北京市朝陽區(qū)2024-2025學年高三年級下冊質(zhì)量檢測一（3月）數(shù)學試卷（解析版）

數(shù)學試卷

2025.3

（考試時間120分鐘滿分150分）

本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1,已知集合4刊#2},集合5={刃0小2},則（）

A.1x|0<x<2jB.1%|0<%<2jC.1%|-2<x<2jD.1%|0<%<2j

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合4然后根據(jù)交集運算求解即可.

【詳解】A={x||x|<2）={x|-2<x<2},

所以Ac5={x［0<x<2},

故選：A.

2.設復數(shù)z=l+i的共輾復數(shù)為n則zi=（）

A.1B.72C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】求得復數(shù)三，進而利用復數(shù)的乘法運算可求

【詳解】因為復數(shù)Z=l+i，所以復數(shù)Z的共輾復數(shù)為1=l_i，

所以z%=（l+i）（l—i）=F一i?=2.

故選：C.

3.在［x+2］的展開式中，常數(shù)項為（）

A.6B.8C.12D.24

【答案】D

【解析】

【分析】寫出二項展開式通項，令X的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項后即可得解.

【詳解】[+斗的展開式通項為￡+]=《?/夕(斗=《-23/次(左=0,123,4)，

令4—2左=0,解得左=2,所以，展開式中的常數(shù)項為C[22=6x4=24.

故選：D.

4.為了得到函數(shù)y=sin2x+cos2x的圖象，可以將函數(shù)y=J5sin2x的圖象

7T7T

A.向右平移一個單位B.向左平移一個單位

44

TP7T

C.向右平移一個單位D.向左平移一個單位

88

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：因為y=sin2x+cos2x=、/5sin(2x+￡),所以將函數(shù)y=J5sin2x的圖象向左平移

n

工—三個單位，選D.

萬一可

考點：三角函數(shù)圖像變換

【易錯點睛】對y=Asin(cox+(p)進行圖象變換時應注意以下兩點：

(1)平移變換時，x變?yōu)閤±a(a>0),變換后的函數(shù)解析式為y=Asin[3(x±a)+叫；

Y(f)

(2)伸縮變換時，X變?yōu)橐?橫坐標變?yōu)樵瓉淼膋倍)，變換后的函數(shù)解析式為丫=人5!1(―x+(p).

kk

5.已知{4}等比數(shù)列，%=2,a3=l,則?；?()

111

A.-B.-C.-D.1

842

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出公比q和首項％,再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出為、生、右，最

后計算…4的值.

a,1

【詳解】已知凡=2,4=1，可得公比4=二=彳.

再將4=；，出=2代入通項公式出=44，可得2=%x；,解得q=4.可得：

^=1x1=1

a?q=一x——一.可得：

5428

tz.d-f,??—4x2x1x—x—x—=—.

1262488

故選：A.

6.已知曲線C:一ay?=1,貝?。荨啊ǎ炯樱?"是"C為焦點在x軸上的雙曲線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合雙曲線的標準方程，直接判斷命題的充分性和必要性即可.

【詳解】若〃,加＞0,則0＜工＜工，

nm

22

土—匕=1

所以C:mx2-ny2=1,即11,

mn

所以。為焦點在九軸上的雙曲線；

若。為焦點在x軸上的雙曲線，

22

土_2L=i

則對于C:mx2-ny2=1,即11,

mn

可得,＞0,工＞0,即切＞0且〃＞0,不一定得到〃＞加＞0,

mn

綜上，“九＞口＞0”是“C為焦點在九軸上的雙曲線”的充分不必要條件.

故選：A

7.已知sina+sin/=0,cosa+cos〃=g,則cos(a-7?)=()

A.--B.gC.D.1

222

【答案】B

【解析】

【分析】將給定的兩個等式平方相加，再逆用差角的余弦公式即得.

【詳解】由sin。+sin/?=。，cosa+cos〃=6，得(sinc+sin/?)2+(cosa+cos/?)2=3,

整理得2+2(cosacos尸+sinasin#)=3,所以cos(a—￡)=?.

