2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸訓(xùn)練：幾何綜合六種模型 （學(xué)生版）

專題14幾何綜合六種模型

壓軸題密押

通用的解題思路：

題型一：兩垂一圓構(gòu)造直角三角形模型

平面內(nèi)有兩點(diǎn)A,B,再找一點(diǎn)C,使得ABC為直角三角形

分類討論：

若NA=90。，則點(diǎn)C在過點(diǎn)A且垂直于AB的直線上（除點(diǎn)A夕卜）;

若NB=90°,則點(diǎn)C在過點(diǎn)B且垂直于AB的直線上（除點(diǎn)B外）；

若NC=90°,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上（除點(diǎn)A,B外）.

以上簡(jiǎn)稱“兩垂一圓”.

“兩垂一圓”上的點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，但要除去A,B兩點(diǎn).

題型二：兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形模型

分類討論：

若AB=AC,則點(diǎn)C在以點(diǎn)A為圓心，線段AB的長為半徑的圓上；

若BA=BC,則點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，線段AB的長為半徑的圓上；

若CA=CB,則點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡(jiǎn)稱“兩圓一中垂”

“兩圓一中垂”上的點(diǎn)能構(gòu)成等腰三角形，但是要除去原有的點(diǎn)A,B,還要除去因共線無法構(gòu)成三角形的點(diǎn)MN

以及線段AB中點(diǎn)E（共除去5個(gè)點(diǎn)）需要注意細(xì)節(jié)

題型三：胡不歸模型

【模型解讀】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為且％＜也，A、

B為定點(diǎn),點(diǎn)C在直線/WN上，確定點(diǎn)C的位置使生+生的值最小.（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）

匕匕

ACBC

1)----1----BC+^-AC,記k,即求BC+kAC的最小值.

匕匕

2）構(gòu)造射線A。使得sinNDAN=k,—=k,CH=k47,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.

AC

3）過B點(diǎn)作BH1AD交MN于點(diǎn)C,交八。于”點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小.

【解題關(guān)鍵】在求形如"小+kPB"的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將"R4+kP8”型問題轉(zhuǎn)

化為"%+PC型.（若Q1,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。

題型四：阿氏圓模型

【模型解讀】如圖1所示，。。的半徑為r,點(diǎn)A、B都在。0外，P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k-OB,連

接PA、PB,則當(dāng)“PA+k，PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

如圖2,在線段0B上截取0C使OC=kr,則可說明△BP。與△PC。相似，即k-PB=PC。

故本題求“PA+/PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，

其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3所示:

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：

在前面的“胡不歸”問題中，我們見識(shí)了“k%+PB”最值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)?/p>

圓時(shí)，即通常我們所說的"阿氏圓"問題.

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題。

題型五：瓜豆原理模型（點(diǎn)在直線上）

【模型解讀】

瓜豆原理：若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同。

動(dòng)點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進(jìn)程影響，估只對(duì)瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。

主動(dòng)點(diǎn)叫瓜，從動(dòng)點(diǎn)叫豆，瓜在直線上運(yùn)動(dòng)，豆也在直線_上運(yùn)動(dòng)；瓜在圓周上運(yùn)動(dòng)，豆的軌跡也是圓。

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。

模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為直線

1）如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,取AP中點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

解析：當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線.

理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N,在運(yùn)動(dòng)過程中，因?yàn)锳P=2AQ,所以QN始

終為A/W的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線.

2）如圖，在MPQ中AP=AQ,EIRAQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？

理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始

位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段。

【最值原理】動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用"垂線段最短"求最值。

1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡已知時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；

2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡未知時(shí)，先確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，再垂線段最短求最值。

3）確定動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法（重點(diǎn)）

①當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；

②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；

③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；

④觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等特殊位置考慮；

⑤若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、矩形對(duì)角線、全等、相似）為

其他已知軌跡的線段求最值。

題型六：瓜豆原理模型（點(diǎn)在圓上）

【模型解讀】

模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧

模型1-1.如圖，P是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,Q為4P中點(diǎn).Q點(diǎn)軌跡是？

如圖，連接A。，取A。中點(diǎn)任意時(shí)刻，均有ELA/MQaiAOP,QM:P0=AQ:AP=l:2.

