高中數(shù)學(xué)北師大版講義(必修二)第19講4.2兩角和與差的三角函數(shù)公式(5知識點+10題型+強化訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

4.2兩角和與差的三角函數(shù)公式課程標準學(xué)習(xí)目標1.重點:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo).2.難點:靈活運用所學(xué)公式進行求值、化簡、證明.1.能夠推導(dǎo)兩角差的余弦公式:2.能夠利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式;3.能夠運用兩角和的正、余弦公式進行化簡、求值、證明:知識點01兩角和與差的余弦1、兩角差的余弦公式：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，α，β∈R2、兩角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，α，β∈R【即學(xué)即練1】（22-23高一下·江西贛州·階段練習(xí)）計算sin?A．2+64 B．2?64知識點02兩角和與差的正弦1、兩角和的正弦：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，α，β∈R2、兩角差的正弦：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，α，β∈R【即學(xué)即練2】（21-22高一下·四川成都·期末）tan15°=A．2?3 B．3?2 C．?2?3知識點03兩角和與差的正切1、兩角和的正切：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)2、兩角差的正切：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)，α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)【即學(xué)即練3】（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）求下列各式的值：(1)cos105°(2)cos?知識點04輔助角公式輔助角公式：函數(shù)f(α)＝asinα＋bcosα(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)（其中）或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)（其中）【即學(xué)即練4】（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）把3sinα+cosα化成知識點05積化和差與和差化積1、積化和差：=1\?GB3\?MERGEFORMAT①cosαcosβ=1=2\?GB3\?MERGEFORMAT②sinαsinβ=?=3\?GB3\?MERGEFORMAT③sinαcosβ==4\?GB3\?MERGEFORMAT④cosαsinβ=12、和差化積：=1\?GB3\?MERGEFORMAT①cosα+cosβ=2cosα+β2cosα?β=2\?GB3\?MERGEFORMAT②cosα?cosβ=?2sinα+β2sinα?β=3\?GB3\?MERGEFORMAT③sinα+sinβ=2sinα+β2cosα?β=4\?GB3\?MERGEFORMAT④sinα?sinβ=2cosα+β2sinα?β【即學(xué)即練5】（21-22高一·湖南·課后作業(yè)）利用和差化積公式，求下列各式的值：(1)sin15°+(2)sin20°+(3)cos40°+【題型一：兩角和余弦求值】例1．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱，若sinα=14A．1 B．?1 C．?78 變式1-1．（23-24高一上·浙江溫州·期末）已知sinα=13，α∈π2,變式1-2．（23-24高一上·上海·期末）已知α為銳角，cosα+π6=1變式1-3．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）化簡下列三角函數(shù)的值：(1)32(2)cosπ【方法技巧與總結(jié)】1.在兩角差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中，只要用-β替換β，便可以得到兩角和的余弦公式.2.可簡單記為“余余正正，符號相反”，即展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展開前兩角間的符號與展開后兩項間的符號相反..【題型二：兩角和余弦逆用】例2．（22-23高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）cos24A．22 B．2 C．5 D．變式2-1．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期末）cos140°變式2-2．（21-22高一上·安徽宿州·期末）cos28°cos32°－cos62°sin32°=．變式2-3．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）求下列各式的值：(1)cos72(2)sin34(3)sin164(4)sin(α?