甘肅省甘南藏族自治州卓尼縣柳林中學(xué)2024～2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

/甘肅省甘南藏族自治州卓尼縣柳林中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數(shù)可導(dǎo)，且滿足，則函數(shù)在x＝3處的導(dǎo)數(shù)為（

）A．2 B．1 C．－1 D．－22．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的圖象如圖所示，則（

）A．B．C．D．4．已知空間向量，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．函數(shù)在處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C． D．6．平行六面體的所有棱長(zhǎng)均為1，，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．7．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則（

）A．的解集為 B．函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 D．是函數(shù)的極小值點(diǎn)8．已知三棱錐，兩兩垂直且長(zhǎng)度均為6，長(zhǎng)為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)在內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），則的中點(diǎn)的軌跡與三棱錐的面所圍成的幾何體的體積為A． B．或 C． D．或二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法中正確的有（

）A．B．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為C．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，則該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度是4m/sD．，則10．下列命題為真命題的是（

）A．若空間向量滿足，則B．在正方體中，必有C．若空間向量滿足，則D．空間中，，則11．已知函數(shù)fxA．y=fx在2,3B．y=fxC．當(dāng)a>1時(shí)，y=fxD．當(dāng)a=1時(shí)，ff三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)函數(shù)，若，則．13．已知空間向量滿足，，，，則的值為.14．在中，已知，則邊上的中線的長(zhǎng)是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.16．在平行六面體中，，，，，，N為CD的中點(diǎn).（1）求AM的長(zhǎng)；（2）求的余弦值.17．如圖，在平行六面體中，E，F(xiàn)分別在和上，.

(1)求證：A，E，，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)若，求x+y+z的值.18．如圖所示，直四棱柱中，，，，，E為側(cè)棱的中點(diǎn).

(1)求證：平面BDE；(2)求直線與平面BDE所成的角的正弦值.19．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

參考答案1．【答案】D【詳解】由題意，，所以.故選D.2．【答案】C【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為故選C.3．【答案】B【詳解】作出函數(shù)在處的切線，如圖所示.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖中切線的斜率可知.故選B.4．【答案】D【詳解】由題意可得在上的投影向量為.故選D.5．【答案】B【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)在處的切線的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率為，且切線與直線平行，則有，可得.故選B.6．【答案】B【詳解】故選B.7．【答案】D【詳解】A.的解集為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，為，故A錯(cuò)誤；B.函數(shù)只有1個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以函數(shù)有1個(gè)極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；C.當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；D.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故D正確.故選D.8．【答案】D【詳解】如圖，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，是的中點(diǎn)，則，由于，即，所以，所以的中點(diǎn)應(yīng)在以為球心，半徑為1的球面上，則該點(diǎn)的軌跡是以為球心的球面．該點(diǎn)的軌跡與三棱錐圍成的幾何體的體積是球體的或是該三棱錐的體積去掉球體的體積而剩余的部分的體積．由于球體的體積，三棱錐的體積是，該點(diǎn)的軌跡與三棱錐圍成的幾何體的體積是，或，應(yīng)選答案D．

點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)是依據(jù)題設(shè)條件搞清楚線段的中點(diǎn)的軌跡的性質(zhì)與性質(zhì)，然后再借助空間圖形的特征判斷該軌跡三棱錐圍成的幾何體的形狀，然后求其體積，從而使得問題獲解．9．【答案】CD【分析】由基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可判斷A；由函數(shù)定義域可判斷B；由導(dǎo)數(shù)的物理意義可判斷C；由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，若，則.故選CD.10．【答案】BC【詳解】對(duì)于A，若空間向量滿足，則，這顯然是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄蛄肯嗟纫獫M足大小相等，方向相同；對(duì)于B，在正方體中，必有，這顯然是正確的，因?yàn)樗麄兊拈L(zhǎng)度相等，兩直線平行，并且方向相同；對(duì)于C，若空間向量滿足，則，這顯然是正確的，因?yàn)橄蛄康南嗟纫簿哂袀鬟f性；對(duì)于D，在空間中，，則，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槿魏蜗蛄颗c都是共線向量，所以是不一定成立的，故D錯(cuò)誤；故選BC.11．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A：當(dāng)2<x<3時(shí)，fx=3?x則函數(shù)fx在2,3對(duì)于B：當(dāng)x<2時(shí)，fx=3?xex+a?1，則f'x=2?xex>0，則函數(shù)fx在?∞,2上單調(diào)遞增；當(dāng)x>3時(shí)，fx=x?3對(duì)于C：當(dāng)a>1時(shí)，a?1>0，f2=e2+a?1>0，當(dāng)x<2時(shí)，fx則當(dāng)a>1時(shí)，方程fx=0無實(shí)根，即函數(shù)對(duì)于D：當(dāng)a=1時(shí)，fx=x?3ex，由以上討論，可知當(dāng)而f2=e2>3，由圖可知，方程fx=3有3個(gè)實(shí)根，則故選：ABD12．【答案】1【詳解】由，則，所以，得.13．【答案】【詳解】∵，∴，∴，∴.14．【答案】【詳解】邊上的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以邊上的中線的長(zhǎng)是.15．【答案】(1)(2)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；極大值為，極小值為【詳解】（1）由，有，則，，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為12，切線方程為，即；（2）令，解得x=0或x=1，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；故函數(shù)的極大值為，極小值為.16．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1），∴，∴.（2），，，.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：，所以A，E，，F(xiàn)四點(diǎn)共面.（2），，，，.18．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則．，可得，所以，又因?yàn)槠矫鍮DE，平面BDE，所以平面BDE；（2），，，設(shè)平面BDE的法向量為，則取，可得．所以，故直線與平面BDE所成的角的正弦值為．19．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；(2)當(dāng)或時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)；當(dāng)，在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得，若，則，從而，若，則，從而，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，，又因?yàn)樵谏鲜沁B續(xù)不間斷的，所以在上有唯一零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以在上沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，