浙江省2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期5月期中試題含答案

/2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期5月期中考試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求出集合，再求交集即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B．2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C．3.已知向量，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的垂直的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，可得，因?yàn)?，可得，解?故選：A.4.為虛數(shù)單位，則（）A. B.i C. D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D．5.已知正數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可得，結(jié)合完全平方公式計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．故選：C．6.圓臺(tái)的上底面面積為，下底面面積為，母線長(zhǎng)為4，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知：上、下底面的半徑，結(jié)合圓臺(tái)的側(cè)面積公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：上、下底面的半徑分別為1和3，所以側(cè)面積為.故選：D．7.對(duì)于數(shù)列，設(shè)甲：為等差數(shù)列，乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可證明充分性；由得，兩式相減，結(jié)合等差中項(xiàng)的應(yīng)用即可證明必要性.【詳解】充分性：若是等差數(shù)列，則．必要性：若，則，兩式相減得，即，所以是等差數(shù)列．所以甲是乙充要條件.故選：C．8.袋子中裝有5張編號(hào)分別為1，2，3，4，5的卡片，從袋子中隨機(jī)選擇3張卡片，記抽到的3張卡片編號(hào)之和為，編號(hào)之積為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是3的倍數(shù)的概率為0.4 B.是3的倍數(shù)的概率為0.6C.是3的倍數(shù)的概率為0.2 D.是3的倍數(shù)的概率為0.8【答案】A【解析】【分析】利用列舉法寫(xiě)出符合題意的樣本點(diǎn)，結(jié)合古典概型的概率公式計(jì)算即可求解.【詳解】樣本空間：個(gè)樣本點(diǎn)，是3的倍數(shù)的情況包括，共4個(gè)樣本點(diǎn)，所以其概率為0.4．T是3的倍數(shù)的情況數(shù)為，所以其概率為0.6．故選：A．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)度可能等于（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)，可得，即可根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式求解.【詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，由于直線恒過(guò)原點(diǎn)，且，故，又，即，故選：BCD．10.已知，則下列等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】由兩角差與和的正弦余弦公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡(jiǎn)即可得出判斷．【詳解】對(duì)于AB，，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于CD，，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：BD．11.下列定義在上的函數(shù)中，滿足的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A、B、D：借助函數(shù)性質(zhì)與基本不等式逐項(xiàng)計(jì)算即可得；對(duì)C：借助余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)B：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，不滿足條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故C正確；對(duì)D：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____．【答案】40

【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，直接計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，則，所以的系數(shù)為．故答案為：40.13.已知過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，若是等腰三角形，且，則橢圓的離心率為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合，求得，代入橢圓的方程得到，再由離心率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，由橢圓對(duì)稱性不妨設(shè)，且，因?yàn)椋傻?，可得，可得，解得，即，代入橢圓的方程，可得，解得，所以．故答案為：.14.若不等式對(duì)任意滿足的正實(shí)數(shù)x，y，z均成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】先分離常數(shù)轉(zhuǎn)化成求的最小值問(wèn)題，根據(jù)，把放縮成，再變形，就可以用基本不等式求最小值，即為的最大值.【詳解】因?yàn)閤，y，z為正實(shí)數(shù)，所以，因?yàn)?，所以，即，又，所?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式最右側(cè)等號(hào)成立.