則動(dòng)點(diǎn)。是以“為圓心，為半徑的圓。

模型1-2.如圖，B4PQ是直角三角形，明4Q=90。且AP=k-AQ,當(dāng)P在圓。運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

如圖，連結(jié)A0,作AM3A0,AO:AM=k:l；任意時(shí)刻均有B4POEB4QM,且相似比為k。

則動(dòng)點(diǎn)。是以“為圓心，為半徑的圓。

模型1-3.定義型：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動(dòng)態(tài)翻折中）

如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，但A8=AC=AP,則8、C、P三點(diǎn)共圓，

則動(dòng)點(diǎn)P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。

模型14定邊對(duì)定角(或直角)模型

1)一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，EMPB=90°,則動(dòng)點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。

2)一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓弧.

如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，MPB為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧。

【模型原理】動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用："一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑

之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差"的性質(zhì)求解。

壓軸題預(yù)測(cè)

題型一：兩垂一圓構(gòu)造直角三角形模型

1.(2023?安溪縣二模)如圖，是半圓O的直徑，BPLAB,PD與半圓O相切于點(diǎn)。，連接45并延

長，交的延長線于點(diǎn)C.

(1)求證：PB=PC；

(2)若0O的半徑為5,AD=8,求3尸的長.

2.(2023?平房區(qū)二模)如圖1,AABC內(nèi)接于OO中，Afi為直徑，點(diǎn)。在弧BC上，連接AD,CD.

(1)求證：ZCAB+ZD=90°；

(2)如圖2,連接OC交A3于點(diǎn)/，若NZMB+2NC4D=90。，求證：AC=CD；

(3)在(2)的條件下，如圖3,點(diǎn)E在線段CF上，連接AE,BE交AD于點(diǎn)H,若NEHA=2NEAH,AE=6,

3.(2022?蔡甸區(qū)校級(jí)模擬)如圖，點(diǎn)E是正方形A5CD邊3C上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與3、C重合)，連接DE交

對(duì)角線AC于點(diǎn)尸，AAD廠的外接圓。交邊于點(diǎn)G,連接GO、GE.

(1)求NEDG的度數(shù)；

(2)若——=-,求tanNDEG.

CE2

B

DC

4.(2023?懷化)如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)尸是。。外一點(diǎn)，上4與0。相切于點(diǎn)A,點(diǎn)C為。O上的一

點(diǎn).連接尸C、AC.OC,且尸C=R4.

(1)求證：PC為QO的切線；

(2)延長尸C與AB的延長線交于點(diǎn)￡),求證：PDOC=PAOD；

(3)若NC4B=3O。，OD=8,求陰影部分的面積.

5.(2023?廣陵區(qū)二模)如圖，頂點(diǎn)為A(Y,4)的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)(0,0),點(diǎn)尸在該圖象上，O尸交其

對(duì)稱軸/于點(diǎn)/，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，連接RV,ON.

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(-6,3),求AOPN的面積；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸在對(duì)稱軸/左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)解答下面問題：

①求證：ZPNM=ZONM；

②若AOPN為直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

6.（2024?寶安區(qū)二模）“海之躍”摩天輪是某地區(qū)的城市名片.濱城學(xué)校九年級(jí)（3）班的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)

計(jì)劃在摩天輪上測(cè)量一座寫字樓的高度.

【素材一】如圖1，“海之躍”摩天輪共有24個(gè)轎廂，均勻分布在圓周上.擬測(cè)算的寫字樓與摩天輪在同一

平面內(nèi).

【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和鉛錘，制作測(cè)角儀器（如圖2）.

圖2圖3

,如圖3,摩天輪的最局局度為128米，半徑為60米，該團(tuán)隊(duì)

分成三組分別乘坐1號(hào)、4號(hào)和10號(hào)轎廂，當(dāng)1號(hào)轎廂運(yùn)動(dòng)到摩天輪最高點(diǎn)時(shí)，三組隊(duì)員同時(shí)使用測(cè)角儀

觀測(cè)寫字樓最高處。點(diǎn)，觀測(cè)數(shù)據(jù)如表（觀測(cè)誤差忽略不計(jì)）.