故選：B

8.某市計劃在一條河上修建一座水上休閑公園，如圖所示.這條河兩岸所在直線小互相平行，橋。E與

河岸所在直線垂直.休閑公園的形狀可視為直角三角形，它的三個入口分別設在直角三角形的頂點A,B,

C處，其中入口A點(定點)在橋DE上，且A到直線4，4的距離分別為兒，九2(4，刈為定值)，入口

B,C分別在直線［，4上，公園的一邊A8與直線4所成的銳角NA3D為1，另一邊AC與AB垂直.設

該休閑公園的面積為S(a),當a變化時，下列說法正確的是()

A.函數(shù)S(a)的最大值為"為

B.函數(shù)S(a)的最小值為多

C.若%,%且q<的，則S(aJ<S(?2)

D.若且%+%=/,則S(%)=S(?2)

【答案】D

【解析】

【分析】主要涉及三角函數(shù)以及三角形面積公式的應用.首先根據(jù)直角三角形中的三角函數(shù)關(guān)系，分別求出

AB和AC的長度表達式，再根據(jù)三角形面積公式得到SQ)的表達式，最后對該表達式進行分析，判斷各

個選項的正確性.

【詳解】在R/VABD中，ZABD=a,A。=色，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得

sma

jr

因為/癡。=耳，ZABD=a,所以NC4石=1，在中，AE=%,根據(jù)余弦函數(shù)的定義，可

得&C=-^.

cosa

對于VABC,S(a)=-AB-AC,將=AC=-^代入可得：

2sinacosa

她2,進一步化簡為S(a)=|0,-751-j.

S(o)=aG

2sinacosor2sinorcosorsin2ak2J

對于選項A,因為?！闛1],所以2ae(0,兀)，sin2ae(0,1].當sin2。取最小值0(取不到)，最大

值1時，S(a)=1①沒有最大值，所以A錯誤.

sin2a

對于選項B,由S(a)=-^L,sin2?e(0,l],當sin2tz=1,即2e=巴，'時，5(a)取得最小

sin2a24

值人也，所以B錯誤.

對于選項C,當a卜寸，2a￡[0,7'1卜sin2a單調(diào)遞增，S(a)=

-單調(diào)遞減；當

2sm2。

7rn時，2cifGfj,sin2a單調(diào)遞減，S(a)=心此單調(diào)遞增.

ae

412sin2a

所以若名,%[。弓)且％<%,不一定有S(%)<S(%)，C錯誤.

對于選項D,若%,%￡[0,5J且/+%=]71，則2%+2%=

兀，sin2a=sinn(7i-2%)=sin2%.因

21

為義即二1,SQ)=|，所以s(⑷=SQ)'D正確.

故選：D.

9.在VABC中，CA=CB=亞，AB=4,點M為VABC所在平面內(nèi)一點且薪.阮=0,則說.函

的最小值為()

16416

A.0B.------C.——D.——

2555

【答案】C

【解析】

【分析】以所在直線為X軸，以其上的高線為y軸建立平面直角坐標系，設出點"的坐標，寫出各個

點坐標,利用數(shù)量積的坐標運算，求解問題.

2

AC-+BC-AB~蔡:X，故。為鈍角;

【詳解】在三角形ABC中，由余弦定理cosC

2ACxCB

又麗7?而=0，故”點在三角形ABC底邊的高線上,

則以8。所在直線為x軸，以其上的高線為y軸建立平面直角坐標系如下所示:

4

5，則sinNACO=g

l44A/5r-33、/?

故。4=ACxsinNACO=G—=▲-，OC=ACxcosNACO=?x—=

5555

*o],3

,c,0,設M(0,冽)，加6R,

I5)7

AM=0,m-,CM=-土,m,

、5，

4月27544

故而.兩'=m-------m-------當且僅當加=會2時取得等號;

I5)5)555

___,__,4

也即AM?CM的最小值為-y.

故選：C.

10.〃位同學參加學校組織的某棋類單循環(huán)制比賽，即任意兩位參賽者之間恰好進行一場比賽.每場比賽的

計分規(guī)則是：勝者計3分，負者計0分，平局各計1分.所有比賽結(jié)束后，若這〃位同學的得分總和為150

分，且平局總場數(shù)不超過比賽總場數(shù)的一半，則平局總場數(shù)為（）

A.12B.15C.16D.18

【答案】B

【解析】

fl\H—1I

【分析】設平局總場數(shù)為左化eN）,且所有比賽的場數(shù)為C；△_根據(jù)總得分為150分可得出

2

人網(wǎng)F一15°,結(jié)合題意得出°/=始一

“GT,可得出關(guān)于〃的不等式，解出正

4

整數(shù)〃的值，即可得出平局的局數(shù).

