云南省迪慶藏族自治州某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題（含詳解）

云南省迪慶州民族中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘

貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B

鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試卷.草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均

無(wú)效。

3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草

稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。

、

單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如果棱臺(tái)的兩底面積分別是S,S'，中截面的面積是S0,那么（）

A.2醫(yī)=?+代B.$。=必C.2S0=S+S'D.S-=2SS'

2.已知圓錐的高為16cm,底面積為512cirf,平行于圓錐底面的截面面積為50

cm2,則截面與底面的距離為（）

A.5cmB.10cmC.11cmD.25cm

3.若平面a和直線〃力滿足則。與匕的位置關(guān)系一定是（）

A.相父B.平行C.異面D.相交或異面

4.已知向量a=(2cosp2sincp),9日多兀J，6=(0,—1),則向量。與方的夾角為（）

A.%一(pB.?-\~(pC.(p-乎D.（p

5.已知函婁好＜（x）4的零點(diǎn)在區(qū)間（〃，〃+1）內(nèi)，則整數(shù)〃的值為（）

A.1B.2C.3D.4

6.某智能主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是利用芯片生成與噪音的相位相反的聲波，通過(guò)兩者疊

加完全抵消掉噪音（如圖），已知噪音的聲波曲線y=Asin（s;+9）（其中A＞。，口＞0,00夕＜2兀）的

振幅為1,周期為2,初相為熱則用來(lái)降噪的聲波曲線的解析式是（）

噪音的聲波曲線

力0。I

用來(lái)降噪的聲波曲線兩者疊加后

A.y—sinTIXB.^=COSTIXC.y=—sin7txD.y=—cos7ix

7.已知logaX=21og辦=41ogM=4(〃,b,c,/>0且b,c,*4),則己g%(abc)等于()

4277

A-B-0-D-

7724

8.拋物線股加+法+cgwO）的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）

A.abc>0

B.b=2a

C.3a+cv0

D.b1<4ac

多項(xiàng)選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的有（）

A.已知之=（1,2）,［）=（1,1）-且［與1+應(yīng)的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（一|,+8）

B.已知向量3=（2,—3），1=&-（），則易不能作為平面的一個(gè)基底

C.右a#：。，a-b=a-c'則b=c

D.。是△ABC所在平面內(nèi)一■點(diǎn)，且滿足。?/1,j=OB?

（魯y+］^［）=0,貝！JO是△ABC的內(nèi)心

\|詞\BC\J

10.已知函數(shù)/（x）=§+cosx,則下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)/（x）在（。，§上單調(diào)遞減B.函數(shù)人無(wú)）在（0,兀］上的最小值為［

C.函數(shù)穴無(wú)）在（0,2兀）上只有2個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)大功在§上單調(diào)遞增

n.給出下列命題，其中正確的命題有（）

A.若/（tan%）=sin2x,貝!Jf（―1）=—1

B.方程sin%=1g%有三個(gè)實(shí)數(shù)根

C.函數(shù)y=1—2cos%—2siM%的值域是［―|，3］

D.把y=cosx+cos卜+%）寫成一個(gè)角的正弦形式y(tǒng)=V3sin卜+%）

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若a為常數(shù),且函數(shù)小）=電［三+〃］是奇函數(shù)，則。的值為.

2兀

13.已知VABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。、b、c,ZABC=—,。為AC

3

4DAri

邊上一點(diǎn)，滿足50=1,且空=色上.則4〃+。的最小值為_____.

BCDC

14.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量0a=1-3cos合35血卷），將與繞O

點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn):得到向量而，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是一.

四、解答題:本題共5小題，其中第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分，

共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.已知/（x）=-3x2+a（6—a）x+6.

（1）解關(guān)于。的不等式/。）>0；

（2）若不等式〃x）>6的解集為（T4）,求實(shí)數(shù)a,b的值.

16.已知函數(shù)/（x）=題之①犬-6依+11）.

（1）當(dāng)。=1時(shí),求不等式■/'（x）笏log?3的解集;

（2）若/'（X）的定義域?yàn)镽,求a的取值范圍.

