2025年中考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)：相似三角形（含位似）

微專題22相似三角形（含位似）

考點(diǎn)精講

構(gòu)建知識(shí)體系

,、「比例的性質(zhì)］

［平行線分線段成比例H

I黃金分用

d相?多邊形】

「比乂

相似圖形I-「也

7J-角|［應(yīng)用

U.烈三角形卜-性，1曲任

L邊.角

位假圖形|一位似作用

考點(diǎn)梳理

1.比例

⑴比例線段

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，昨譚那么這四條

比例線段

線段a,b,c,日叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段

比例中項(xiàng)如果ab—b:c或*=m或①—,那么6叫做。和C的比例中項(xiàng)

（2）比例的性質(zhì)

性質(zhì)i（基本

如果公二［,那么②________=bc（b,dW0）（反之也成立）

性質(zhì)）b

性質(zhì)2（合比

如果白9，那么________(b,dWO)

性質(zhì)）bdb

性質(zhì)3（等比

如果詈二=獸="=魯，且%+62+…+6"W0,那么也誓二出=詈

性質(zhì)）bi匕2bn/+力+,??十如匕1

2.平行線分線段成比例

（1）定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例（基本事實(shí)）.

（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成④

3.黃金分割比例（2023.6）

圖示TR

第1頁(yè)共13頁(yè)

如圖，點(diǎn)C把線段A3分成兩條線段AC和3C,且若=⑤______，那么線段A3被點(diǎn)C黃金

AB

分割，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，與的比叫黃金比，即爺=勺七

定義CA3ACA30.618,

BC門ooc的、口4長(zhǎng)短V5—1

4個(gè)0.382,間記為t全一長(zhǎng)-2

【滿分技法】一條線段上有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)

4.相似三角形的性質(zhì)與判定(6年11考)

(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角⑥_______,對(duì)應(yīng)邊⑦_(dá)_______；

性質(zhì)(2)相似三角形中的所有對(duì)應(yīng)線段(高、中線、角平分線)成比例，且等于相似比；

(3)相似三角形的周長(zhǎng)比等于⑧_______,面積比等于⑨________

兩角分別相等的兩個(gè)三角形兩邊成比例且⑩______相等的兩三邊?_______的兩個(gè)三角形

判定相似個(gè)三角形相似相似

方法

5.位似

(1)定義：兩個(gè)圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這

個(gè)點(diǎn)叫做位似中心

(2)性質(zhì)：①位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

②在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，相似比為左，那么位似圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等

于k或一k

練考點(diǎn)

1口A-nace2M,ia+c+e

L已知:「廣"則二而=--------

2.如圖是五條等距離的平行線，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C都在橫線上，若線段43=4,則線

段BC的長(zhǎng)為.

圭

-t--------------

第2題圖

3.如圖，若線段48=2,點(diǎn)C為A3的黃金分割點(diǎn)，且AO3C,則AC的長(zhǎng)為.

I-------xJ

XC.R

第3題圖

4.若兩個(gè)相似三角形的邊長(zhǎng)之比為I：2,則它們的面積比是.

第2頁(yè)共13頁(yè)

5.如圖，AB與CD交于點(diǎn)。.若黑=照=3則M=____________.

UDUDZDU

I)H

第5題圖

6.如圖，△A3C與ADEF是位似圖形，且位似中心為。，OB：0E=2：3,若△ABC的周長(zhǎng)為4,則

△DEF的周長(zhǎng)為.

一

0

第6題圖

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)1平行線分線段成比例

例1(北師九上習(xí)題改編)如圖，直線a〃6〃c,分別交直線〃?，〃于點(diǎn)A,C,E,B,D,F,下列結(jié)

論正確的是()

AACBD八ACBFACBD「ACCE

A.—CE=—BFB.—AE=—DFC.—DF=—CED.—BD=—DF

mn

—J/tq,

/__tc

/I

例1題圖

變式1(人教九下習(xí)題改編)如圖，直線AD,3c交于點(diǎn)O,AB//EF//CD若A0=2,0F=l,FD

=2,則霧的值為

EC

_____

4%

變式1題圖

考點(diǎn)2相似三角形的性質(zhì)與判定(6年9考)

