2024-2025年高中數(shù)學第二章隨機變量及其分布課時跟蹤訓練15離散型隨機變量的方差新人教A版選修2-3

PAGEPAGE1課時跟蹤訓練(十五)離散型隨機變量的方差(時間45分鐘)題型對點練(時間20分鐘)題組一求離散型隨機變量的方差1．已知X的分布列為X1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)則D(X)的值為()A.eq\f(29,12)B.eq\f(121,144)C.eq\f(179,144)D.eq\f(17,12)[解析]∵E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(29,12)，∴D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(29,12)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(29,12)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(29,12)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(29,12)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(179,144).[答案]C2．拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面對上得1分，反面對上得－1分，則得分X的均值與方差分別為()A．E(X)＝0，D(X)＝1B．E(X)＝eq\f(1,2)，D(X)＝eq\f(1,2)C．E(X)＝0，D(X)＝eq\f(1,2)D．E(X)＝eq\f(1,2)，D(X)＝1.[解析]由題意知，隨機變量X的分布列為X－11Peq\f(1,2)eq\f(1,2)∴E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,2)＝0，D(X)＝eq\f(1,2)×(－1－0)2＋eq\f(1,2)×(1－0)2＝1.[答案]A3．有10張卡片，其中8張標有數(shù)字2,2張標有數(shù)字5，從中隨機地抽取3張卡片，設3張卡片上的數(shù)字之和為X，求D(X)．[解]由題知X＝6,9,12.P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).∴X的分布列為X6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(X)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝7.8.D(X)＝(6－7.8)2×eq\f(7,15)＋(9－7.8)2×eq\f(7,15)＋(12－7.8)2×eq\f(1,15)＝3.36.題組二離散型隨機變量方差的性質4．已知隨機變量ξ的分布列如下：ξmnPeq\f(1,3)a若E(ξ)＝2，則D(ξ)的最小值等于()A．0B．2C．1D.eq\f(1,2)[解析]由題意得a＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，所以E(ξ)＝eq\f(1,3)m＋eq\f(2,3)n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝eq\f(1,3)×(m－2)2＋eq\f(2,3)(n－2)2＝2(n－2)2，所以當n＝2時，D(ξ)取最小值為0.[答案]A5．已知隨機變量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，則E(Y)，D(Y)分別是()A．6,2.4B．2,2.4C．2,5.6D．6,5.6[解析]若兩個隨機變量Y，X滿意一次關系式Y＝aX＋b(a，b為常數(shù))，當已知E(X)，D(X)時，則有E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．由已知隨機變量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.[答案]B6．若X是離散型隨機變量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，又知E(X)＝eq\f(4,9)，D(X)＝2，則x1＋x2＝________.[解析]由題意可得：E(X)＝eq\f(2,3)x1＋eq\f(1,3)x2，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,9)))2×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,9)))2×eq\f(1,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x1＋\f(1,3)x2＝\f(4,9)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,9)))2×\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,9)))2×\f(1,3)＝2.))解得x1＋x2＝eq\f(17,9).[答案]eq\f(17,9)題組三離散型隨機變量的均值與方差的應用7．某公司10位員工的月工資(單位：元)為x1，x2，…，x10，其均值和方差分別為eq\x\to(x)和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值和方差分別為()A.eq\x\to(x)，s2＋1002 B.eq\x\to(x)＋100，s2＋1002C.eq\x\to(x)，s2 D.eq\x\to(x)＋100，s2[解析]設下月起每位員工的月工資增加100元后的均值和方差分別為eq\x\to(x′)，s′2，則eq\x\to(x′)＝eq\f(x1＋100＋x2＋100＋…＋x10＋100,10)＝eq\x\to(x)＋100.方差s′2＝eq\f(1,10)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1＋100－\x\to(x)－1002＋x2＋100－\x\to(x)－1002＋…＋x10＋100－\x\to(x)－1002))＝s2.故選D.[答案]D8．由以往的統(tǒng)計資料表明，甲、乙兩名運動員在競賽中的得分狀況為：X1(甲得分)012P0.20.50.3X2(乙得分)012P0.30.30.4現(xiàn)有一場競賽，應派哪位運動員參與較好()A．甲 B．乙C．甲、乙均可 D．無法確定[解析]E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分穩(wěn)定，甲運動員參與較好．[答案]A9．依據(jù)以往的閱歷，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表：降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9，求：(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；(2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率．