【詳解】設平局總場數(shù)為且所有比賽的場數(shù)為C；=I—1

由題意可知，k<

4

由于能決定勝負的每場選手的得分之和為3分，每場平局選手的得分之和為2分，

由題意可得—1)—左]+2/=3九(〃—1)_k=]50,所以，左=3小_1)_]50,

222

因為平局總場數(shù)不超過比賽總場數(shù)一半，則0W左=小二8-150W皿二D，

24

整理可得1004〃(〃—1)4120,因為“eN*，解得〃=11，

所以，平局的局數(shù)為左=網(wǎng)上』—150=兇土3—150=15.

22

故選：B.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)〃X)="=+lOg3X的定義域為_____.

A/1-X

【答案】(0,1)

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于X的不等式組，即可解得函數(shù)了(%)的定義域.

【詳解】對于函數(shù)〃x)=i-+log3%,有4c，解得0<尤<1,

yjl-x[%〉0

故函數(shù)"X)=7占+logs》的定義域為(0,1).

故答案為：(0,1).

12.已知點M(2,1)在拋物線C:￡=2py(p>0)上，則拋物線C的焦點廠的坐標為；以尸為圓心,

|引⑷為半徑的圓與拋物線C的準線的位置關(guān)系是.(填“相交”“相切”或“相離”)

【答案】①.(0,1)②.相切

【解析】

【分析】第一空由點在拋物線上代入可得拋物線方程，進而得到焦點坐標；

第二空由兩點間距離公式求出圓的半徑與焦點到準線的距離相比較可得.

【詳解】由題意可得4=2pnp=2,所以3=1,

2

所以拋物線C的焦點F的坐標為(0,1)；

由兩點間距離公式可得怛訓=,(2—0)2+(1—1)2=2,即為圓的半徑，

又焦點到準線的距離為2,

所以|加|為半徑的圓與拋物線C的準線的位置關(guān)系是相切.

故答案為：(0,1)；相切.

13.已知函數(shù)〃%)是R上的奇函數(shù)，當尤>0時/(x)=x+e2T,則/(—2)=；若存在

使得==則c的一個取值為.

【答案】①.—3②.4(答案不唯一)

【解析】

【分析】利用函數(shù)的奇偶性可求得了(—2)的值；先求得無>0,函數(shù)/(%)的單調(diào)性，進而可得了(力的單

調(diào)性，進而可求得c的取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)/(%)是R上的奇函數(shù)，且x>0時，f(x)=x+^x,

所以/(—2)=―/(2)=—(2+e2-2)=_3.

當x>0時，由/(九)=x+e2：可得/'(x)=l—e?T,

令/'(x)>0,即1—e2T>0,解得x>2,

所以函數(shù)/(九)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+“)單調(diào)遞增，

所以x>0時，/(x)>/(2)=2+e2-2=3,x.0,/(x)^-e2

由為函數(shù)是R上的奇函數(shù)，可得無<0時，/(x)</(-2)=-3,又"0)=0,

由/(a)=/(/?)=c,可得—e?<c<-3或3<c<e?，

所以c的取值范圍為(—e?,—3)u(3,e2).

故答案為：—3；4（答案不唯一）.

14.干支紀年法是我國古代一種紀年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十

二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的組合來表示年份，循環(huán)紀年.比如某一年

為甲子年'，則下一年為乙丑年，再下一年為丙寅年，以此類推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌

年，下一年為乙亥年，之后地支回至廠子”，即丙子年，以此類推.已知2025年是乙巳年，則2025年之后的

首個己巳年是年.（用數(shù)字作答）

【答案】2049

【解析】

【分析】天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，分析計算可得解.

【詳解】天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，

從2025年是乙巳年，以2025年的天干和地支分別為首項，

因為地支為巳，則經(jīng)過的年數(shù)為12的倍數(shù)，

又因為2025年為天干為乙，到天干為已，需經(jīng)過丙、丁、戊、己，

故經(jīng)過年數(shù)除以10的余數(shù)為4,故需經(jīng)過24年，所以2025年之后的首個已巳年是2049.