17.2024年5月22日至5月28日是第二屆全國(guó)城市生活垃圾分類宣傳周，本次宣傳周的主題為

“踐行新時(shí)尚分類志愿行”.阜陽(yáng)三中高一年級(jí)舉行了一次“垃圾分類知識(shí)競(jìng)賽”，為了了解本

次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)%（單位：分，得分取正整數(shù)，滿分為100分

）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)將成績(jī)進(jìn)行整理后，分為五組（50Vx<60,60V尤<70,70Vx<80,

80<x<90,

90<x<100）,其中第1組頻數(shù)的平方等于第2組、第4組頻數(shù)之積，請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成

的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問(wèn)題：

(1)求(的值;

(2)若根據(jù)這次成績(jī)，學(xué)校準(zhǔn)備淘汰80%的同學(xué)，僅留20%的同學(xué)進(jìn)入下一輪競(jìng)賽請(qǐng)問(wèn)晉

級(jí)分?jǐn)?shù)線劃為多少合理？

(3)某老師在此次競(jìng)賽成績(jī)中抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：占

%,已知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)元=90,標(biāo)準(zhǔn)差

s=6,若剔除其中的95和85這兩個(gè)分?jǐn)?shù)，求剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差.

18.現(xiàn)定義“九維形態(tài)復(fù)數(shù)z."：z"=cos"6?+isin〃6,其中i為虛數(shù)單位，〃eN*，"0.

TF

(1)當(dāng)。=：時(shí)，證明：“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“1維形態(tài)復(fù)數(shù)”之間存在平方關(guān)系；

(2)若“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“3維形態(tài)復(fù)數(shù)”相等，求sin]e+：)的值；

(3)若正整數(shù)加，n(m>l,n>2),滿足z”=z1，z“=z；,證明：存在有理數(shù)Q,使得

m-q-n+l-2q.

19.已知四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是腰長(zhǎng)為75

的等腰三角形，點(diǎn)Af為△PCD的重心.

（1）求證：AC±PD；

（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M及直線A3作截四棱錐的截面a,設(shè)截面tz，平面尸。=/,請(qǐng)畫出直線

I,判斷直線/與平面PAB的位置關(guān)系，并進(jìn)行證明；

（3）求二面角C—PB—。的余弦值.

一、單選題

1.【答案】A

【解析】設(shè)棱臺(tái)的高為2〃，棱臺(tái)上面截去的棱錐的高為”,

7

則,弓4s==--h-'--,V=s--h-'-+-l-h-

h+h

瓜h'+h病'

所以叵聲

=2,即2醫(yī)=宕+后.

故選：A.

2.【答案】C

【解析】設(shè)截面與底面的距離為Acm,則（噤）2=景，解得/z=ll.

3.【答案】D

【解析】若AG4則a與6相交;若AW6,則a與6異面.

4.【答案】A

【解析】以坐標(biāo)原點(diǎn)。為起點(diǎn)，畫出向量a與方，如圖所示，所以a與》的夾角為辛一外

5.【答案】B

【解析】/（尤）=GY,工-J在"）上單調(diào)遞增,

M/(2)*ln2-2<Ol/(3)?b3-l>0

...函數(shù)/（x）=lnx74在？寸上存在唯一的零點(diǎn),

故選：B.

6.【答案】D

兀

且

-一-2

【解析】由題意，4=1，227?一c

所以y=sin[ia+§=COS71X,則用來(lái)降噪的聲波曲線的解析式為y=—COSTlX.

7.【答案】D

【解析】由題意得工=。4=浮=°,

BPtZ=^4?^=%2?C=Xf

所以/，即10gxmZ?c)=

8.【答案】C

【解析】拋物線的開口向下，

..〃<0,

拋物線的對(duì)稱軸為％=1，

/.--—>0,

2a

\b>0,

???拋物線)=依2+法+c(〃工0)與y軸相交于正半軸，

/.c>0,

abc<0,

故A錯(cuò)誤，不符合題意；

拋物線的對(duì)稱軸為尤=1，

._±=i

2a,

b=一2〃

故B錯(cuò)誤，不符合題意；

由圖象可知，當(dāng)x=-l時(shí)，函數(shù)值小于0,即了=。-6+。=。+24+°=34+<?<0,

故C正確，符合題意；

拋物線與無(wú)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

b'-4ac>0,

b2>4ac,

故D錯(cuò)誤，不符合題意;

故選：C.

