2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題：銳角三角函數(shù)綜合

2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專題系列:

銳角三角函數(shù)綜合

1.如圖，某小區(qū)有南北兩個(gè)門，北門A在南門8的正北方，小紅自小區(qū)北門A處出發(fā)，沿西南方向前往小區(qū)

居民活動(dòng)中心C處；小強(qiáng)自南門8處出發(fā)，沿正西方向行走300m到達(dá)。處，再沿北偏西30。方向前往小區(qū)居

民活動(dòng)中心C處與小紅匯合，兩人所走的路程相同，求該小區(qū)北門A與南門8之間的距離.（結(jié)果保留根號(hào)）

2.臂架泵車（如圖1）是一種用于建筑工程中混凝土輸送和澆筑的特種工程車輛，集混凝土泵送、臂架伸展

和移動(dòng)功能于一體，廣泛應(yīng)用于高層建筑、橋梁、隧道等施工場(chǎng)景.圖2是其輸送原理平面圖，進(jìn)料口A到建

筑樓的水平距離為24米，到地面的垂直距離為2米，AB,BC,CD,DE為輸送臂，可繞A,B,C,D旋轉(zhuǎn),已

知輸送臂AB垂直地面且AB=14米，BC=CD=13米，DE=7米，ZBCD=134.8°,ZCDE=112.6°.

圖1圖2

（1）BD的長(zhǎng)約為;（直接寫出答案）

（2）求出料口到地面的距離.

(參考數(shù)據(jù).sin67.4°~,cos67.4°?—,sin56.30?—,cos56.3°s?—)

々n以“口?”'13*50'20

3.在RtZXABC中，ZACB=9（y,NB=60。，點(diǎn)￡）為線段AB上一點(diǎn)，連接。.

E

B

(1)如圖1,若AC=6,AD=6,求線段BD的長(zhǎng)；

⑵如圖2,以CO為邊作等邊CDE,點(diǎn)尸是DE的中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)，交C。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

①取AB的中點(diǎn)。，連接。C,求證：OC//BE；

②若NG=ZBCE,探究GF與BE.8F之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

4.如圖，在ABCD中，E,尸是對(duì)角線8。上的兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)尸左側(cè))，且ZA￡B=NCFD=90。.

⑴求證：四邊形AECF是平行四邊形；

⑵當(dāng)AB=5,tanZABE=-,NCBE=ZE4F時(shí)，求EF的長(zhǎng).

5.如圖，已知AB是，。的直徑，ZVIBD為:。的內(nèi)接三角形，c為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD,OF_LAD于點(diǎn)E,交

CD于點(diǎn)F,^ADC=^AOF.

⑴求證：8是的切線.

⑵若sinC=1,BD=2y/3,求AD的長(zhǎng).

6.在VABC中，ZACB=90%。是AB邊上的高，射線DE與AC相交于點(diǎn)E,將DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。與BC相交

于點(diǎn)F,分別過E,F作EP〃DF,FP//DE,交于點(diǎn)P,令串k.

(1)證明推斷：如圖1,連接EF,若&=1.

①推斷：四邊形DEPF的形狀是；

②求證：tanNPEF=能；

(2)類比探究：如圖2,若**1.探究tan/PEF=。是否仍然成立，并證明你的結(jié)論；

oC

(3)拓展應(yīng)用：如圖3,在(2)的條件下，連接PC.若PE=PC,%=(,AB=25f求線段CE的長(zhǎng).

7.如圖1,在四邊形中，^ABC=90,AB=BC連接AC、即交于點(diǎn)尸，且滿足尸=

(1)求證：ZABD=ZACD-

cna

(2)如圖2,已知?=“過點(diǎn)/作PE_LAB于點(diǎn)E.

①求案的值；

oC

②如圖3,連接DE,若$0皿=8,求BD的長(zhǎng).

8.已知：矩形的8的對(duì)角線AC與以A為圓心的為半徑的圓弧相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作AC的垂線分別與直線BC、

AD,CD交于點(diǎn)G、P、E.

(1)當(dāng)點(diǎn)G在邊CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示.

①聯(lián)結(jié)AE,與交于點(diǎn)“，求證：DM=MF；

②若GB:CG=1:1O,求的比值；

(2)聯(lián)結(jié)AG,若APAG為等腰三角形，求tan*AS的值.

9.如圖，直角三角形ABC中，以直角邊為直徑作圓交AC于點(diǎn)過點(diǎn)。作于點(diǎn)M,E為ZW的中

點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交EC于點(diǎn)尸，BF=EF.