[解](1)由已知條件和概率的加法公式有P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2.P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8.(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.由條件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝eq\f(P300≤X<900,PX≥300)＝eq\f(0.6,0.7)＝eq\f(6,7).故在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率是eq\f(6,7).綜合提升練(時間25分鐘)一、選擇題1．從學校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的事務是相互獨立的，并且概率都是eq\f(2,5)，設ξ為途中遇到紅燈的次數(shù)，則隨機變量ξ的方差為()A.eq\f(6,5)B.eq\f(18,25)C.eq\f(6,25)D.eq\f(18,125)[解析]由題意知ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，故D(ξ)＝3×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))＝eq\f(18,25).[答案]B2．設X～B(n，p)，則有()A．E(2X－1)＝2npB．D(2X＋1)＝4np(1－p)＋1C．E(2X＋1)＝4np＋1D．D(2X－1)＝4np(1－p)[解析]因為X～B(n，p)，所以D(X)＝np(1－p)，于是D(2X－1)＝4D(X)＝4np(1－p)，故選D.[答案]D3．若隨機變量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝eq\f(3,2)，則σ(X3)的值是()A．0.5B.eq\r(1.5)C.eq\r(2.5)D．3.5[解析]∵X1～B(n,0.2)，∴E(X1)＝0.2n＝2，∴n＝10.又X2～B(6，p)，∴D(X2)＝6p(1－p)＝eq\f(3,2)，∴p＝eq\f(1,2).又X3～B(n，p)，∴X3～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2))).∴σ(X3)＝eq\r(DX3)＝eq\r(10×\f(1,2)×\f(1,2))＝eq\r(2.5).[答案]C二、填空題4．已知某隨機變量X的分布列如下，其中x>0，y>0，隨機變量X的方差D(X)＝eq\f(1,2)，則x＋y＝________.X123Pxyx[解析]由題意，得2x＋y＝1.E(X)＝x＋2y＋3x＝4x＋2y＝4x＋2(1－2x)＝2，D(X)＝eq\f(1,2)＝(1－2)2x＋(2－2)2(1－2x)＋(3－2)2x，即2x＝eq\f(1,2)，解得x＝eq\f(1,4).∴y＝1－2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，∴x＋y＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4).[答案]eq\f(3,4)5．一次數(shù)學測驗由25道選擇題構成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確的，每個答案選擇正確得4分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，某學生選對任一題的概率為0.6，則此學生在這一次測驗中成果的均值與方差分別為________．[解析]設該學生在這次數(shù)學測驗中選對答案的題目的個數(shù)為X，所得的分數(shù)(成果)為Y，則Y＝4X.由題意知X～B(25,0.6)，所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96，所以該學生在這次測驗中成果的均值與方差分別是60與96.[答案]60,96三、解答題6．設在12個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進行檢驗，每次抽取一個，并且取出不再放回，若以X和Y分別表示取出次品和正品的個數(shù)．(1)求X的分布列、均值及方差；(2)求Y的分布列、均值及方差．[解](1)X的可能值為0,1,2.若X＝0，表示沒有取出次品，其概率為P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(6,11)，同理，有P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(9,22)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,22).∴X的分布列為X012Peq\f(6,11)eq\f(9,22)eq\f(1,22)∴E(X)＝0×eq\f(6,11)＋1×eq\f(9,22)＋2×eq\f(1,22)＝eq\f(1,2).D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2×eq\f(6,11)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2×eq\f(9,22)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2×eq\f(1,22)＝eq\f(15,44).(2)Y的可能值為1,2,3，明顯X＋Y＝3.P(Y＝1)＝P(X＝2)＝eq\f(1,22)，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝eq\f(9,22)，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝eq\f(6,11).∴Y的分布列為Y123Peq\f(1,22)eq\f(9,22)eq\f(6,11)∴Y＝－X＋3，∴E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝3－eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)，∴D(Y)＝(－1)2D(X)＝eq\f(15,44).7．設袋子中裝有a個紅球、b個黃球、c個藍球，且規(guī)定：取出1個紅球得1分，取出1個黃球得2分，取出1個藍球得3分．(1)當a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每個球取到的機會均等)2個球，記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和，求ξ的分布列．(2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量η為取出此球所得分數(shù)．若E(η)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\f(5,9)，求a∶b∶c.[解](1)