二、多選題

9.【答案】AC

【解析】對(duì)A選項(xiàng)，2=（1,2），b=（1,1）.且改與3+6的夾角為銳角,

且之與展+6不共線，a+Ab=（1+2,2+2）>

則1+4+2（2+2）>0且2（1+2）力2+4,

解得2>—|且4力0,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)B選項(xiàng)，.=41，貝1]{￡扇}不能作為平面的一個(gè)基底，故B選項(xiàng)正確；

對(duì)C選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄縜.b=a.c,|a卜1cos<a,b>=|a|■|c|cos（a,c^,

所以不一定滿足「=:故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)D選項(xiàng)，因?yàn)?.（離+昌）=茄.（鳥+鳥）=.（昌+,）=0,

\網(wǎng)\CA\J\CB\J\|CA|\BC\J

由小?（篇+茴）=0可知，&垂直與角4的外角平分線，所以點(diǎn)。在角4的平分線上，

同理點(diǎn)。在角B的平分線上，點(diǎn)。在角C的平分線上，所以。是△ABC的內(nèi)心，

故D選項(xiàng)正確.

故選：AC.

10.【答案】AC

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)尸:和產(chǎn)COSX在（0.0上都單調(diào)遞減，所以函數(shù)/⑴在（0,多

上單調(diào)遞減，故A正確，D不正確；同理可得函數(shù)/（X）在（0,無(wú)）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)/口）在（

0,兀]上的最小值為*兀）=：—L故B不正確；分別作出函數(shù)y=—:和丁=8§

%在（0,2兀）上的圖象，如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)圖象在（0,2兀）上只有2個(gè)交點(diǎn)，即方程5

+cos

%=0在（0,2兀）上只有2個(gè)實(shí)根，所以函數(shù)形）在（0,2兀）上只有2個(gè)零點(diǎn)，故C正確，故選AC.

n.【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,令tan%=-l,所以％=》+fcfcG7,所以2%=事+2%k￡%，所

4"1rZ-JNILLi

以sin2%=—1,故A正確；

對(duì)B,畫出函數(shù)y=sin%與y=1g%的圖象如下，當(dāng)％=10時(shí)，IglO=1,x>10時(shí)，Igx>1,

可知函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=lg%的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，故方程sinx=

1g%有三個(gè)實(shí)數(shù)根，故B正確；

對(duì)C,y=1—2cosx—2sin2x=2cos2x—2cosx—1,令t=cos%,tG[—1,1],則y=2t2—

2t-l=2ft-if--，當(dāng)t時(shí)，y取最小值—|，當(dāng)t=-1時(shí)，

y取最大值3,所以函數(shù)的值域是卜|,3],故C正確；

對(duì)D,y=cosx+cos(工+久)=cos久+jcosx+與sin久=|cos久一?sinx=V5sin(n-

x),故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

三、填空題

12.【答案】-1

【解析】/（X）=3[口+9是奇函數(shù),

3三十"）+坨〔曰+[=。，

1(-2xV2x

：.1g-------\-a------+a=0,

{1-x人1+x

11-x人l+X)

展開整理得a2-l=(a2+4a+3)x2

/_1=0

所以2解得。=—1.

a-+4a+3=0

〃x)=lg島-1)2x—1—xx-1

當(dāng)a=—1時(shí),=lg=lg

1+X1+x

由^--->0,得(%-1)(%+1)>0,

解得％>1或％<-1,即定義域?yàn)閧N%>1或％<-1},

定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足

CL=11V..

13.【答案】9

msrABAD

【解析】因?yàn)楣S=項(xiàng)廠，所以BD平分NABC.

BCDC

2兀

又因?yàn)閆ABC=—,所以在NABC中由SvABC=SVABD+SvBDC,則

3

1.2711711兀

—acsm——=—xcsin—+—xtzsm—,

232323

a1,a

化簡(jiǎn)得ac=a+c,即c=------,a>I,所以4a+c=44aH-------

a-la—1

I

=4(2++l=4(a—l)+—+5.

ct—ICL—1

，故

因?yàn)閍>\4(a-l)+—!—+5>2.4(a-l)-^—+5=4+5=9當(dāng)且僅當(dāng)

a—Iya—I

3

4(。-l)=即a=—,c=3時(shí)，等號(hào)成立，所以4〃+。的最小值為9.

a-l2

故答案為9.

14.【答案】

貝(Jz=-3cosN+isiiiE=cos^^+isin^^[,

【解析】設(shè)向量豆對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是z

1212I1212J

所以而對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是:

所以8的坐標(biāo)是

故答案為:33

四、解答題

15.【答案】解：(1)因?yàn)?(x)=-3x2+tz(6-d;)x+6,由/(1)>0,即

—3+a(6—a)+6>0

即片―6a—3<0，.?.3-2百〈〃<3+2百，

所以不等式的解集為何3-2石<。<3+28}.

