2023~2024學(xué)年河南區(qū)域聯(lián)考高考數(shù)學(xué)理仿真試題一模帶解析

2023-2024學(xué)年河南省區(qū)域聯(lián)考高考數(shù)學(xué)（理）仿真模擬試題（一模）一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】解不等式求集合A，再根據(jù)并集計算即可.【詳解】解不等式，即，而，所以.故A2．若向量，，，且，則（

）A． B． C． D．1【正確答案】A【分析】利用向量的坐標運算與平行充要條件列出關(guān)于m的方程，解之即可求得m的值.【詳解】，因為，所以，解得.故選：A.3．若兩個復(fù)數(shù)的實部相等或虛部相等，則稱這兩個復(fù)數(shù)為同部復(fù)數(shù).已知，則下列數(shù)是z的同部復(fù)數(shù)的是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】將展開，得到復(fù)數(shù)的實部與虛部，再逐一與選項進行比較，即可得到正確選項.【詳解】由于，其實部和虛部均為，而與的虛部相等，其余選項均不符合題意，所以是的同部復(fù)數(shù).故選：B4．關(guān)于，對于甲、乙、丙、丁四人有不同的判斷，甲:是第三象限角，乙.丙:，?。翰恍∮?，若這人只有一人判斷錯誤，則此人是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【正確答案】D【分析】根據(jù)題意得到乙和丁的判斷只有一個正確，分丁的判斷正確和乙的判斷正確，結(jié)合三角函數(shù)的符號和正切的倍角公式，即可求解.【詳解】由，所以乙和丁的判斷只有一個正確，且，若丁的判斷正確，即，則，此時丙的判斷錯誤，不符合題意；若乙的判斷正確，即，此時滿足，且，此時甲、丙都正確，符合題意.故選：D.5．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是長為1，寬為的矩形，俯視圖為扇形，若球O的體積與該幾何體的體積相等，則球O的半徑為（

）

A． B． C．1 D．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，由三視圖可知該幾何體是四分之一個圓柱，然后結(jié)合體積計算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是四分之一個圓柱（高為，底面半徑為1），其體積，設(shè)球O的半徑為r，則，解得.故選：A6．甲、乙兩人進行乒乓球比賽，采用七局四勝制，先贏四局者獲勝，沒有平局、甲每局贏的概率為，已知前兩局甲輸了，則甲最后獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】利用獨立事件同時發(fā)生的概率公式，即可求得甲最后獲勝的頻率.【詳解】因為前兩局甲都輸了，所以甲需要連勝四局或第三局到第六局輸1局且第七局勝，甲才能最后獲勝，所以甲最后獲勝的概率為.故選：C7．某廣場的一個橢球水景雕塑如圖所示，其橫截面為圓，過橫截面圓心的縱截面為橢圓，，分別為該橢圓的兩個焦點，為該橢圓過點的一條弦，且的周長為.若該橢球橫截面的最大直徑為2米，則該橢球的高為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，畫出橢圓，根據(jù)橢圓的相關(guān)性質(zhì)可得.【詳解】根據(jù)題意，畫出該橢球的過橫截面圓心的縱截面如下，

根據(jù)橢圓的定義的周長為，即①由該橢球橫截面的最大直徑為2米，可知米，得又因為，所以②②聯(lián)立可得，，所以該橢球的高為米.故選：B8．已知為奇函數(shù)，當時，，當時，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】利用題給條件求得在上單調(diào)性，利用為奇函數(shù)求得的大小關(guān)系，再利用冪函數(shù)性質(zhì)比較的大小關(guān)系，進而得到三者間的大小關(guān)系.【詳解】因為當時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，，則所以.故選：A9．若不等式組，表示的可行域與圓有公共點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，做出可行域，然后結(jié)合圖像找到臨界情況，即可得到的取值范圍【詳解】作出不等式組表示的可行域，如圖所示，當直線與圓相切時，，則，則的最小值為；當圓經(jīng)過點時，，則的最大值為17．故的取值范圍是．故選：D.10．在空間直角坐標系中，已知，則當點到平面的距離最小時，直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，求得平面的一個法向量，結(jié)合向量的距離公式，求得點到平面的距離，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，利用夾角公式，即可求解.【詳解】因為，可得，設(shè)是平面的法向量，則，令，可得，所以，所以點到平面的距離，當時，取得最小值，此時，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：C.11．設(shè)P為拋物線C：上的動點，關(guān)于P的對稱點為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意得到，再利用拋物線的定義結(jié)合三角不等式求解.【詳解】解：如圖，

