2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章數(shù)列第2節(jié)等差數(shù)列及其前n項和教學(xué)案含解析理

PAGE1-其次節(jié)等差數(shù)列及其前n項和[考綱傳真]1.理解等差數(shù)列的概念.2.駕馭等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在詳細(xì)的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)學(xué)問解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．1．等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．用符號表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．(2)等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中項．2．等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)＝eq\f(na1＋an,2).3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}和{a2n＋1}也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(6)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．(7)等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.eq\o([常用結(jié)論])1．等差數(shù)列前n項和的最值在等差數(shù)列{an}中，若a1＞0，d＜0，則Sn有最大值，即全部正項之和最大，若a1＜0，d＞0，則Sn有最小值，即全部負(fù)項之和最小．2．兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則有eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).3．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列．[基礎(chǔ)自測]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對隨意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2. ()(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d確定的． ()(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)．()(4)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)． ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2．(教材改編)等差數(shù)列11,8,5，…，中－49是它的第幾項()A．第19項 B．第20項C．第21項 D．第22項C[由題意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14＝－49得n＝21，故選C.]3．在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6等于()A．－1B．0 C．1 D．6B[a2，a4，a6成等差數(shù)列，則a6＝0，故選B.]4．小于20的全部正奇數(shù)的和為________．100[小于20的正奇數(shù)組成首項為1，末項為19的等差數(shù)列，共有10項，因此它們的和S10＝eq\f(101＋19,2)＝100.]5．(教材改編)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S2＝S6，a4＝1，則a5＝________.－1[由S2＝S6得a3＋a4＋a5＋a6＝0，即a4＋a5＝0，又a4＝1，則a5＝－1.]等差數(shù)列基本量的運(yùn)算1．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a6＋a18＝54，S19＝437，則a2018的值是()A．4039B．4038 C．2019 D．2038A[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋22d＝54，,19a1＋171d＝437，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,d＝2，))所以a2018＝5＋2024×2＝4039，故選A.]2．(2024·武漢模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a7＝－8，a2＝2，則數(shù)列{an}的公差d等于()A．－1B．－2 C．－3 D．－4C[由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a7＝2a1＋6d＝－8，,a2＝a1＋d＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝－3，,a1＝5，))故選C.]3．《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾．初日織五尺，今一月日織九匹三丈．”其意思為今有一女子擅長織布，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個月(按30天計)共織390尺布．則該女子最終一天織布的尺數(shù)為()A．18B．20 C．21 D．25C[用an表示第n天織布的尺數(shù)，由題意知，數(shù)列{an}是首項為5，項數(shù)為30的等差數(shù)列．所以eq\f(30a1＋a30,2)＝390，即eq\f(305＋a30,2)＝390，解得a30＝21，故選C.]4．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝__________.－72[設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a12＝a1＋11d＝－8，,S9＝9a1＋\f(9×8,2)d＝－9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝－1.))∴S16＝16×3＋eq\f(16×15,2)×(－1)＝－72.][規(guī)律方法]等差數(shù)列運(yùn)算問題的通性通法1等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項a1和公差d，然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程組求解.2等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.等差數(shù)列的判定與證明【例1】已知數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(3,5)，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿意bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}中的最大項和最小項，并說明理由．[解](1)證明：因為an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,an)))－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(an,an－1)－eq\f(1,an－1)＝1.又b1＝eq\f(1,a1－1)＝－eq\f(5,2).所以數(shù)列{bn}是以－eq\f(5,2)為首項，1為公差的等差數(shù)列．(2)由(1)知bn＝n－eq\f(7,2)，則an＝1＋eq\f(1,bn)＝1＋eq\f(2,2n－7).設(shè)f(x)＝1＋eq\f(2,2x－7)，則f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞))上為減函數(shù)．所以當(dāng)n＝3時，an取得最小值－1，當(dāng)n＝4時，an取得最大值3.[拓展探究]本例中，若將條件變?yōu)閍1＝eq\f(3,5)，nan＋1＝(n＋1)·an＋n(n＋1)，試求數(shù)列{an}的通項公式．[解]由已知可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)＋1，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，又a1＝eq\f(3,5)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是以eq\f(a1,1)＝eq\f(3,5)為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴eq\f(an,n)＝eq\f(3,5)＋(n－1)·1＝n－eq\f(2,5)，∴an＝n2－eq\f(2,5)n.[規(guī)律方法]等差數(shù)列的四個判定方法1定義法：證明對隨意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個常數(shù).2等差中項法：證明對隨意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可遞推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，依據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列.3通項公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p對隨意正整數(shù)n恒成立，依據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列.4前n項和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，依據(jù)Sn，an的關(guān)系，得出an，再運(yùn)用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列.