北京市東城區(qū)2024-2025學年高三年級下冊綜合練習（一）數(shù)學試卷（解析版）

北京市東城區(qū)2024-2025學年度第二學期高三綜合練習(一)

數(shù)學

本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.

考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知集合4={也-一6>0},則”=()

A.{x\-2<x<3}B.{x|-3<x<2}

C.1x|-2<x<3|D.{x|-3<x<2}

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式求得集合A,進而可求\A.

【詳解】由7—尤—6>0,可得(％—3)(%+2)>0,解得x<—2或1>3,

所以A={x|x<—2或%>3},所以"A={x|-2WxW3}.

故選：C.

2.下列函數(shù)中，值域為(0,+8)的函數(shù)是

A./(x)=4xB./(x)=lnxC./(x)=2xD./(x)=tanx

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析：確定函數(shù)的值域，應首先關注函數(shù)的定義域.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知〃x)=2,的值域

為(0,+℃),故選C.

考點：函數(shù)的定義域、值域，常見函數(shù)的性質(zhì).

3.在(ax-?)5的展開式中，的系數(shù)為io,則。的值為()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】D

【解析】

【分析】寫出二項式通項，令字母因數(shù)部分指數(shù)為3即可求解.

【詳解】因為(ax-GT的通項為Tk+1=C：3)“卜?了=(一球/y[k=0,J,2,3,4,5),

令5—七=3,解得左=4,

2

則(—l)4xC；a=5a=10,解方程得：a=2.

故選：D.

4.中國茶文化博大精深，茶水的口感與水的溫度有關.一杯8CTC的熱紅茶置于20℃的房間里，茶水的溫

度T(單位：。C)與時間，(單位：min)的函數(shù)的圖象如圖所示.下列說法正確的是()

A.若G+J=2%則/⑷+/&)>2/缶)

B.若％+/3>2%則〃%)+/(/3)>2/6)

C.若/(%)+〃/3)=2/(/2),則：+，3<2/2

D.若/⑹+/圖>2〃/2),則:+。2f2

【答案】A

【解析】

【分析】對于A,由結合函數(shù)的單調(diào)性可得/〉/(列),可判斷A；結合A,以及

BCD的條件逐項計算判斷即可.

【詳解】因為:+4=2%,所以號I=/2，

因為圖象是上凹函數(shù)，所以:&）;/（4）〉?。?即故A正確；

由A知。，使4+/3=2。，則"“）；/僅）〉〃外,即/"J+yOs）＞？/"',

由71+/3〉2f2，則/2＜?4，/?2）＞/?4），故無法判斷/（。）+/（/3），2/?2）的大小關系，故B錯誤；

由A知%，使％+%=2%可得/（。）+/&）＞2/（/4），結合/（。）+/（才3）=2/（/2）*可得

/（幻＞/化）,

由“X）的單調(diào)遞減可得馬，故/1+/3〉2f2,故c錯誤；

由A知，存在%，使0+6=2/4，可得/（。）+/（/3）＞2/（乙），

故存在，0?釬4），使2/（幻=/&）+/&）,

由函數(shù)的單調(diào)性可知方2e&4）時,2/（r0）＞2/（z2）,

當€（4/4）時，彳+4〉2/2，

當［2=。時，%+/=2t2,

當^武。，。時，4+4＜2%故D錯誤.

故選：A.

5.在平面直角坐標系xOy中，角。以O尤為始邊，其終邊落在第一象限，則下列三角函數(shù)值中一定大于零

的是（）

A.sin（兀+a）B.cos（7i-?）C.sin2czD.cos2a

【答案】C

【解析】

【分析】先得到sin。＞0,cos。＞0,利用誘導公式和倍角公式得到AB錯誤，C正確，舉出反例得到D錯

誤.

【詳解】由題意得sina＞0,cosa＞0,

A選項，sin（兀+1）=一sine＜0,A錯誤；

B選項，cos（7i-?）=-coscr＜0,B錯誤；

C選項，sin2cr=2sincrcosa>0,C正確;

JI

D選項，cos2cr=cos2（z-sin2a>若。=—,此時cos2a=0,D錯誤.