β)【方法技巧與總結(jié)】1.運用兩角差的余弦公式解決問題要深刻理解公式的特征，不要死記.2.在逆用公式解題時，還要善于將特殊的值變形為某特殊角的三角函數(shù)值.【題型三：兩角和正弦求值】例3．（22-23高一下·北京豐臺·期末）已知sinα=45，α∈(0,A．210 B．?210 C．7變式3-1．（22-23高一上·浙江麗水·期末）若α，β∈(0,π2)且cosα=513，變式3-2．（22-23高一下·重慶渝中·期中）已知銳角α,β滿足tanα=2,sinα?β=10變式3-3．（22-23高一·全國·課堂例題）已知sinα=35，α為第二象限角，sinβ=?1213，【方法技巧與總結(jié)】兩角和與差的正弦公式結(jié)構(gòu)特征1.a，β可以是單個角，也可以是兩個角的和或差，在運用公式時常將兩角的和或差視為一個整體。2.記憶口訣：異名同號。【題型四：兩角和正弦逆用】例4．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）cos17°A．12 B．cos4° C．sin4°變式4-1．（23-24高一上·安徽·期末）計算sin50A．?32 B．32 C．?變式4-2．（23-24高一上·河北石家莊·期末）化簡sin200A．32 B．sin200° C．cos變式4-3．（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）32A．22 B．?22 C．3【方法技巧與總結(jié)】1.運用兩角差的正弦公式解決問題要深刻理解公式的特征，不要死記.2.在逆用公式解題時，還要善于將特殊的值變形為某特殊角的三角函數(shù)值.【題型五：兩角和正切求值】例5．（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）在△ABC中，tanA,tanB是方程x2?6x+7=0變式5-1．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）在△ABC中，tanA=13，tanB=?2，則角變式5-2．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）已知sinα=?31010且α是第三象限角，則變式5-3．（23-24高一上·浙江·階段練習(xí)）如圖，已知E是矩形ABCD的對角線AC上一動點，正方形EFGH的頂點F，H分別在邊AD，EC上，若AB=3,BC=4．則tan∠DAG

A．937 B．837 C．737【方法技巧與總結(jié)】1.符號變化規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”。2.注意：公式中的α，β，α+β，α-β都不能等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z?！绢}型六：兩角和正切逆用】例6．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）3tanA．33 B．?33 C．3變式6-1．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）tan10°+A．1 B．3 C．3 D．2變式6-2．（21-22高一下·河南南陽·期末）log21+tan變式6-3．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）求值：(1)tan105°(2)3?(3)tan23°+【方法技巧與總結(jié)】兩角和的正切公式的常見四種變形：T(α＋β)：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；②tanα＋tanβ＋tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；=3\?GB3\?MERGEFORMAT③④tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β).④1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)；T(α－β)：①tanα1tanβ＝tan(α1β)(1+tanαtanβ)；②tanα-tanβ-tanα·tanβ·tan(α-β)＝tan(α-β)；=3\?GB3\?MERGEFORMAT③④tanα·tanβ＝tanα④1+tanαtanβ＝tanα?【題型七：化簡求值】例7．（22-23高一下·江蘇南通·期中）求2cosA．3 B．?3 C．33 變式7-1．（22-23高一下·廣東惠州·期中）cos20°?cos70°變式7-2．（22-23高一·全國·課時練習(xí)）化簡：sin9°變式7-3．（22-23高一下·江蘇揚州·期中）黃金分割比是指將整體一分為二，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值，該比值為m=5?12≈0.618，這是公認的最能引起美感的比例．黃金分割比的值還可以近似地表示為A．12 B．32 C．1 【題型八：湊角求值】例8．（23-24高一上·山東濱州·期末）已知α∈0,π2，sinA．210 B．25 C．32變式8-1．（23-24高一上·河南鄭州·期末）已知α,β∈0,π2，若sinA．?1665 B．6365 C．56變式8-2．