2025年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)：統(tǒng)計和概率問題（九大題型）原卷版

搶分秘籍03統(tǒng)計和概率問題

禺型概覽

目錄

【解密中考】總結(jié)?？键c及應(yīng)對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】全部調(diào)查與抽樣調(diào)查【題型二】總體、個體、樣本、樣本容量

【題型三】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)【題型四】頻數(shù)發(fā)布直方圖

【題型五】幾何面積求概率【題型六】畫樹狀圖或列表法求概率

【題型七】通過概率比較游戲是否公平【題型八】由頻率估計概率

【題型九】統(tǒng)計與概率綜合問題

解密中考

考情分析：統(tǒng)計和概率綜合題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些

考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點頻率看：統(tǒng)計部分以數(shù)據(jù)特征（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差）和統(tǒng)計圖（條形圖、扇形圖、

折線圖）為主，年均2-3題，占分8-12分；概率側(cè)重簡單事件計算（樹狀圖/列表法）及用頻率估計概率,

年均1題，占分3-4分。

2.從題型角度看：選擇、填空多考基礎(chǔ)概念（如統(tǒng)計量計算、概率值）；解答題常結(jié)合實際情境，如

分析統(tǒng)計圖信息、設(shè)計抽樣方案或計算概率（如兩步試驗概率）。

備考策略：1.基礎(chǔ)強化：熟練掌握統(tǒng)計量公式（如方差）、統(tǒng)計圖解讀及概率計算步驟（如樹狀圖

法）。

2.易錯突破：注意統(tǒng)計圖表的單位、數(shù)據(jù)范圍，避免概率計算時遺漏結(jié)果。

3.實戰(zhàn)訓(xùn)練：通過真題強化應(yīng)用題（如用樣本估計總體），掌握“先易后難”答題節(jié)奏。

4.技巧提升：解答題規(guī)范步驟（如概率題需列舉所有可能結(jié)果），靈活運用“排除法”“代入法”解題。

6題型特訓(xùn)提分-----------------------------------------

【題型一】全部調(diào)查與抽樣調(diào)查

【例1】（2025?河南焦作?一模）下列調(diào)查中，適合抽樣調(diào)查的是（）

A.坐地鐵時對乘客行李的安檢

B.對班級內(nèi)的衛(wèi)生死角進行檢查

C.開學(xué)前學(xué)校對各班級桌椅數(shù)量的調(diào)查

D.對全國初中生目前睡眠情況的調(diào)查

本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的應(yīng)用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義

或價值不大時，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.逐項判斷即

可.

彳的5175625南南率防Ii二稹廠下同西餐審「運直菜甬至曲詞餐號與的戛一廠5

A.了解河南省的空氣質(zhì)量情況B.了解黃河河南段的水污染情況

C.了解河南省中小學(xué)生身高情況D.了解本班同學(xué)的作業(yè)完成情況

【變式1】（2025?廣西南寧?一模）下列調(diào)查中，最適合采用全面調(diào)查（普查）方式的是（）

A.調(diào)查全市中學(xué)生每天體育鍛煉時間

B.調(diào)查某款新能源汽車的抗撞擊能力

C.調(diào)查神舟十九號飛船各零件是否合格

D.調(diào)查全市中學(xué)生視力情況

【變式2】（2025?河南濮陽?一模）下列調(diào)查活動適合采用全面調(diào)查的是（）

A.調(diào)查某班學(xué)生的身高B.調(diào)查某品牌手機電池的使用壽命

C.調(diào)查某市居民的環(huán)保意識D.調(diào)查全國中學(xué)生心理健康狀況

【變式3】（2025?湖北孝感?一模）下列說法正確的是（）

"某同學(xué)投籃球，投中”是隨機事件

B.天氣預(yù)報“明天降水概率50%”,是指明天有12小時會下雨

C.甲、乙兩人在相同的條件下各射擊10次，他們成績的平均數(shù)相同，方差分別是酹=032,

^=0.41,則乙的成績更穩(wěn)定

D.了解某市九年級學(xué)生的視力情況，采用全面調(diào)查

【題型二】總體、個體、樣本、樣本容量

【例1】（2025?湖北孝感?二模）為了了解某市參加中考的45000名學(xué)生的身高情況，抽查了其中2000名學(xué)

生的身高進行統(tǒng)計分析.下列敘述錯誤的是（）

A.2000名學(xué)生的身高情況是總體的一個樣本

B.45000名學(xué)生的身高情況是總體

C.每名學(xué)生是總體的一個個體

D.樣本容量是2000

甘國國巧

此題考查了總體、個體、樣本、樣本容量，解題的關(guān)鍵是要分清具體問題中的總體、個體與樣本，明確考

查的對象，總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小，樣本容量是樣本中包含的個

體的數(shù)目，不能帶單位.