4

故選：C

6.已知｛%｝是各項均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列，其中的三項為41,25,13,則｛q｝的公差可以為（）

A.-4B.-3C.4D.3

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可得｛4｝只能是常數(shù)數(shù)列或單調(diào)遞增數(shù)列，結合｛?！埃械娜棡?1,25,13,可求得公差

的可能值.

【詳解】因為｛4｝是各項均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列，所以｛4｝只能是常數(shù)數(shù)列或單調(diào)遞增數(shù)列，

若｛4｝中三項為41,25,13,則它們在數(shù)列中的位置只能是13排在前，41排在后，

由25-13=12,41—25=16,由12,16同時是公差的倍數(shù)，

所以公差可以為L2,4.

故選：C.

7.長度為2的線段A3的兩個端點分別在*軸及〉軸上運動，則線段A3的中點到直線3工+4,+10=0距

離的最小值為（）

A.1B.72C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】確定A3的中點的軌跡方程為圓，結合圓心到直線的距離即可求解.

【詳解】設A（x,0）,5（0,y）,

由題意可得：f+y2=4,

X

m--

設AB的中點坐標為〃），貝叫,

所以7九2+川=1，即線段A3的中點的軌跡是以（0,0）為圓心，1為半徑的圓,

圓心（0,0）到3x+4y+10=。的距離為：42—=2,

,9+16

所以線段A8的中點到直線3x+4y+10=。距離的最小值為2—1=1，

故選：A

8.已知貝產(chǎn)下>2，”是“1。82]>1。84（丁一1）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)4*>2>、log2%>log4（yT）分別有2x>>、y<x-+l,結合基本不等式有了2+I>2X，再

根據(jù)推出關系判斷條件間的關系.

【詳解】由4'=22">2丫，則必有2x>y,

由1。82%>1084（y-1）,貝ijlogz/>log2（y-l）,可得丁<必+1,

又x>l,根據(jù)基本不等式有f+1>2%,

y

若4、>2,且y>1，則有犬+1〉2x〉y〉1,即4*>2是log2x>log4（y-l）的充分條件，

若x=3,y=7,則2X<丁</+1,此時滿足1082%>1084（y一1）,但4r>2>不成立，

所以4工>2,是log2x>log4（y-l）的非必要條件，

綜上，“4">2'"是"log2X>log4（yT）”的充分不必要條件?

故選：A

9.祈年殿（圖1）是北京市標志性建筑之一、距今已有600多年歷史.殿內(nèi)部有垂直于地面的28根木柱，

分三圈環(huán)形均勻排列.內(nèi)圈有4根約為19米的龍井柱，寓意一年四季；中圈有12根約為13米的金柱，代

表十二個月；外圈有12根約為6米的檐柱，象征十二個時辰.已知由一根龍井柱A、和兩根金柱8片,CG

形成的幾何體A3C—4與。1（圖2）中，=米，144°.則平面44G與平面ABC

所成角的正切值約為（

A]

圖1圖2

43

------B.C.------D.-----------

3sinl80---------------4sinl8°3cosl804cosl8°

【答案】B

【解析】

[分析】若平面ABCII平面DBG,E是與G的中點，連接DE,A.E,從而得到Z^ED是平面44cl

與平面D4cl所成角的平面角，即為所求角，結合已知求其正切值.

【詳解】若平面A6C//平面。耳C，則平面44G與平面ABC所成角，即為平面44G與平面。用￡

所成角，

由題意有AABCMADBC],即△。與G是等腰三角形，腰長約為8米，/用DC]土144。，易知

NDBG=NDCR之18。，

若E是4G的中點，連接。E，AE,則。與G，且平面。耳￡,

由與Gu平面DBG,則4。工用G，DEn4。=。都在平面ADE內(nèi)，

所以gG，平面4。石，則/4即是平面44cl與平面。用G所成角的平面角，

其中4。=19-13=6,DE=8sinl8°>則tan幺6。=位=---

DE4sin18°

C

故選：B

10.已知集合A={(尤,y)ly=Jd—1},B={(x,y)|y=a\x+c^,如果AcB有且只有兩個元素，貝！I

實數(shù)。的取值范圍為()

A.(-oo,l)B.(1,+8)C.[0,1]D.[O,1)|J(!,+(?)

【答案】D

【解析】

【分析】先分析出曲線丁=療3表示的是雙曲線必-V=1在X軸上及上方的所有點，再分情況討論當

。取不同值時，y=a|x+a|表示的不同曲線，及與曲線丁=岸二！的交點個數(shù)情況即可得到結果.