（23-24高一下·上海閔行·階段練習(xí)）已知sinα=?14A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角變式8-3．（22-23高一下·江蘇南京·期中）已知0<β<α<π2，且cosα?β=12A．6365 B．3365 C．4865【方法技巧與總結(jié)】常見角的變換有：α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．【題型九：輔助角公式】例9．（22-23高一下·甘肅酒泉·期末）求值：cos5πA．0 B．?2 C．2 D．變式9-1．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）tan70°?A．1 B．2 C．?1?????????????????????? D．變式9-2．（23-24高一上·湖北荊州·期末）若函數(shù)y=sinx+acos變式9-3．（23-24高一下·上海·假期作業(yè)）把下列各式化為Asin(1)2((2)24(3)315【方法技巧與總結(jié)】常見輔助角結(jié)論1.sinx±cosx=2sin(x±π43.cosx±sinx=2cos(x?π4【題型十：和差化積與積化和差】例10．（21-22高一下·上海虹口·期末）利用和差化積和積化和差公式完成下面的問題：已知sinω1+sinω2=變式10-1．（22-23高一下·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）已知sinθ(1)利用三角函數(shù)的積化和差或和差化積公式，求cos2θ+(2)求tanθ變式10-2．（21-22高一·湖南·課后作業(yè)）利用和差化積公式，求下列各式的值：(1)sin15°+(2)sin20°+(3)cos40°+變式10-3．（21-22高一·湖南·課時練習(xí)）利用積化和差公式，求下列各式的值：(1)cos15°(2)sin20°【方法技巧與總結(jié)】1、積化和差公式的巧記口訣余余相乘余和加，正正相乘余減反，正余相乘正相加，余正相乘正相減。注意前提是（α+β）在前面，(α?β)在后面。2、和差化積公式的特點①同名函數(shù)的和或差才可化積。②余弦函數(shù)的和或差化為同名函數(shù)之積。③正弦函數(shù)的和或差化為異名函數(shù)之積。④等式左邊為單角α和β，等式右邊為α+β2與α?β⑤只有余弦函數(shù)的差化成積式后的符號為負，其余均為正。一、單選題1．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）sin81A．12 B．32 C．?12．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函數(shù)f(x)=3cosx?A．2cosx+π3 B．2cosx?3．（23-24高一上·廣東·期末）tan12°+A．2 B．22 C．1 D．4．（23-24高一上·廣東廣州·期末）已知點1,?3在角θ的終邊上，則tanθ+A．?12 B．?2 C．15．（2023·廣東珠?！つM預(yù)測）已知角α的頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，角α的終邊經(jīng)過點(3,4)，則sinα?A．43?310 B．8?5310 6．（23-24高一下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知sinx?2cosx=A．0 B．455 C．?47．（23-24高一上·重慶·期末）請運用所學(xué)三角恒等變換公式，化簡計算32A．12 B．3 C．2 8．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知tanπ3+αA．?15 B．?17 C．二、多選題9．（22-23高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）在銳角三角形ABC中，以下各式一定成立的是（

）A．tanA+B+tanC．sinA+sinB<10．（22-23高一下·江蘇南京·期末）已知tanα=A．sin(α+β)=cosαC．2sinβcos11．（20-21高一下·全國·課時練習(xí)）滿足cosαcosβ=A．α=13π12，β=3πC．α=π2，β=π6 三、填空題12．（23-24高一下·浙江溫州·開學(xué)考試）已知sinα=?45且α為第四象限角，若sin(α+β)cosβ=2，則tan13．（23-24高一下·上海·假期作業(yè)）已知角α?角β的頂點均為坐標原點O，始邊均與x軸的非負半軸重合，角β的終邊OB在第四象限，角α的終邊OA繞原點順時針旋轉(zhuǎn)π6后與OB重合，sinβ+π314．（2023高一·全國·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，D為垂足，AD在△ABC的外部，且BD:CD:AD=2:3:6，則tan∠BAC=