一"可一2丁（一202彳河北麗吾:稹擬額湎）一窠板為了薛就武孚王綠周蓼寫豉圾芬美的灰藪普泣「王耳訴便意?「殖

機抽測了部分學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如下統(tǒng)計表：

垃圾分類次數(shù)（次）123456

人數(shù)（人）4481086

那么關(guān)于這次垃圾分類情況的調(diào)查和數(shù)據(jù)分析，下列說法錯誤的是（）

A.平均數(shù)是3.5次B.中位數(shù)是4次

C.眾數(shù)是4次D.樣本容量是40

【變式1】（2024?廣東中山?三模）為了了解某市九年級學(xué)生的肺活量，從中抽樣調(diào)查了600名學(xué)生的肺活量,

這項調(diào)查中的樣本是（）

A.某市九年級學(xué)生的肺活量B.從中抽取的600名學(xué)生的肺活量

C.從中抽取的600名學(xué)生D.600

【變式2】（2024?廣西南寧?模擬預(yù)測）3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基

礎(chǔ).為了解某校1000名九年級學(xué)生的睡眠時間，從15個班級中隨機抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，下列說法

中正確的是（）

4.1000名學(xué)生是總體反15個班級是抽取的一個樣本

C100是樣本容量D.每個學(xué)生是個體

【變式3】（2024?云南楚雄?模擬預(yù)測）【教育熱點一一雙減】在推進國家"雙減"政策落實中，某校不斷增強教

育服務(wù)能力，把"減負"與"提質(zhì)"有機結(jié)合起來，全力打造特色課程，確保課后服務(wù)多元化.為了解全校3000

名學(xué)生參加課后服務(wù)的情況，李老師隨機抽取了50名學(xué)生對其參加課后服務(wù)的情況進行調(diào)查，下列敘述正

確的是（）

A.3000名學(xué)生是總體B.每名學(xué)生是個體

C.50名學(xué)生是所抽取的一個樣本D.樣本容量是50

【題型三】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

【例1】（2025?湖南岳陽?模擬預(yù)測）“五銖錢"（如圖所示）是我國古代的一種銅制貨幣，某古幣愛好者收藏

了7枚“五銖錢"，測得它們的質(zhì)量（單位：g）分別為3.5,3.4,3.5,3.4,3.3,3.3,3.5.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)

分別為（）

A,3.3,3.5B.3.4,3.5C.3.4,3.4D.3.5,3.4

本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可，中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，

如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中

間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).本題考查了求眾數(shù)

和中位數(shù)，理解眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

彳的51756551浙江嘉東二稹廠二西藪施仄下切大弄列為二匚一017二一7廠了「一記丁冠國藪據(jù)帝甲后藪為彳；

則X的值為（）

A.4B.5C.5.5D.6

【變式1】（2025?四川宜賓?一模）在"十?一”文藝晚會節(jié)目評選中，某班選送的節(jié)目得分如下：81,86,85,

82,84,85,85,分析這組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是（）

A.中位數(shù)是85B.眾數(shù)是85C.平均數(shù)是84D.方差是3

【變式2】（2025?貴州安順?一模）如圖，這是根據(jù)某早餐店3月1日至5日每天的用水量（噸）繪制成的折線

C.眾數(shù)是4噸或8噸D.以上都不正確

【變式3】（2025?安徽?一模）為增強學(xué)校之間的友誼，某市舉辦聯(lián)合籃球比賽，下表是/?；@球隊員的身高:

身高（cm）176178180181182185

人數(shù)123211

下列說法正確的是（）

A.籃球隊員身高的眾數(shù)是185cmB.籃球隊員的平均身高是180.1cm

C.籃球隊員身高的中位數(shù)是180.5cmD.籃球隊員身高的方差是3.2cm?

