2024-2025學(xué)年河北省石家莊市部分學(xué)校高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省石家莊市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知雙曲線的一條漸近線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意得，圓心到的漸近線的距離為設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，則，.故選：D．2.正三棱臺的上、下底邊長分別為6，18，該正三棱臺內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球（與上、下底面和三個(gè)側(cè)面都相切），則正三棱臺的高為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由題可知上下底正三角形的高分別為，由幾何體結(jié)構(gòu)特征結(jié)合題意可知內(nèi)切球與上、下底面切點(diǎn)為上下底的重心，故如左圖所示作截面，得到右圖，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則有即，所以正三棱臺的高為6.故選：D.3.在四面體中，若，，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖：∵，，∴分別為中點(diǎn)，∴，故選：B.4.拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為平面上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.－5 B.－3 C.3 D.5【答案】B【解析】設(shè)，，由題意，直線的斜率存在，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以不妨設(shè)直線的方程為，由，可得，所以，，，所以，故選：B.5.已知直線與直線，在上任取一點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，連接，取的靠近點(diǎn)三等分點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，則與之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖：過作與點(diǎn)，交直線與點(diǎn)，則為所求直線與的距離.因?yàn)椋?所以.故選：A6.已知直線過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于C點(diǎn)，若，則等于（）A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】如圖所示：過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，則，，，故，即.故選：B7.曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)分別為，設(shè)，圖象上的切點(diǎn)分別為，，則過這兩點(diǎn)處的切線方程分別為，，則，，所以，設(shè)，，，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，且，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，.故選：B.8.已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A., B., C., D.,【答案】A【解析】令，則在R上恒成立，所以在R上為增函數(shù)，又，所以，所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，又，都是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，，所以是奇函數(shù)，因?yàn)樵谏虾愠闪?，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞減，所以，故，故選：A．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若圓：與圓：的公共弦AB的長為1，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.直線AB的方程為C.AB中點(diǎn)的軌跡方程為D.圓與圓公共部分的面積為【答案】BC【解析】兩圓方程相減可得直線AB的方程為，即，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為1，且公共弦AB的長為1，則到直線的距離為，所以，解得，所以直線AB的方程為，故A錯(cuò)誤，B正確；由圓的性質(zhì)可知直線垂直平分線段,所以到直線的距離即為AB中點(diǎn)與點(diǎn)的距離，設(shè)AB中點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，即，故C正確；因?yàn)?，所以，即圓中弧所對的圓心角為，所以扇形的面積為，三角形的面積為，所以圓與圓公共部分的面積為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.等腰直角三角形直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線就是直角三角形的斜邊，所以所形成的幾何體的表面積是.如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，形成是上下兩個(gè)圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高，兩個(gè)圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長是1，所以寫成的幾何體的表面積.綜上可知形成幾何體表面積是或.故選：AB.11.已知函數(shù)是奇函數(shù),對于任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，因?yàn)閷τ谌我獾臐M足當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以在上為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，即，即，化簡得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；同理可知，即，即，化簡得，B選項(xiàng)正確；，且即，即，化簡得，C選項(xiàng)正確，，且,即，即，化簡得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓：和圓：，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為______．【答案】內(nèi)含【解析】因?yàn)閳A：，圓：，所以圓心距，而兩圓半徑之差，故兩個(gè)圓內(nèi)含．故答案為：內(nèi)含13.已知數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和_______．【答案】【解析】數(shù)列的前項(xiàng)和==,故答案為：.14.表面積為100π的球面上有四點(diǎn)S?A?B?C，△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為3，若面SAB⊥面ABC，則棱錐體積的最大值為___________.【答案】【解析】依題意，球的半徑，令正的中心為，則，且平面，外接圓半徑，連接并延長交于D，則D為的中點(diǎn)，且，顯然，而平面平面，平面平面，有平面，令的外接圓圓心為，則平面，有，又平面ABCD，平面ABCD，所以，由,所以平面，所以，而平面平面，平面平面，平面，則平面，即有，因此四邊形為平行四邊形，則，，的外接圓半徑，的外接圓上點(diǎn)到直線距離最大值為，而點(diǎn)在平面上的射影在直線上，于是點(diǎn)到平面距離的最大值，又正的面積，所以棱錐的體積最大值.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列前項(xiàng)的和，求.解：（1）由題意設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，解得，所以.（2），所以數(shù)列的前50項(xiàng)和，所以.16.已知圓A經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心A在直線上.（1）求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)且與圓A相切的直線方程.解：（1）設(shè)圓心為，半徑為r，由，得，得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，圓半徑，圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）畫出圓的圖象如下圖所示，由圖可知，直線過點(diǎn)，且與圓相切，當(dāng)過點(diǎn)與圓相切的直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，到直線的距離，解得，所以切線方程為.綜上所述，切線方程為或.17.如圖，在三棱柱中，，，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.解：（1）設(shè)為的中點(diǎn)，由題意得平面，∵平面，，，為的中點(diǎn)，，∵，平面，故平面，由，分別為，的中點(diǎn)，得且，從而，四邊形平行四邊形，故，又平面，平面；（2）作，且，連結(jié)，由，，得，由，，得≌，由，得，因此為二面角的平面角，由（1）得平面，平面，所以，由，，，得，故，由余弦定理得，，所以.18.已知雙曲線：（，）的實(shí)軸長為2，點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.（1）求雙曲線的方程；（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程.