【詳解】因為Ac5有且只有兩個元素，

所以曲線y=J義工與y=a|x+a|有且只有兩個交點.

對于曲線y=J7二i變形可得f—丁2=1(丁20)，

表示的是雙曲線——y2=1在X軸上及上方的所有點，

對于曲線y=a|x+a|,

(1)當a=0時，如圖所示，y=a|x+a|表示的是一條直線y=。,

與三―丁=1(/0)交于(1,0),(—1,0)兩點，符合題意；

(2)當a<0時，y=a\x+a\<0,與f—丁=1(丁之。)至多有一個交點，不符合題意;

(3)當。>0時，y=a|x+a|表示的是兩條射線，

a(x+tz)(x>-a)

-a(x+a)(x<-a)

①當a=l時，y=a|x+a|表示的是y=x+l(x?—l)

和y=—(x+l)(x<-l)兩條射線,

與*—丁=l(y20)僅有(—1,0)一個交點,

如下圖所示，所以。=1不符合題意;

②當0<a<l時，y=a|x+M與X軸的交點為(一。,0),-ae(-l,o),

且y=a(x+a)的斜率tze(0,l),y=-a(x+a)的斜率—ae(-1,0),

而雙曲線好—y2=1的兩條漸近線為y=±X,斜率分別為1和—1,

所以y=a|x+a|與Y—y2=1（丁20）的左右兩支各有一個交點,

如下圖所示，所以0<。<1符合題意；

③當a〉l時，y=a|x+a|與x軸的交點為（一。,0）,-a<-1,

且y=a(x+a)的斜率a>l,y=-a(x+a)的斜率一。<一1,

而雙曲線必—_/=1的兩條漸近線為y=±*，斜率分別為1和—1,

所以y=a|x+a|與Y-丁=l（y>0）的右支沒有交點，與左支有兩個交點,

如下圖所示，所以a>l符合題意;

綜上，實數(shù)。的取值范圍為［0］）。（1,+”）.

故選：D

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.若復數(shù)z滿足（l+i）-z=i,貝|目=.

【答案】

22

【解析】

【分析】應用復數(shù)除法的幾何意義及模長求法求結果.

【詳解】由題設z=上，貝1］上|=-^-=3=也

l+i|l+i|夜2

故答案為：f

12.已知向量?，及工在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,貝i|cos<瓦）〉=

；（a-b\c

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)網(wǎng)格寫出向量2的模，再平移向量"求出""與信,"的夾角的余弦值，應用向量的數(shù)量積

公式求解即可.

【詳解】平移向量"與B共起點，易看出反"的夾角為45。，

--yfl

cos<b,c>-cos45°=——

2

同=G,M=夜，|c|=1,

的夾角的余弦值cos<ZI>=3=@,b,c的夾角為45°，

石5

a-b]-c=a-c-b-c=同同COS伍弓一15

=&x1x-0xlxcos450=0.

故答案為:；0.

2

13.己知拋物線。：丫2=20%(0>0)的焦點為尸，點〃為C上任意一點，且總有則P的一個

值可以為.

【答案】2(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線性質(zhì)有結合已知得pN2,即可得.

【詳解】由拋物線的性質(zhì)知X|MF|>1,即■之

所以P的一個值可以為2.

故答案為：2(答案不唯一)

14.己知函數(shù)/(x)=sin&a(0>0)，若/(%)的最小正周期為兀，則。=;若存在

^,x2G[71,271],使得|/(石)一/(蒼)|=2,則0的最小值為.

【答案】?.2-

4

【解析】

【分析】由正弦型函數(shù)的最小正周期公式可求。，由題意可得/(%),/(9)為函數(shù)的最大值或最小值，由

/713兀

CDTl<—(V71<——

2或<2

題意可得,可求。的最小值.

2am>—2^71>—

22

2JT

【詳解】因為函數(shù)/(x)=sinox(。>0)的最小正周期為兀，所以了=兀，解得。=2,

因為/(x)=sinft?x(ty>0)G[_l,l],又石=2,

所以/(%)，/(%)為函數(shù)的最大值或最小值，

要使。最小，則最大值與最小值應在同一個周期內(nèi),

由xe[兀,2兀],貝!|e[am,2am],

兀3兀

(D7l<—。兀?——

2—253

則或，解得:

3兀5兀42

2師2——2CDTI>—

2I2

所以。的最小值為3.