【題型四】頻數(shù)發(fā)布直方圖

[例1]（2025?湖南長沙?模擬預(yù)測）2025年1月23日，中共中央、國務(wù)院、中央軍委給神舟十八號航天員

葉光富頒發(fā)“二級航天功勛獎?wù)隆?，授予李聰、李廣蘇"英雄航天員”榮譽稱號并頒發(fā)“三級航天功勛獎?wù)律?/p>

舟十八號載人飛行任務(wù)的圓滿成功，標(biāo)志著中國航天事業(yè)在實現(xiàn)高水平科技自立自強的新征程中邁出關(guān)鍵

一步.此次任務(wù)不僅提升我國綜合國力和中華民族凝聚力，更進一步增強了全體中華兒女的民族自信心和

自豪感，對激勵全黨全軍全國各族人民團結(jié)奮進、砥礪前行具有重要意義.某校為了解本校學(xué)生對航天知

識的了解情況，對八年級學(xué)生進行了航天知識測試，測試成績?nèi)亢细?，現(xiàn)隨機選取了部分學(xué)生的成績，

整理并制作成了如下不完整的圖表：

分?jǐn)?shù)段頻數(shù)頻率

60<x<709a

70<x<80360.4

80<x<90270.3

90<x<100b0.2

頻數(shù)

V60708090100分?jǐn)?shù)/分

請根據(jù)上述統(tǒng)計圖表，解答下列問題：

⑴表中"，b=；

⑵請補全頻數(shù)分布直方圖；

⑶根據(jù)以上數(shù)據(jù)，如果80分以上（含80分）為優(yōu)秀，若該學(xué)校八年級學(xué)生有900名，請你估算一下該學(xué)

校八年級學(xué)生成績優(yōu)秀的人數(shù).

本題主要考查了頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布直方圖，用樣本估計總體，正確讀懂統(tǒng)計圖和統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵.

彳瘠21正025麗南矩麻三稹）—為慶祝申隼大艮其布國晟五為面犀丁窠棱舉行了福1近瓦代史;如版竟蹇一

（百分制），為了解七、八年級學(xué)生的答題情況，從中各隨機抽取了40名學(xué)生的成績（單位：分），并對數(shù)

據(jù)（成績）進行了整理、描述和分析，下面給出了部分信息：

?.七年級學(xué)生競賽成績的頻數(shù)分布表：

成績頻數(shù)頻率

50<x<6020.05

60<x<704m

70<x<80100.25

80<x<90140.35

90<x<100100.25

合計401.00

6.八年級學(xué)生競賽成績的扇形統(tǒng)計圖:

八年級學(xué)生競賽成績在80V%<90這一組的數(shù)據(jù)是：80,80,82,83,83,

84,86，86，87,88,88,89,89,89.

d.七、八年級學(xué)生競賽成績的中位數(shù)如下:

中位數(shù)?

r?七z年級

八年級

根據(jù)以上□信息，回答下列問題:

⑴寫出表中加，〃的值，m=_,n=_.

⑵此次競賽中，若抽取的一名學(xué)生的成績?yōu)?3分，在他所在的年級，他的成績超過了一半以上被抽取的學(xué)

生的成績，他是哪個年級的學(xué)生?請說明理由.

【變式1】（2025,陜西西安?一模）2025年哈爾濱亞冬會于2025年2月7日至2月14日舉行，亞冬會是繼

2022年北京冬奧會后中國舉辦的又一重大國際綜合性冰雪盛會.某校組織開展了冰雪知識競賽，為了解本

次競賽成績情況，從參賽學(xué)生中隨機抽取了若干名學(xué)生的競賽成績x（單位：分）進行統(tǒng)計，得到如下不完

整的統(tǒng)計圖表.

成績X/分頻數(shù)頻率各組總分/分

60<x<70150.11000

70<x<80a0.22250

80<x<90600.45000

90（尤<10045b4200

請根據(jù)上述信息解答下列問題：

⑴補全頻數(shù)分布直方圖，表中6=,所抽取學(xué)生競賽成績的中位數(shù)落在組；

⑵請求出所抽取學(xué)生的平均競賽成績；

⑶學(xué)校將成績?yōu)?0100的學(xué)生評為"優(yōu)秀"，若該學(xué)校共有800名學(xué)生參加此次競賽，請你估計該校此次

競賽被評為“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù).

【變式2】（2025?安徽滁州?一模）某校組織開展主題為"節(jié)約用水，共建綠色校園”的社會實踐活動.對全校

七年級和八年級學(xué)生開展節(jié)約用水知識測試，隨機在兩個年級中分別抽取20人的測試成績進行統(tǒng)計分析

（滿分為100分）.測試成績?yōu)椋▁）,并繪制相關(guān)統(tǒng)計圖（不完整），請你根據(jù)相關(guān)信息完成下列任務(wù)：

信息1

七年級成績：84,78,98,92,98,92,69,92,89,89,85,84,83,79,92,79,83,78,92,58.

信息2

八年級成績在80Vx<90之間的數(shù)據(jù)為：89,88,85,81.

