2025年九年級中考數(shù)學二輪復習：圓中相似三角形綜合問題（含答案）

2025年九年級中考數(shù)學二輪專題復習圓中相似三角形綜合問題

L如圖,是的直徑，ZDAB的角平分線AC交O。于點C,過點C作于D,

AB的延長線與DC的延長線相交于點P,ZACB的角平分線CE交AB于點F、交于

E.

(1)求證：直線PC是。。的切線；

(2)求證：PC=PF；

(3)若AC=8,AE=5V2,求四邊形ABC。的面積.

2.如圖，點尸在以為直徑的半圓上運動(不與M、N重合)，PHLMN于H點、,過N

點作NQ與PH平行交MP的延長線于Q點.

(1)求NQPN的度數(shù)；

(2)求證：QN與O。相切；

(3)若P#=PM,MN,求絲乜的值.

3.如圖，△ABC為。。的內接三角形，為。。的直徑，將△ABC沿直線AB折疊得到4

ABD,交O。于點D連接CD交AB于點E,延長8。和CA相交于點P,過點A作AG

〃CD交BP于點、G.

(1)求證：直線GA是O。的切線；

(2)求證：AC2=GD-BD；

(3)若tan/AGB=&,PG=6,求cos/P的值.

4.如圖，A3是。。的直徑，點C是。。上的一點，點。為弧AB的中點，過點。作AB的

平行線交CB的延長線于點E.

(1)如圖1,求證：AADCsADEC；

(2)若O。的半徑為3,求CA?CE的最大值；

(3)如圖2,連接AE,設tan/ABC=x,tan/AEC=?①求y關于x的函數(shù)解析式；

rRo

②若二=1求》的值.

BE5

5.如圖1,四邊形ABC。內接于以為直徑的E為冠上一點，且后1=而，連結

8E并延長交C。的延長線于點P,BE與AD交于點G,連接CE.

ci)求證：AG*BD=CD，BG；

(2)若EF=DG.求證：AD=BG.

(3)如圖2,在(2)的條件下，連結CG,AD=4,求CG的最小值.

6.如圖，O。是△ABC的外接圓，點。在邊上，N8AC的平分線交O。于點。，連接

BD,CD,過點。作O。的切線與AC的延長線交于點P.

(1)求證：DP//BC；

(2)求證：AABDSADCP；

(3)當凡B=6CMJ,AC=8CTM時，求線段PC的長.

7.如圖，。。的直徑A3,弦于點E,AB=10,CO=8,點尸是C￡＞延長線上異于點。

的一個動點，連接AP交O。于點。，連接C。交于點R連接AC,DQ.

(1)判斷下列結論是否正確;

1

①NACQ=NCB4；②QD=^CD；③△必Cs/^CAQ；

(2)若尸￡>=4,求CQ的長；

,c、廿,、,、S4Q4C

(3)右PD=x,-----=y.

S&QDC"

①求y與尤之間的函數(shù)關系式;

②求的最大值.

備用圖

8.如圖，AB為O。的直徑，直線C。與。。相切于點C,AraCD于點。，交。。于點E.

(1)求證：AC平分NZM&

(2)求證：CD2=DE-DA

AD

(3)若AE=3OE,求一的值.

AB

9.如圖，銳角△ABC中，AB^AC,。。是△ABC的外接圓，3。的延長線交邊AC于點D

(1)求證：ZBAC^2ZABD；

(2)當△2C。是等腰三角形時，求NA3。的度數(shù)；

1111

(3)記△ABC、LABD、△SCO的面積分別為S、Si、S2,且一+一=，

SS2Si

An

①求而的值；

②求cosXBAC.

10.如圖，△ABC中，NBAC為直角，點尸為AC邊上一動點(不與A,C重合)，以PB

為直徑作O。，O。與3c交于點。，過點。作。EL4。交的延長線于點E.AD與

PB交于點F.

(1)求證：NPBA=/BDE；

(2)如果求證：BD=BF；

(3)如果AB=6,AC=8,

①令AP=尤，BD=y,求y關于尤的函數(shù)關系式;

PF

②若PB〃DE,求二z的值.

M

11.如圖，四邊形ABC。是OO的內接矩形，過點A的切線與CD的延

長線交于點連接0M與交于點E,AD>1,CD=1.

(1)求證：

A

B

(2)設求菽的值(用含x的式子表示);

(3)若求AE■的長度.

12.如圖1,直線/：尸李什6與x軸交于點G(-4?0),與y軸交于點“，點A是線段

0G上一動點(0<GA<6).以點G為圓心，G4長為半徑作OG交無軸于另一點2,交

直線/于點C和點。，連接0C并延長交OG于點E.

(1)如圖1,b=,/OGH=；

(2)如圖2,連接AC,當AC=CE1時，求證：AOAC^AOCG；

(3)當點A在線段OG上運動時，求OOCE的最大值.

13.如圖，已知AB為半圓。的直徑，C為半圓。上一點，連接AC,BC,過點。作0。，

AC于點。，過點A作半圓。的切線交的延長線于點E,連接EC.

