北京市西城區(qū)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)下冊(cè)4月統(tǒng)一測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

西城區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試試卷

數(shù)學(xué)

2025.4

本試卷共6頁，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.

考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知集合A={#2<4,3=卜旭%>0},那么集合43=()

A.(-2,+co)B.(^0,-2)_(1,+oo)

C.(-<?,2)D.(1,+co)

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合A、B,利用并集的定義可求得集合AB.

【詳解】因?yàn)锳={X,<4}=(—2,2),3={x|lgx>0}=(l,+"),所以，AOB=(-2,4?).

故選：A.

2.下列函數(shù)中，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的是()

A.y=(x-1)-B.y=2A

C.y=x4+x2D.y=|lnx|

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性，綜合可得答案.

【詳解】A選項(xiàng)，由二次函數(shù)圖像及性質(zhì)可知，對(duì)稱軸為x=l,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，由指數(shù)函數(shù)圖像及性質(zhì)可知，函數(shù)沒有對(duì)稱軸，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，因?yàn)?―％y+(—%)2=尤4+/，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?0,+"),不是偶函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

3.在［x2+Z］的展開式中，產(chǎn)的系數(shù)等于()

A.6B.12

C.18D.24

【答案】D

【解析】

【分析】應(yīng)用二項(xiàng)式定理寫出展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而求/的系數(shù).

2

【詳解】由題設(shè)，二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為(+1=C；(X2)4T(—)r=2「C>8-3r,r=0,1,,4,

令8—3r=2nr=2,則7；=22(2*2=24/,即犬的系數(shù)等于24.

故選：D

2

4.在長(zhǎng)方形ABCD中，E為的中點(diǎn)，cosZAEB=-,貝UcosNAED二()

3

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)NA￡B=。，貝ijcos8=2,分析可知NAED=7i—28,利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角的余弦公式可

3

求得cosZAED的值.

【詳解】設(shè)NA￡B=6,則COS￡=2,如下圖所示：

3

因?yàn)閨AB|=|DC|,忸目=|CE|,ZABE=NDCE=90，所以，AABE%ADCE,

所以，ZDEC=ZAEB=9,故NAED=?i—28,

因此，cosZAED=cos（兀-2。）=-cos23=1—2cos?8=1—2x

故選：B.

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若從點(diǎn)A（0/）發(fā)出的光線經(jīng)過點(diǎn)8（1,0）,且被X軸反射后將圓

C:（x—4『+（y—3『=1平分，則實(shí)數(shù)/=（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】點(diǎn)A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為M（0,T）,分析可知，點(diǎn)、M、B、圓心。（4,3）三點(diǎn)共線，結(jié)合心M=kBC

可求得/的值.

點(diǎn)A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為M（0,-r）,

由對(duì)稱性可知，點(diǎn)以、B、圓心。（4,3）三點(diǎn)共線，則程用=限，即將=言，解得f=L

故選：A.

6.設(shè)直線機(jī)U平面a,平面a1平面，=直線/,則是“機(jī)的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)及充分、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】已知直線mu平面a,平面1、平面，=直線/,

若加上尸，由/u平面夕，則相，/;

若加，/,此時(shí)得不到根直線加可能與平面夕相交，如下圖:

所以““2，/”是"m±I”的充分不必要條件.

故選：A.

7.已知函數(shù)/(x)=sinx+J§cosx.若/(%)=/(%2)，則()

A.\-x2=2kn{kGZ)B.再=2?或石+%2=2E+§?(女￡Z)

C.x+x=E+'l■(keZ)

x2D.xl-x2=2E或％]+%2=kn+—^keZ)

【答案】B

【解析】

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)7(%)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期性和對(duì)稱性求解.

【詳解】因?yàn)?(x)=sinx+Gcosx=2sin[x+m；則該函數(shù)的最小正周期為2兀,

由x+]=E+'|■(左eZ)可得x=E+《(keZ),

所以，函數(shù)〃尤)的對(duì)稱軸方程為*=析+9(keZ),

6

兀)兀

[左兀+7J=Ikn+—^keZ),

故選：B.

