2024-2025學(xué)年安徽省A10聯(lián)盟高一下學(xué)期3月階段考數(shù)學(xué)試卷（北師大版）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1安徽省A10聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月階段考數(shù)學(xué)試卷（北師大版）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題，可得，所以.故選：B.2.點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)平面直角坐標(biāo)系中位于第四象限.故選：D.3.已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題可知的根為1和2，代入方程可得，，不等式等價(jià)于，則解集為.故選：D.4.某科研團(tuán)隊(duì)對(duì)某產(chǎn)品的一項(xiàng)新功能進(jìn)行了8次測(cè)試，將不合格、合格、良、優(yōu)的結(jié)果分別用0，1，2，3標(biāo)記，若8次測(cè)試結(jié)果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次優(yōu)，則對(duì)于標(biāo)記后的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.75%分位數(shù)為1 B.極差為3C.平均數(shù)為1 D.方差為1【答案】A【解析】將8次測(cè)試結(jié)果標(biāo)記后得到數(shù)據(jù)0，0，0，1，1，1，2，3，對(duì)于A，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，這組數(shù)據(jù)的極差為，故B正確；對(duì)于C，平均數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，方差為，故D正確.故選：A.5.已知函數(shù)，若，則（）A.0 B. C.1 D.【答案】D【解析】的定義域?yàn)椋?，則，所以為奇函數(shù)，又，所以，則，所以．故選：D.6.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到，所以，，解得，又，令，得，所以的最小值為.故選：B.7.已知曲線，，其中．點(diǎn)，，是曲線與依次相鄰的三個(gè)交點(diǎn)．若是等腰直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，，是曲線與依次相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)為曲線與在軸上的交點(diǎn)，如圖所示，為的中點(diǎn)，連接，易知，，與軸平行，所以，又因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，所以，又因?yàn)樵谇€上，所以，又因?yàn)椋裕?，即，所?故選：D.8.已知函數(shù)，則方程實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為（）A.10 B.8 C.6 D.5【答案】C【解析】設(shè)，則，若，則，解得或，則或，當(dāng)時(shí)，，不合題意，則，或，解得，此時(shí)方程僅一個(gè)根；若，則，解得或，即或，當(dāng)時(shí)，或，方程即在僅一個(gè)根，方程，即，，且，，兩根均為負(fù)，合題意，當(dāng)時(shí)，，解得或，方程有兩根，綜上，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為6.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.下列函數(shù)中最小正周期為的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的最小正周期為，故C正確；對(duì)于D，作的圖象，如圖，由圖可知的最小正周期為，故D正確.故選：ACD.10.拋擲一枚骰子兩次.設(shè)“第一次向上的點(diǎn)數(shù)是2”為事件，“第二次向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”為事件，“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和能被3整除”為事件，則下列說(shuō)法正確的是（）A.事件與事件互為對(duì)立事件 B.C. D.事件與事件相互不獨(dú)立【答案】BC【解析】對(duì)于A，由事件定義，事件與事件可以同時(shí)發(fā)生，故不互為對(duì)立事件，A錯(cuò)誤；拋擲一枚骰子兩次的樣本點(diǎn)數(shù)共36種，對(duì)于B，事件的樣本點(diǎn)為，，，，，，，，，，，，，，，，，共18種，事件的樣本點(diǎn)為，，，，，，，，，，，共有12種，事件的樣本點(diǎn)為，，，，，共6種，所以，，，B正確；因?yàn)椋允录c事件相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤．事件的樣本點(diǎn)為，共3種事件的樣本點(diǎn)為共12種，由于互斥，故的樣本點(diǎn)共有15種，故，C正確，故選：BC．11.對(duì)于任意的，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：，．十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”．下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.設(shè)，，則有C.函數(shù)，的值域?yàn)镈.不等式的解集為【答案】BCD【解析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，都在函數(shù)的圖象上，它們關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C：由取整函數(shù)的定義知，，則，因此函數(shù)，的值域?yàn)?，故C正確；對(duì)于D：由，得，解得，而，則，因此，不等式的解集為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知扇形的半徑為2，圓心角為1，則扇形的周長(zhǎng)為______.【答案】6【解析】由題意知，扇形的弧長(zhǎng)為，所以扇形的周長(zhǎng)為.13.若，且，則的最小值為______.【答案】5【解析】因?yàn)?，且，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為5.14.