四、解答題15．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sin(1)求f(3(2)求f(x)在區(qū)間[?π(3)若α∈(0,π)且f(α16．（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C滿足：cosA=(1)求cosA+B(2)求角B的大小.17．（22-23高一下·上海松江·階段練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中，已知α是第二象限角，其終邊上有一點P(x,5(1)若將角α繞原點逆時針轉(zhuǎn)過π4后，終邊交單位圓于Q(xQ(2)若cosα=(3)在（2）的條件下，將OP繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)π3至OP'18．（23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）已知sinα=(1)求cosα?(2)求sin2α+β19．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)化簡fx(2)若fα=17，4.2兩角和與差的三角函數(shù)公式課程標準學(xué)習(xí)目標1.重點:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo).2.難點:靈活運用所學(xué)公式進行求值、化簡、證明.1.能夠推導(dǎo)兩角差的余弦公式:2.能夠利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式;3.能夠運用兩角和的正、余弦公式進行化簡、求值、證明:知識點01兩角和與差的余弦1、兩角差的余弦公式：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，α，β∈R2、兩角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，α，β∈R【即學(xué)即練1】（22-23高一下·江西贛州·階段練習(xí)）計算sin?A．2+64 B．2?64【答案】D【分析】將7π12看成【詳解】sin?7π12=?故選：D．知識點02兩角和與差的正弦1、兩角和的正弦：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，α，β∈R2、兩角差的正弦：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，α，β∈R【即學(xué)即練2】（21-22高一下·四川成都·期末）tan15°=A．2?3 B．3?2 C．?2?3【答案】A【分析】利用兩角差的正切公式計算可得；【詳解】tan15°=tan45°?30°故選：A知識點03兩角和與差的正切1、兩角和的正切：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)2、兩角差的正切：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)，α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)【即學(xué)即練3】（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）求下列各式的值：(1)cos105°(2)cos?【答案】(1)2?(2)2+【分析】（1）105°=60°+45°，由兩角和的余弦公式即可求解；（2）由誘導(dǎo)公式可得cos?25π【詳解】（1）cos=1（2）cos==1知識點04輔助角公式輔助角公式：函數(shù)f(α)＝asinα＋bcosα(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)（其中）或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)（其中）【即學(xué)即練4】（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）把3sinα+cosα化成【答案】2【分析】逆用兩角和正弦公式即可得解.【詳解】由3=2sin故答案為：2知識點05積化和差與和差化積1、積化和差：=1\?GB3\?MERGEFORMAT①cosαcosβ=1=2\?GB3\?MERGEFORMAT②sinαsinβ=?=3\?GB3\?MERGEFORMAT③sinαcosβ==4\?GB3\?MERGEFORMAT④cosαsinβ=12、和差化積：=1\?GB3\?MERGEFORMAT①cosα+cosβ=2cosα+β2cosα?β=2\?GB3\?MERGEFORMAT②cosα?cosβ=?2sinα+β2sinα?β=3\?GB3\?MERGEFORMAT③sinα+sinβ=2sinα+β2cosα?β=4\?GB3\?MERGEFORMAT④sinα?sinβ=2cosα+β2sinα?β【即學(xué)即練5】（21-22高一·湖南·課后作業(yè)）利用和差化積公式，求下列各式的值：(1)sin15°+(2)sin20°+(3)cos40°+【答案】(1)62(2)0；(3)12【分析】(1)利用和差化積公式化簡，再利用特殊角的三角函數(shù)值計算得解.(2)利用和差化積公式化簡，再利用特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合誘導(dǎo)公式求解作答.(3)利用和差化積公式化簡，再利用特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合誘導(dǎo)公式求解作答.【詳解】（1）sin15°+（2）sin20°+（3）cos=2cos【題型一：兩角和余弦求值】例1．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱，若sinα=14A．