故答案為：2049.

15.在棱長為I的正方體中，點P是底面4耳內(nèi)的動點，給出下列四個結(jié)論：

①|(zhì)麗+聲耳的最小值為2；

④忸印『+|定『的最小值為3.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】設點A、B、C、。關(guān)于平面A4G2的對稱點分別為4、B?、G、3,設底面ABCD、

A4G2的中心分別為點0、0],作出圖形，推導出叵+岡=2即，網(wǎng)2+附1=2即『+1,

求出W4的最小值，可判斷①④；由對稱性得出|定卜|月仁|，進而可判斷②；取點尸和點耳重合，可判

斷③.

【詳解】設點A、B、C、。關(guān)于平面A4GR的對稱點分別為4、B>G、D],

設底面ABC。、A4G2的中心分別為點0、?！溉缦聢D所示:

對于①，易知。為AC的中點，則而=g（而+無），可得可+定=2用，

所以，國+園=2園，

當點P與點。1重合時，底面ABC。，此時，|萬可取最小值1,

即|西+正|的最小值為2,①對；

對于④，|倒？+|定『=|旬+函］+|司+元『=|所+可2+|所_國2

/I-、2

=2網(wǎng)2+網(wǎng)］=2西+2網(wǎng)=斗可+2*忤［=2|可+1,

當點P與點。1重合時，。。1，底面ABCD,此時，|萬耳取最小值1,

貝“麗『+|定『的最小值為2X『+I=3,④對；

對于②，由對稱性可知，|叫=|尸。2卜

則圖+|因=|回+|南］N|記|=J國2+|@2=反7=R，

當且僅當點P為線段AC?與平面的交點時，|可|+|定|取最小值指,②對；

對于③，當點尸與點與重合時，|西|+|京1=1西|+|㈣1=1畫|+|叫=20>1+6,

所以，|西卜|尹q的最大值不是1+6，③錯.

故答案為：①②④.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在四棱柱ABC?！狝gGA中，平面A3CD,在四邊形ABCD中，

AB//CD,AB=2,AD=CD=T,E為線段A3的中點.

Di

O

D

(1)求證：4后〃平面C￡DDi；

(2)若平面AABB］，平面AA。。，AA=2,求平面AA53］與平面AGE夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵2

3

【解析】

【分析】(1)連接RCEC,根據(jù)長度和平行關(guān)系得到四邊形AECD為平行四邊形，再利用線面平行的判

定定理即可得證；

(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，即可得到A點處直線兩兩互相垂直，即可建立空間直角坐

標系，然后利用向量法求解面面角的余弦值即可.

【小問1詳解】

連接。C，EC.

因為43=2,。=1,石為48的中點,

所以AE=CD.

又ABIICD,所以四邊形AECD為平行四邊形.

所以EC//AD,EC=AD.

又因為=A。，

所以a。//EC,=EC.

所以四邊形AEC。為平行四邊形.

所以AE//2C.

又因為\E<z平面CiCDD[,D]Cu平面ClCDD1,

所以HE”平面GC°A.

【小問2詳解】

因為A4,，平面ABCD,

所以A4；LAB,AAl±AD.

又因為平面AXABBX1平面A^ADD,,平面A}ABB}n平面AXADDX=的，

且ADu平面AADR,

所以AD，平面4A5用.

所以

所以A3,AD,4&兩兩垂直.

如圖建立空間直角坐標系人-呼，

則￡>(0,1,0),5(2,0,0),4(0,0,2),Q(1,1,2).

所以E(l,0,0),甌=(一1,0,2),而=(1,1,0).

因為AD，平面AA34,

所以蒞=（0,1,0）是平面AA3用的法向量.

設平面ACE的法向量為”=（X,y,z）,

n-EA.=0[-x+2z=0

則」，即c,

加4c1=0[x+y=0

令x=2,則y=-2,z=l.于是為=（2,-2,1）.

設平面AXABB,與平面4￡E夾角為

,,,IAD-HI2

則cos。=cosAD,為=\——n--=—.