若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足：①為偶函數(shù)；②；③對(duì)任意的，且，都有，則不等式的解集為______.【答案】【解析】令，由條件③可得，，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又為偶函數(shù)，且，則，所以為奇函數(shù)，且，所以在上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以不等式的解集為.四、解答題：本大題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知角以軸的非負(fù)半軸為始邊，點(diǎn)在角的終邊上，且，（1）求及的值；（2）求的值．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)角的終邊上，且，根據(jù)三角函數(shù)定義，則，解得或（舍），所以．（2）則.16.我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸），一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值；（2）估計(jì)該地區(qū)月均用水量的60%分位數(shù)；（3）現(xiàn)在該地區(qū)居民中任選2位居民，將月均用水量落入各組的頻率視為概率，不同居民的月均用水量相互獨(dú)立，求恰有1位居民月均用水量大于60%分位數(shù)的概率.解：（1）根據(jù)題意，可得，解得.（2）數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為，數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率和為，則用水量的分位數(shù)，，解得，所以估計(jì)該地區(qū)月均用水量的分位數(shù)為.（3）設(shè)事件表示第位居民月均用水量大于分位數(shù)，，事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位數(shù)，，所以.所以恰有1位居民月均用水量大于60%分位數(shù)的概率為.17.已知為奇函數(shù)，為常數(shù).（1）求的值；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由于，函數(shù)為奇函數(shù)，故，即，則，即，則，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令，則或，即函數(shù)定義域?yàn)椋?，即函?shù)為奇函數(shù)，符合題意，故.（2）對(duì)于區(qū)間上的每一個(gè)的值，不等式恒成立，即對(duì)于區(qū)間上的每一個(gè)的值，不等式恒成立，所以，令，則在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，則的最小值為，故.18.已知函數(shù)，且，，.（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且僅有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，，即，又，.（2）由，即在處取得最大值2，所以，，則，，即，又，所以，，令，得，由，可得，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減區(qū)間為．（3）方程可化為，則或，由（2）可知，在區(qū)間上的圖象如圖所示，因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上有且僅有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以或且，解得或或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.雙曲函數(shù)是一類與常見的三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)（歷史上著名的“懸鏈線問(wèn)題”與之相關(guān)）．其中雙曲正弦函數(shù)：，雙曲余弦函數(shù)：（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求的值；（2）證明：兩角和的雙曲余弦公式；（3）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意，.（2）因?yàn)樽筮呌疫?所以.（3）由題意可知在上恒成立，整理得在上恒成立，令，則，令，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，即的取值范圍為.安徽省A10聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月階段考數(shù)學(xué)試卷（北師大版）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題，可得，所以.故選：B.2.點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)平面直角坐標(biāo)系中位于第四象限.故選：D.3.已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題可知的根為1和2，代入方程可得，，不等式等價(jià)于，則解集為.故選：D.4.某科研團(tuán)隊(duì)對(duì)某產(chǎn)品的一項(xiàng)新功能進(jìn)行了8次測(cè)試，將不合格、合格、良、優(yōu)的結(jié)果分別用0，1，2，3標(biāo)記，若8次測(cè)試結(jié)果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次優(yōu)，則對(duì)于標(biāo)記后的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.75%分位數(shù)為1 B.極差為3C.平均數(shù)為1 D.方差為1【答案】A【解析】將8次測(cè)試結(jié)果標(biāo)記后得到數(shù)據(jù)0，0，0，1，1，1，2，3，對(duì)于A，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，這組數(shù)據(jù)的極差為，故B正確；對(duì)于C，平均數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，方差為，故D正確.故選：A.5.已知函數(shù)，若，則（）A.0 B. C.1 D.【答案】D【解析】的定義域?yàn)椋?