因為，且關(guān)于P的對稱點為B，所以|PA|=|PB|，拋物線焦點，所以.當P在線段AF上時，取得最小值，且最小值為.故選：A12．已知函數(shù)的所有極值點為，且函數(shù)在內(nèi)恰有2023個零點，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)對（

）A．只有2對 B．只有3對C．只有4對 D．有無數(shù)對【正確答案】B【分析】根據(jù)題意求得函數(shù)，把函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程實根的個數(shù)，結(jié)合方程在內(nèi)實根的個數(shù)，分類討論，即可求解.【詳解】由函數(shù)，因為函數(shù)圖象的對稱軸方程為，當時，可得，當時，可得，即兩個相鄰的極值點間的距離為，即，則，可得，因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，解得，則，所以函數(shù)的零點個數(shù)等價于方程實根的個數(shù)，先研究方程在內(nèi)實根的個數(shù)，當時，方程在內(nèi)實根的個數(shù)為1；當時，方程在內(nèi)實根的個數(shù)為2；當時，方程在內(nèi)實根的個數(shù)為3，其中在內(nèi)實根的個數(shù)為2，因為是周期為的函數(shù)，所以當時，在，內(nèi)方程實根的個數(shù)均為2，因為在內(nèi)恰有2023個零點，且2023為奇數(shù)，所以，不合題意.當時，；當時，，故滿足條件的有序?qū)崝?shù)對只有3對.故選：B.二、填空題13．某工廠要對生產(chǎn)流水線上的600個零件（編號為001，002，…，599，600）進行抽檢，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽檢50個零件，且編號為015的零件被抽檢，則編號在內(nèi)的零件將被抽檢的個數(shù)為______．【正確答案】4【分析】利用系統(tǒng)抽樣的抽樣方法得到不等式組，再求出編號在內(nèi)的零件將被抽檢的個數(shù).【詳解】因為，所以被抽檢的零件的最小編號為003．由，得，則，22，23，24，故編號在內(nèi)的零件將被抽檢的個數(shù)為4．故414．若，，則____________.【正確答案】1【分析】根據(jù)題意，由對數(shù)的運算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，，所以，，則，所以.故15．中國古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》記錄了一個計算山高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何?假設(shè)古代有類似的一個問題，如圖2，要測量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點共線且在同一水平面上，從點B退行100步到點F，此時A，C，F(xiàn)三點共線，從點D退行120步到點G，此時A，E，G三點也共線，則山峰的高度AH=_________步.（古制單位:180丈=300步）

【正確答案】3280【分析】易得在RtAHF中，在RtAHG中，得到，求解.【詳解】解：由題可知步，步，步.步.在RtAHF中，在RtAHG中.所以，，則.所以步.故328016．若存在實數(shù)a，b，使得關(guān)于x的不等式對恒成立，則b的最大值是______.【正確答案】【分析】令，可得，當時，分和討論.當時，將原命題分解成兩個恒成立問題，對于恒成立問題，可參變分離構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，對于，可參變分離，利用基本不等式求最值，然后即可解.【詳解】令，得.當且時，原命題等價于恒成立，由恒成立可知，又當時，，所以不存在a，使得該不等式恒成立.當，且時，由，得.設(shè)，令，解得當，，此時在上單調(diào)遞增，當，此時在上單調(diào)遞減，，得.等價于，而，當且僅當，即時等號成立，所以，則，解得，所以b的最大值是.故答案為.方法點睛：不等式恒成立問題，常用參變分離法，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，借助導(dǎo)數(shù)求解.本題也可結(jié)合圖象，將問題轉(zhuǎn)化為求公切線在y軸上的截距問題，利用導(dǎo)數(shù)求切線即可求解.三、解答題17．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為CD1的中點，且點E既在平面AB1C1內(nèi)，又在平面ACD1內(nèi).

(1)證明:E∈AO.(2)若AA1=4，E為AO的中點，且，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面積.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）要證明，可先找到平面∩平面，再因為點E既在平面AB1C1內(nèi)，又在平面ACD1內(nèi)，則點E在交線上;（2）建立空間直角坐標系，設(shè)，找到所需點的坐標，根據(jù)，可求出值，再由側(cè)面積公式求解.【詳解】（1）證明：連接.在正四棱柱中，∥，則A，，，D四點共面，所以E∈.因為側(cè)面CC1D1D為矩形，且O為的中點.所以，所以O(shè)為平面與平面的一個公共點，所以平面AB1C1D∩平面，即平面∩平面.故.（2）以A為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示.