解：（1）雙曲線實(shí)軸長為，由已知，，則，因?yàn)殡p曲線：（，）的一條漸近線為，點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，所以，所以，所以，所以雙曲線的方程是；（2）易知直線的斜率存在設(shè)為，設(shè)、、，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韋達(dá)定理，得．所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，點(diǎn)M的軌跡方程為，其中或．19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，且，求證：．解：（1），當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，得；由，得．∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由，得，即，，令，則．∵，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，∴或，①若，顯然②若，要證，只需證，即證，若能證，則原命題得證，令，，，∵，∴，，∴，∴在單調(diào)遞增，∴，∴，原命題得證．綜上所述，．河北省石家莊市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知雙曲線的一條漸近線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意得，圓心到的漸近線的距離為設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，則，.故選：D．2.正三棱臺的上、下底邊長分別為6，18，該正三棱臺內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球（與上、下底面和三個(gè)側(cè)面都相切），則正三棱臺的高為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由題可知上下底正三角形的高分別為，由幾何體結(jié)構(gòu)特征結(jié)合題意可知內(nèi)切球與上、下底面切點(diǎn)為上下底的重心，故如左圖所示作截面，得到右圖，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則有即，所以正三棱臺的高為6.故選：D.3.在四面體中，若，，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖：∵，，∴分別為中點(diǎn)，∴，故選：B.4.拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為平面上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.－5 B.－3 C.3 D.5【答案】B【解析】設(shè)，，由題意，直線的斜率存在，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以不妨設(shè)直線的方程為，由，可得，所以，，，所以，故選：B.5.已知直線與直線，在上任取一點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，連接，取的靠近點(diǎn)三等分點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，則與之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖：過作與點(diǎn)，交直線與點(diǎn)，則為所求直線與的距離.因?yàn)椋?所以.故選：A6.已知直線過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于C點(diǎn)，若，則等于（）A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】如圖所示：過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，則，，，故，即.故選：B7.曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)分別為，設(shè)，圖象上的切點(diǎn)分別為，，則過這兩點(diǎn)處的切線方程分別為，，則，，所以，設(shè)，，，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，且，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，.故選：B.8.已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A., B., C., D.,【答案】A【解析】令，則在R上恒成立，所以在R上為增函數(shù)，又，所以，所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，又，都是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，，所以是奇函數(shù)，因?yàn)樵谏虾愠闪?，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞減，所以，故，故選：A．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若圓：與圓：的公共弦AB的長為1，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.直線AB的方程為C.AB中點(diǎn)的軌跡方程為D.圓與圓公共部分的面積為【答案】BC【解析】兩圓方程相減可得直線AB的方程為，即，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為1，且公共弦AB的長為1，則到直線的距離為，所以，解得，所以直線AB的方程為，故A錯(cuò)誤，B正確；由圓的性質(zhì)可知直線垂直平分線段,所以到直線的距離即為AB中點(diǎn)與點(diǎn)的距離，設(shè)AB中點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，即，故C正確；因?yàn)?，所以，即圓中弧所對的圓心角為，所以扇形的面積為，三角形的面積為，所以圓與圓公共部分的面積為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.等腰直角三角形直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線就是直角三角形的斜邊，所以所形成的幾何體的表面積是.如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，形成是上下兩個(gè)圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高，兩個(gè)圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長是1，所以寫成的幾何體的表面積.綜上可知形成幾何體表面積是或.故選：AB.11.已知函數(shù)是奇函數(shù),對于任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，因?yàn)閷τ谌我獾臐M足當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以在上為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，即，即，化簡得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；同理可知，即，即，化簡得，B選項(xiàng)正確；，且即，即，化簡得，C選項(xiàng)正確，，且,即，即，化簡得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓：和圓：，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為______．【答案】內(nèi)含【解析】因?yàn)閳A：，圓：，所以圓心距，而兩圓半徑之差，故兩個(gè)圓內(nèi)含．故答案為：內(nèi)含13.已知數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和_______．【答案】【解析】數(shù)列的前項(xiàng)和==,故答案為：.14.表面積為100π的球面上有四點(diǎn)S?A?B?C，△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為3，若面SAB⊥面ABC，則棱錐體積的最大值為___________.【答案】【解析】依題意，球的半徑，令正的中心為，則，且平面，外接圓半徑，連接并延長交于D，則D為的中點(diǎn)，且，顯然，而平面平面，平面平面，有平面，令的外接圓圓心為，則平面，有，又平面ABCD，平面ABCD，所以，由,所以平面，所以，而平面平面，平面平面，平面，則平面，即有，因此四邊形為平行四邊形，則，，的外接圓半徑，的外接圓上點(diǎn)到直線距離最大值為，而點(diǎn)在平面上的射影在直線上，于是點(diǎn)到平面距離的最大值，又正的面積，所以棱錐的體積最大值.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列前項(xiàng)的和，求.解：（1）由題意設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，解得，所以.（2），所以數(shù)列的前50項(xiàng)和，所以.16.已知圓A經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心A在直線上.（1）求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)且與圓A相切的直線方程.解：（1）設(shè)圓心為，半徑為r，由，得，得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，圓半徑，圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）畫出圓的圖象如下圖所示，由圖