4

故答案為：①2；②一.

4

15.己知數(shù)列｛4｝滿足q+2=q+1+2%("=123-?)，且％=1.給出下列四個結論:

①若為e(O,+°°)，當“23時，an+l>an-

②若見?—2,0),當〃N3時，an+l<an-

③若。2e(-LO)，對任意正數(shù)V,存在正整數(shù)N0,當〃〉乂時，an>M-

④若。28,T)，對任意負數(shù)M，存在正整數(shù)乂，當〃〉乂時，an<M.

其中正確結論的序號是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】先根據(jù)a.=an+l+2an(?=1,2,3,---)構造新數(shù)列｛%+i+an｝是首相為4+1，公比為2的等比數(shù)

列，得出an+l+an=4+1)21再構造新數(shù)列\(zhòng)an-^±1'2"｝是首相為馬黃，公比為—1的等比數(shù)列,

從而求出數(shù)列｛4｝的通項公式；對于①，利用作差法即可判斷；對于②，取。2=-1即可判斷錯誤；對于③，

求解不等式a〃>M,利用放縮法找到正整數(shù)No即可；對于④，求解不等式為<M,利用放縮法找到正

整數(shù)No即可.

【詳解】因為4+2=%+1+2%5=1,2,3一)且4=1,所以%+2+為+1=2%+2%=2(%+%),

所以｛%+1+%｝是首相為4+1，公比為2的等比數(shù)列，所以4+]+%=(g+1)2"7,

即+(%+l)2j所以修義2向=一卜"一修x2”[,又4—3義2:學，

o<0763

所以一號"x2"｝是首相為29，公比為—1的等比數(shù)列，所以4—七/x2"=2/(—1)”\

即乙=第1x2"+￥(-l)j,

o3

對于①，若&e(O,+8),當〃23時，

*=丹文2用+三^(—廣=^±1x2"'(-I)"-(-1

當“23且為奇數(shù)時，??+1-??=^xr-^x2=^+|?2+^-1>0;

63(63)63

當“23且為偶數(shù)數(shù)時，“用一4=安'2"+?*2=［圣一段］電+"+1>()；

63163)63

綜上an+l-an>0,即40+1>an,故①正確;

對于②，若凡e(—2,0),取。2=-1，則為=竽lx2"+^^(一1產(chǎn)故②錯誤;

63

對于③,若的￡(-1,0),則。2+1>。，2-。2>。，

對任意正數(shù)以，由見〉〃得力,=友土1%2"+2*(—l)e>M,

63

當2〃〉扁/時上式一定成立，即"log2［六［M+-

'6/n/2一%

故存在正整數(shù)No=log2M+------=-當〃,TV。時，an>M,故③正確;

、2+1I3

對于④，若生則出+1<0,2-〃2>°，

1

對任意負數(shù)M,由4<M得an=%已x2"+2*(-i)"<M,

當2">—時a<M成立，gpn>log2|—^―|11,

%+M3)S+M3))

故存在正整數(shù)乂=log2-----M-----,當〃>乂時，an<M,故④正確;

_g+M3

故答案為：①③④

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在VABC中a=6,6-c=l,sinC=.

(1)求》的值及VA3C的面積;

(2)求證：A=2C.

【答案】

（1）b=5,SZ八AADC4

（2）證明見解析.

【解析】

3

【分析】（1）由正弦值得cosC=土一，再應用余弦定理列方程求得3=5,最后應用三角形面積公式求面

4

積；

（2）由（1）及二倍角余弦公式得cos2C='，再應用余弦定理求得cosA=』，結合三角形內(nèi)角的性質(zhì)即

88

可證.

【小問1詳解】

由sinC=^^,可得cosC=±°,而c?=儲+6?-2a6cosC,

44

所以。2=36+（c+iy±9（c+l）,即37+2C±9（C+1）=0,顯然46+llc=0不成立，

所以37+2c—9（c+l）=0,可得c=4,則Z?=5,

痂c'卜.「'一幣15近

故=—cibsine=-x6x5x——=-------；

△ABC2244

【小問2詳解】

31

由（1）易知cosC=—，則cos2c=2cos9C——，

48

由（1）及余弦定理有cos4=.+°2一片=25+16—36;工,

2bc2x5x48

所以cosA=cos2C,又A。￡（0,兀）,A+C〈兀，則A=2C.