信息3

七年級抽取同學(xué)的成績頻數(shù)分布直方圖和八年級抽取同學(xué)的成績頻數(shù)分布扇形統(tǒng)計圖如下：

匕年級抽取同學(xué)的成績強數(shù)分布H力圖八年線抽取同學(xué)的或抽質(zhì)期統(tǒng)計圖

人tt

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

⑴填空：?=,并補全七年級抽取同學(xué)的成績頻數(shù)分布直方圖;

⑵請你補全七年級和八年級抽取同學(xué)的成績數(shù)據(jù)的特征表:

平均

眾數(shù)中位數(shù)方差

數(shù)

七

年84.7①________84.567.21

級

八

年83.796②________183.68

級

⑶若該校七年級和八年級分別有學(xué)生680人，測試成績90分以上（含90分）為優(yōu)秀，則兩個年級達到優(yōu)

秀的人數(shù)一共大約有多少人？

【變式3】（2025?陜西西安?模擬預(yù)測）社會生活中處處都有志愿者的身影，志愿者用熱情周到的志愿服務(wù)為

人們帶來溫暖，用行動書寫"奉獻、友愛、互助、進步”的故事.某學(xué)校為了解九年級未入團學(xué)生參加校志愿

活動的情況，從九年級未入團學(xué)生中隨機抽取20名學(xué)生，在校志愿者活動記錄上查到了他們參加志愿活動

的時長.部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

a.20名學(xué)生校志愿活動時長（小時）：17、39、39、2、35、46、7、17、18、48、28、26、48、

39、19、27、32、33、32、44.

b.校志愿活動時長頻數(shù)分布直方圖，如圖：（數(shù)據(jù)分成5組：04x<10,10<x<20,20Vx<30,

30<x<40,40<x<50）

校志愿活動時長頻數(shù)分布直方圖

志愿活動時長的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下

平均眾中位

數(shù)數(shù)數(shù)

29.55mn

根據(jù)以上信息，回答下列問題:

⑴填空：m=；n=；

⑵補全校志愿活動時長頻數(shù)分布直方圖；

⑶根據(jù)學(xué)校共青團團委要求，參加校級志愿活動時長不夠20小時不能提出入團申請，若該校九年級未入團

學(xué)生有290人，從志愿活動時長的角度看，估計有資格提出入團申請的學(xué)生人數(shù).

【題型五】幾何面積求概率

[例1]（2025?山東濟南?一模）如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構(gòu)成.向游戲板隨機投擲

一枚飛鏢（每次飛鏢均落在紙板上），擊中陰影區(qū)域的概率是.

本題考查了求幾何概率，熟練掌握幾何概率的計算方法是解題的關(guān)鍵.

利一萬75623妾薇百軀二橫5一如函廠蒞二不正寫形的兩禧王者屋「萬丁萬1萬1萬元不宜「衽熹連接箕甲一

3個點，在構(gòu)成的三角形中，是直角三角形的概率為

IIIII

—(4—!*----

：E\\\D\

【變式1】（2025?四川廣安?模擬預(yù)測）"趙爽弦圖"是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注釋《周髀算經(jīng)》時給出的一種

驗證勾股定理的圖形.如圖，四個直角三角形是全等的，且直角三角形的長直角邊長與短直角邊長之比為

3:1.若隨機向該圖形內(nèi)擲一枚針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為.

【變式2】（2025?山東濟南?一模）《易經(jīng)》："易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦太極圖是關(guān)

于太極思想的圖示，里面包含表示一陰一陽的圖形，在不考慮顏色的情況下，它是一個中心對稱圖形.如

圖，在太極圖的大圓形內(nèi)部隨機取一點，則此點取自太極圖中黑色部分的概率是.

【變式3】（2025?安徽合肥?一模）如圖所示的圓面圖案是用相同半徑的圓與圓弧構(gòu)成的.若向圓面投擲飛鏢,

則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為—.

【題型六】畫樹狀圖或列表法求概率

【例1】（2025?江西新余?一模）早茶作為廣東餐飲文化的重要組成部分，以其小吃精美、種類繁多、口味獨

特、價格實惠而聞名.張帆在廣州旅游期間，決定在"A.蝦餃，B.干蒸燒賣，C.艇仔粥，D.蜜汁叉

燒包”四種茶點中選擇喜歡的進行品嘗.（選到每種茶點的可能性相同）

⑴如果只選其中一種茶點品嘗，張帆選到"蜜汁叉燒包"的概率是.

⑵如果選擇兩種茶點品嘗，請用畫樹狀圖或列表的方法求張帆選到"蝦餃"和"艇仔粥"的概率.

本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率，熟知概率計算公式是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)概率計算公式求解即可；

（2）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到張帆選到''蝦餃"和''艇仔粥"的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概

率計算公式求解即可.