(2024·貴州模擬)已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)證明數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差數(shù)列，并求{an}的通項公式．[解](1)由已知，得a2－2a1＝4，則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得eq\f(nan＋1－n＋1an,nn＋1)＝2，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝2，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首項為eq\f(a1,1)＝1，公差d＝2的等差數(shù)列．則eq\f(an,n)＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用?考法1等差數(shù)列項的性質(zhì)的應(yīng)用【例2】(1)(2024·長沙模擬)數(shù)列{an}滿意2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，則a3＋a4＋a5等于()A．9B．10 C．11 D．12(2)(2024·銀川模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m的值為()A．8B．12 C．6 D．4(1)D(2)A[(1)數(shù)列{an}滿意2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a3＋a4＋a5＝a2＋a4＋a6＝12.(2)由a3＋a6＋a10＋a13＝32得4a8＝32，即a8＝8.又d≠0，所以等差數(shù)列{an}是單調(diào)數(shù)列，由am＝8，知m＝8，故選A.]?考法2等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)【例3】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于()A．63B．45 C．36 D．27(2)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝－2014，eq\f(S2014,2014)－eq\f(S2008,2008)＝6，則S2019＝________.(1)B(2)8076[(1)由{an}是等差數(shù)列，得S3，S6－S3，S9－S6為等差數(shù)列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45，故選B.(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列．設(shè)其公差為d，則eq\f(S2014,2014)－eq\f(S2008,2008)＝6d＝6，∴d＝1.故eq\f(S2019,2019)＝eq\f(S1,1)＋2018d＝－2014＋2018＝4，∴S2019＝8076.][規(guī)律方法]應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)留意兩點(diǎn)1在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2km、n、p、q、k∈N*，則am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性質(zhì).2駕馭等差數(shù)列的性質(zhì)，悉心探討每特性質(zhì)的運(yùn)用條件及應(yīng)用方法，仔細(xì)分析項數(shù)、序號、項的值的特征，這是解題的突破口.(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝10，S20＝30，則S30＝________.(2)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若am＝10，S2m－1＝110，則m＝________.(3)等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－2,2n＋1)，則eq\f(a7,b7)＝________.(1)60(2)6(3)eq\f(37,27)[(1)由題意知，S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列．則2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，即40＝10＋(S30－30)，解得S30＝60.(2)S2m－1＝eq\f(2m－1a1＋a2m－1,2)＝eq\f(22m－1am,2)＝110，解得m＝6.(3)eq\f(a7,b7)＝eq\f(2a7,2b7)＝eq\f(a1＋a13,b1＋b13)＝eq\f(\f(13,2)a1＋a13,\f(13,2)b1＋b13)＝eq\f(S13,T13)＝eq\f(3×13－2,2×13＋1)＝eq\f(37,27).]等差數(shù)列的前n項和及其最值【例4】(1)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當(dāng)Sn最大時，n的值是()A．5B．6 C．7 D．8C[(1)法一：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a7＋a8＝0.依據(jù)首項等于13可推知這個數(shù)列遞減，從而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7時，Sn最大．法二：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a(bǔ)1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)n＝7時Sn最大．法三：依據(jù)a1＝13，S3＝S11，知這個數(shù)列的公差不等于零，且這個數(shù)列的和是先遞增后遞減．依據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，以及二次函數(shù)圖象的對稱性，可得只有當(dāng)n＝eq\f(3＋11,2)＝7時，Sn取得最大值．](2)已知等差數(shù)列{an}的前三項和為－3，前三項的積為8.①求等差數(shù)列{an}的通項公式；②若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.[解]①設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝－3，,a1a1＋da1＋2d＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝－3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－4，,d＝3.))所以由等差數(shù)列通項公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5或an＝3n－7.②當(dāng)an＝－3n＋5時，a2，a3，a1分別為－1，－4,2，不成等比數(shù)列；當(dāng)an＝3n－7時，a2，a3，a1分別為－1,2，－4，成等比數(shù)列，滿意條件．故|an|＝|3n－7|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3n＋7，n＝1，2，,3n－7，n≥3.))記數(shù)列{3n－7}的前n項和為Sn，則Sn＝eq\f(n[－4＋3n－7],2)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(11,2)n.當(dāng)n≤2時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－eq\f(3,2)n2＋eq\f(11,2)n，當(dāng)n≥3時，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋an)＝Sn－2S2＝eq\f(3,2)n2－eq\f(11,2)n＋10，綜上知：Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)n2＋\f(11,2)n，n≤2，,\f(3,2)n2－\f(11,2)n＋10，n≥3.))[規(guī)律方法]求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．(2)鄰項變號法：①當(dāng)a1>0，d<0時，滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；②當(dāng)a1<0，d>0時，滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.(1)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使Sn達(dá)到最大值的n是()A．21B．20 C．19 D．18(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.(1)B(2)130[(1)因為a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，所以a3＝35，a4＝33，所以d＝－2，a1＝39.由an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n≥0，解得n≤eq\f(41,2)，所以當(dāng)n＝20時Sn達(dá)到最大值，故選B.(2)由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8為首項，2為公差的等差數(shù)列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以n≤5時，an≤0，當(dāng)n＞5時，an＞0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＋(a6＋…＋a15)＝S15－2S5＝130.]1．(2024·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為()A．1B．2 C．4 D．8C[設(shè){an}的公差為d，則由eq\b\lc\{\rc\(