，則，所以為奇函數(shù)，又，所以，則，所以．故選：D.6.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到，所以，，解得，又，令，得，所以的最小值為.故選：B.7.已知曲線，，其中．點(diǎn)，，是曲線與依次相鄰的三個(gè)交點(diǎn)．若是等腰直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，，是曲線與依次相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)為曲線與在軸上的交點(diǎn)，如圖所示，為的中點(diǎn)，連接，易知，，與軸平行，所以，又因?yàn)槭堑妊苯侨切危?，所以，又因?yàn)樵谇€上，所以，又因?yàn)?，所以：，即，所?故選：D.8.已知函數(shù)，則方程實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為（）A.10 B.8 C.6 D.5【答案】C【解析】設(shè)，則，若，則，解得或，則或，當(dāng)時(shí)，，不合題意，則，或，解得，此時(shí)方程僅一個(gè)根；若，則，解得或，即或，當(dāng)時(shí)，或，方程即在僅一個(gè)根，方程，即，，且，，兩根均為負(fù)，合題意，當(dāng)時(shí)，，解得或，方程有兩根，綜上，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為6.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.下列函數(shù)中最小正周期為的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的最小正周期為，故C正確；對(duì)于D，作的圖象，如圖，由圖可知的最小正周期為，故D正確.故選：ACD.10.拋擲一枚骰子兩次.設(shè)“第一次向上的點(diǎn)數(shù)是2”為事件，“第二次向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”為事件，“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和能被3整除”為事件，則下列說(shuō)法正確的是（）A.事件與事件互為對(duì)立事件 B.C. D.事件與事件相互不獨(dú)立【答案】BC【解析】對(duì)于A，由事件定義，事件與事件可以同時(shí)發(fā)生，故不互為對(duì)立事件，A錯(cuò)誤；拋擲一枚骰子兩次的樣本點(diǎn)數(shù)共36種，對(duì)于B，事件的樣本點(diǎn)為，，，，，，，，，，，，，，，，，共18種，事件的樣本點(diǎn)為，，，，，，，，，，，共有12種，事件的樣本點(diǎn)為，，，，，共6種，所以，，，B正確；因?yàn)?，所以事件與事件相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤．事件的樣本點(diǎn)為，共3種事件的樣本點(diǎn)為共12種，由于互斥，故的樣本點(diǎn)共有15種，故，C正確，故選：BC．11.對(duì)于任意的，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：，．十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”．下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.設(shè)，，則有C.函數(shù)，的值域?yàn)镈.不等式的解集為【答案】BCD【解析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，都在函數(shù)的圖象上，它們關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C：由取整函數(shù)的定義知，，則，因此函數(shù)，的值域?yàn)?，故C正確；對(duì)于D：由，得，解得，而，則，因此，不等式的解集為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知扇形的半徑為2，圓心角為1，則扇形的周長(zhǎng)為______.【答案】6【解析】由題意知，扇形的弧長(zhǎng)為，所以扇形的周長(zhǎng)為.13.若，且，則的最小值為______.【答案】5【解析】因?yàn)?，且，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為5.14.若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足：①為偶函數(shù)；②；③對(duì)任意的，且，都有，則不等式的解集為______.【答案】【解析】令，由條件③可得，，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又為偶函數(shù)，且，則，所以為奇函數(shù)，且，所以在上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以不等式的解集為.四、解答題：本大題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知角以軸的非負(fù)半軸為始邊，點(diǎn)在角的終邊上，且，（1）求及的值；（2）求的值．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)角的終邊上，且，根據(jù)三角函數(shù)定義，則，解得或（舍），所以．（2）則.16.我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸），一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值；（2）估計(jì)該地區(qū)月均用水量的60%分位數(shù)；（3）現(xiàn)在該地區(qū)居民中任選2位居民，將月均用水量落入各組的頻率視為概率，不同居民的月均用水量相互獨(dú)立，求恰有1位居民月均用水量大于60%分位數(shù)的概率.解：（1）根據(jù)題意，可得，解得.（2）數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為，數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率和為，則用水量的分位數(shù)，，解得，所以估計(jì)該地區(qū)月均用水量的分位數(shù)為.（3）設(shè)事件表示第位居民月均用水量大于分位數(shù)，，事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位數(shù)，，所以.所以恰有1位居民月均用水量大于60%分