第04講排列組合應(yīng)用（教師版）

第4講排列組合應(yīng)用四年級(jí)春季第4講排列組合應(yīng)用四年級(jí)春季知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)排列組合應(yīng)用（四下）方法精講方法精講一、 熟練區(qū)分排列和組合．二、 熟練掌握排列和組合之間的聯(lián)系．三、 掌握排列中的重復(fù)問(wèn)題．課堂例題課堂例題比賽中的排列組合1、9支球隊(duì)進(jìn)行足球比賽：（1）如果實(shí)行單循環(huán)制，即每?jī)申?duì)之間恰好比賽一場(chǎng)．每場(chǎng)比賽后，勝方得3分，負(fù)方不得分，平局雙方各得1分，那么一共要舉行多少場(chǎng)比賽？9支隊(duì)伍的得分總和最多為多少？（2）如果實(shí)行雙循環(huán)制，即每?jī)申?duì)之間分主、客場(chǎng)．那么一共要舉行多少場(chǎng)比賽？【答案】

6場(chǎng)，108分；72場(chǎng)【解析】

區(qū)分單循環(huán)制和雙循環(huán)制，（1）單循環(huán)是9支球隊(duì)中選取2支隊(duì)伍即可，2支隊(duì)伍不需要排序，是組合問(wèn)題，即場(chǎng)比賽．如果是分出勝負(fù)的則一場(chǎng)比賽會(huì)得3分，如果不分勝負(fù)則一場(chǎng)比賽會(huì)得2分，所以如果要讓得分最多，那么36場(chǎng)都應(yīng)該是分出勝負(fù)的，即分．（2）雙循環(huán)制是9支球隊(duì)中選取2支隊(duì)伍后要排序，分主客場(chǎng)的，是排列問(wèn)題，即場(chǎng)比賽．也可以根據(jù)第一問(wèn)場(chǎng)比賽得到，因?yàn)閱窝h(huán)制的時(shí)候兩支隊(duì)伍比賽一場(chǎng)，而雙循環(huán)是比賽兩場(chǎng)，所以是2倍的關(guān)系．幾何中的排列組合2、如圖所示，從端點(diǎn)O出發(fā)的射線共有7條，圖中一共有_________個(gè)銳角？PP1P7P2P5P6P3P4O【答案】

21【解析】

組合共有．3、圖中兩條直線上各有4個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：以這8個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可以畫(huà)出多少個(gè)三角形？【答案】

62個(gè)【解析】

個(gè)三角形．4、如右圖，在一個(gè)扇形的兩條半徑以及弧線上共有7個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可畫(huà)出________個(gè)三角形．【答案】

34【解析】

任意選取三個(gè)點(diǎn)，共有個(gè)三角形．其中選取底邊上的三個(gè)點(diǎn)，不能構(gòu)成三角形．因此共有個(gè)三角形．一組人分成兩隊(duì)5、（1）6個(gè)人，平均分為甲、乙兩組，每組3人，共有多少種分法？（2）6個(gè)人，平均分為兩組，每組3人，共有多少種分法？【答案】

20，10【解析】

（1）分組的時(shí)候，兩組是有名稱(chēng)區(qū)別的，先給甲組選人，再給乙組選人，共種分法．（2）分組的時(shí)候，兩個(gè)組完全對(duì)等，沒(méi)有區(qū)別，例如先選出1，2，3一組，剩下4，5，6一組和先選出4，5，6一組，剩下1，2，3一組是重復(fù)的，所以共種分法．排列組合的區(qū)別與聯(lián)系6、在新學(xué)期的班會(huì)上，大家要從11名候選人中選出班干部．（1）選出三人組成班委會(huì)，一共有多少種選法？（2）從剩下的候選人中，再選出三人分別擔(dān)任語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)的課代表，一共有多少種選法？【答案】

165種；336種【解析】

（1）從11名候選人中選取3個(gè)人即可，3個(gè)人之間是沒(méi)有區(qū)別的，是組合問(wèn)題，即種選法；（2）從剩下的8個(gè)人中選取3個(gè)人分別擔(dān)任三科的課代表，3個(gè)人之間是有區(qū)別的，所以3個(gè)人需要排序，是排列問(wèn)題，即種選法．7、周末大掃除，老師要從10名男生和10名女生中選出5名留下打掃衛(wèi)生．（1）如果隨意選擇，一共有多少種選擇方法？（2）如果老師決定選出2名男生和3名女生，一共有多少種選擇方法？【答案】