⑵因?yàn)椴坏仁絝（x）>b的解集為（T4）,所以-3d+a（6-a）x+6〉6的解集為

（-1,4）,即一3x2+a（6—a）x+6—人>0的解集為（一1,4）,

所以—1和4是方程—3x~+a（6—a）x+6—6=0的兩根，

a(6-a)

-1+4=-----1

-3

則

146-Z7

-1x4=----

-3

所以。=31=一6.

16.【答案】解：(1)因?yàn)閍=l,所以〃x)=log2(x2—6x+ll),

故/(力210823即1082(/—6X+11”1。823,§P%2-6x+ll>3>故x<2或xN4.

所以解集為(一8,2口4,+oo)；

（2）因?yàn)?（x）的定義域?yàn)镽,所以依2一6改+11>0對(duì)任意xwR恒成立,

當(dāng)a=0顯然成立.

a>0

當(dāng)awO時(shí)有<，解得0<a<5,

A=36a2-44。>0

綜上。取值范圍是0,-

17.【答案】解：（1）由圖可知a+b=0.036,0.0162=0,0084

所以a=0.0326=0.004

(2)成績(jī)落在[50,80)內(nèi)的頻率為:0.16+0.32+0.40=0.88,

成績(jī)落在[50,70)內(nèi)的頻率為：0.16+0.32=0.48，

設(shè)第80百分位數(shù)為加，則(%―70)0.04=0.8—0.48,

所以根=78,所以晉級(jí)分?jǐn)?shù)線劃為78分合理.

(3)因?yàn)樽?90，所以無(wú)1+X2+X3++/=10x90=900.

22

又因?yàn)椤?=:(犬；+君++x^)-90=6,所以無(wú)；+考+,+流=81360,

剔除其中的95和85兩個(gè)分?jǐn)?shù)，設(shè)剩余8個(gè)數(shù)為七,元2，七，…，&，

平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為京，%,

r/Hi人A八業(yè)%,+x+Xo++Xo900—95—85

則剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)：%=」一9------------=------------=90；

88

222

方差：5；=：儲(chǔ)+考++%；)—902=1(81360-95-85)-90=38.75.

18.【答案】解：(1)當(dāng)9=:時(shí),4=cos“x：1+isin[lx：)=￥+￥i=#(i+i

/c兀).I。兀)兀..兀

z、-cos2x—+1sin2x—=cos—+isin—=i,

I4；I4；24

2

因?yàn)閦；=[爭(zhēng)l+i)=1(l+2i+i)=i=z2,

所以“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“1維形態(tài)復(fù)數(shù)”之間存在平方關(guān)系.

(2)2維形態(tài)復(fù)數(shù)Z?=cos26+isin20,3維形態(tài)復(fù)數(shù)Z3=cos30+isin3。，

fcos26=cos36

依題意得22=23,即cos29+isin29=cos38+isin3。，所以《.?八.“，

sin20=sin30

由cos2e=cos36,得3，=2，+2由%€2)或36+2。=2e(左€2陽(yáng)，

由sin29=sin36,得3。=26+2E(ZeZ)或3，+2。=2碗+兀(％eZ)②，

由于方程①②同時(shí)成立，所以36=2e+2E(ZeZ),解得，=2E(ZeZ).

所以sin[e+：)=sin[2E+e]=sin(=^^.

（3）由%=4,得cosm^+isinm^=cos8+isine,

由（2）可得加6=8+2左1兀（匕￡Z）,即（加_1）夕=2左］兀（匕GZ）.

因?yàn)榱Γ?,所以6=型（左eZ）.

m-1

因?yàn)閆〃=z，=z；,

22

由（1）可得z；=（cos9+isin0^=cos^-sin+2isin^cos0=cos2^+isin20=z2,

所以Z〃=Z2.

由⑵可得〃。=2。+2左2兀（左2￡Z）,即（〃—2）。=2左2兀的wZ）.

DkTT

因?yàn)椤ǎ?,所以6=+|的eZ）,

所以生=^（KeZ,%eZ）,

m-1n—2v

m-1k,,、

又因?yàn)?0,所以桃2/0,所以==廣（匕€乙七?2）,

k\/八Y匕Y2匕/、

^m=-L（n-2）+l