1 B．?1 C．?78 【答案】C【分析】根據(jù)角α與β的終邊關(guān)于y軸對稱及sinα>0可知角α與角β【詳解】∵角α與β的終邊關(guān)于y軸對稱，sinα=∴α和β不可能在三、四象限，①若α終邊在第一象限，則cosα=由α+β=π，得β=π?α，∴sinβ=cosβ=∴cosα?β=cos②若α在第二象限，則cosα=?∴α+β=π，即β=π?α，∴sinβ=cosβ=∴cosα?β=cos故選：C變式1-1．（23-24高一上·浙江溫州·期末）已知sinα=13，α∈π2,【答案】?1?2【分析】先求得cosα=?【詳解】因為sinα=13所以cosα=?則cosα+故答案為：?1?26變式1-2．（23-24高一上·上?！て谀┮阎翞殇J角，cosα+π6=1【答案】5314【分析】根據(jù)題意得到sinα+π6【詳解】因為α為銳角，所以0<α<π2，所以所以sinα+又因為cosα+π6所以cos=1故答案為：5變式1-3．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）化簡下列三角函數(shù)的值：(1)32(2)cosπ【答案】(1)2(2)2【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)及兩角差的余弦公式化簡求值；（2）根據(jù)兩角和的余弦公式求值.【詳解】（1）3（2）cos【方法技巧與總結(jié)】1.在兩角差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中，只要用-β替換β，便可以得到兩角和的余弦公式.2.可簡單記為“余余正正，符號相反”，即展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展開前兩角間的符號與展開后兩項間的符號相反..【題型二：兩角和余弦逆用】例2．（22-23高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）cos24A．22 B．2 C．5 D．【答案】A【分析】根據(jù)兩角差的余弦公式，化簡求值.【詳解】cos=cos故選：A變式2-1．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期末）cos140°【答案】?12【分析】利用誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式計算可得；【詳解】cos=cos故答案為：?變式2-2．（21-22高一上·安徽宿州·期末）cos28°cos32°－cos62°sin32°=．【答案】12【分析】先利用誘導(dǎo)公式將cos62°化簡成sin【詳解】因為cos62°=sin28°故答案為：12變式2-3．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）求下列各式的值：(1)cos72(2)sin34(3)sin164(4)sin(α?β)【答案】(1)1(2)?(3)1(4)?【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)公式，準確化簡、運算，即可求解.【詳解】（1）解：由cos72（2）解：由sin34°sin（3）解：由sin=cos（4）解：由sin(α?β)=?[cos(α?β)cos【方法技巧與總結(jié)】1.運用兩角差的余弦公式解決問題要深刻理解公式的特征，不要死記.2.在逆用公式解題時，還要善于將特殊的值變形為某特殊角的三角函數(shù)值.【題型三：兩角和正弦求值】例3．（22-23高一下·北京豐臺·期末）已知sinα=45，α∈(0,A．210 B．?210 C．7【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出cosα【詳解】因為sinα=45所以cosα=則sin(α?故選：A.變式3-1．（22-23高一上·浙江麗水·期末）若α，β∈(0,π2)且cosα=513，【答案】63【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合兩角和的正弦公式進行求解即可.【詳解】因為α∈(0,π2)且cos又因為β∈(0,π2)且sin所以sin(α+β)=故答案為：63變式3-2．（22-23高一下·重慶渝中·期中）已知銳角α,β滿足tanα=2,sinα?β=10【答案】22/【分析】由同角基本關(guān)系求得sinα=25,cos【詳解】由tanα=2得sinαcosα=2且α為銳角，所以cosα=因為α,β為銳角，所以α?β∈?π2所以sin=2故答案為：22變式3-3．（22-23高一·全國·課堂例題）已知sinα=35，α為第二象限角，sinβ=?1213，【答案】sinα+β=6365，【分析】先利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出cosα,【詳解】因為α為第二象限角，所以cosα<0又sinα=35因為β∈3π2又sinβ=?1213所以sin=35×sin=35×【方法技巧與總結(jié)】兩角和與差的正弦公式結(jié)構(gòu)特征1.a，β可以是單個角，也可以是兩個角的和或差，在運用公式時常將兩角的和或差視為一個整體。2.記憶口訣：異名同號。【題型四：兩角和正弦逆用】例4．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）cos17°A．