(1)求證：CF=BF；

⑵求tanNDEF.

10.如圖，小明家在公寓樓AB中，小區(qū)中新修了高為19m的活動(dòng)中心樓CD,小明測(cè)得公寓樓與活動(dòng)中心樓的

距離AC為50m,站在點(diǎn)A處測(cè)得活動(dòng)中心樓CD的頂端￡)的仰角為42。，公寓樓的的頂端8的仰角為53。，小明

的觀測(cè)點(diǎn)N距地面1m.求公寓樓AB的高度(精確到0.1m).

參考數(shù)據(jù)：sin42°?0.67,cos42°?0.74，tan42°q0.90,sin53°?0.80,cos53°?0.60，tan53°?1.33

11.在麥形的CD中，AB=l+V3,ZC=60°,點(diǎn)E在射線CB上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合），DEC關(guān)于DE的軸對(duì)稱圖形

為ADEC.如圖，。為△DE。的外接圓，直線8與。。交于點(diǎn)G,連接GC，交DE于點(diǎn)

備用圖2

(1)若NEC'G=15。，則ZED(7=

⑵當(dāng)EW.ED=4時(shí)，連接AC"判斷直線AC，與。位置關(guān)系，并說明理由;

⑶直接寫出AOEC的外接圓的半徑「的最小值.

12.如圖，紅紅家后面的山坡上有座信號(hào)發(fā)射塔的，塔尖點(diǎn)A到地面的距離為AC.紅紅站在離房子DE的底端

E前方30米的點(diǎn)F處，眼睛G距離地面的高度GF=L5米，抬頭發(fā)現(xiàn)恰好可以觀察到發(fā)射塔的塔尖A,并且在此

觀測(cè)位置測(cè)得塔尖的仰角為31。.紅紅家到山腳的水平距離EH=50米，山坡的坡度為，?=1：2.5（,=令），山腳H到

塔尖的仰角為45。.

圖1圖2

⑴若HC=a米，則BC=米，AB=米（用含。的代數(shù)式表示）;

（2）求房子DE和塔的高度.（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：如31。=0.51,cos31°?0.86,tan31°?0.60）

13.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,AD=3,BC=9,tanC=g,點(diǎn)E為射線CD上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF〃BE,

與射線CD相交于點(diǎn)F.連接防，與直線AT?相交于點(diǎn)G,設(shè)CE=x,黑一

（1）求梯形MCD的面積;

（2）當(dāng)點(diǎn)G在線段AZ）上時(shí)，求>關(guān)于工的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域;

（3）若留”=求線段CE的長(zhǎng).

13四邊3

14.如圖1,是大家非常熟悉的“一線三直角模型”，受到這模型的啟發(fā)，我們研究如下問題：如圖2,在VABC

中，ZA=90°,將線段BC繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BD,作DE1AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接CD并延長(zhǎng)交AB

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

⑴若AB=2,AC=6,求線段EF的長(zhǎng)；

⑵在（1）的條件下，連接CE交BD于點(diǎn)N,求黑的值；

oC

⑶在（1）的條件下，在直線的上找點(diǎn)P,使sinZBCP=|,直接寫出線段班的長(zhǎng)度.

15.如圖，在RtZVIBC中，ZACB=90°,ZA=30%BC=2＞動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC-CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，在AC上的

速度為每秒G個(gè)單位長(zhǎng)度，在BC上的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.當(dāng)點(diǎn)尸不與點(diǎn)C重合時(shí)，以。尸為邊在點(diǎn)C的右

上方作等邊式尸。，設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r(秒)，△CF。與VMC重疊部分的面積為＞.

(1)4_______

(2)求y與r之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出，的取值范圍；

(3)取AB邊的中點(diǎn)。，連接“XCD,當(dāng)是直角三角形時(shí)，直接寫出，的值.

《2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專題系列：銳角三角函數(shù)綜合》參考答案

1.(300+1500+150佝m

【分析】本題考查了解直角三角形：方位角的應(yīng)用；過點(diǎn)C作"，四于過。作DN_LCM于M則可得四

邊形DM是矩形；設(shè)CN=_xm,則可表示出CM,CD,DN,AC,利用兩人所走的路程相同建立方程，求得工,即

可求出小區(qū)北門A與南門B之間的距離.