【任務(wù)一】初步探究，獲取基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

（1）如圖3,請(qǐng)連接AO、BO,則NAOF=°；

（2）求出1號(hào)轎廂運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，4號(hào)轎廂所在位置3點(diǎn)的高度.（結(jié)果保留根號(hào)）

【任務(wù)二】推理分析，估算實(shí)際高度

（3）根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算寫字樓的實(shí)際高度。N.（結(jié)果用四舍五入法取整數(shù)，72-1.41）

7.(2022?江北區(qū)一模)如圖1,四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，其中=對(duì)角線AC、相交

于點(diǎn)E,在AC上取一點(diǎn)尸，使得"=過點(diǎn)尸作GHLAC交QO于點(diǎn)G、H.

(1)證明：\AED~\ADC.

(2)如圖2,若AE=1,且G”恰好經(jīng)過圓心O,求3c-CD的值.

(3)若AE=1,EF=2,設(shè)跳;的長為無.

①如圖3,用含有x的代數(shù)式表示A5CD的周長.

②如圖4,3C恰好經(jīng)過圓心O,求ABCD內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比值.

4*一號(hào)

圖1圖2圖3圖4

題型二：兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形模型

1.（2022?開州區(qū)模擬）如圖，在等腰RtAABC中，AB=BC,。是3c的中點(diǎn)，E為AC邊上任意一點(diǎn),

連接小，將線段DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段DF,連接￡F,交鉆于點(diǎn)G.

（1）如圖1,若AB=6,AE=yf2,求ED的長；

（2）如圖2,點(diǎn)G恰好是EF的中點(diǎn)，連接所，求證：CD=42BF；

（3）如圖3,若43=4夜，連接CF,當(dāng)+取得最小值時(shí).請(qǐng)直接寫出斯的值.

圖2圖3

2.(2023春?璧山區(qū)校級(jí)期中)如圖，直線丫=區(qū)+匕經(jīng)過點(diǎn)4(8,0)和3(0,4)兩點(diǎn)，將AAO3沿直線/對(duì)折使

點(diǎn)A和點(diǎn)3重合，直線/與無軸交于點(diǎn)C與AB交于點(diǎn)。，點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為2,連接3c.

(1)求直線4?的解析式；

(2)若點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，且ABED的面積為10,求ABQE的周長；

(3)已知y軸上有一點(diǎn)尸，若以點(diǎn)3,C,尸為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)

P的坐標(biāo).

題型三：胡不歸模型

1.(2023?湘潭縣校級(jí)三模)如圖，拋物線丁=加+方龍+3(。H0)與x軸相交于點(diǎn)4-1,0),5(3,0),與y軸

交于點(diǎn)C,連接3C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)尸為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接3P,求疝片9+103尸的最小值；

(3)連接AC,在x軸上是否存在一點(diǎn)P,使得NPCO+NACO=45。？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

2.(2023?徐州二模)拋物線y=-d+bx+3與直線y=x+l相交于A、3兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)A在

x軸的負(fù)半軸上.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo);

(2)如圖1,直線AB上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P作于點(diǎn)求垂線段尸〃的最大值;

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，連接"，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)當(dāng)AM+或DW

5

最小時(shí)，直接寫出此時(shí)"的長度.

圖1圖2

3.(2023?丘北縣一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=辦2+法+4與x軸交于A(T,0)、3(2,0)兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接AC.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)P是線段AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接以、PC,當(dāng)AR4c的面積最大時(shí),

4.（2019?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=f-2x-3與x軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左

側(cè)），交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E.

（1）連接班），點(diǎn)M是線段班）上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)〃不與端點(diǎn)3,。重合），過點(diǎn)M作交拋物線

于點(diǎn)N（點(diǎn)N在對(duì)稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)N作軸，垂足為H,交于點(diǎn)尸，點(diǎn)P是線段OC上一動(dòng)

點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，求叱+FP+」PC的最小值；

3

（2）在（1）中，當(dāng)MN取得最大值,“b+EP+gpC取得最小值時(shí)，把點(diǎn)尸向上平移暗個(gè)單位得到點(diǎn)Q,

連接A。，把AAOQ繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度以0。<（/<360。），得到△AOQ1其中邊4。交坐標(biāo)軸

于點(diǎn)G.在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點(diǎn)G,使得NQ'=NQ'OG?若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)。

5.(2023?江城區(qū)三模)如圖，拋物線y=-夜/一6后x+7夜交x軸于A,3兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)3左側(cè))，交

y軸于點(diǎn)C,直線丁=缶+7應(yīng)經(jīng)過點(diǎn)A、C,點(diǎn)M是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合).