(1)求證：EC為圓。的切線；

(2)求證：AB2=2BC-OE；

BC3

(3)連接2。并延長交AE于尸’若半圓。的直徑為1。，-=?求AE的長.

14.在圓。中，弦AB、CD交于點P.

(1)如圖1,已知A2=CD,求證：PB=PD；

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接0P、。4、0D,若PO^PA,求證：XDOPs△

OEP；

4P

(3)如圖3,點G為線段PB上一點，已知PG=3,1WGBW2,BG?PD=BC?AD,一=k,

PC

當2P。-氏72的最大值為12時，求上的值.

15.如圖，AB是。。的直徑，C是。0上一點，ODLAC于RE為0D延長線上一點，且

/CAE=2/B,AC與BD交于點X,與0E交于點F.

(1)求證：AE是。。的切線；

(2)求證：DF2=FH'FC；

(3)若尸為0。的中點，DF=1,求陰影部分面積.

16.如圖，O。為△ABC的外接圓，點3為而的中點，點M為公上一點，連接AM,且

ZAMB=60°,連接交AC于。點，過M點作。。的切線交AC延長線于E點.

(1)判斷AABC的形狀；

(2)求證：EM=ED；

(3)已知。。的半徑為r,且BC平分/E8M；

①求AM，BE；

11

②二一77是否為定值，若是請求出定值，若不是請說明理由?(結果用「表示)

CDCE

參考答案

1.【解答】(1)證明：連接0C,如圖:

9：0A=0C,

：.ZOAC=ZOCA,

???AC是ND45的角平分線，

???ZDAC=ZOAC,

E

：.ZOCA^ZDAC,

J.OC//AD,

'：AD±CD,

：.OC±CD,

：oc是。。的半徑，

?,.PC與。。相切；

（2）證明：連接。￡,如圖：

：b是NACB的角平分線，

；./ACF=/BCF,/

由（1）知PC與OO相切，/]N

...ZCAF=ZPCB,A—6FRB

：.ZACF+ZCAF=ZBCF+ZPCB,BPZPFC=ZPCF,V\；///

：.PC=PF.

（3）解:連接OE,如圖：

,：AB是O。的直徑，

ZACB=90°,

：?！捌椒忠?。2,n

.-.ZBCF=|ZACB=45°,

:./BOE=2/BCF=9Q°=NAOE,Q///\\'、

???OA=OB=OE，乂長一6F》

；./OAE=NOEA=/OBE=NOEB=45°,\\j//）

：.LABE是等腰直角三角形，

：.AB=42AE=A/2X5/=10,￡

在Rt2\ABC中，

BC=yjAB2-AC2=V102-82=6,

；.&ABC=%C?BC=1x8X6=24,

VZD=ZACB=90°,ZDAC^ABAC,

：.ADAC^/\CAB,

?S"AC_（AC）2_（8）2_16即SADAC_16

''S&cABAB1025'2425’

/.四邊形ABC。的面積是一.

25

2.【解答】(1)解：：MN是直徑,

:./MPN=90°,

：./QPN=90°；

(2)證明：-：PH±MN,

；./PHM=90°,

\'QN//PH,

ZQNM=ZPHM=90°,

：.ONLQN,

TON是半徑，

???。^與。。相切；

(3)解：VZMNP^-ZPNQ=90°,ZPNQ+ZQ=90°,

NMNP=NQ,

???ZMPN=ZQPN,

：.叢NPMS^QPN,

.PNPM

??QP~PN'

:?P?=PM?QP,

,:P?=PM,MN,

：.QP=MN,

,:PH〃QN,

.MHMP

,?HN~PQ'

.MHMP

??HN-MN'

同理得，￡\MHPsAMPN,

.MPMH

99MN~MP"

:?HN=MP,

設PQ=MN=a,MP=b,

.MHMP

??HN~PQ'

.a-bb

??—―,

ba

：.a=(舍)或a=(41)b

.MHa-bV5-1

,,HN-b—2

3.【解答】(1)證明：：將△ABC沿直線43折疊得到△ABD,

：.BC=BD.

...點B在CD的垂直平分線上.

同理得：點A在C。的垂直平分線上.

J.ABLCD即OALCD,

'：AG//CD.

：.OA±GA.

:。4是O。的半徑，

直線GA是O。的切線；

(2)證明：為。。的直徑，

ZACB=ZADB=90°.

ZABD+ZBAD=90°.

VZGAB=90°,

：.ZGAD+ZBAD=90°.

ZABD=ZGAD.

VZADB=ZADG=90°,

J.ABAD^AAGD.

.ADBD

GD~AD'

:.AD2=GD*BD.

VAC=AZ),

：.AC2=GD^D；

(3)解：VtanZAGB=V2,ZADG=90°,

AD

—=\2r.

GD

：.AD=V2GD.

\'AD1=GD'BD,

:.BD=2GD.

'：AD=AD,

：.ZGAD^ZGBA^ZPCD.

'：AG//CD,

:.NPAG=NPCD.

J.ZPAG^ZPBA.

,:/P=/P,

△必GsApgA.

：.P^=PG-PB

,:PG=6,BD=2GD,

.,.PA2=6(6+3G。).