彳既2不豆）2一5:甘肅平潦二稹5一甘肅一奢叔子幣國商無領(lǐng)丁施屈黃河王?！甘┛墒┲潭妓椭薄负竦昧讼掳?/p>

的物產(chǎn)和獨特的地方文化.某班的一次實踐活動課上，老師將分別印有A.莊浪蘋果，乩平?jīng)錾剿?，C.華亭

核桃，。.靜寧燒雞這四種特產(chǎn)的四張卡片（除特產(chǎn)不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，讓每位學(xué)

生從這四張卡片中隨機抽取一張，并放回，然后對所抽取卡片上的特產(chǎn)進行介紹.

A.B.C.D.

⑴該班的張萌同學(xué)抽取的卡片上是A.莊浪蘋果的概率是；

⑵用列表或畫樹狀圖的方法，求該班的張麗和楊光兩名同學(xué)介紹的特產(chǎn)不同的概率.

【變式1】（2025?陜西西安?一模）隨著電影《哪吒2》火爆上映后，"哪吒"這一經(jīng)典文化"便在消費市場上

掀起了一股熱潮.如圖，小文收集了/、8、C、。、￡五個鑰匙扣，其中N為哪吒造型，她想讓好友云云和

珍珍分別選一件作為禮物.每件都很精美，一時之間不知如何選擇，于是她用抓閹的方式來確定禮物的歸

屬，將分別寫有/、B、C、D、￡的五張紙片（上面的字母分別代表對應(yīng)的鑰匙扣），折疊成外表完全一樣

的紙團，攪勻，她先讓云云從這5個紙團中隨機抽取一個，不放回，攪勻后，再讓珍珍從剩下的4個紙團

中隨機抽取一個.

A.B.C.D.E.

⑴云云抽到哪吒造型（/）的概率是；

⑵利用畫樹狀圖或列表法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率.

云

ABcDE

云珍珍

A(BM)(5)(“)(EM)

B（48）S)3)(E,B)

C(4C)(凡C)(NO(E?

D（4。）(BQ)CM（E,D）

E(4?(GE)

【變式2】（2025?陜西西安?一模）甲骨文因鐫刻、書寫于龜甲與獸骨上而得名，是迄今為止中國發(fā)現(xiàn)的年代

最早的成熟文字系統(tǒng)，是漢字的源頭和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的根脈.酷愛中國古代文字研究的李洋和孫怡同

學(xué)制作了如圖所示的4張卡片（這4張卡片分別用字母/、2、C、。表示，正面文字依次是牛、雞、猴、

龍，這4張卡片除正面內(nèi)容不同外，其余均相同）用來玩游戲，現(xiàn)將這4張卡片背面朝上，洗勻放好，李

洋從中隨機抽取一張，記下卡片正面上的字，放回并洗勻后，孫怡再從中隨機抽取一張.

⑵請用列表法或畫樹狀圖的方法求李洋和孫怡所抽取的卡片正面都不是"?！钡母怕?

【變式3】（2025,陜西西安?三模）投壺源于射禮，是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲.張羽和

趙峰受投壺游戲的啟發(fā)，制作了如圖所示的簽和簽筒來玩，五支簽上分別寫有唱歌、跳舞、倒立、相聲、

魔術(shù)（依次用A、8、C、。、￡表示）這五個節(jié)目名稱，五支簽除了所寫的節(jié)目名稱不同外其余完全相

同，且當(dāng)簽放在簽簡里時看不見所寫的節(jié)目名稱.張羽把五支簽放在簽筒里，搖勻并從中隨機抽取一支,

記錄簽上的節(jié)目名稱，不放回，然后趙峰再從簽筒里隨機抽取一支，記錄簽上的節(jié)目名稱，他們各自要完

成自己所抽取的簽上的節(jié)目.

m⑴張羽抽到"跳舞”的u概率是.?

⑵請用列表或畫樹狀圖的方法，求他們中有一人抽到“魔術(shù)”的概率.

【題型七】通過概率比較游戲是否公平

【例1】（2025?陜西西安?三模）小明和小亮玩紙牌游戲，他們從同一副撲克牌中抽出四張，牌面數(shù)字分別為

3、6、10、13,游戲規(guī)則如下：將四張牌正面朝下洗勻后放在桌上，小明先從中隨機抽出一張并記下牌面

上的數(shù)字，不放回.小亮再從剩余的3張中隨機抽出一張也記下牌面上的數(shù)字，若抽出的兩張牌的牌面數(shù)字

都是兩位數(shù)，則小明獲勝；否則，小亮獲勝.