15540種；5400種【解析】

（1）隨意選擇，即從所有人中隨便選出來(lái)5個(gè)人即可，種選擇方法；（2）首先從10名男生中選取2名男生，再?gòu)?0名女生中選取3名女生，這是一個(gè)分步的過(guò)程，所以一共有種選擇方法．8、高思城堡從20個(gè)精靈中挑選出5個(gè)人，讓其中3個(gè)人擔(dān)任守護(hù)精靈，另外2個(gè)人擔(dān)任先鋒精靈．那么一共有多少種不同的結(jié)果？【答案】

155040種【解析】

兩種做法：第一種從20個(gè)人中選出5個(gè)人，再?gòu)?個(gè)人中選擇3個(gè)人做守護(hù)精靈，另外2個(gè)人自然是先鋒精靈，即種不同的結(jié)果；第二種方法從20個(gè)人中選擇3個(gè)人作為守護(hù)精靈，再?gòu)氖Ｏ碌?7個(gè)人中選擇2個(gè)人作為先鋒精靈，即種不同的結(jié)果．9、圍棋興趣小組一共有8名同學(xué)，請(qǐng)問(wèn)：（1）如果從中選3名同學(xué)在第二天的早上、中午、晚上分別做值日，共有多少種選法？（2）如果從中選出3名同學(xué)去參加一次全市比賽，共有多少種選法？【答案】

336；56【解析】

（1）從8名同學(xué)中選3名同學(xué)在早上、中午、晚上做值日，那么選出的這三人改變順序?yàn)椴煌N選法，為排列問(wèn)題，種選法．（2）從8名同學(xué)中選3人參加比賽，改變這三人的順序任為一種選法，為組合問(wèn)題，種選法．10、魔法學(xué)校有10名魔法師競(jìng)選精靈魔法師，競(jìng)選過(guò)程：10進(jìn)5、5進(jìn)3、3進(jìn)1．那么一共有多少種不同的選舉過(guò)程？【答案】

7560種【解析】

從10名魔法師中選取5名，再?gòu)?名中選取3名，再?gòu)?名魔法師中選取1名，是一個(gè)分步的過(guò)程，即種不同的選舉過(guò)程．11、王老師帶著小高、卡莉婭、萱萱一行四人去參加一次聚會(huì)，主持人要求每個(gè)人領(lǐng)取一個(gè)彩球，這些球的顏色各不相同，共有12個(gè)．（1）小高是第一個(gè)取球的人，他一共選出了4個(gè)球，準(zhǔn)備回頭分給大家，那么一共有多少種選法？（2）小高回到座位后，把這4個(gè)球分給大家，一共有多少種分法？（3）最后他們四人手中拿到的球一共有多少種可能？【答案】

495種；24種；11880種【解析】

（1）只需要從12個(gè)不同的球中選出來(lái)4個(gè)，不需要排列，是組合問(wèn)題，即種選法；（2）把4個(gè)球分給大家，這四個(gè)球會(huì)分給不同的人，所以需要排序，是組合問(wèn)題，即種分法；（3）其實(shí)這一問(wèn)就是按照上面的兩個(gè)步驟完成后的方法數(shù)，分步是用乘法原理，即種可能；另外一種做法就是從12個(gè)球中選出來(lái)4個(gè)，排列即排列問(wèn)題，即種可能．圓周排列12、父母和四個(gè)孩子圍圓桌而坐，若父、母要相鄰而坐，有_____________種不同的坐法．【答案】

48【解析】

先看成是5個(gè)元素的圓周排列，再將父母排列，總的方法數(shù)是．13、從6個(gè)學(xué)生中選出4人，圍圓桌而坐，有_____________種不同的坐法．【答案】

90【解析】

先從6個(gè)人中挑選4個(gè)，總的方法數(shù)是，4個(gè)人再進(jìn)行圓周排列總的方法數(shù)是．14、從7個(gè)人中選出5個(gè)人圍著圓桌坐成一圈，有多少種不同的坐法?【答案】

504種【解析】

圓桌問(wèn)題的兩種做法，第一種：7個(gè)人中選出來(lái)5個(gè)人按照一定順序去排列，這是一個(gè)排列問(wèn)題，即；圓桌是可以旋轉(zhuǎn)的，如果這5個(gè)人的順序是ABCDE、BCDEA、CDEAB、DEABC、EABCD這五種排序的方法其實(shí)都是一種坐法，所以一共有種不同的坐法；第二種：先從7個(gè)人中選出5個(gè)人，有種方法，再把選出的5個(gè)人排在圓桌上，有種方法，一共有種方法．

隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1、棋王爭(zhēng)霸賽在8名選手間展開(kāi)：（1）如果實(shí)行單循環(huán)賽制，共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？（2）如果實(shí)行雙循環(huán)賽制，共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【答案】