【詳解】解：過點(diǎn)。作"，四于"，過。作@V_LCM于N,

又：AB±BD,

???四邊形DM是矩形，

MN=BD=3OOmfDN=MB；

設(shè)QV=xm,貝|JCM=aV+MN=(%+300)m；

*.?DN±CM,ZCDN=30°,

/.CD=2xm,DN-CD-cos30°—Qxm,

??MB-DN=；

?/CM±AB,ZMAC=45°,

AC=CM=y/2(x+300)m,AM=CM=(x+300)m,

sin45°、)tan45°V)

??,兩人所走的路程相同，

AC=CD+BDf即夜(x+300)=300+2%,

解得：x=15042;

*.*AM=x+300=(300+150匹)m,MB=瓜=150娓m

AB=AM+8M=(300+150底+150拘m

即小區(qū)北門A與南門3之間的距離為(300+150及+150指)m.

2.(1)24；

⑵23米

【分析】本題主要考查了解直角三角形、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形.

⑴過點(diǎn)。作CM_L3D,利用銳角三角函數(shù)可得3M=12,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得瓦＞=2曲/=24米；

⑵過點(diǎn)8作研，稗，垂足為P,利用勾股定理可以求出瓦)=24米，根據(jù)進(jìn)料口A到建筑樓的水平距離為24米，

可得第=24米，根據(jù)HL可證Rt一即的根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得進(jìn)料口到地面的距離為阱+16=7+16=23

(米).

【詳解】(1)解：如下圖所示，過點(diǎn)。作

答案第1頁(yè)，共26頁(yè)

ZBCD=134.8°,CB=CD,

ZBCM=|xl34.8°=67.4°,BM=DM,

12

BM=BCsinZBCM=BCsin67.4°?13x—=12,

13

:.BD=2BM=24（^）,

D

(2)解：如下圖所示，過點(diǎn)5作配_LEP,垂足為P,

在Rt二應(yīng)見中，

.DE=1米,

BE=>lBD2+DE2=V242+72=25米，

5尸=24米，

:.BP=BDf

D

/.Rt.EDB^RtEPB,

:.DE=PE,

??.E到地面的距離為即+16=7+16=23(米)，

「?石到地面的距離為23米.

3.(1)36

(2)①見解析，②GF=BE+BF,理由見解析

【分析】(1)在RtZXMC中根據(jù)ZB=60。，AC=6可得A3=4g,再根據(jù)AD=后可得線段瓦)的長(zhǎng)；

(2)證MOC為等邊三角形得5C=OC,ZBCO=ZCOB=60°f再根據(jù).9。石為等邊三角形得C￡=CD,NECD=60°,由此

得ZBCE=NOCD,進(jìn)而可依據(jù)“SAS”判定"C石和。8全等得NCBE=NC8=120。，進(jìn)而可證NCB￡+ZBCO=180。，據(jù)此即可

得出結(jié)論；

(3)過點(diǎn)。作?！āù私挥邳c(diǎn)H,先證ABE廠和一印印全等得班'=HF,=再證==5上即可得出線段,

BF,G尸之間的數(shù)量關(guān)系.

答案第2頁(yè)，共26頁(yè)

【詳解】(1)解：在RtAABC中，ZACB=90°,ZB=60°,AC=6sinB=—

fAB

,==_6_=4^

sinBsin60°

AD=6,

■.BD=AB-AD=4y/3-y/3=3>j3;

(2)①證明：在RtAABC中，ZAC3=90。，點(diǎn)。為AB邊中點(diǎn),

.e.OB=OC,

ZCBO=60°,

[BOC為等邊三角形，

BC=OC,ZBCO=Z.COB=60°,

乙COD=180°-Z.COB=120°,

-CDE為等邊三角形，

:.CE=CD,ZECD=60。，

ZBCO=ZECD=60°,

即ZBCE+ZECO=ZECO+Z.OCD=G^,

:.ZBCE=Z.OCD,

在①CE和QCD中，

BC=OC

<NBCE=NOCD,

CE=CD

.?.△BCF^AOCD(SAS),

;.NCBE=NCOD=12QP,

Z.CBE+ZBCO=120°+60°=180°,

OC//BE；

②解：BE,BF,GF之間的數(shù)量關(guān)系是GF=BE+M,理由如下:

過點(diǎn)。作以/〃EE交BC于點(diǎn)H,如下圖所示：

貝！JZEBF=ZmF,

點(diǎn)F是DE的中點(diǎn),

:.EF=DF,

在△3EF和右印卯中，

NEBF=ZDHF

/BFE=/DFH,

EF=DF

答案第3頁(yè)，共26頁(yè)

:.△BEF//\HDF(AAS),

:.BF=HF,BE=DH,

在(2)的條件下，

.-.△BCE^AOCD,CO//BEf

:.ZBCE=Z1,CO//DH

/.Z1=Z2,

.-.ZBCE=Z2,

又,ZG=ZBCE,

N2=NG,

:.DH=GH,

又.BE=DH,

:.BE=GH,

:.GF=HF+GH=BF+BE.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形、直角三角形

的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解決問題的

關(guān)鍵.