17.如圖，在幾何體A5CDE/中，四邊形A5CD為平行四邊形，平面ADE，平面

CDE,AD工DE,AD=DE=DC=1,BF//DE.

(1)證明：EC//平面ADE；

(2)已知點E到平面ARC的距離為二？，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求,

2

的長.

條件①：AELCD-,

條件②：AC=CE.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)證明見解析；

(2)所選條件見解析，BF=-.

2

【解析】

【分析】(1)由題設得AD/ABC,BF/IDE,應用線面平行的判定證明BC//平面ADE,BE〃平面

ADE,再由面面平行的判定及性質(zhì)證明結論；

(2)根據(jù)已知證明A￡>J_DE,AD±CD,CD，DE,構建合適的空間直角坐標系，應用向量法求點面

距，列方程求所的長.

【小問1詳解】

由四邊形ABCD為平行四邊形，則AD//5C,又BFIIDE,

ADu平面ADE,BCa平面ADE,則3C//平面ADE,同理BF〃平面ADE,

由3。03尸=3,5cM都在平面Bb內(nèi)，則平面BCE//平面ADE,

bCu平面BCN,則EC//平面ADE；

【小問2詳解】

平面ADEL平面CDE,ADJ.DE,平面4。七門平面CDE=DE,ADu平面ADE，

所以AD,平面CDE,。石,。。<=平面。。石，則A￡>_LDE,ADLCD,

選條件①：AE1CD,ADcAE=A都在平面ADE內(nèi)，則CD,平面ADE,

DEu平面ADE，則CDLOE；

選條件②：由A￡)工DE,AD±CD,AD=DE=DC=1,

則VADEMVADC，又AC=CE,故AC=AE=CE,

所以AAZ)E三△AT>C*EDC,則CDLDE,

綜上，ADYDE,ADLCD,CD工DE,

以。為原點，方X,友，詼為％，y，z的正方向建立空間直角坐標系。一孫z,

所以A(1,O,O),C(O,1,O),E(O,O,1),令所=%>0,則尸(LL%),

故礪=(0,1,%)"=(l,0,x),=(-1,0,1),

m?AF=/?+xc=0

令m=（a,b,c）是平面AFC的一個法向量，貝人

m-CF=a+xc=0

取。=%,則加=(%,%,-1),

由題設I組"1=J+1=見，可得4f—4X+1=0=>X=L,

\m\J2-+122

所以3歹=』.

2

18.據(jù)國家相關部門統(tǒng)計，2023年華東地區(qū)、東北地區(qū)主要省份的水稻、小麥的播種面積和產(chǎn)量數(shù)據(jù)見下

表:

水稻小麥

播種面積（千公產(chǎn)量（萬播種面積（千公產(chǎn)量（萬

頃）噸）頃）噸）

江蘇省2221.02003.22389.51373.5

浙江省649.0485.3152.666.4

安徽省2500.71609.82862.71740.7

華東

地區(qū)

福建省601.1394.60.100

江西省3383.92070.711.33.5

山東省101.086.14008.92673.8

遼寧省500.5412.92.00.8

東北

吉林省828.8682.15.01.7

地區(qū)

黑龍江省3268.52110.019.37.5

(1)從表1中的華東地區(qū)隨機抽取1個省份，求該省水稻產(chǎn)量比小麥產(chǎn)量少的概率；

(2)從表1的9個省份中隨機抽取2個，設X為水稻播種面積排在前5名且屬于東北地區(qū)省份的個數(shù).求

X的分布列與數(shù)學期望；

(3)2023年華東地區(qū)、東北地區(qū)和華北地區(qū)主要糧食作物的播種面積及其采用新技術的播種面積占該作

物總播種面積的比值(簡稱新技術占比率)數(shù)據(jù)見下表：

糧食播種面積新技術糧食播種面積新技術

作物(千公頃)占比率作物(千公頃)占比率

華東地區(qū)水稻9456.70.70小麥9425.10.60

東北地區(qū)水稻4597.80.55玉米13800.00.65

華北地區(qū).小麥3184.50.65玉米9564.70.60

記華東地區(qū)和東北地區(qū)水稻播種總面積新技術占比率、華東地區(qū)和華北地區(qū)小麥播種總面積的新技術占

比率、東北地區(qū)和華北地區(qū)玉米播種總面積的新技術占比率分別為a,b,c.依據(jù)表2中的數(shù)據(jù)比較a,。,c的

大小.(結論不要求證明)

【答案】(1)—；

3

4

(2)分布列見解析，E(X)=-；

(3)a>c>b.