11\AD\\n\3

17.在VABC中，bcosA+acosB=c2.

（1）求c的值；

3

（2）已知sinC=g,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得VABC存在且

唯一，求VABC的周長.

條件①：48=；；

4

3

條件②：邊上的高為一；

2

4

條件③：a=-.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（II）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

【答案】（1）c=l

（2）1+^0

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理將邊化為角，再結(jié)合兩角和的正弦公式化簡求解c的值；

（2）根據(jù)所選條件，結(jié)合正弦定理、三角形面積公式等求出三角形的其他邊，進而求得周長.

【小問1詳解】

由正弦定理—^―-=C~及bcosA+acosB=c2

sinAsinnsinC

得sinBcosA+sinAcosB=csinC.

所以sin（A+5）=csinC.

所以sin（7i-C）=csinC.

又因為?！辏?。,兀），所以sin（兀一C）=sinCwO.

所以c=l.

【小問2詳解】

773hc

選條件①：因為5=：,sinC==,c=l,且^=——，

45smBsinC

所以匕=遜=9.

sinC6

因為b>c,所以5>C.所以

又因為sinC=3,所以cosC=J1-sin2c=）.

55

..（兀力34a370

所以sinA=sin—+C=——x—H-----x—=------.

（4J252510

又，-=二,所以。=9的=迪.

sinAsinCsinC6

所以VA3C的周長為。+6+°=1+迪+還=1+2點.

66

33

選條件②：因為。=1,A3邊上的高為一2，所以＜△zMiovC.=—4.

3133

又因為sinC=—，所以5八4”=—〃bx—=—ab.

5AABC2510

所以=3.

2

因為sinC=1,所以cosC二土Jl-sin2c=土，.

44

（1）當cosC=§時，由，=+〃—2abec>sC，得1="+/—2abx—.

又ab=3,所以［2+62=5.

2

所以〃=人=巫

2

所以VA3C周長為a+6+c=l+J訪.

(2)當cosC=—g時，由c?="2+廿—2a)cosC,^1=a1+b2-2abx-j.

又ab=，,所以/+^:一3,不符合題意.

2

綜上，VA5C的周長為a+5+c=l+&6.

4

選條件③：a=—

3

44496

由余弦定理/=/+/—2"cosC,可得l=(1)2+/_2x§bx《，即9/一^^+7=0。

57

解得人=—或6=—,此時VABC不唯一，不符合要求.

315

18.某高中組織學生研學旅行.現(xiàn)有A,8兩地可供選擇，學生按照自愿的原則選擇一地進行研學旅行.研

學旅行結(jié)束后，學校從全體學生中隨機抽取100名學生進行滿意度調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：

高一高二高三

A地B地A地8地A地B地

滿意122183156

一般226568

不滿意116232

假設所有學生的研學旅行地點選擇相互獨立.用頻率估計概率.

(1)估計該校學生對本次研學旅行滿意的概率;

(2)分別從高一、高二、高三三個年級中隨機抽取1人，估計這3人中至少有2人選擇去B地的概率;

(3)對于上述樣本，在三個年級去A地研學旅行的學生中，調(diào)查結(jié)果為滿意的學生

人數(shù)的方差為調(diào)查結(jié)果為不滿意的學生人數(shù)的方差為寫出S；和學的大小關(guān)系.'(結(jié)論不要求證

明)

14

【答案】(1)—

25

17

(2)—

80

(3)s；>si

【解析】

【分析】(1)利用頻率估計概率即可求解；

(2)利用頻率估計概率即可求解，結(jié)合相互獨立事件的概率公式求解即可;

(3)求出s；,只，比較大小即可.

【小問1詳解】

從表格數(shù)據(jù)可知，隨機抽取的100名學生對本次研學旅行滿意的人數(shù)為

12+2+18+3+15+6=56,

因此該校學生對本次研學旅行滿意的概率可估計為毛.

10025

【小問2詳解】

設事件4：抽取的高一學生選擇去8地，

事件4：抽取的高二學生選擇去8地，

事件人3：抽取的高三學生選擇去8地，

事件G：抽取的3人中恰有i人選擇去B地，，=2,3,

事件抽取的3人中至少有2人選擇去B地.