12 B．cos4° C．sin4°【答案】A【分析】逆用和角正弦公式化簡三角函數(shù)式，即可求值.【詳解】cos17°故選：A.變式4-1．（23-24高一上·安徽·期末）計算sin50A．?32 B．32 C．?【答案】B【分析】由兩角和的正弦公式求解即可.【詳解】因為sin50°cos10°故選：B變式4-2．（23-24高一上·河北石家莊·期末）化簡sin200A．32 B．sin200° C．cos【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式與兩角和的正弦公式化簡求值.【詳解】sin=?sin故選：A變式4-3．（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）32A．22 B．?22 C．3【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)，化簡得到32【詳解】由32故選：A.【方法技巧與總結(jié)】1.運用兩角差的正弦公式解決問題要深刻理解公式的特征，不要死記.2.在逆用公式解題時，還要善于將特殊的值變形為某特殊角的三角函數(shù)值.【題型五：兩角和正切求值】例5．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）在△ABC中，tanA,tanB是方程x2?6x+7=0【答案】1【分析】利用韋達定理、誘導(dǎo)公式及和角的正切計算即得.【詳解】方程x2?6x+7=0中，Δ=在△ABC中，tanC=故答案為：1變式5-1．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）在△ABC中，tanA=13，tanB=?2，則角【答案】π【分析】根據(jù)條件，利用正切的和角公式得到tanC=1，再根據(jù)C【詳解】因為tanA=13所以tan(A+B)=又tan(A+B)=tan(又C∈(0,π)，所以故答案為：π4變式5-2．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）已知sinα=?31010且α是第三象限角，則【答案】12/【分析】根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得tanα=3【詳解】因為sinα=?31010且所以tanα=sinα故答案為：12變式5-3．（23-24高一上·浙江·階段練習(xí)）如圖，已知E是矩形ABCD的對角線AC上一動點，正方形EFGH的頂點F，H分別在邊AD，EC上，若AB=3,BC=4．則tan∠DAG

A．937 B．837 C．737【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)，結(jié)合正切和差角公式即可求解.【詳解】由于AB=3,BC=4，所以tan∠DAC=不妨設(shè)小正方形的邊長為3x，則tan∠FAE=EFAE由于HG//EM,所以tan∠GAH=所以tan∠DAG=故選：A

【方法技巧與總結(jié)】1.符號變化規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”。2.注意：公式中的α，β，α+β，α-β都不能等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z?！绢}型六：兩角和正切逆用】例6．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）3tanA．33 B．?33 C．3【答案】C【分析】利用正切和角公式得到tan85°+【詳解】tan120°=∴tan∴3故選：C變式6-1．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）tan10°+A．1 B．3 C．3 D．2【答案】B【分析】由tan10°+50°【詳解】因為tan10°+50°所以3?所以tan10°+故選：B變式6-2．（21-22高一下·河南南陽·期末）log21+tan【答案】23【分析】根據(jù)正切的和角公式可得(1+tan2°【詳解】因為(1+tan=2，同理可得：(1+tan2°故loglog2故答案為：23變式6-3．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）求值：(1)tan105°(2)3?(3)tan23°+【答案】(1)?2?(2)1(3)3【分析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式求解；（2）由特殊角的三角函數(shù)值及兩角差的正切公式求解；（3）兩角和的正切公式變形求解.【詳解】（1）tan105（2）原式=tan（3）因為tan60°=所以tan23°+所以tan23°+【方法技巧與總結(jié)】兩角和的正切公式的常見四種變形：T(α＋β)：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；②tanα＋tanβ＋tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；=3\?GB3\?MERGEFORMAT③④tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β).