【解析】

【分析】(1)應用古典概型的概率求法求華東地區(qū)隨機抽取1個省份，水稻產(chǎn)量比小麥產(chǎn)量少的概率；

(2)由題意X可能值為0』,2,應用超幾何分布的概率求法求概率，即得分布列，進而求期望；

(3)根據(jù)表格分別求出各地區(qū)作物新技術占比率，比較大小即可.

【小問1詳解】

由表格，華東地區(qū)6省中只有安徽省、山東省的水稻產(chǎn)量比小麥產(chǎn)量少，

所以華東地區(qū)隨機抽取1個省份，水稻產(chǎn)量比小麥產(chǎn)量少的概率2=工；

63

【小問2詳解】

由表格，水稻播種面積最大的5個省依次為江西、黑龍江、安徽、江蘇、吉林,

其中華東地區(qū)有3個，東北地區(qū)有2個，若9個省份中隨機抽取2個，

水稻播種面積排在前5名且屬于東北地區(qū)省份的個數(shù)X可能值為0』,2,

C27C'C17C21

05=0)=言=不，。儂=1)=中=履，P(X=2)=-^=-

C912C9loC936

分布列如下,

X012

771

P

121836

7714

所以石(X)=0x'+lx'+2x—=—；

1218369

【小問3詳解】

9456.7x0.7--4597.8x0.55,9425.1x0.6+3184.5x0.65

由表格知a?0.651,b=-------------------------------------0.6126,

9456.7+4597.89425.1+3184.5

13800x0.65+9564.7x0.6

?0.6295,

13800+9564.7

所以a>c>/?.

22離心率為半，E上的點關于x軸

19.已知橢圓E：「+l=l（a〉6〉0）過點（0,1），

a2b2

的對稱點為8.設。為原點,OH=2OA（0<2<1）,過點〃與x軸平行的直線交E于點P,Q.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若點8在以PQ為直徑的圓上，求力的值.

2

【答案】(1)—+/=1

3-

⑵I

【解析】

【分析】（1）由橢圓二+與=1過點（0,1）可求出沙=1,由離心率為逅及橢圓中片=廿+。2,可求得

ab3

a2=3,即可得到橢圓方程;

（2）先由條件得到3,"的坐標，再得到過”的直線方程，代入雙曲線得到P,。的坐標，進而得到以P。為

直徑的圓的方程，再利用點8既在圓上，又在橢圓上，化簡整理即可求出2的值.

【小問1詳解】

22

因為橢圓￡：?+/=1（。〉6〉0）過點（0,1）,

\=1,即/?=1

所以

因為橢圓的離心率為如，所以A/6A/6

—，c-...a，

又因為橢圓中/=〃+°2,代入可得標=1+

解得1=3,所以橢圓的方程為L+y2=l；

3-

【小問2詳解】

如圖所示，因為A關于x軸的對稱點為B,A（m,n）,所以B（m,一〃），

因為加=及次，所以兩=（力徨,力2）,所以H（力耳/1〃）,

所以過點H與x軸平行的直線為y=,

2

將直線y=九〃代入橢圓方程L+丫2=1,

3-

2

可得q+（；l〃）2=1,即V=3（1-%“2）

所以個小3(1-萬“2)"4e^3(l-22n2),2nj,

所以以PQ為直徑的圓的圓心為(0,An),半徑為網(wǎng)—42n2),

所以圓的方程為/+(y—X〃)2=3(l—萬川)，

因為點8在圓上，所以W+(f-沏『=3(1-方層)，

即M+"2(1+為2=3-322n2(*),

又因為點8在橢圓上，所以4_+九2=1,即療=3(1—”2),

代入(*)可得3(l-n2)+?2(l+2)2=3-322n2,

化簡后可得2彳2+九一1=。，解得;1=,或；[=—1(舍)，

2

所以x=L

2

20.設函數(shù)/(x)=(x—2)e'+依+》，曲線y=/(x)在A(0,〃0))處的切線方程為y=0.