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，，極大值為，極小值為【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)可得切線的斜率，求出切點(diǎn)，再由直線的點(diǎn)斜式方程可得答案；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，所以在處切線的斜率為，切點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以切點(diǎn)為，所以切線方程為，即；【小問(wèn)2詳解】函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，由得，得或，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．所以極大值為，極小值為.16.已知盒中有2個(gè)黑球和2個(gè)白球，每次從盒中不放回地隨機(jī)摸取1個(gè)球，只要摸到白球就停止摸球．（1）求摸球三次后剛好停止摸球的概率；（2）記摸球的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和期望．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）由摸球三次后剛好停止摸球分析得，前兩次摸到黑球第三次一定摸到白球，計(jì)算概率即可；（2）分析得，，求出的每個(gè)取值的概率可得分布列，由期望公式可得期望．【小問(wèn)1詳解】摸球三次后剛好停止摸球，則前兩次摸到黑球第三次一定摸到白球，則．【小問(wèn)2詳解】分析得，，所以的分布列為123．17.如圖，在正三棱柱中，為側(cè)棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面．（2）若，求平面與平面所成二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一、線面垂直的判定定理先證明E與中點(diǎn)的連線垂直于平面，再用面面垂直的判定定理證明即可；（2）先找出二面角兩個(gè)平面的法向量，得出即是二面角的大小，從而求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】連接，交于點(diǎn)，再連接、、,根據(jù)題意得，四邊形是矩形，則M為的中點(diǎn)．因?yàn)闉閭?cè)棱的中點(diǎn)，所以,在和中，兩組直角邊相等，根據(jù)勾股定理得兩條斜邊相等，即，所以，同理可證．因?yàn)榕c交于點(diǎn)M，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；【小?wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，三個(gè)側(cè)面均為正方形，由，同（1）易證，且都在面內(nèi)，所以面，故是面的一個(gè)法向量，由題設(shè)知：是面的一個(gè)法向量，且平面與平面所成二面角是銳角，由圖知：所成二面角的大小為18.如圖，拋物線是拋物線內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的動(dòng)直線，設(shè)與拋物線相交于點(diǎn)與拋物線相交于點(diǎn)，，當(dāng)恰好為線段的中點(diǎn)時(shí)，．（1）求拋物線的方程；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，依題意可得，再由弦長(zhǎng)公式得到方程，解得即可；（2）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，又，同理可得，再由基本不等式計(jì)算可得.小問(wèn)1詳解】解法一：設(shè)直線，聯(lián)立，得，所以．又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，代入化簡(jiǎn)得，解得．故拋物線的方程為．解法二：設(shè)直線的傾斜角為，再設(shè)、的坐標(biāo)都為，代入拋物線方程得，化簡(jiǎn)得．則，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，即．又因?yàn)?，將代入化?jiǎn)得，即，所以拋物線的方程為．【小問(wèn)2詳解】解法一：，由（1）可得，，因?yàn)?，同理，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即所求最小值為．，而，所以CD的傾斜角為或，同理可求得，即，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，即所求最小值為．19.對(duì)于正整數(shù)m，n，存在唯一的自然數(shù)a，b，使得，其中，我們記．對(duì)任意正整數(shù)，定義的生成數(shù)列為，其中．（1）求和．（2）求的前3項(xiàng)．（3）存在，使得，且對(duì)任意成立．考慮的值：當(dāng)時(shí)，定義數(shù)列的變換數(shù)列的通項(xiàng)公式為當(dāng)時(shí)，定義數(shù)列的變換數(shù)列的通項(xiàng)公式為若數(shù)列和數(shù)列相同，則定義函數(shù)，其中函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集．（?。┣笞C：函數(shù)是增函數(shù)．（ⅱ）求證：．【答案】（1）；（2）2；（3）（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）證明見(jiàn)解析【解析】分析】（1）根據(jù)，結(jié)合即可求解；（2）由和新定義分別求出即可；（3）（?。┯深}意可知當(dāng)時(shí)，進(jìn)而，根據(jù)，結(jié)合作差法分類討論當(dāng)、時(shí)的大小關(guān)系，即可證明；（ii）若數(shù)列的變換數(shù)列為，數(shù)列的變換數(shù)列為，即．分類討論、情況下的數(shù)量關(guān)系，即可證明.【小問(wèn)1詳解】，所以．【小問(wèn)2詳解】，，．【小問(wèn)3詳解】（?。?duì)任意正整數(shù)，總有，且一定存，使得，此時(shí)有，即當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以，又，所以，所以．因?yàn)椋艉偷淖儞Q數(shù)列分別為和，且，數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，，數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)