8.已知雙曲線三—.Ml的左、右焦點(diǎn)分別為片、F2,若雙曲線上存在點(diǎn)尸，使得盧片|=3|「乙|,則

此雙曲線的離心率的取值范圍是

A.(1,3]B.[3,+s)C.(1,2]D.[2,+00)

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析：|「￡|=3|「乙|,|「印—|Pg|=2an|P《|=a"—anl<e<2

故選C.

考點(diǎn)：雙曲線離心率

【方法點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程或不

等式，再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式，要充分利用

橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.

9.蜂巢的精密結(jié)構(gòu)是通過優(yōu)勝劣汰的進(jìn)化自然形成的.若不計(jì)蜂巢壁的厚度，蜂巢的橫截面可以看成正六

邊形網(wǎng)格圖，如圖所示.設(shè)P為圖中7個(gè)正六邊形(邊長(zhǎng)為4)的某一個(gè)頂點(diǎn)，A3為兩個(gè)固定頂點(diǎn)，則

PAPB的最大值為()

B.48

C.72D.76

【答案】B

【解析】

【分析】利用坐標(biāo)法可得PA，B=x2+y2—64,設(shè)點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離為d,則如.依的最大值

為1％-64,利用數(shù)形結(jié)合法可知，離原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的正六邊形頂點(diǎn)為最外圍的頂點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離

公式即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)P(x,y),正六邊形的邊長(zhǎng)為4,

所以4-8,0),5(8,0),

所以PA=(—8_x,_y),PB=(8—x,_y),

所以=—(8+x)(8—%)+/=/+/—64,

設(shè)點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離為d,則PA.P6的最大值為-64,

由圖可知，離原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的正六邊形頂點(diǎn)為最外圍的頂點(diǎn),

如圖，可取尸（8,4百）,

所以aX—64=|。「『一64=64+48—64=48,

即PAPB的最大值為48.

10.設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S",前〃項(xiàng)的乘積為7..若勾%<%%<0，則（）

A.S“無最小值，7；無最大值B.S）,有最小值，7；無最大值

c.S”無最小值，7；有最大值D.S“有最小值，7；有最大值

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本量法，可求出公比“滿足-1<4<0,根據(jù)前〃項(xiàng)和與前〃項(xiàng)積的定義進(jìn)行討論計(jì)算，可

以得出S“有最小值，而7；有最大值.

【詳解】由已知，｛4｝是等比數(shù)列,44<。2%<°，即。力可得-i<q<o,

若4〉0,則S]=q,可計(jì)算當(dāng)〃23時(shí)，S〃_S2="3（l_q"-）=4.（l_q“一）,

1-q1-q

結(jié)合—IvqvO,可得--邑>0即S2為小的最小值,

同理，當(dāng)q<0,。2=。山〉0,當(dāng)“22,s“_S]=a.Q_q）〉0,可知S”的最小值為S1,

1-q

綜上可得，S“有最小值.

由一l<q<0可得，|1<1a?\,

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，-l<q<0,必有N滿足對(duì)于所有〃〉N,

因?yàn)?；一定是正負(fù)交替出現(xiàn)，可得T,一定存在最大值.

綜上，對(duì)于滿足已知條件的等比數(shù)列{q},滿足S“有最小值，有最大值.

故選：D

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.設(shè)i為虛數(shù)單位，則上!■=.

2-1

【答案】j3-j1i

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則計(jì)算即可.

1-i（l-i）（2+i）2+i-2i-i23-i31.

【詳角星】----=--------=--------------=-----=------1

"用牛［2-i（2-i）（2+i）22-i2555，

_,31

故答案為：---i.

12.設(shè)拋物線。：必=2加的焦點(diǎn)為尸（0,1）,準(zhǔn)線為/,則拋物線C上一點(diǎn)A&2）至U/的距離為

【答案】3

【解析】

【分析】先求出P=2,然后得出拋物線準(zhǔn)線方程，即可得出答案.

【詳解】由題可得5=1,所以。=2,

所以準(zhǔn)線/：y=-1,所以C上一點(diǎn)2）到/的距離為2+1=3,

故答案為：3.