從數(shù)據(jù)表格可知，抽取的100名學生中高一年級學生總數(shù)為12+2+1+2+2+1=20,

選擇去8地的總數(shù)為2+2+1=5,所以尸(A)可估計為2=

204

抽取的100名學生中高二年級學生總數(shù)為18+6+6+3+5+2=40,

選擇去B地的總數(shù)為3+5+2=10,所以。(&)可估計為$=；；

抽取的100名學生中高三年級學生總數(shù)為15+6+3+6+8+2=40,

選擇去B地的總數(shù)為6+8+2=16,所以。(A)可估計為3=2；

405

因為z>=。2UG=AAAUAAAUA4AUAAA，

所以P(D)=P(GUG)=P(A4AUAAAUAAAUAAA)

=P(A)P(4)尸(A)+P(A)尸(H)尸(A)+P(A)尸(4)尸。)+尸(4)尸(4)尸(3).

所以抽取的3人中至少有2人選擇去8地的概率可估計為

217

—X—x+2x—x

4

【小問3詳解】

在三個年級去A地研學旅行的學生中，

——1

調(diào)查結(jié)果為滿意的學生人數(shù)的平均數(shù)為^=-(12+18+15)=15,

則調(diào)查結(jié)果為滿意的學生人數(shù)的方差為—15『+(18—15)2+(15—15)1=6,

——110

調(diào)查結(jié)果為不滿意的學生人數(shù)的平均數(shù)為%2=j(l+6+3)=y,

則調(diào)查結(jié)果為不滿意的學生人數(shù)的方差為［1一個〔+〔6一?1+〔3一=T，

則s；>s；.

22

19.已知橢圓：三+%=1(?！等f〉0)的右焦點為b(1,0),離心率為J.

(1)求橢圓￡的方程；

(2)過點M(4,0)作直線/與橢圓E交于不同的兩點A,B.設直線8C與直線x=l交于點

N,求證：直線A7V的斜率為定值.

22

【答案】(1)二+乙=1

43

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)由題意可求得。力的值，可求得橢圓的方程；

(2)設直線/:丁=左(％—4),4(內(nèi),%),5(42，%)，與橢圓方程聯(lián)立方程組由韋達定理可得

2

X+X=蘭=,西％=上6竺4^r-—1三?，求得NN，進而計算可得+1=0,可得結(jié)論.

124/+3124/+3

【小問1詳解】

c=1

c1a=2

由題意得,解得<

a2b=^3

a2=b2+c2

22

所以橢圓E的方程是二+2-=1.

43

【小問2詳解】

由題可知直線/斜率存在.設直線/:y=k（x—4）.

14?

32k264%2—12

則%+/=

4左2+34A2+3

3

3乂二

直線3C的方程為y-5=——1x-j

%-5

令％=1,得N的縱坐標為以=3（＞一%一"

2X2-5

3（%一,21）_2%2%5%―3%2+3%+3

因為%—%=%—

—

2%2—52%25

2Ax2（再一4）—5女（國一4）—3%+3左（％—4）+3

2%—5

2kxlX?一5Axi—（5k+3）%+8k+3

—5

yx-yN2kxix?-5g-（5左+3）/+8k+3

所以L

再一]（2%-5）@-1）

[2句元2—5心一（5左+3）々+8左+3]+（2%九2一5為一29+5）

^AN+1=

（2-1）

（2k+2）%入2—（5左+5）（再+%）+8k+8

（2x2-5）^-1）

(左+1)[2冗]九2一5(九1+冗2)+8]

(2"5)(石T)

64Zr1232k

X2x1x2-5(x1+x2)+8=2x~~-5x'+8

1-V1°)4左2+34左2+3

12842—24—160左2+32k2+24

4公+3

所以+1=0，即L=—L

所以直線AN的斜率為定值-1.

x-1

20.已知函數(shù)—(a￡R).

x+1

(1)當a=l時，求曲線y=/(x)在點(1,7(1))處的切線方程;

(2)若。2工，求證：當時，/(x)zo；

2

(3)若函數(shù)/(%)有3個不同的零點，求。的取值范圍.

