一點(diǎn)．（1）在平面內(nèi)能否作一條直線與平面垂直？若能，請畫出直線并加以證明；若不能，請說明理由；（2）若時，求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）過作，交棱于，由平面可知平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】（1）過作，交棱于，為所求作的直線，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以平面，又因?yàn)?，所以平面．（如證明平面、或?qū)ふ疑先我庖稽c(diǎn)作平行線、垂線都可）（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則可得，，，，則，．設(shè)平面的法向量為，易得，不妨?。?yàn)?，所以，所以設(shè)與平面所成角為，則．所以與平面所成角的正弦值為．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求線面角，二面角時，根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量，求解線面角，二面角是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.20．2019年10月，工信部頒發(fā)了國內(nèi)首個無線電通信設(shè)備進(jìn)網(wǎng)許可證，標(biāo)志著基站設(shè)備將正式接入公用電信商用網(wǎng)絡(luò).某手機(jī)生產(chǎn)商擬升級設(shè)備生產(chǎn)手機(jī)，有兩種方案可供選擇，方案1：直接引進(jìn)手機(jī)生產(chǎn)設(shè)備；方案2：對已有的手機(jī)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行技術(shù)改造，升級到手機(jī)生產(chǎn)設(shè)備.該生產(chǎn)商對未來手機(jī)銷售市場行情及回報率進(jìn)行大數(shù)據(jù)模擬，得到如下統(tǒng)計表：市場銷售狀態(tài)暢銷平銷滯銷市場銷售狀態(tài)概率預(yù)期年利潤數(shù)值（單位：億元）方案17040-40方案26030-10（1）以預(yù)期年利潤的期望值為依據(jù)，求的取值范圍，討論該生產(chǎn)商應(yīng)該選擇哪種方案進(jìn)行設(shè)備升級？（2）設(shè)該生產(chǎn)商升級設(shè)備后生產(chǎn)的手機(jī)年產(chǎn)量為萬部，通過大數(shù)據(jù)模擬核算，選擇方案1所生產(chǎn)的手機(jī)年度總成本（億元），選擇方案2所生產(chǎn)的手機(jī)年度總成為（億元）.已知，當(dāng)所生產(chǎn)的手機(jī)市場行情為暢銷、平銷和滯銷時，每部手機(jī)銷售單價分別為0.8萬元，（萬元），（萬元），根據(jù)（1）的決策，求該生產(chǎn)商所生產(chǎn)的手機(jī)年利潤期望的最大值？并判斷這個年利潤期望的最大值能否達(dá)到預(yù)期年利潤數(shù)值.【正確答案】（1）；選擇方案見解析（2）最大值40億元；這個年利潤期望的最大值可以達(dá)到預(yù)期年利潤數(shù)值【分析】（1）根據(jù)概率的性質(zhì)可得的取值范圍，根據(jù)期望公式求出兩種方案下的期望，再通過對進(jìn)行討論可得答案；（2）根據(jù)可知選擇方案1，利用期望公式求出手機(jī)生產(chǎn)商年銷售額的期望，接著求出年利潤期望值的最大值，再與方案1的預(yù)期平均年利潤期望值進(jìn)行比較可得答案.【詳解】（1）由，可得的取值范圍為.方案1的預(yù)期平均年利潤期望值為億元.方案2的預(yù)期平均年利潤期望值為億元.當(dāng)時，，該手機(jī)生產(chǎn)商應(yīng)該選擇方案1；當(dāng)時，，該手機(jī)生產(chǎn)商可以選擇方案1，也可以以選擇方案2；當(dāng)時，，該手機(jī)生產(chǎn)商應(yīng)該選擇方案2；（2）因?yàn)?，該手機(jī)生產(chǎn)商將選擇方案1，此時生產(chǎn)的手機(jī)的年度總成本為（億元）.設(shè)市場行情為暢銷、平銷和滯銷時的年銷售額分別為，，（億元），那么，，.因?yàn)?，所以手機(jī)生產(chǎn)商年銷售額的分布列為0.40.40.2所以.年利潤期望值（億元）.當(dāng)時，年利潤期望取得最大值40億元.方案1的預(yù)期平均年利潤期望值為（億元）.因?yàn)?，因此這個年利潤期望的最大值可以達(dá)到預(yù)期年利潤數(shù)值.本題考查了概率的性質(zhì)，考查了離散型隨機(jī)變量的期望公式，屬于中檔題.21．已知橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，離心率．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)、為橢圓上位于第一象限的兩個動點(diǎn)，滿足，為的中點(diǎn)，線段的垂直平分線分別交軸、軸于、兩點(diǎn)．（ⅰ）求證：為的中點(diǎn)；（ⅱ）若（為三角形的面積），求直線的方程．【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（?。┳C明見解析；（ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由已知得，再由的值，求，即可求出橢圓的