模型一A字型

[2023.15,2023.22(2)②,2021.21(2),2020.22(2),2019.24(3)]

模型分析

第3頁(yè)共13頁(yè)

類型正“A”字型斜“A”字型

A

八

模型展示汁

/\

RL____J/*HCHC(E]

模型特點(diǎn)有共用的一組角NA,并且有另外一組角相等，形似“字母A”

解題思路找同側(cè)的一組相等角找異側(cè)的一組相等角

.八LA.ADAEDEA八尸A.一「ADAEDE

結(jié)論AADE^AABC^>—=—=—△ADE^AACB=>—=—=—

ABACBCACABCB

例2（人教九下練習(xí)改編）如圖，D,E分別是△ABC邊AB,AC上的點(diǎn)，NAED=NABC,若AD=2,

BD=4,AE=3,則CE的長(zhǎng)為.

u

例2題圖

變式2如圖，在AABC中，ZACB=90°,CD為斜邊A3上的高，若AC=6,BD=5,貝iJsinB的值

為.

變式2題圖

變式3如圖，在AABC中，平分NABC交AC于點(diǎn)￡>,過(guò)點(diǎn)。作?；亍˙C交于點(diǎn)E,若BE

=2,BC=3,則辿里=

S^ABC

?

!\

I\

I\

￡|—夬）

\

變式3題圖

模型二8字型

[2021.23,2019.10③]

模型分析

類型正“8”字型斜“8”字型

第4頁(yè)共13頁(yè)

V——70B

少

模型展示/\

L___A

rn

模型特點(diǎn)有一組角為對(duì)頂角，并且有另外一組角相等，形似''數(shù)字8"

解題思路找對(duì)頂角之外的另一組角相等，或?qū)斀堑膬蛇厡?duì)應(yīng)成比例

A0

A八nAccc4°BOABAcnA-八八BOAB

結(jié)論△AOB^/\DOC^—=—=—△AOBsACOD0—=—=—

DOCODCCODOCD

例3如圖，線段AE,BD交于點(diǎn)C,連接AB,DE,若AC=9,CE=4,BC=CD=6,DE=3,貝1)43

例3題圖

變式4如圖，正方形A3CD的邊長(zhǎng)為5,正方形EFGC的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)B,C,G在一條直線上，連

接3億交。于點(diǎn)”，則圖中陰影部分的面積為

變式4題圖

模型三手拉手型

[2024.22(2)]

模型分析

模型展示:

圖1

模型特點(diǎn)：L如圖①，DE//BC,ZBAC=ZDAE；

2.如圖②，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度后，連接8。，CE,延長(zhǎng)8。交CE于點(diǎn)產(chǎn)

結(jié)論：?△ADE^AABC；②若A￡)=AE,AB=AC,則△ABD四△ACE

例4在△ABC中，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，連接。E,將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所示

的位置，連接3。，CE',若AD=|AE,BD-4,則CE的長(zhǎng)為.

第5頁(yè)共13頁(yè)

例4題圖

變式5如圖，在AA3c和AADE中，點(diǎn)。在邊上，NB=NADE=30°,ZBAC=ZDAE=90°,

則啜的值為.

變式5題圖

模型四一線三垂直型

[2021.23]

模型分析

類型類型一類型二

模型特點(diǎn)Zl,Z2,N3的頂點(diǎn)在同一條直線上，Zl=Z2=Z3=90°

KA

模型展示

pCX?

ARr

n

結(jié)論△ABDsACEB

例5如圖，在矩形A5CD中，AB=6,點(diǎn)E,P分別在邊AB,BC±,1.EF1DF.CF=2BE,則

BF的長(zhǎng)為.

例5題圖

變式6如圖，在△A3c中，NBAC=90°,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=%x>0)

的圖象上.若AB=2AC,且。4=05,則％的值為.