(1)求A,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)、P,C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，求尸M+諉AM的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo);

3

(3)連接BC,當(dāng)AAOM與AABC相似時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

備用圖

6.（2024?宿遷模擬）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=62-2辦+3與無軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在

點(diǎn)3的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與無軸交于點(diǎn)E.

（1）填空：a=，點(diǎn)3的坐標(biāo)是；

（2）連接點(diǎn)M是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與端點(diǎn)3,。重合），過點(diǎn)/作肱V_LBD,交拋物線

于點(diǎn)N（點(diǎn)N在對(duì)稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)N作NHLx軸，垂足為"，交BD于點(diǎn)F,點(diǎn)尸是線段OC上一動(dòng)

點(diǎn)，當(dāng)AAWF的周長取得最大值時(shí)，求FP+UpC的最小值；

2

（3）在（2）中，當(dāng)AAWF的周長取得最大值時(shí)，F(xiàn)P+’PC取得最小值時(shí)，如圖2,把點(diǎn)P向下平移之叵

23

個(gè)單位得到點(diǎn)0,連接AQ,把AA。。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度。（0。<]<360。），得到△400「其

中邊4。交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G.在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點(diǎn)G,使得@2=OG?若存在，請(qǐng)直接寫出所有

滿足條件的點(diǎn)。'的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2

7.（2023?南山區(qū)三模）如圖，在AACE中，CA=CE,NC4E=3O。，經(jīng)過點(diǎn)C,且圓的直徑AB在線

段上.

（1）試說明CE是QO的切線；

（2）若AACE中AE1邊上的高為/z,試用含耳的代數(shù)式表示O。的直徑9；

（3）設(shè)點(diǎn)。是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD,當(dāng)gc￡）+O方的最小值為6時(shí)，求。。的直徑

至的長.

題型四：阿氏圓模型

1.(2024?長沙模擬)閱讀材料，回答下列小題.

閱讀材料1:

調(diào)和是射影幾何重要不變量交比的一種特殊形式，早在古希臘，數(shù)學(xué)家們便發(fā)現(xiàn)了一組具有特殊比例關(guān)系

的點(diǎn)列：調(diào)和點(diǎn)列.

我們定義：若一直線上依次存在四點(diǎn)A,B,C,D,滿足AB-CD=8C-AD,則稱A,B,C,。為調(diào)

和點(diǎn)列.從直線外一點(diǎn)P引射線B4,PB,PC,PD,則稱PB,PC,PD為調(diào)和線束.

(1)如圖1,過圓。外一點(diǎn)尸作圓。的切線R4,PB,并引圓。的割線PCD,設(shè)PD與A交于點(diǎn)E.

①求證：P,C,E,。是調(diào)和點(diǎn)列.

②求證：ACBD=BCAD.

閱讀材料2：阿波羅尼斯圓：對(duì)于平面上的兩定點(diǎn)A,3和平面上一動(dòng)點(diǎn)P,若尸到A和3的距離之比為

定值，則點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，我們稱該圓是點(diǎn)P關(guān)于AB的“阿氏圓

(2)根據(jù)閱讀材料1,2,回答①②小題.(本題圖未給出)

①證明阿波羅尼斯圓，并確定該圓圓心的位置.

②若點(diǎn)尸關(guān)于的“阿氏圓”交至于C,D,求證：A,C,B,。為調(diào)和點(diǎn)列.

(3)如圖2,ABCD是平行四邊形，G是三角形/WD的重心，點(diǎn)尸，Q在直線上，滿足GP與PC垂

2.(2024?萊蕪區(qū)校級(jí)模擬)在AABC中，ZCAB=90°,AC=AB.若點(diǎn)。為AC上一點(diǎn)，連接BD,將

繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到BE,連接CE,交AB于點(diǎn)尸.

圖3

(1)如圖1,若ZABE=75。,皮)=4,求AC的長；

(2)如圖2,點(diǎn)G為3c的中點(diǎn)，連接FG交BD于點(diǎn)若NABD=3O。，猜想線段DC與線段8G的數(shù)

量關(guān)系，并寫出證明過程；

(3)如圖3,若至=4,。為AC的中點(diǎn)，將AABD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得△A!BD,連接A'C、4。，當(dāng)A。+交AC

2

最小時(shí)，求可450?