設(shè)，其中，則（t，0，4），C（t，t，0），（t，t，4），E（，，1），..，所以，解得.所以正四棱柱的側(cè)面積為.18．定義矩陣運算：．已知數(shù)列，滿足，且．(1)證明：，分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列．(2)求數(shù)列的前n項和．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)矩陣運算的定義得出關(guān)于和的等式，根據(jù)消元法得出和在時的通項公式，檢驗和是否滿足時的通項公式，即可證明；（2）寫出數(shù)列的通項公式，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式，分組求和即可．【詳解】（1）證明：因為，所以，消去，得，當時，，則，當時，由及，得，所以，因為，，所以為公差為1的等差數(shù)列，為公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）知，則．19．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求的解析式；(2)若對x∈R恒成立，求m的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圖象得到的圖象與x軸切于原點，故且，求出，得到解析式；（2）轉(zhuǎn)化為對恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，進而得到極值和最值情況，得到答案【詳解】（1）由圖可知的圖象與x軸切于原點，因為，所以，又，所以，所以，的解析式為；（2）由對恒成立，得對恒成立.設(shè)函數(shù)，則，令，得，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，所以，即m的取值范圍是.20．已知雙曲線C：經(jīng)過點，右焦點為，且，，成等差數(shù)列.(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的右支交于P，Q兩點（P在Q的上方），PQ的中點為M，M在直線l：上的射影為N，O為坐標原點，設(shè)的面積為S，直線PN，QN的斜率分別為，，證明：是定值.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意和可得，然后根據(jù)點在雙曲線上即可求解；（2）依題意可設(shè)PQ：，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到，利用韋達定理和已知條件求出的表達式，然后求出的表達式，化簡即可求證.【詳解】（1）因為，，成等差數(shù)列，所以，又，所以.將點的坐標代入C的方程得，解得，所以，所以C的方程為.（2）依題意可設(shè)PQ：，由，得,

設(shè)，，，則.，，則，而，所以，所以是定值.21．為落實食品安全的“兩個責(zé)任”，某市的食品藥品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督管理部門在市人民代表大會召開之際特別邀請相關(guān)代表建言獻策.為保證政策制定的公平合理性，兩個部門將首先征求相關(guān)專家的意見和建議，已知專家?guī)熘泄灿?位成員，兩個部門分別獨立地發(fā)出批建邀請的名單從專家?guī)熘须S機產(chǎn)生，兩個部門均邀請2位專家，收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請后，專家如約參加會議.(1)設(shè)參加會議的專家代表共X名，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(2)為增強政策的普適性及可行性，在征求專家建議后，這兩個部門從網(wǎng)絡(luò)評選出的100位熱心市民中抽取部分市民作為群眾代表開展座談會，以便為政策提供支持和補充意見.已知這兩個部門的邀請相互獨立，邀請的名單從這100名熱心市民中隨機產(chǎn)生，食品藥品監(jiān)督管理部門邀請了名代表，衛(wèi)生監(jiān)督管理部門邀請了名代表，假設(shè)收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請后，群眾代表如約參加座談會，且，請利用最大似然估計法估計參加會議的群眾代表的人數(shù).（備注:最大似然估計即最大概率估計，即當P（X=k）取值最大時，X的估計值為k）【正確答案】(1)分布列見解析，3.2(2)詳見解析.【分析】(1)根據(jù)離散型隨機變量的概率公式計算得分布列及期望；(2)設(shè)收到兩個部門邀請的代表的集合為A∪B，人數(shù)，，設(shè)參加會議的群眾代表的人數(shù)為Y，則由離散型隨機變量的概率公式可得，設(shè)，由組合數(shù)公式計算得，分類討論是否為整數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】（1）X的可能取值為2，3，4，則，，，則X的分布列為X234P0.10.60.3（2）設(shè)食品藥品監(jiān)督管理部門邀請的代表記為集合A，人數(shù)為，衛(wèi)生監(jiān)督管理部門邀請的代表為集合B，人數(shù)為，則收到兩個部門邀請的代表的集合為A∪B.人數(shù)為Card（A∪B）.設(shè)參加會議的群眾代表的人數(shù)為Y，則.若，則，則，，，令，得，解得，以代替k，得，令，得，解得，所以，若為整數(shù)，則當或時，取得最大值，所以估計參加會議的群眾代表的人數(shù)為或，若不是整數(shù)，則當時，取得最大值，所以估計參加會議的群眾代表的人數(shù)為，其中，表示不超過的最大整數(shù).思路點睛：第二問設(shè)