(1)求6的值；

(2)求不等式/(方"0的解集；

(3)已知以%/⑺)，其中/>2,直線的方程為y=g(尤).若冷/w(OJ)，且/(%)=g(%2)，求

證：xl>x2.

。=1

【答案】(1)〈C；

b=2

(2)[0,+oo)；

(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，結合已知求參數(shù)值；

(2)導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結合函數(shù)的零點求不等式的解集；

(3)問題化為xe(0")且/〉2上平〉幺立恒成立，即判定證明y(x)、〃(x)=/'(x)在(0,+s)上單調(diào)

遞增即可證.

【小問1詳解】

由題設r(x)=(x—l)e*+a,則/''(0)=a—1,而/(0)=b—2,

所以曲線y=/(x)在A(0,/(0))處切線方程為y—3—2)=(a—l)(x—0),

a—1—0tz—1

所以y=(〃-l)x+S—2),即為y=。，則<cc；

/?-2=0\b-2

【小問2詳解】

由⑴得/(x)=(x—2)e*+x+2,則/'(x)=(x—l)e'+l,

令/?(%)=f\x),則K(x)=%er,

當x<0,〃(x)<0,〃(x)=/'(x)在(—8,0)上單調(diào)遞減，

當x>0,h'(x)>0,〃(x)=/'(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

所以八x)?/'(0)=。，故在R上單調(diào)遞增,且"0)=0,

所以“X)20的解集為［0,+oo)；

【小問3詳解】

由(2)知/(%)在R上單調(diào)遞增，要證%>%2，即證/(西)〉/(々)，

由牛巧e(Oj)且/(石)=且(々),即證g(w)>〃/),

由A(0,0),/(?)),則g(x)=/^x且，>2,

所以xe(01)且r〉2上，證明fx〉(x—2)e*+x+2,即恒成立,

所以，只需證/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且增長速度逐漸變快，

由(2)/(0)=0,/(%)、〃(％)=/'(%)在(0,+℃)上均單調(diào)遞增，

所以xe(0,/)且/>2上，―^恒成立，故玉〉馬，得證.

tx-

21.已知有限數(shù)列A:。/2，…，。2"-1("￡^,"23)滿足4€{1,2-、”}?=1,2「?,2”-1).對于給定的

k(k=2,3,…川，若A中存在k項滿足/<%<???<%(l<z；<z2<---<4<2〃-1),則稱A有七項遞

增子歹U；若A中存在k項滿足a.>?.>?.?>%(1W彳<%<???<ik<2?-1),則稱A有k項遞減子列.當

A既有n項遞增子列又有〃項遞減子列時，稱A具有性質(zhì)P.

(1)判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)P;

①4,1,3,2,1,3,4；

②1,2,5,4,3,4,5,3,1.

(2)若數(shù)列A中有6證明：數(shù)列A不具有性質(zhì)產(chǎn)；

(3)當數(shù)列A具有性質(zhì)P時，若A中任意連續(xù)的〃項中都包含左項遞增子列，求左的最大值.

【答案】(1)數(shù)列①具有性質(zhì)P,數(shù)列②不具有性質(zhì)尸

叫/為奇數(shù)

2

(2)證明見解析(3)儲ax=

為偶數(shù)

12

【解析】

【分析】(1)根據(jù)性質(zhì)P判斷即可；

(2)利用反證法，假設數(shù)列A具有性質(zhì)P,則數(shù)列A中存在〃項遞增的數(shù)列｛2｝和〃項遞減數(shù)列｛c.｝,

分析可知，存在，9e｛L2,3,…在A中恰出現(xiàn)一次，不妨記為%

記勺=W，則必有Jf+i=4,再根據(jù)數(shù)列也｝遞增，｛%｝遞減，推導出左=〃，推出矛盾，從而說明結

論成立；

(3)由⑵知，數(shù)列A中恰有一項4,既是也｝的項，也是匕｝的項，記%=%,所以，cn_J+1=an,

對數(shù)列A項數(shù)最多的子列進行分析，可知遞增子列的項數(shù)最多為〃+