⑴小明抽到標(biāo)有數(shù)字6的紙牌的概率為；

⑵請用樹狀圖或列表的方法，說明這個游戲是否公平.

H后圓圓o

本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，簡單的概率公式，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

（1）利用簡單概率公式求解即可；

（2）畫出樹狀圖，分別求出他們獲勝的概率，比較即可得出答案.

一函「21（一20五赍麗銅石稹擬預(yù)洞）一行酒務(wù)莫漢族良恂血溫乏二「是二荷有申國將爸的病皮花「天豪而?；a

詩詞、聯(lián)語或其他游戲，明朝唐之淳在《憶吳越風(fēng)景》中寫道“旋折藕花行酒令，細書蕉葉送詩筒”.行酒令

中有一種游戲稱為“虎棒雞蟲令二人相對，以筷子相聲，同時口喊虎、喊棒、喊雞、減蟲、以棒打虎、

虎吃雞、雞吃蟲、蟲嗑棒論勝負，負者飲.若棒與雞，虎與蟲同時被喊出或兩人喊出同一物，則不分勝負,

繼續(xù)喊.”依據(jù)上述規(guī)則，張三和李四同時隨機喊出其中一物，兩人只喊一次.（提示：可以用4&C、D

分別表示"老虎""棒子""雞""蟲"）

⑴若張三已經(jīng)決定喊"虎"，那么李四獲勝的概率為

⑵判斷這個游戲是否公平，并說明理由.

【變式1】（2025,陜西西安?三模）"四大發(fā)明"是指中國古代對世界具有很大影響的四種發(fā)明，它是中國古代

勞動人民的重要創(chuàng)造，具體指4指南針、B.造紙術(shù)、C.火藥、D印刷術(shù)四項發(fā)明，如圖是紅武同學(xué)收

集的中國古代四大發(fā)明的不透明卡片，四張卡片除內(nèi)容外其余完全相同，將這四張卡片背面朝上洗勻放好.

⑴若紅武從四張卡片中任意選一張，則選到"8.造紙術(shù)”的概率為

⑵紅武和浪浪玩游戲，紅武從這四張卡片中隨機抽取一張，浪浪再將剩下的三張卡片洗勻后隨機抽取一張,

若兩人抽到的卡片有.印刷術(shù)"，則紅武勝，否則浪浪勝，請用列表或畫樹狀圖的方法，判斷上述游戲是

否公平，并說明理由.

【變式2]（2025?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）2024年4月25日20時58分57秒神舟十八號載人飛船成功發(fā)射，

這不僅是神舟十八號載人飛船任務(wù)的成功，更是中國航天事業(yè)雄心勃勃的豪情壯志，展現(xiàn)了我們大國崛起

的力量.為激發(fā)學(xué)生弘揚愛國奮斗精神，以航天英雄為榜樣，不斷攀登新的科學(xué)高峰，某校舉辦以“相約浩

瀚太空，逐夢航天強國”為主題的演講比賽.九（1）班的小希和小辰都想?yún)⒓颖荣?，她們演講水平相當(dāng)，但

名額只有一個.為了公平起見，班委決定通過轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤來決定人選.如圖給出/,8兩個均分且標(biāo)有數(shù)字的

轉(zhuǎn)盤，規(guī)則：分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，將/盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字作為被減數(shù)，8盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字作為減數(shù)，若差為負數(shù),

則小希勝；若差為正數(shù)，則小辰勝.（若指針恰好指在分割線上，則重轉(zhuǎn)，直到指針指向某一區(qū)域為止.）

⑴小希轉(zhuǎn)動一次/盤，指針指向數(shù)字5的概率是；

⑵這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明你的理由.

【變式3】（2025?陜西西安?模擬預(yù)測）小慧和小德玩擲骰子和拋硬幣的游戲，勝者可獲得一張鐵一中新年音

樂會的門票.規(guī)則如下：小慧先擲一次骰子，小德再拋一枚硬幣，稱為一次游戲；擲骰子時，記下朝上一

面的數(shù)字拋擲硬幣時，如果正面朝上，記作6=2,如果反面朝上，記作6=-3；然后將0、6的值作為

平面直角坐標(biāo)系中點P的橫、縱坐標(biāo)進行記錄.例如，在一次游戲中，小慧拋出骰子朝上一面的數(shù)字為4,

即。=4,小德拋出的硬幣反面朝上，即6=-3,此時點尸的坐標(biāo)為（4,-3）.