28場(chǎng)；56場(chǎng)．【解析】

（1）單循環(huán)是8名選手中選取2名選手即可，2名選手不需要排序，是組合問(wèn)題，即場(chǎng)比賽．（2）雙循環(huán)制是8名選手中選取2名選手后要排序，分主客選手，是排列問(wèn)題，即場(chǎng)比賽．也可以根據(jù)第一問(wèn)場(chǎng)比賽得到，因?yàn)閱窝h(huán)制的時(shí)候兩名選手中比賽一場(chǎng)，而雙循環(huán)是比賽兩場(chǎng)，所以是2倍的關(guān)系．2、一次廚藝大賽中，主辦方給定的菜譜中有7道菜，請(qǐng)問(wèn)：（1）如果要求從這7道菜中選做2道菜，共有多少種不同的選法？（2）如果要求從這7道菜中選做1道作為主菜，另外1道作為副菜，共有多少種不同的選法？【答案】

21種；42種【解析】

（1）種選法．（2）種選法．3、先從10名同學(xué)中選出3人作為班委，再在這3人中確定出班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員和生活委員（一人只能擔(dān)任一個(gè)職位），共有多少種不同的可能？【答案】

720種【解析】

兩種方法，第一種：先從10個(gè)人選出3個(gè)人不排序，即，接下來(lái)給這三個(gè)人排序，即，這是一個(gè)分步的過(guò)程，所以共有種不同的可能；第二種：從10個(gè)人中選出3個(gè)人，需要排序，即排列問(wèn)題，種不同的可能．4、老師要從9名男生和7名女生中挑出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有多少種不同的選擇方法？如果4人中要求有3名男生、1名女生呢？【答案】

1820種；588種【解析】

（1）隨意選擇，即從所有人中隨便選出來(lái)4人即可，種選擇方法；（2）首先從9男生中選取3男生，再?gòu)?女生中選取1女生，這是一個(gè)分步的過(guò)程，所以一共有種選擇方法．課后作業(yè)課后作業(yè)1、8名同學(xué)每?jī)扇硕嘉帐忠淮?，一共要握手________次．【答案】

28【解析】

每?jī)蓚€(gè)人之間只需要握手一次，所以是不分順序的，是組合問(wèn)題，共握手次．2、8名同學(xué)每個(gè)人都給其他人打一次電話，共需要打________次電話．【答案】

56【解析】

每?jī)蓚€(gè)人之間都要打兩次電話，是分順序的，是排列問(wèn)題，共要打個(gè)電話．3、午飯時(shí)，小高要從7個(gè)菜中選出1個(gè)作為主菜、另1個(gè)作為副菜，共有________種不同的選法．【答案】

42【解析】

小高從7個(gè)菜中選擇2個(gè)菜分別做主菜和副菜，是分順序的，是排列問(wèn)題，共有種不同的選法．4、晚飯時(shí)，墨莫要從7個(gè)菜中選2個(gè)來(lái)吃，共有________種不同的選法．【答案】

21【解析】

墨莫從7個(gè)菜中選擇2個(gè)菜，是不分順序的，是組合問(wèn)題，共有種不同的選法．5、小高從5件不同的禮物中選出2件送給爸爸、媽媽?zhuān)灿衉_______種不同的送法．【答案】

20【解析】

小高從5件禮物中選擇2個(gè)禮物送給爸爸、媽媽?zhuān)欠猪樞虻?，是排列?wèn)題，共有種不同的送法．6、從8名男生和5名女生中選2名男生、1名女生參加植樹(shù)活動(dòng)，共有________種不同的選擇方法．【答案】

140【解析】

8名男生選2人，有種；5名女生選1人，有種；一共有種．7、從8個(gè)人中選出4人圍坐在一張圓桌旁，共有________種不同的坐法．【答案】

420【解析】

從8個(gè)人中選出4個(gè)人，有種方法．再把選出來(lái)的4個(gè)人排在圓桌上，有種方法，一共有70×6=420種方法．8、如果讓你從10本不同的書(shū)中挑3本，共有多少種不同的挑法？挑出書(shū)之后，要把這3本書(shū)分給爸爸、媽媽和你各一本，共有多少種不同的分法？最后每人手中拿到的書(shū)共有多少種可能？【答案】

120種；6種；720種【解析】

（1）10本挑3本，種；（2）3本分給3個(gè)人，種；（3）最后拿到的書(shū)有種可能．9、小高從5件不同的禮物中選出2件作為節(jié)日禮物，請(qǐng)問(wèn)一共有多少種不同的選法？【答案】

10【解析】

小高從5件禮物中選擇2個(gè)禮物，是不分順序的，是組合問(wèn)題，共有種不同的選法．10、將五把互不相同的鑰匙穿