4.(1)見解析

(2)Ef=713-2

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)定義等

知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

(1)證A￡〃CF,運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)得AB〃CD,再證.ABE-C5AAS),得AE=CF,即可得出結(jié)論；

(2)由銳角三角函數(shù)定義和勾股定理求出AE=3,BE=4,再證ZEB=NCBE,則tan/CBEMtanZECF,得靠=舞，求

DrCr

出所=至-2,進(jìn)而得出答案.

【詳解】(1)證明：ZA￡B=ZCFD=90°,

:.AEYBDfCFA.BD,

:.AE//CFf

四邊形ABC。是平行四邊形，

:.AB=CDfAB//CD,

:.ZABE=ZCDFf

在4A3石和VCOb中，

NAEB=NCFD

-NABE=NCDF,

AB=CD

AABE^AC￡>F(AAS),

答案第4頁(yè)，共26頁(yè)

.,.AE=CF,

；四邊形AECF是平行四邊形；

（2）解：在RtAABE中，tanZABE=3=4f,

4DC

設(shè)AE=3a,則B石=4a,

由勾股定理得：（3〃）2+（44=52,

解得：。=1或a=-1（舍去），

:.AE=3fBE=4,

由（1）得：四邊形AEW是平行四邊形,

:.ZEAF=ZECFfCF=AE=3,

,NCBE=ZEAF,

:.ZECF=NCBE,

tanZ.CBE=tanZECF,

.CFEF

:.CF2=EFxBF,

設(shè)防=%,貝（]所=]+4,

/.32=x（x+4）,

解得：x=或x=-VI5-2,(舍去)，

即EF=~JH-2.

5.(1)詳見解析

(2)2

【分析】本題考查了切線的證明和解直角三角形，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用切線的判定定理進(jìn)行證明，利用圓的

性質(zhì)得出等邊三角形，運(yùn)用三角函數(shù)求解；

(1)連接。。，根據(jù)OFLAD和ZADC=ZAOF證明0￡>_LC。即可；

(2)根據(jù)sinC=：得出NC=30,NCOD=60,得出△皿>是等邊三角形，再根據(jù)三角函數(shù)求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。。，

OFLAD,

:.ZAEO=90,

:.^OAD+^AOF=90,

OA=OD,

：.ZOAD=ZODAf

ZADC=ZAOF,

答案第5頁(yè)，共26頁(yè)

:.ZADC+ZODA=90,

：.ZODC=90,

ODLCD

OD是。的半徑，

??.8是)。的切線；.

(2)解：在Rt^QDC中，sinC=i,,

/.ZC=30,ZCOD=60,

OA=OD,

Q4Z)是等邊三角形，

ZOAD=60,

筋是直徑,

ZBDA=90,

BDBD2y/3

在RtZXABD中，AD2.

tan^BADtan60G

6.(1)①正方形；②見解析

(2)tanNPEF=，仍然成立

⑶972

【分析】(1)①證明AWE四△CDF,得出。石=r>尸，根據(jù)即〃￡>/，PF//DE,證明四邊形?！晔瑸槠叫兴倪呅?

根據(jù)。石尸，證明四邊形。石尸尸為菱形，根據(jù)ZEDF=90。，證明四邊形。石尸尸為正方形；

②根據(jù)正方形的性質(zhì)得出PE=PF,NE尸尸=90。，求出tanNPEF=^=l,根據(jù)益=皿，得出tanNPEF=蕓；

1C*D\^D

⑵證明二得出玲=黑，證明△ADCSAAC3,得出竿=帶，即怒=槳，求出3/。尸石=器=蕓=左；

DFDCACBCDCBCDFBC

AC4

(3)連接PD交EF于。，交AC于M,連接。C,在R3ACB中，tan/B=G；=z，解直角三角形得出AC=20,BC=15,

oC3

證明AADCSAACB,得出若=蕓=黑，^ADC=ZACB=90P,求出。=與7=12,AD=^-=16,證明四邊形DEPF是

ADDCACADAD

矩形，得出。石=。尸，證明"=。后，說明PD垂直平分8,求出?！?8=12,ZAMD=90°fCM=EM=gcE,證明“AMDSAADC,

得出黑=條，求出期=華=黑T，得出EM=CM=AC-AM專，即可得出答案.