⑴小慧拋擲一次骰子，朝上一面的數(shù)字被3整除的概率為二

⑵兩人約定：在一次游戲中，若點P在平面直角坐標(biāo)系中的第一象限，則小慧獲得門票：若點尸在第四象

限，則小德獲得門票.請你用列表或樹狀圖的方法，判斷這個游戲?qū)扇耸欠窆?？說明你的理由.

【題型八】由頻率估計概率

【例1】（2025?云南昆明?一模）一只不透明袋子中裝有1個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，某

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組做摸球試驗：將球攪勻后從中任意摸出1個球，記下顏色后放回，攪勻，不斷重復(fù)這個

過程，獲得數(shù)據(jù)如下：

摸球的次數(shù)200300400100016002000

摸到白球的頻數(shù)7293130334532667

摸到白球的頻率0.3600.3100.3250.3340.3330.334

⑴該數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組在實驗過程中發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率在一個常數(shù)附近擺動，這個常數(shù)是.（精確

到0.01）,由此可估計出紅球有個.

⑵現(xiàn)從該袋子中一次摸出2個球，請用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求恰好摸到2個紅球的概率.

■339

本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率的知識，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運用.

（1）利用頻率估計概率求解即可；

（2）畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

1碉族西橫擬預(yù)湎）一茬二不言籥幣反有不不百諫;一一7一不黃球而君羊不狂以「應(yīng)匪庶■面色出憲圣

相同，每次把球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸出一個球，記下顏色再放回盲盒中，經(jīng)過大量重復(fù)試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到

白球的頻率穩(wěn)定在0.3左右.

⑴估計盲盒中大約有個紅球；

⑵從盲盒中取出2個白球，2個黃球，1個紅球放入到一個不透明的袋子中，從中同時隨機摸出兩個球，請

用列表法或樹狀圖法求摸到兩個球顏色相同的概率.

ABcDE

A（B,4）(5)(￡，/)

B(45)(C,B)(D,B)（E，8）

C(4C)（3，C）(“)(E?

D(40(CD)(EQ)

E(4E)（B,E）(GE)（。閭

【變式1】（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）在學(xué)習(xí)《用頻率估計概率》這一節(jié)課后，數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了摸球試

驗：在一個不透明的盒子里裝有白球和紅球共3個，這些球除了顏色以外沒有任何其他區(qū)別.將球攪勻后

從盒子中隨機摸出一個球，記下顏色后放回，再重復(fù)進行下一次試驗.下表是整理得到的試驗數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)力500100020003000400050006000

摸到紅球的次數(shù)加37261313971961265133373992

摸到紅球的頻率生0.740.610.700.650.660.670.67

n

⑴用頻率估計概率，估計盒子中紅球的個數(shù)為

⑵小明認(rèn)為，如果在原有的盒子中增加一個白球，則一次性摸出兩個球恰好都是相同顏色的概率不變.你

同意小明的意見嗎？請說明理由.

【變式2】（2024?江蘇蘇州?一模）在學(xué)習(xí)《用頻率估計概率》時，小明和他的伙伴們設(shè)計了一個摸球試驗:

在一個不透明帆布袋中裝有白球和紅球共4個，這4個球除顏色外無其他差別.每次摸球前先將袋中的球

攪勻，然后從袋中隨機摸出1個球，觀察該球的顏色并記錄，再把它放回.在老師的幫助下，小明和他的

伙伴們用計算機模擬這個摸球試驗.如圖顯示的是這個試驗中摸出一個球是紅球的結(jié)果.

八紅紅球頻率

0.758；

0.756'

0.754i

0.752i

0.750?

0.748i

0.746i

0.744

4!!!!；；!!!!.

010002000300040005000600070008000900010000摸球次數(shù)/次

⑴根據(jù)頻率與概率關(guān)系的知識，請估計從這個不透明的帆布袋中隨機摸出一個球是紅球的概率約是

（精確到0.01）,其中紅球的個數(shù)是；

⑵如果從這個不透明的帆布袋中同時摸出兩個球，用列表或畫樹狀圖法求摸出的兩個球剛好一個是紅球和

一個是白球的概率.

白紅1紅2紅3

白白，紅1白，紅2白，紅3

紅1紅1,紅2紅1,紅3

紅2紅2,紅3

紅3

【變式3】（2024?廣東清遠?模擬預(yù)測）【綜合實踐】如圖，學(xué)校勞動基地有一個不規(guī)則的封閉菜地ABC,

為求得它的面積，學(xué)習(xí)小組設(shè)計了如下的一個方案:

B

①在此封閉圖形內(nèi)畫出一個半徑為1米的圓.