13.設(shè)平面向量a=（—1,1）,匕=（—2,1）,c=（x,y）,且『=5,則使得向量匕一。與。共線的一組值x=

,y=.

【答案】①.-4（答案不唯一，填3也對(duì)）②.3（答案不唯一，第一空填-4,則第二空填3,第

一空填3,則第二空填-4）

【解析】

【分析】由條件根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式，向量共線的坐標(biāo)表示列方程求x,y的關(guān)系，由此可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)椋?5,o=(九,田，

所以西+丁=5,即f+y2=25,

因?yàn)椤?(一2,1),c=(x,j),所以b—c=(—2—尤,1-y),

又向量B—c與。共線，a=(-M)，

所以-2_x+l_y=0,

所以尤=_y_l,

所以（―y—l『+y2=25,

所以y=3或y=-4,

x=-4[x=3

所以O(shè)或J

[y=3[y=-4

故答案：T；3（答3；-4也對(duì)）

14.端午節(jié)又名端陽節(jié)、粽子節(jié)等，它是中國(guó)首個(gè)入選世界非遺的節(jié)日.從形狀來分，端午節(jié)吃的粽子有

三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等.其中，四角粽的形狀可以近似看成一個(gè)四面體ABCD,如圖所

示.設(shè)棱AO的長(zhǎng)為6cm,其余的棱長(zhǎng)均為2#cm,則該四角粽的表面積為cm2,內(nèi)含食物

的體積為cn?.（粽葉的厚度忽略不計(jì)）

【答案】?.1273+6715②.676

【解析】

【分析】根據(jù)棱錐的表面積公式和體積公式，結(jié)合線面垂直的判定定理、三角形的余弦定理，面積公式求解.

AC2+C￡)2—A￡)21

【詳解】cosZACD=

2ACxCD4

所以NACD為銳角，所以sinNACD=Jl—cos?NACD=巫

4

該四角粽的表面積

,△ABC+SABCD+^/\ABD+AACD=2x—x2^/6x2,\/6xsin60+2x—x2-J^>x2^/6x----=12,\/3+6A/15

r

取5c中點(diǎn)為0,連接QA,OD,

則OA=A/A82-OB2=3叵0D=^BD--OB2=3應(yīng)，

所以。42+OD2=AD?即a)，必，

且OALBC,8。門?！?gt;=。,8。,。。<=平面BCD,

所以。4J_平面BCD,

內(nèi)含食物的體積為:義5移8><。4=；xgx2"x2痣sin60義3?=6屈.

故答案為：12G+6y[15;6A/6.

15.記國(guó)表示不超過實(shí)數(shù)x最大整數(shù).設(shè)函數(shù)〃x)=x+|x],有以下四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)/(%)為單調(diào)函數(shù)；

②對(duì)于任意的x,/(%)+/(-%)=0或/(x)+/(—X)=-1；

③集合{x"(x)=a}(口為常數(shù))中有且僅有一個(gè)元素；

④滿足/(x)+<7的點(diǎn)(羽y)(x>0,y>0)構(gòu)成的區(qū)域的面積為8.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②④

【解析】

[分析】①利用定義法證明單調(diào)性；②分〃<x<〃+1和％=及兩種情況討論；③求出0Wx<l和1W%<2

時(shí)了(九)的值域，結(jié)合單調(diào)性可知，當(dāng)。取值域未包含的值時(shí)，集合為空集；④令x=7篦+2,y=n+/3,

其中m.nGN*,a,/e[0,l),將問題轉(zhuǎn)化為加+〃W3,找出符合題意的單位正方形，即可求出區(qū)域面積.