ACACZXjDD

【詳解】(1)解：①

oC

AC=BC,

???CD是AB邊上的高,

/.AD=BD,ZADC=ZBDC=90°,ZA=ZBCD=45°f

又丁ZACB=90°f

AD=CD=BD,

??,將DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。與BC相交于點(diǎn)F,

ZEDF=90°,

ZADE+ZEDC=Z.CDF+ZEDC=90°,

答案第6頁(yè)，共26頁(yè)

ZADE=ZCDF,

A^DE^ACDF,

DE=DF.

VEP//DF,PF//DE,

???四邊形。砂廠為平行四邊形，

?.?DE=DF,

???四邊形。砂廠為菱形，

*.*ZEDF=90°,

???四邊形。砂廠為正方形；

故答案為：正方形；

②證明：??,四邊形。砂廠為正方形,

\PE=PF,/EPF=90。,

PF

\tanZPEF=一=1,

PE

,?——AC=k一=l,

BC

AC

\tanZPEF=------

BC'

(2)解：結(jié)論：tanNPEF=能仍然成立.理由如下:

￡)C

.*CD是A5邊上的高，ZAC3=90。，

*.ZADC=90°,ZA+ZACD=ZBCD+ZACD=90°,

\ZA=ZBCD.

??將。石繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。與相交于點(diǎn)F,

\ZEDF=90°.

ZADE+ZEDC=ZCDF+ZEDC=90°,

ZADE=ZCDFf

:ADES&CDF,

DEAD

~DF~~DC

ZA=ZA,ZADC=ZACB=90°,

△ADCs/^ACB,

ADDCADAC

——=——,即nn——=——

ACBC1DCBC

DEAC

BC

由（1）①知，四邊形DEPF是平行四邊形,

DELDF,

四邊形DEPF是矩形,

ZPEF=ZDFE,

答案第7頁(yè)，共26頁(yè)

在RtAD￡F中，tanZPEF=tanZDF￡=?=—=A:

DFBC

(3)解：連接PO交所于。，交AC于M,連接OC,如圖所示:

AQ4

在RtAACB中,tanZB=——=—,

DC3

設(shè)BC=3%,AC=4x,

根據(jù)勾股定理得：AB=y/AC2+BC2=5%，

*.*AB=25,

?,5x=25,

解得：％=5,

AC=20,5C=15,

根據(jù)解析(2)可知：AADCSAACB,

,ACDCAD

,.——=——=——,ZADC=ZACB=90°,

ABBCAC

CD=^CBC=n,AZ)=—=16,

ABAB

VEP//DF,FP//DE,

???四邊形。砂廠是平行四邊形,

又,:NEDF=90。,

J四邊形。砂廠是矩形,

*.OE=OF,

又,:ZACS=90。,

OC=OE,

PE=PC,

PO垂直平分。石，

DE=CD=12,ZAMD=90°fCM=EM=gcE,

ZAMD=ZADCf

又＜ZA=ZA,

.AMDADCf

.AMAD

??而一耘’

,AD216264

AC205

/.EM^CM=AC-AM,

72

EC=2EM=—,

答案第8頁(yè)，共26頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形

的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定

和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)，作出輔助線.

7.（1）見解析

⑵①，②7

【分析】（1）證明尸ADCP,即可由相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；

（2）①先證明qABP.DCP^BPC,APDf得NWP=ZACB=45。，從面可得NCDP=NBAP=45。，貝ZAZ）C=9。。，根據(jù)

^ACD=^ABP,則登=第=[然后根據(jù)鉆=PE,則若4,即可求解；

DC,L,UJAD/

②過點(diǎn)A作AF’BD交于點(diǎn)F,連接EF,證明VAFBsVMC,得笠=焉，則蕓=*=（，再證明貝I黑=]

AL>C"DrCiJJDL>/

然后證明，.EB尸s,謝，得ZBEF=ZBAD,則EF//AD,從而得5?=5曲）=8,則S..=:DCAF=：4產(chǎn)=8,求得AF=4,

貝|J3F=3,由止+M=AF+防求解即可.

【詳解】（1）證明：?:PAPC=PBPD,

.PAPB

*'~PD~~PC'

?二ZAPB=ZDPCf

AABPs色DCP,

ZABP=ZPCD,ZABD=ZACD.