②在此封閉圖形外閉上眼睛向封閉圖形內(nèi)擲小石子（可把小石子近似地看成點），記錄如下:

擲小石子落在不規(guī)則圖形內(nèi)的總次數(shù)（含外

1002005001000..

沿）

小石子落在圓內(nèi)（含圓上）的次數(shù)m3263153305..

小石子落在圓外的陰影部分（含外沿）的次數(shù)

68137347695..

n

小石子落在圓內(nèi)（含圓上）的頻率0.3200.3150.306X..

【數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)】（1）若以小石子所落的有效區(qū)域為總數(shù)（即加+"）,則表格中的數(shù)據(jù)了=_；隨著投擲次數(shù)增

大，小石子落在圓內(nèi)（含圓上）的頻率值穩(wěn)定在一附近（結(jié)果精確到0」）；

【結(jié)論應(yīng)用】（2）請你利用（1）中所得的頻率值，估計整個封閉圖形的面積是多少平方米？（結(jié)果保留兀）

【題型九】統(tǒng)計與概率綜合問題

【例1】（2025?貴州貴陽?模擬預(yù)測）安全使用電瓶車可以大幅度減少交通事故造成人身傷害，為此交警部門

在全市范圍開展了安全使用電瓶車專項宣傳活動，在活動前和活動后分別隨機抽取了部分使用電瓶車的市

民，就騎電瓶車戴安全頭盔情況進行問卷調(diào)查，將收集的數(shù)據(jù)制成如下統(tǒng)計表.

活動前騙電瓶車賊活動后騎電箱車戴

安全頭盔情況統(tǒng)計我安全失森情況條形統(tǒng)計圖

類別人數(shù)

A68A:每次■

BaB:拴常戴

C510C;偶爾戴

D177D:那個藏

合計1000

⑴表中a的值是.

⑵小星認(rèn)為：宣傳活動后騎電瓶車"從不戴"安全頭盔的有178人，比宣傳前增加了1人，因此交警部門宣

傳活動沒有效果，小星分析數(shù)據(jù)的方法合理嗎？結(jié)合統(tǒng)計表談?wù)勀愕目捶?

⑶宣傳活動后，交警在一家有4名成員的家中，有2男2女，從4名成員中隨機抽取2人進行問卷調(diào)查,

請用樹狀圖或列表法求恰好抽到一男一女的概率.

此題考查了樹狀圖或列表法求概率、求眾數(shù)、中位數(shù)、頻率等知識，熟練掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

（1）利用頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)即可求出。，根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義進行解答即可；

（2）用總?cè)藬?shù)乘以抽取的數(shù)據(jù)中優(yōu)秀以上的占比即可；

（3）列表找到所有等可能結(jié)果，再用滿足要求的結(jié)果數(shù)除以總的結(jié)果數(shù)即可求出答案.

彳椀工丁蒼。云賢麗遁滅二稹5為丁廨元車旅承一生蓬而1就而頊百的而練稽泥廠窠校施機摘取了透定就緬的

九年級20名學(xué)生進行跳繩測試，并對測試成績（單位：個）進行了統(tǒng)計分析：

【收集數(shù)據(jù)】

130,146,155,156,157,178,163,165,170,171

173,173,158,178,178,179,184,186,186,190

【整理數(shù)據(jù)】

學(xué)校規(guī)定：x<140為不合格，140Wx<160為合格，160Vx<170為良好，170Wx<180為優(yōu)秀，龍2180為

滿分（個數(shù)用x表示）

等次頻數(shù)（人數(shù)）頻率

不合格10.05

合格50.25

良好20.1

優(yōu)秀8a

滿分40.2

合計201

【分析數(shù)據(jù)】

此組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是168.8,眾數(shù)是6,中位數(shù)是c；

【解決問題】

⑴填空：?=,b=,c=；

⑵若該校九年級選定跳繩項目共有300名學(xué)生，估計跳繩項目達到優(yōu)秀以上成績的學(xué)生約有多少人？

⑶現(xiàn)在從4名（其中3名女生，1名男生）滿分學(xué)生中隨機抽兩名學(xué)生參加藝術(shù)節(jié)活動表演，請用列表或樹

狀圖求出抽到一男一女的概率是多少？

男女1女2女3

男女1,男女2,男女3,男

女男，女女2,女3,

11女1女1

女男，女女1,女3,

22女2女2

女男，女女1,女2,

33女3女3

【變式1】（2025?廣東東莞?一模）2025年春節(jié)檔電影市場火爆，類型豐富多樣，某影院針對觀看《哪吒之

魔童問?！贰短铺?900》《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》《射雕英雄傳：俠之大者》這四