④1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)；T(α－β)：①tanα1tanβ＝tan(α1β)(1+tanαtanβ)；②tanα-tanβ-tanα·tanβ·tan(α-β)＝tan(α-β)；=3\?GB3\?MERGEFORMAT③④tanα·tanβ＝tanα④1+tanαtanβ＝tanα?【題型七：化簡求值】例7．（22-23高一下·江蘇南通·期中）求2cosA．3 B．?3 C．33 【答案】A【分析】由已知結(jié)合和差角公式進行化簡即可求解．【詳解】2====故選：A．變式7-1．（22-23高一下·廣東惠州·期中）cos20°?cos70°【答案】2【分析】根據(jù)觀察我們發(fā)現(xiàn)角關(guān)系70°=90°?20°，再用輔助角公式將cos20°?sin20°【詳解】cos==故答案為：2.變式7-2．（22-23高一·全國·課時練習(xí)）化簡：sin9°【答案】2?3/【分析】利用差角的正弦余弦正切公式化簡即得解.【詳解】sin9°+故答案為：2?變式7-3．（22-23高一下·江蘇揚州·期中）黃金分割比是指將整體一分為二，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值，該比值為m=5?12≈0.618，這是公認的最能引起美感的比例．黃金分割比的值還可以近似地表示為A．12 B．32 C．1 【答案】D【分析】由題可得m=2sin18°，利用sin【詳解】由題可得m=2sin∴sin=sin故選：D.【題型八：湊角求值】例8．（23-24高一上·山東濱州·期末）已知α∈0,π2，sinA．210 B．25 C．32【答案】A【分析】根據(jù)同角關(guān)系以及和差角公式即可求解.【詳解】由于α∈0,π2，所以α?由sinα?π4故cosα?故選：A變式8-1．（23-24高一上·河南鄭州·期末）已知α,β∈0,π2，若sinA．?1665 B．6365 C．56【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角和余弦公式求解即可.【詳解】由誘導(dǎo)公式得sinα+π2=cos所以sinα=所以cos(α+β)=故選：A變式8-2．（23-24高一下·上海閔行·階段練習(xí)）已知sinα=?14A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【分析】由兩角和的正余弦公式求解cos(α+β)和sin【詳解】∵sinα=?∴cossinβ=?∴=?15sin=?1∵π+3π∴α+β是第二象限角．故選：B．變式8-3．（22-23高一下·江蘇南京·期中）已知0<β<α<π2，且cosα?β=12A．6365 B．3365 C．4865【答案】A【分析】結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和差的正弦公式即可求解.【詳解】因為0<β<α<π2所以又cosα?β=12因為0<β<π2，所以因為cos2β=35所以sinα+β=sin[故選：A【方法技巧與總結(jié)】常見角的變換有：α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．【題型九：輔助角公式】例9．（22-23高一下·甘肅酒泉·期末）求值：cos5πA．0 B．?2 C．2 D．【答案】B【分析】利用輔助角公式計算即可.【詳解】∵=2cos故選：B變式9-1．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）tan70°?A．1 B．2 C．?1?????????????????????? D．【答案】C【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及輔助角公式化簡求解即可.【詳解】tan70°?cos=cos20°=?2cos故選：C變式9-2．（23-24高一上·湖北荊州·期末）若函數(shù)y=sinx+acos【答案】3【分析】利用輔助角公式與正弦函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的方程，解之即可得解.【詳解】因為y=sinx+acosx+3=所以ymin=?1+a故答案為：3．變式9-3．（23-24高一下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）把下列各式化為Asin(1)2((2)24(3)315【答案】(1)2(2)2(3)6【分析】（1）根據(jù)輔助角公式將其配成兩角差的正弦展開式，逆用公式即得；（2）將π4（3）根據(jù)輔助角公式將其配成兩角和的正弦展開式，逆用公式即得.【詳解】（1）2=2sin（2）2=221（3）315sinx+3【方法技巧與總結(jié)】常見輔助角結(jié)論1.sinx±cosx=2sin(x±π43.cosx±sinx=2cos(x?π4【題型十：和差化積與積化和差】例10．（21-22高一下·上海虹口·期末）利用和差化積和積化和差公式完成下面的問題：已知sinω1+sinω2=【答案】?【分析】由和差化積和積化和差公式求得sinω1+ω2【詳解】sinω1+sinω2=則sinω1+ω2故答案為：?5變式10-1．（22-23高一下·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）已知sinθ(1)利用三角函數(shù)的積化和差或和差化積公式，求cos2θ+(2)求tanθ【答案】(1)?