3.(2023?萬州區(qū)模擬)如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,過點(diǎn)C作CD//AS交過點(diǎn)3的直線

于點(diǎn)￡),ZABD=3O°,直線加交AC于〃.

(1)如圖1,若筋=2,求加的長;

(2)如圖2,過點(diǎn)A作AG_L3r＞交班＞于點(diǎn)G,交3c的延長線于E,取線段AB的中點(diǎn)尸，連接GF,求

證：GF+-JiGH=BH.

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)。作Z)PJ_鉆交AB于點(diǎn)尸，若點(diǎn)M是線段G尸上任一點(diǎn)，連接3M,將ABGM

沿5M折疊，折疊后的三角形記為△3GM,當(dāng)工47+DG取得最小時(shí)，直接寫出tan/PDG的值.

2

4.(2022?從化區(qū)一模)已知，AB是QO的直徑，AB=4及,AC=BC.

(1)求弦3c的長；

(2)若點(diǎn)。是他下方OO上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合)，以CD為邊，作正方形CD￡F,如圖1所示,

若〃是DP的中點(diǎn)，N是3c的中點(diǎn)，求證：線段"N的長為定值；

(3)如圖2,點(diǎn)尸是動(dòng)點(diǎn)，且釬=2,連接CP,PB,一動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿

線段CP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸，再以每秒1個(gè)單位的速度沿線段PB勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)5,到達(dá)點(diǎn)3后停止運(yùn)動(dòng)，求

點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間f的最小值.

E

圖1圖2

5.（2022?市中區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在AABC與ADEF中，ZACB=NEDF=90°,BC^AC,ED=FD,

點(diǎn)。在AB上.

(1)如圖1,若點(diǎn)尸在AC的延長線上，連接AE,探究線段AF、AE.AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論;

(2)如圖2,若點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，且AC=30,DE=4,將ADER繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，連接班'，點(diǎn)G為防的

中點(diǎn)，連接CG,在旋轉(zhuǎn)的過程中，求々CG+BG的最小值;

2

(3)如圖3,若點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，連接班'、CE交于點(diǎn)M,CE交AB于點(diǎn)、N,且3C:DE:ME=7:9:10,

請(qǐng)直接寫出世的值.

圖2

圖1

圖3E

題型五：瓜豆原理模型（點(diǎn)在直線上）

1.（2022?沈陽）【特例感知】

（1）如圖1,AAOB和AC。。是等腰直角三角形，NAO3=NCOD=90。，點(diǎn)C在。4上，點(diǎn)。在80的延

長線上，連接AD,BC,線段AD與3C的數(shù)量關(guān)系是；

【類比遷移】

（2）如圖2,將圖1中的ACOD繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)旗0。<l<90。），那么第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？

如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說明理由.

【方法運(yùn)用】

（3）如圖3,若AB=8,點(diǎn)C是線段至外一動(dòng)點(diǎn)，AC=3A/3,連接BC.

①若將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CD,連接A￡>,則A3的最大值是；

②若以BC為斜邊作RtABCD（B,C,D三點(diǎn)按順時(shí)針排列），Z.CDB=90°,連接AD,當(dāng)Z.CBD=ZDAB=30°

時(shí)，直接寫出AD的值.

圖1圖2圖3

2.(2021?武進(jìn)區(qū)模擬)如圖①，二次函數(shù)y=-—+6無+。的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)、8(3,0),與y軸交

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、3重合時(shí)，作直線"，交直線BC于點(diǎn)Q,若AAB。的面積是ABPQ面積的4倍，

求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，連接竹，交線段3c于點(diǎn)M,以AAf為斜邊向外作等腰直角

三角形AAW,連接BN,AABN的面積是否變化？如果不變，請(qǐng)求出AABN的面積；如果變化，請(qǐng)說明理

由.

題型六：瓜豆原理模型（點(diǎn)在圓上）

1.（2023?崖州區(qū)一模）若AC=4,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)尸為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP.

⑴如圖1,取點(diǎn)3,使AABC為等腰直角三角形，44c=90。，將點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AF.

①點(diǎn)P'的軌跡是—（填“線段”或者“圓”）；

②。的最小值是一；

（2）如圖2,以AP為邊作等邊AAPQ（點(diǎn)A、P、。按照順時(shí)針方向排列），在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，求CQ的

最大值.

（3）如