（2）角星：@VABC=90,AB=BC,

ZBAC=ZACB=45°,

〈PAPC=PBPD,

?PAPD

**PB~PC9

ZAPD=ZBPC,

AAPD^ACPB,

，ZADP=ZBCP=45°f

由（1）知

ZCDP=ZBAP=45°fNABP=NPCD,

I.ZADC=ZADP+ZCDP=90°f

PFAD

，tanZACD=tanZABF,即——=——

'1BECD

??CD3

?AD-4

.PEAD_4

**BE-CD-3'

*.*于點(diǎn)E,Z￡L4C=45°,

ZAPE=ZE4C=45°,

AE=PEf

.AE_AE_4

*'~AB~AE+BE~11

答案第9頁(yè)，共26頁(yè)

?AB=BCf

.PE_AE_4

'*AB-7

②過點(diǎn)A作AF_L5D交于點(diǎn)F,連接所

B

c

貝(JZAFB=ZADC=90°,

ZABP=ZACDf

.NAFB^NADC,

AFBF

*AP-CD

?CD_3

AD~4f

AFAD_4

~BF~~CD~3

NAD尸=45°,ZAFD=90°,

.ZDAF=ZADP=45°.

3

AF訪-

7-

A￡4

--

AB-7-

?BE_3

**AB-7，

,BFBE

??茄一茄’

*.*ZEBF=ZABD,

/EBFSAABD,

/.ZBEF=ZBADf

EF//AD,

S.AFD=,AED=8,

2

SADF=^DFAF=^AF=^

AF=4,

BF=3,

BD=DF+BF=AF+BF=4+3=7,

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形,

平行線間的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.(1)①見解析；②g

答案第10頁(yè)，共26頁(yè)

（2*或1或土衛(wèi)

【分析】（1）證明RtAADEMRtAAFE,得出ZO4E=Nfi4E,即可證明DM=MF;

②根據(jù)GB:CG=1:1O,設(shè)GB=gCG=10k,那么BC=9g根據(jù)矩形ABC。的對(duì)邊相等，得出CB=AD=AF=9出，證明

aCF8_CBA,求出CF=6k,在R3ACB中，勾股定理求出的=12左，即可求出AB:AT>.

（2）若AR4G為等腰三角形，分為當(dāng)”=AG時(shí)，可證△G4C為等邊三角形，求出ZACD=30。，即可求解；當(dāng)PA=PG

時(shí)，可證四邊形MCD為正方形，得出4a>=45。，即可求解；當(dāng)GA=G尸時(shí)，設(shè)=AD=y,可證Zfi4G=NDAC,

得出tan/&!G=tan/DAC,求出BG='，在R3ACB中，勾股定理列方程得出/=當(dāng)近/,即可求解.

y2

【詳解】（1）解：①-四邊形"8為矩形，GP±ACf

ZADC=90°fZAFE=90°,

在Rt二ADE和Rt、AFE中,

AD=AF,AE=AE,

.?.Rt-ADE且Rt-AFE網(wǎng)）,

:.ZDAE=AFAE,

在圓A中，ZDAE=ZFAEf

:.DM=MF；

②?.GB:CG=1:1O,

???設(shè)G5=gCG=10k,刃口么5c=9左，

矩形"CO的對(duì)邊相等，

:.CB=AD=AF=9kf

*/ZACB=ZGCF,ZABC=ZCFG=90°,

：?￡F3CBA,

.CFCG

"~CB~~CAf

.CF_10%

"~9k~CF+9k'

CF=6k,

在R3AC3中，AB2+BC2=AC2,EPAB2+（9^）2=（6^+9^）2,

AB=12kf

4

AB:AD=12k.9k=~,

3

（2）解：若△PAG為等腰三角形，

答案第11頁(yè)，共26頁(yè)

當(dāng)AP=AG時(shí)，

AFA.PG,

：.PF=FGf

???四邊形鉆8是矩形，

AP//CG,

ZP=ZPGC,

在和ACGF,

ZP=ZFGC

<PF=GF,

ZAFP=ZCFG

：^AFP^^CFG（ASA）,

AF=CF,AP=CGf

又VAP=AGf

:.CG=AGf

連接AE,

由（1）①可知△APEgzMFE,

ZAED=ZAEF,ZEAP=ZEAC,

ZAED+ZDEP=ZAEF+ZCEF,

即ZAEP=ZAEC,

在ZWEP和A4EC中，

ZEAP=ZEAC

?AE=AE,

ZAEP=ZAEC

:^AEP^AEC（ASA）f

:.AP=ACf

AP=AG,

AC=AG,

:.CG=AG=ACf

△GAC為等邊三角形，

ZACG=60°f

ZACD=ZBCD-ZACG=90°-60°=30°,

tan2ZACP=^^=：；

當(dāng)時(shí)，貝（j/B4G=/PG4,

AP//CG,

：.ZPAG=ZAGBf

答案第12頁(yè)，共26頁(yè)

ZAGF=ZAGBf

,/ZAGF=ZAGB,ZAFG=ZB=90°,AG=AGf

/.^AGF^AGB(AAS),

AB=AF=AD,

則四邊形鉆8為正方形，

B

G

.-.ZACD=45°,

Ec

tan2ZACD=l2=1?