【詳解】Vx!，x2eR,且玉<々，貝,石]4I%]，則

/(七)一/(工2)=%+同一七一[々]=(七一9)+([%]-[%2])<0，即/(%)</(9)，

則“X)在R上單調(diào)遞增，故①正確；

當(dāng)〃Wx<〃+1,ZZGZ時(shí)，/(%)=x+[x]=x+〃，

故當(dāng)〃<x<〃+l時(shí)，一〃一1<一刀<一〃，有/(x)=x+|x]=x+〃，f(-x)=-x+[-x]=-x-n-l,

此時(shí)/(%)+/(—x)=—l,

當(dāng)％時(shí)，/(X)=2〃，/(-%)=-2M,止匕時(shí)+

故②正確；

當(dāng)OWx<l時(shí)，/(x)=xe[O,l),當(dāng)1WX<2時(shí)，/(x)=x+le[2,3),結(jié)合〃工)在R上單調(diào)遞增可

知，當(dāng)ae[l,2)時(shí)，方程/(x)=a無解，故集合為空集，故③錯(cuò)誤；

設(shè)％=根+a,y=n-\-/3,其中九N*,a,/3^[0,1),則/(x)+/(y)=2/〃+c+2〃+/7W7,因

Q<a+/3<2,則2〃z+2〃W7,

則772+/W3,

在每個(gè)單位正方形[〃帆+1)義[〃,〃+1)內(nèi)，/(x)+/(y)的值從2機(jī)+2八到2根+2〃+2,但不包括

2m+2n+2,因此在m+n<3的區(qū)域內(nèi)的每個(gè)單位正方形內(nèi)，/(1)+/(丁)<7的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的區(qū)域面

積為1,

由于根+〃43的區(qū)域內(nèi)的單位正方形有1+2+3+4=10個(gè)(和+〃=0,1,2,3),因此滿足

/(%)+/(丁)<7的點(diǎn)(光,日構(gòu)成的區(qū)域面積為圖中4043的面積8.

故答案為：①②④

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在多面體A3CDPQ中，AB_L平面？AZ),平面P0C1平面己45=PQ,AB//CD,

(1)求證：CD//PQ-

(2)設(shè)AB=00=4Q4=4,CD=PQ=PO=2,求直線以與平面Q8C所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵2

3

【解析】

【分析】(1)先利用線面平行的判定定理證〃平面A3QP,再利用線面平行的性質(zhì)定理即可；

(2)以。為原點(diǎn)建系，計(jì)算平面Q8C的法向量，再利用向量夾角的余弦公式求cosm,AP,最后利用線面

角與向量夾角之間的關(guān)系求即可.

【小問1詳解】

如圖，因?yàn)锳B〃CD,平面ABQP,ABU平面ABQP,

所以〃平面ABQP,

又因?yàn)镃Du平面CDPQ,平面CDPQ1平面ABQP=PQ,

所以CD〃PQ,

【小問2詳解】

在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)。作Oy//AB.

因?yàn)锳BJ_平面PAD,所以。平面BLD,

因OPu平面PAO,ODu平面上40,所以。y，OP,Oy±OD,

因A3,平面BLD,ABu平面ABCD,則平面？AO，平面ABC。，

又因?yàn)槭LAZ）,平面R4Oc平面A3CD=A。，則POJ_平面ABCD,

所以8,Oy,OP兩兩互相垂直.

以。為原點(diǎn)，OD,Oy,OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-盯z,則

0(0,0,0),4(—1,0,0),r>(4,0,0),C(4,2,0),

8(-1,4,0),P(0,0,2),BC=(5,-2,0),AP=(l,0,2),

由題意，得CQ=DP=（T,0,2）,

設(shè)平面QBC的法向量為比=（羽y,z）,

m-CQ=0-4x+2z=0

則即《

m?BC=05x—2y=0

令％=2,則y=5,2=4,于是冽=(2,5,4),

m-AP2+8_2

所以COSM,AP=

|m||AP|745x75~3

故直線PA與平面QBC所成角的正弦值為

3

17.在VABC中，acosB+灰2sA=4ccosA.

(1)求cosA的值;

（2）若a=2函，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得VA3C存在,

求5c邊上的高.

3兀

條件①：B=—；

4

條件②：Z?=6；

條件③：cosC=建。.