(2)tanθ=2【分析】（1）利用積化和差公式化簡可得答案；（2）展開sinθsinθ+π4【詳解】（1）sin=1可得cos2θ+（2）因為sinθ所以sin2則sin2解得tanθ=2變式10-2．（21-22高一·湖南·課后作業(yè)）利用和差化積公式，求下列各式的值：(1)sin15°+(2)sin20°+(3)cos40°+【答案】(1)62(2)0；(3)12【分析】(1)利用和差化積公式化簡，再利用特殊角的三角函數(shù)值計算得解.(2)利用和差化積公式化簡，再利用特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合誘導(dǎo)公式求解作答.(3)利用和差化積公式化簡，再利用特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合誘導(dǎo)公式求解作答.【詳解】（1）sin15°+（2）sin20°+（3）cos=2cos變式10-3．（21-22高一·湖南·課時練習(xí)）利用積化和差公式，求下列各式的值：(1)cos15°(2)sin20°【答案】(1)1(2)3【分析】利用積化和差公式求解.【詳解】（1）解：由積化和差公式得：cos15°=1=1=1（2）由積化和差公式得：sin20°=?1=?1=?1=?1=3【方法技巧與總結(jié)】1、積化和差公式的巧記口訣余余相乘余和加，正正相乘余減反，正余相乘正相加，余正相乘正相減。注意前提是（α+β）在前面，(α?β)在后面。2、和差化積公式的特點①同名函數(shù)的和或差才可化積。②余弦函數(shù)的和或差化為同名函數(shù)之積。③正弦函數(shù)的和或差化為異名函數(shù)之積。④等式左邊為單角α和β，等式右邊為α+β2與α?β⑤只有余弦函數(shù)的差化成積式后的符號為負，其余均為正。一、單選題1．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）sin81A．12 B．32 C．?1【答案】B【分析】根據(jù)正弦的和差角公式即可化簡求解.【詳解】sin81故選：B2．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函數(shù)f(x)=3cosx?A．2cosx+π3 B．2cosx?【答案】C【分析】利用輔助角公式求出答案.【詳解】f(x)=3其他選項不滿足要求.故選：C3．（23-24高一上·廣東·期末）tan12°+A．2 B．22 C．1 D．【答案】C【分析】逆用正切和角公式求值即可.【詳解】tan12°+故選：C4．（23-24高一上·廣東廣州·期末）已知點1,?3在角θ的終邊上，則tanθ+A．?12 B．?2 C．1【答案】A【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義計算，然后再由兩角和的正切公式計算.【詳解】由已知tanθ=yx故選：A.5．（2023·廣東珠?！つM預(yù)測）已知角α的頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，角α的終邊經(jīng)過點(3,4)，則sinα?A．43?310 B．8?5310 【答案】C【分析】利用三角函數(shù)定義得到sinα,【詳解】由三角函數(shù)定義得sinα=43所以sinα?故選：C6．（23-24高一下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知sinx?2cosx=A．0 B．455 C．?4【答案】C【分析】根據(jù)已知條件利用兩角和的正弦公式化5sinx+φ為5sinxcos【詳解】sinx?2所以cosφ=55則sinφ?2故選：C.7．（23-24高一上·重慶·期末）請運用所學(xué)三角恒等變換公式，化簡計算32A．12 B．3 C．2 【答案】A【分析】由切化弦，然后利用和角公式可得.【詳解】3===故選：A8．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知tanπ3+αA．?15 B．?17 C．【答案】C【分析】根據(jù)正切的和差角公式即可求解.【詳解】tan故選:C．二、多選題9．（22-23高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）在銳角三角形ABC中，以下各式一定成立的是（

）A．tanA+B+tanC．sinA+sinB<【答案】ABD【分析】通過A+B+C=π【詳解】對于A，在斜三角形中，A+B+C=π，所以tanA+B=對于B，在斜三角形中，A+B+C=π，所以cos對于C，由A+B>π2得π2>A>π2?B對于D，由tanA+B得tanA+即tanA+故選：ABD10．（22-23高一下·江蘇南京·期末）已知tanα=A．sin(α+β)=cosαC．2sinβcos【答案】AB【分析】由同角三角函數(shù)的關(guān)系，兩角和的正弦公式，化簡可得.【詳解】由tanα=sinαcosαsinαcosα=1?sinβ由cosβ≠0，則sinβ≠1，1?sin故選：AB11．（20-21高一下·全國·課時練習(xí)）滿足cosαcosβ=A．α=13π12，β=3πC．α=π2，β=π6 【答案】BD【分析】由cosαcosβ=【詳解】因為cosα所以cosα即cosα?β當α=13π12，β=3π當α=π2，β=π3時，可得當α=π2，β=π6時，可得當α=π12，β=π4時，可得故選：BD.三、填空題12．（23-24高一下·浙江溫州·開學(xué)考試）已知sinα=?45且α為第四