當(dāng)G4=G尸時(shí)，設(shè)=AD=yf

B

G

C

：.ZGAP=ZAPG9

AP//CG,

ZPAG=ZAGB,

...ZAPG=ZAGB,

NP+NPAF=90°=ZAGB+ZBAG,

ZBAG=ZDACf

tan^BAG=tan^DAC,

.BGCD

,瓦―茄’

Y2

.??BG=-f

y

在RtAACB中，AB2+BC2=AC2,

整理得：y4+x2V-4xJo,

…芍死2，

.-.tan2ZAC￡>=

綜上所述，tanZACO的值為g或1或七叵.

【點(diǎn)睛】該題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，角的正切，勾股定理，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判

答案第13頁(yè)，共26頁(yè)

定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，圓心角定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

9.⑴見解析

(2)tanZDEF=25/2

【分析】⑴根據(jù)題意可得可證AAEWS謝，ADE^ACF,得到黑=若，隼=隼，由E為的中

BFAFCFAF

點(diǎn)，即DE=￡M,得到CF=BF即可求解；

(2)連接助，設(shè)BF=CF=EF=X,AB=2R,可證明AABD-ABCD,貝lj陣=(黑］=等=與，而/=等，由zw〃BC,

SBCD\BCJ4x~X'.BCDC"

得到蕓=甯，QEF=NAFB,則AE=長(zhǎng)在Rt,AB尸中，由勾股定理得4露+/=任+J，解得x,那么由

EFCDxyx)

AD

tan/DEF=tanZAFB=一即可求解.

BF

【詳解】(1)證明：,根據(jù)題意，VMC是直角三角形，ZABC=90°,以直角邊AB為直徑作圓，DMJ.AB,

DM//BC,

/...AEM^AFB,二ADEsACF,

,EMAEDE_AE

…訴一赤，~CF~~AF

,EMDE

,9~BF~~CF"

〈E為DM的中點(diǎn)，即

/.CF=BF-

\ADBDAD

-CDBDCD九2'

2

答案第14頁(yè)，共26頁(yè)

AE=—

x

...在Rt：AB尸中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2,

R?

2

4R2+x=------1-X

X

Z?4

2222

4R+x=^+x+2R9

2我§,

解得…暇=亭,

.tanZ.DEF=tanZ.AFB==2-72

..BF

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，難度較大,

正確合理轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

10.公寓樓AB的高度約為40.9m

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.過

點(diǎn)、N作NE上CD于點(diǎn)、N,于點(diǎn)尸.貝(J￡F=AC=50m,MN=CE=AF=lmfZONE=42。，ZBNF=53°,￡>￡：=19-l=18m,在Rt二DEN

中，在Rt△跳N中，解直角三角形得班由=5尸+AF可得出答案.

【詳解】解：過點(diǎn)N作A?_LCD于點(diǎn)N,2VF_LAB于點(diǎn)兒

貝(jEF=AC=50m,MN=CE=AF=lmfZDNE=42?,ZBNF=53°,

VCD=19m,

/.Z)E=19-l=18m,

在RtqDETV中，NE=-^-。20.00m,

1丁'tan42°'

貝IfTV=￡F-AE=50-20.00?30.00m,

在RtABTW中,BF=/Wtan53°?39.90m,

AB=BF+AF=39.90+1=40.9m,

???公寓樓AB的高度約為40.9m.

11.(1)15

⑵直線AC與。。相切，理由見解析

（3）r的最小值為1

【分析】（1）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓周角定理解答即可得出結(jié)論;

（2）過點(diǎn)E作EHLCQ于點(diǎn)H利用菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)求得比，2,利用

直角三角形的邊角關(guān)系定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理得到/。次=90。，則Gd為圓的直徑,

答案第15頁(yè)，共26頁(yè)

利用等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理，通過計(jì)算求得ZAOG=ZAaD+"CG=90。，則GCUAU,

最后利用圓的切線的判定定理解答即可；

（2）利用點(diǎn)的軌跡得到△DE。的外接圓為以DE為弦，OE所對(duì)的圓周角為60。的圓，則當(dāng)DE取得最小值時(shí)，ADEC

的外接圓的半徑r取得最小值，過點(diǎn)。作DE_LBC于點(diǎn)E,利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判

定與性質(zhì)得到BD的長(zhǎng)，則結(jié)論可求.