4

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

【答案】（1）cosA=-

4

（2）條件選擇見解析，答案見解析

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得出cosA的值；

（2）對(duì)于條件①，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求出角A的取值范圍，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理推出矛盾，可

值條件①，不符合要求；

選擇條件②，求出sinA的值，利用余弦定理可求出C的值，然后利用三角形的面積公式結(jié)合等面積法可

求出邊上的高；

選擇條件③；求出sinA、cosC的值，利用兩角和的正弦公式可求出sin8的值，利用正弦定理求出b的

值，進(jìn)而可得出邊3C上的高為加inC,求解即可；

【小問1詳解】

abc

由正弦定理----=-----=-----,且6ZCOSB+Z?COSA=4ccosA，

sinAsinBsinC

得sinAcosB+sirtBcosA=4sinCcosA,即sin（A+5）=4sinCcosA.

由A+B+C=7C,得sin（A+5）=sinC.所以sinC=4sinCbosA.

由OVCVTT,得sinCwO,所以cosA='.

4

【小問2詳解】

選擇條件①：因?yàn)?<COSA=:<￥=COS：,且余弦函數(shù)y=cosx在（0,兀）上單調(diào)遞減，

ITJT371

故一<A<一,又因?yàn)?=—,從而可得A+3>兀，與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，故①不成立.

424

選擇條件②：由Ae（Oi）,且COSA=L,得sinA=Jl—COS2A=^.

由余弦定理/=匕2+02—2ACOSA，得（2VId『=62+c2_2><6xc><：,

解得c=4或c=-l（舍）.

設(shè)邊3C上高為3則三角形面積S=LbcsinA=La/z,

22

眄

所以bcsinAXX43店.

a2M2

選擇條件③：由人€（0,兀），且cosA=（,得sinA=JI=嬴%=乎.

由Ce（0,兀），且cosC=，得sinC=Jl-cos?C=近^.

44

所以si*in(A+C戶哈卓+%手=?

由正弦定理，得人=竺些=6,所以邊8。上的高/7=加m。=6義通=亞

sinA42

18.發(fā)展純電動(dòng)、插電式混合動(dòng)力等新能源汽車是我國(guó)從汽車大國(guó)邁向汽車強(qiáng)國(guó)的必由之路.為調(diào)查研

究，某地統(tǒng)計(jì)了轄區(qū)內(nèi)從2017年至2024年這8年的新能源汽車和純電動(dòng)汽車的銷量，得到如下折線圖

(單位:百輛)：

百輛，

600

500

400

300

200

100

0

?????新能源一?一純電動(dòng)

在每一年中，記該年純電動(dòng)汽車銷量占該年新能源汽車銷量的比重為。.

(1)從2017年至2024年這8年中隨機(jī)抽取1年，求該年。值超過50%的概率；

(2)現(xiàn)從2019年至2024年這6年中依次隨機(jī)抽取，每次抽取1個(gè)年份，若該年的。值超過5。％,則停

止抽取，否則繼續(xù)從剩余的年份中抽取，直至抽到。值超過50%的年份.記抽取的次數(shù)為X,求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)記2020年至2024年這5年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的方差為s；,且這5年純電動(dòng)汽車銷量數(shù)據(jù)的方差

為s；,寫出s；與s；的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

【答案】(1)y

7

(2)分布列見解析，y

(3)s；〉s；

【解析】

【分析】(1)求出各年的。值，利用古典概型概率公式求結(jié)論；

(2)確定隨機(jī)變量X的可能取值，再求X取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；

(3)先求新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)，純電動(dòng)汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求兩組數(shù)據(jù)的方差，比較大小

即可.

【小問1詳解】

設(shè)從2017年至2024年這8年中隨機(jī)抽取1年，且該年的。值超過50%為事件A,

由圖表知，

3555

2017年的。值為3x100%<50%,2018年的。值為二二xl00%<50%,

80121

2019年的。值為名x100%<50%,

2020年的。值為—X100%<50%,

163182

2021年的。值為qx100%>50%,綏x100%>50%,

2022年的。值為

221398

312

2023年的。值為Jx100%>50%,2024年的。值為—X100%>50%,

412528

所以在2017年至2024年這8年中，有且僅有2021年至2024年這4年的。值超過50%,

41

所以尸(A)=W=5?

oZ

【小問2詳解】

由圖表知，在2019年至2024年這6年中,。值超過50%的有4年,

所以隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3.