第6頁(yè)共13頁(yè)

變式6題圖

考點(diǎn)3位似

例6如圖，線段A3的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（l,2）,BQ,0）,以原點(diǎn)為位似中心，將線段A3放

大得到線段C。，若點(diǎn)。的坐標(biāo)為（5,0）,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

真題及變式

命題點(diǎn)1黃金分割數(shù)（2023.6）

1.（2023廣東6題3分）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)選法中有一種0.618法

應(yīng)用了（）

A.黃金分割數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.中位數(shù)

拓展訓(xùn)練

2.（2024東莞一模）寬與長(zhǎng)的比是『（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)

值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫(huà)出黃金矩形：作正方形ABC。，分別取AD,

3c的中點(diǎn)E,F,連接E邑以點(diǎn)尸為圓心，以ED為半徑畫(huà)弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；作GHLAD,

交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”，則圖中下列矩形是黃金矩形的是（）

A.ABFEB.矩形EPCDC.矩形EPGHD.矩形DCGH

命題點(diǎn)2相似三角形的性質(zhì)與判定（6年11考）

拓展訓(xùn)練

3.（2024梅州一模改編）如圖，在△ABC中，CDLA8于點(diǎn)O,BELAC于點(diǎn)E,與CD相交于點(diǎn)E若

ZABE=30°,則的值為

CE4EF

第3題圖

第7頁(yè)共13頁(yè)

4.如圖，在△ABC與△ADE中，ZBAC=ZDAE,ZABC=ZADE,連接BD,CE若品ADB：&AEC

=16：9,△AOB的周長(zhǎng)為2,求AAEC的周長(zhǎng).

第4題圖

5.如圖為兩個(gè)全等的等腰直角△A3C和△ADE,已知NBAC=NAEO=9(r,AD,AE分別交BC邊

于點(diǎn)憶G,BC=5V2.

⑴求證：A?=BGFG；

(2)求證：AABGS&CA；

(3)設(shè)3G=x,CF=y,求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出x的取值范圍.

第5題圖

新考法

6.［數(shù)學(xué)文化］(2024佛山二模)《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓”.度方知圓，感悟

數(shù)學(xué)之美.如圖，以面積為1的正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形4夕C。,

若：4夕=1：2,則四邊形AECD的面積為()

A.9B.6C.4D.3

第8頁(yè)共13頁(yè)

第6題圖

7.［數(shù)學(xué)文化］四分儀是一種古老的測(cè)量工具,可以追溯到公元2世紀(jì)的托勒密時(shí)代.如圖就是一種四分

儀在距離測(cè)量上的應(yīng)用，該四分儀是在邊長(zhǎng)為1米的正方形ABC。的一個(gè)頂點(diǎn)處安裝一根方向桿.若將

該四分儀的方向桿對(duì)準(zhǔn)遠(yuǎn)處的目標(biāo)物E,在四分儀上讀出。尸的長(zhǎng)度為20厘米，已知點(diǎn)B,C,E在同

一條直線上，則目標(biāo)物E與點(diǎn)B之間的距離3石為（）

D

第7題圖

A.1米B.4米C.5米D.6米

8.［跨物理學(xué)科］（2024山西）黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律.借助如圖的正方形習(xí)字格書(shū)寫(xiě)的漢字

“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀.已知一條分割線的端點(diǎn)A,8分別在習(xí)字格的邊MN,尸。上，且AB〃NP,

“晉”字的筆畫(huà)的位置在A3的黃金分割點(diǎn)C處，且器=『.若NP=2cm,則8c的長(zhǎng)為

cm（結(jié)果保留根號(hào)）.

9.［結(jié)合網(wǎng)格］如圖，若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則陰影部分的面積為.

第9題圖

第9頁(yè)共13頁(yè)

考點(diǎn)精講

①及=ac②ad③岑④比例⑤器⑥相等

aAC

⑦成比例⑧相似比⑨相似比的平方⑩夾角

須比例

練考點(diǎn)

1.-2.23.V5-14.1：45.-6.6

32

高頻考點(diǎn)

例1D【解析】'：a//b//c,:筆=言,*=黑，黑，.?.選項(xiàng)A,B,C錯(cuò)誤，不符合題意；D

CEDFAEBFBDDF

正確，符合題意.