【答案】(1)x-2y-l=0

(2)證明見解析(3)［(),；］

【解析】

【分析】(1)當a=l時，求出/。)、/'(1)的值，利用導數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；

(2)當時，利用導數(shù)分析函數(shù)/(%)在［1,y)上的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可證得結(jié)論成立；

(3)對實數(shù)。的取值進行分類討論，利用導數(shù)分析函數(shù)/(%)在定義域上的單調(diào)性，確定每種情況下函數(shù)

/(九)的零點個數(shù)，并結(jié)合零點存在定理可得出實數(shù)。的取值范圍.

【小問1詳解】

當a=l時，/(x)=lnx-^-,則/(x)=——---r,所以/")=一，/(1)=0,

x+1X(x+1)27

所以曲線y=/(x)在點(1,/。))處的切線方程為y=g(x—l),即x—2y_l=0.

【小問2詳解】

，/、a2tzx2+(2a-2)x+a

由題設知/V=-7―TT=——7―3——.

%(x+1)x(x+l)

設函數(shù)%(％)=依2+(2Q-2)X+Q.

當azg時，因為△=(24—2)2—44=—8a+4=4(l—2a)<0,

所以〃(x)20對任意的x21恒成立，即/'(%)20.

所以函數(shù)“可在區(qū)間[1,+8）上單調(diào)遞增，所以/（X）2"1）=0.

所以當且xNl時，/（^）>0.

【小問3詳解】

函數(shù)/（力的定義域為（0,+"）,

,（、a26/（x+l）2-2xax2+（2a-2）x+a

于⑴=二一7--/r72?

%（x+1）x（x+l）x（x+l）

①當aWO時，/'（尤）<0,函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,+"）上單調(diào)遞減，

函數(shù)/（可至多一個零點，不合題意；

②當時，由（2）可知函數(shù)/（%）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，

函數(shù)八可至多一個零點，不合題意.

③當0<a<；時，對于函數(shù)/z（x）=依2+（2a-2）x+a,

因為A=—8a+4>0,所以方程加+（2。一2卜+。=0有兩個實數(shù)根/、%2,

2

湖足石+X]——2〉0,再入2=1，

a

不妨設石<%，貝！|0"<1<%2，/'（%）、/（X）的情況如下:

（。，七）（石，超）(%2，+°°)

X]x2

/'("+0—0+

/(%)增極大值減極小值增

所以函數(shù)/（尤）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0,石）、（尤2，+“），單調(diào)遞減區(qū)間是（%,/）.

因為/⑴=0,所以1為/（光）的一個零點.

（1\。工

又/（石）>"1）=0,0<—<1，且/院］=^^<0,

IJe"+1

所以存在唯一實數(shù)1e（0,1）,使得/&）=（）.

（1A2

又〃/）<〃1）=0,￡〉1，且/e。=^〉0,

<，+1

所以存在唯一實數(shù)Ge（L+8），使得/&）=。.

所以函數(shù)八％）有3個不同的零點.

綜上，口的取值范圍為

21.已知Q：4,外，L,a“（〃23,"eN*）為有窮正整數(shù)數(shù)列，若存在i,/G{1,2,…4}?</）,其使得

siai+si+iai+i+---+sjaj=°，其中s”.+i，…,Sje{-1,1},則稱Q為連續(xù)可歸零數(shù)列.

（1）判斷Qi：1,3,2和。2：4,2,4是否為連續(xù)可歸零數(shù)列？并說明理由；

（2）對任意的正整數(shù)，，記v?）=冽，a{veN|，="-2",〃wN*},其中maxS表示數(shù)集S中最大的數(shù).令

fl,=22-vW（z=l,2,...,7）,求證：數(shù)列Q：%,%，L,%不是連續(xù)可歸零數(shù)列；

（3）若。9，a2,L,a“的每一項均為不大于左（keN*）的正整數(shù)，求證：當〃“左時，。是連續(xù)可

歸零數(shù)列.

【答案】（1）數(shù)列2是連續(xù)可歸零數(shù)列，數(shù)列不是連續(xù)可歸零數(shù)列，理由見解析

（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

【分析】（1）判斷數(shù)列是否為連續(xù)可歸零數(shù)列，關(guān)鍵看能否找到號e{-1,1},使連續(xù)項

5臼+為必+1+—+5/%=0.對于白，找到一組［必,S3使等式成立，所