422x42x1x41

則p(x=l)=—=—,P(X=2)=—,P(X=3)=

636x515'76x5x415

所以X的分布列為：

X123

241

P

1515

2417

故X的數(shù)學(xué)期望石(X)=lx§+2義區(qū)+3義話=：

【小問3詳解】

從2020年至2024年這5年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

|(182+221+398+412+528)=詈1=348.2,

所以從2020年至2024年這5年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的方差

=-[(182-348.2『+(221-348.2)2+(398-348.2)2+(412-348.2)2+(528-348.2)2

5-

所以s；=16536.16

從2020年至2024年這5年純電動(dòng)汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

111QQ

-(85+121+298+312+366)=^-=236.4,

從2020年至2024年這5年純電動(dòng)汽車銷量數(shù)據(jù)的方差

s；=g[(85—236.4)2+(121—236.47+(298—236.4)2+(312-236.47+(366-236.4)2,

所以s；=12509.04,

所以s；>s；.

19.已知橢圓E：W+/=l(a〉6〉0)離心率為好，A為橢圓E上一點(diǎn)，且點(diǎn)A到橢圓E的兩個(gè)焦

點(diǎn)的距離之和等于2#.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若A關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為8,過點(diǎn)A與AB垂直的直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為C,軸

于點(diǎn)H,直線5c與x軸交于點(diǎn)用SBOM與SAAOH分別表示與八40”的面積，證明：

uqBOM一=乙"。,AOH?

22

【答案】(1)—+^=1

62

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)橢圓性質(zhì)，已知離心率￡=近、長(zhǎng)軸2a=2幾以及/=^+02,通過解方程組就能得

a3

出。、b的值，進(jìn)而得到橢圓方程.

(2)先設(shè)點(diǎn)A、B、"坐標(biāo)，再設(shè)直線3C方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到%、為表達(dá)式?因

為A3_ZAC,根據(jù)向量垂直性質(zhì)得到04AC=0,解出先與乜的關(guān)系.排除直線5c過原點(diǎn)的情況后,

確定%=3日。時(shí)直線方程，求出點(diǎn)以坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得出SBOM=2SAOH.

【小問1詳解】

c_V6

廠亍

由題意，得<2a=2瓜解得a="，b=42>

a1=b-+c2,

22

所以橢圓E的方程為L(zhǎng)+^=l.

62

【小問2詳解】

由題意，設(shè)點(diǎn)人（局,為乂％0為，0）,則點(diǎn)H（xo,O）.

/、/、[y=Ax+Ax-y,

設(shè)直線3C的方程為丁+%=左（1+/），C（x,y）.由1_°n,°n得

ccx?Jy2—?O

2

（3左2+1）%2+6^（fcr0-y0）x+3（Ax0-y0）-6=0.

所以八＞0丫+丫_一6左（也-%）3?-%）?-6

所以△＞（）,f+3J,r/c=342+i'

2

故x「6%（線f）_-6k（kx0-y0）

x+x2fcx

自義c-3左2+]o'yc-fcxc+fcx0-y0------3k2+]----+0_%

又因?yàn)锳BIAC,

所以O(shè)4AC=（x°,%）.「6空。丁。）[6；*o；%）+2K_2y0]=0,

去分母化簡(jiǎn)得到（%-依））（%—3ao）=0,所以％=飆或％=3kx0.

當(dāng)先=為時(shí)，直線3C過原點(diǎn)，不符合題意.

當(dāng)為=3日0時(shí)，直線3C的方程為y=履-2代），則點(diǎn)河坐標(biāo)為（2%,0）,

xOHxx

所以SAOH=^\\\y0\=^0y^SBOM=^\OM\x\y0\=\x0y0\.

故SBOM=2sAOH.

20.已知函數(shù)/（x）=（x+a）e",其中aeR.

（1）若曲線y=/（x）在點(diǎn)（o,7（o））處的切線的斜率為2,求。的值；

（2）求函數(shù)/（%）的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)函數(shù)八%）在區(qū)間［—1,2］上的最大值和最小值分別為"（a）,N（a）,求使得不等式

M（a）-N（a）“2a—l）e°+e2成立的。的最小值.