【詳解】（1）解：「DEC關(guān)于DE的軸對(duì)稱圖形為

4DEC24DEC,

NCDE=/CDE,

ZCDE=ZECG,ZEC'G=15°,

ZCDE=ZECG=15°f

ZEDC=ZCDE=15°；

（2）解：直線AC與OO相切，理由：

過點(diǎn)石作硝_LCD于點(diǎn)H,如圖，

四邊形"CD為菱形，

AB=CD=I+6,

QEC關(guān)于DE的軸對(duì)稱圖形為ADEC,

△DEC%ADEC,

ZDC'E=ZC=60°,DC'=DC=l+y/3,ZC'DE=ZCDE,

ZCDE=ZECGf

ZEDC=ZECGf

ZCED=ZMEC,

^ED^iMEC,

ECED

~EM~~EC'

2

EC'=EMED=4f

EC=2,

EH±CD,ADC'E=60°,

C'H=EC'cos60°=2x1=l,EH=EC-sin60°=下）,

DH=DC-CH=6,

DH=EH,

ZHED=ZHDE=45°,

答案第16頁(yè)，共26頁(yè)

.ZEDC=ZHDE=45。,

?ZCDC=90°,

?GC'為圓的直徑，

,ADBC,

?ZADC+ZC=180°,

*ZC=60°,

?ZADC=nO0,

?ZADC=120°-90°=30°,

*DC=AD,DC=DC'f

?DC'=AD,

?ZDAC=ZDCA=75°.

*/GCE=/EDC=45。,

?ZDCG=ZDCE-Z.GCE=15°,

?ZAC'G=ZACD+ZDCG=90°,

?GC±AC'f

丁GC'為圓的直徑，

J直線AC與。。相切;

(3)解：如a的外接圓的半徑r的最小值為乎.

由題意得：ZDC'E=ZC=60°,

.,.△OEC的外接圓為以DE為弦，弦DE所對(duì)的圓周角為60。的圓,

當(dāng)DE取得最小值時(shí)，/\DEC的外接圓的半徑r取得最小值，

二,點(diǎn)E在射線CB上運(yùn)動(dòng)，

.?.當(dāng)DE_LBC時(shí)，DE取得最小值，

過點(diǎn)。作DE_LBC于點(diǎn)E,如圖，

A

B(C'1~飛C

此時(shí)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合，m為△OEC，的外接圓的直徑,

,/BC=CZ),ZC=60°,

???△58為等邊三角形，

BD=CD=1+6

?.△OEC的外接圓的半徑r的最小值=畀。=竽.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的判定定理，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判

答案第17頁(yè)，共26頁(yè)

定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.⑴米,軍

⑵房子DE的高度為19.5米；塔的高度為74.3米.

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角、坡度坡角問題，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟

記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

(1)利用i=l:2.5,可求得=*哼米，在Rt,ACH中，利用正切函數(shù)的定義求得AC=S=a,進(jìn)一步計(jì)算即

可求解；

(2)作GN_LAC于點(diǎn)N,交D石于點(diǎn)M,在RtVAGN中，利用正切函數(shù)的定義列式得到(1.5)=0.6(%+80),求得％=123.75,

在中，利用正切函數(shù)的定義列式計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)解：??FC=a米一=1:2.5,

..BC1

??

??8C='a=停米，

在RtAS中，NAHC=45。,

AC

，——=

CHtan45°='l,

AC=CH=a,

I.AB=AC-BC=—^z,

故答案為：V'會(huì)

5J

(2)解：作GN_LAC于點(diǎn)N,交DE于點(diǎn)

則四邊形GFCN和四邊形GFCN是矩形，

設(shè)=%米，

在RtACH中，ZAHC=45°,

AC=CH=xf

在矩形GFOV中,QV=CF=3O+5O+X=8O+X,CN=GF=15,

AN=x-1.5,

在RtVAGV中，ZAGN=31。,tan31°=-^-,艮flA2V、0.6GZV,

（%-1.5）=0.6（x+80）,

解得％=123.75,

2Q

由（1）得8。=丁123.75=49.5米，AB=-x123.75=74.25?74.3,

答案第1