變式1-[W+frl'.'AB//EF//CD,：.—=—=-°tPF,-；A0=2,OF=1,FD=2,

2ECFDFDEC22

例21【解析】?/ZAED=ZABC,NDAE=NCAB,J.AADE^AACB,,

ACAB3+CE2+4

解得CE=1.

變式2-【解析】?.,NA=NA,ZADC=ZACB^90°,：.hADC^AACB,即處=-^,

解得，AOi=-9（舍去），42=4,則$缶/8=*=搭=；.

AD4+55

變式3m【解析】：臺(tái)。平分NABC,：.ZABD=ZCBD."：DE//BC,：.ZEDB=ZCBD=ZABD,

：.DE=BE=2.,：DE//BC,J.AAED^AABC,辿里=（空尸（孕=2

S^ABCBC39

例3-【解析】：4。=9,CE=4,BC=CD=6,'：ZACB=ZDCE,：.^ACB^￡\DCE,

2BCCE2

-：DE=3,：.AB=-.

DEDC22

變式4—【解析】9：ZFEH=ZBCH,NEHF=NCHB,：.AEHF^ACHB,：.EH

16CBCH5

3QIIQ27

=|C￡=|,SAEFH=^EH-EF=^XIx3=^.

ooZ2olo

例46【解析】：D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，.??￡）￡〃BC,.?噂=若由旋轉(zhuǎn)得，ZDAE=ZD'AE',

ABAC

AD'AF'

AD=AD\AE=AEr,ZDADr+ZDrAE=ZDrAE+ZCAE\：.ZDADr=ZCAE,

ABAC

：.4ABD”叢ACE',.?.組=竺="=2,-：BD'=4,：.CE'=6.

CE'AE'AE3

變式5”【解析】ZBAC=ZDAE=90°,tanZB=—,tanZADE=—,ZB=Z.ADE=3Q°,

3ABAD

/.—=—=tan30°=理.又：.NBAC—NDAC=NDAE—NDAC,即/胡。=

ABAD3

NCAE,：.AABD<^/\ACE,

BDAB3

第10頁(yè)共13頁(yè)

例53【解析】'：EF±DF,：.ZEF￡>=90°,即N3PE+NCP￡)=90°.：NBFE+NBEP=90°,

；.NBEF=NCFD,又：NB=NC=90°,：.△BEFsACFD,'：CF=2BE,AB=CD=6,

CFCD

‘黑岑解得"=3.

變式63【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)H.「ACO,2),。4=08,.?.OAnOBnZ,Y/BAC

=90°,：.ZOAB+ZCAH=90°,,：ZABO+ZOAB=90°,：.ZABO=ZCAH,XZAOB=ZAHC

=90°,：.AABO^/\CAH,A—=—=—=2,?.CH=AH=1,：.OH=OA+AH=3,；.C(1,3),：

HCHACAv7

點(diǎn)c在y=3的圖象上,r.fc=ix3=3.

fJla

變式6題解圖

例6(|,5)【解析】由題意得，△。48與AOCD為位似圖形，.M。43s△。0?.?點(diǎn)BQ,。)，

￡)(5,0),：.OB=2,OD=5,.，.△048與△OCD的相似比為2：5,丁點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,2),...點(diǎn)C的

坐標(biāo)為(1Xa2X|),即&5).

真題及變式

1.A

2.D【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則C￡>=2,CP=1在直角三角形DCP中，DF=V5,：.CG=^~

1,?嗡=勺，，短形DCG”為黃金矩形.

3.|'：CD±AB,BELAC,：.ZBDF=ZCEF=90°,Z.△DFB^AEFC,：.ZDBF=ZECF

=30°,在RtAECP中，ZECF=30°,：.EF=-CF,=^=2X—=2X-=-.

CECF42EF-CFCF42

2

4.解：,:NBAC=NDAE,NABC=/ADE,

：.^ABC^AADE,

?AB_AC日rf/B__AD

??1,J.

ADA