【答案】（1）a=±\

（2）答案見解析（3）2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

（2）求導(dǎo)，分。=0和aw0兩種情況討論求解即可；

（3）結(jié)合⑵易得函數(shù)在[-1,2]上單調(diào)遞增，再結(jié)合題設(shè)將問題轉(zhuǎn)化為e2>0,令

g（tz）=（a2-?-l）ea-e2,利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，進(jìn)而求解即可.

【小問1詳解】

由/（x）=（x+a）e（K,則/'（尤）=（改+“2+l）ea,

貝|]/'（0）=。2+1=2,解得。=±1.

【小問2詳解】

由/（X）=（x+a）e",則/'（%）=（以+/+l）e"“，

當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x,函數(shù)/（尤）的單調(diào)遞增區(qū)間為（口,”），無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)awO時(shí)，令/'(x)=0,得％=—

a

,2?1(21\

若a>0,由/'(x)>0,得xe------,+oo；由/'(x)<0,得xe-oo,------

\aJI〃/

<21A（21,

所以/（九）的單調(diào)遞增區(qū)間為-巴上,+8,單調(diào)遞減區(qū)間為—，―巴士

Iaa

+

若avO,由/'（尤）>0,得_QO,，+；由/得九￡,+oo

a）（a

所以“X）的單調(diào)遞增區(qū)間為-8,-巴土，單調(diào)遞減區(qū)間為|-巴士,+8.

、a）I〃/

綜上，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（口,”），無單調(diào)遞減區(qū)間；

/2jA（21

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/（九）的單調(diào)遞增區(qū)間為一里二,+8,單調(diào)遞減區(qū)間為-8,-巴土

,d-ya

'cz2+P，2+]、

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)〃x）的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為'+,+8.

-00,-a---------------a

、?I）

【小問3詳解】

由(2)知,當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)八%)在區(qū)間［—1,2］單調(diào)遞增,

2.-1

當(dāng)avO時(shí)，-3----~a+

當(dāng)且僅當(dāng)即〃=—1時(shí)等號(hào)成立，則函數(shù)/(%)在［—1,2］上單調(diào)遞增;

當(dāng)〃>。時(shí)，-

"+1ClH----a-———2

a

當(dāng)且僅當(dāng)a=：,即a=l時(shí)等號(hào)成立，則函數(shù)"%)在［—1,2］上單調(diào)遞增.

綜上所述，函數(shù)八%)在［T2］上單調(diào)遞增，

所以M(a)-N(a)==(2+。)式2〃.(_］+力尸=(?2+?-2)efl.

由M(a)-N(a)“2a—l)ea+e2,得(/—a—l)e”—e?20,

令g(a)=(a?-?-l)e0-e2,則g'(a)=(4+a-2)e",

由g'(a)=。,得a=-2或a=l.

當(dāng)x變化時(shí)，g'(x)與g(%)的變化情況如下表：

a(r,—2)-2(-2,1)1(L+8)

g'(a)+0-0+

g(a)/極大值極小值/

所以g(九)在(-8,-2)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在(-2,1)上單調(diào)遞減.

又因?yàn)間(_2)=5e-2—e2<0,g(l)<g(—2)<0,且g(2)=0,

所以當(dāng)ae［2,+co)時(shí)，g(?)>0；當(dāng)ae(Yo,2)時(shí)，g(a)<0.

即當(dāng)且僅當(dāng)a?2,+co)時(shí)，"(。？/(0)之(20-1”+62恒成立，

所以使得M(a)-N(a)之(2a—l)e"+e?成立的。的最小值為2.

21.如圖，設(shè)A是由3)個(gè)實(shí)數(shù)組成的〃行〃列的數(shù)表，其中均表示位于第，行第/列的實(shí)數(shù)，且

滿足小,如，,，。加（'=1，2,與%，4（/=1，2,'，”）均是公差不為0的等差數(shù)列.

?11%2

〃

21。22a2n

%anlann

若根據(jù)條件P,能求出數(shù)表A中所有的數(shù)，則稱A能被P確定.

（1）已知〃=3,分別根據(jù)下列條件，直接判斷數(shù)表A能否被其確定：

條件P1「'已知陽，的，%”；

條件必：“已知的2，。21，。23