VZADP=90°,

：.PA2=AD2+PD2.

：.6(6+3GD)=(V2G￡))2+(6+GD)2.

解得:GD=2或G￡>=0(舍去).

；.尸。=8,AP=6夜，

4.【解答】(1)證明：

NABC=NDEC,

'：ZADC^ZABC,

：.NADC=NDEC,

:點。為弧AB的中點，

：.BD=AD,

：.ZACD^ZDCE,

：.△ADCs△DEC；

⑵解：:△ADCs△DEC,

.ACCD

??=J

CDCE

即CD?=CA?CE,

又：O。的半徑為3,

CA?CE=CD2^62=36.

即CVCE的最大值為36；

(3)解：①:△ADCs△DEC,

.ACCD

''CD~CE

...產(chǎn)tan/AEC=段=而?屈=(卷

過點。作。fUCE,不妨設EF=a,

9：ZCED=ZCBA,ZDCE=45°,

:?CF=DF=ax,

CD=yflax,

CDy/2ax)

???尸(—)292_2-2(圖2)

，CEa+ax-x2+2x+l,

…CB3

②;--=一，

BE5

.CB3

>?=一,

CE8

CACA

—：—=83,

CBCE

即x：y=8：3,

將尸露代入尸X匕：+1得，

32x2

8%~~x2+2x+lJ

解得，羽=3,xi-1，

當尤=3時，與9+線+1

2xi

當x=號時,

尸再亮

??產(chǎn)耳或3

5.【解答】(1)證明：連接AE,

,//EAG=NDBG,/AGE=ZBGD,

:.△AGEs^BGD,

.AGAE_

??=,

BGBD

：.AG9BD=AE*BG,

U：AE=CD,

：.AE=CD.

：.AG9BD=CD*BG；

(2)證明：???30為。。的直徑,

：.ZBCD=ZBAD=90°,

；?NBEC=NBDC=90°-NCBD,ZAGB=90°-NABG,

9：AE=CD,

：.ZCBD=ZABG9

：./BEC=NAGB,

VZCEF=180°-NBEC,ZBGZ)=180°-NAGB,

：?NCEF=NBGD,

又?：EF=DG,ZECF=ZGBD9

:.△CFE"ABDG(AAS),

:?CE=BG,

???由屈=CD,

：.AD=CE,

：.AD=CEf

：.AD=BG；

(3)解：如圖，過點。作尸于H,

ABDG義ACFE,

：.BD=CF,/CFH=/BDA,

VZBAD=ZCHF=90°,

:.ABAD^ACHF(A4S),

：.FH=AD,

'：AD=BG,

；?FH=BG,

9：ZBCF=90°,

AZBCH+ZHCF=90°,

■:NBCH+NHBC=9U°,

ZHCF=NHBC,

VZBHC=ZCHF=90°,

???叢BHCs叢CHF,

BHCH

???—___，

CHFH

設GH=x,

-尤，

：.CH2=4(4-X),

在Rtz!\G”C中，CG2=GH2+CH2,

；.CG2=/+4(4-無)=(尤-2)2+12,

當x=2時，CG?的最小值為12,

；.CG的最小值為2百.

6.【解答】(1)證明：如圖，連接。O,

是O。的直徑，

.\ZBAC=90°,

,：AD平分4BAC,

1

C./-BAD=/.CAD="BAC=45°,

由圓周角定理得：ZCOD=2ZCAD=90°,

：.ODLBC,

???。尸是。。的切線，

：.OD±DP,

J.DP//BC；

(2)證明：由圓周角定理得：NADB=/ACB,

■:DP//BC,

：.NACB=NP,

/ADB=/P,

由圓內接四邊形的性質得：ZABD+ZACD=180°,

VZDCP+ZACZ)=180°,

，NABD=NDCP,

'：在△A3。和△DCP中，

(Z-ADB=Z-P

l^ABD=乙DCP'

：.AABD^ADCP；

(3)解：VZBAC=90°,AB=6cm,AC=Scm,

：.BC=y/AB2+AC2=10cm,

1

OC=OD=qBC=5cm,

在RtACOD中，CD=70c2+OD?=S近cm,

由圓周角定理得：ZCBD=ZCAD^45°,NBCD=/BAD=45°,

；.NCBD=NBCD,

.,.BD-CD—5&cm,

又：AABDsADCP,

PCCD

??—，

BDAB

PC5V2

即Rn一斤二---，

5V26

解得PC=小~cm,

答：線段尸C的長為

7?【解答】解：（1）連接3。如圖，

TAB為。。的直徑，

ZAQB=90°,

：.ZQAB^-ZB=90°,

VAE±PE,

：.ZQAB^ZP=90°,

:?/P=/B,

???/ACQ=NB,

：.ZCPA=ZACQf故①正確；

又?.,NCAQ=NB4C,

：.AR\C^/\CAQf故③正確；

???。0的直徑48，弦。。于點石，CD=8,

1

匕8=4是定值,

而點P是CD延長線上異于點D的一個動點，則QD是一個變化的值，故②錯誤;

故①③正確；②錯誤；

(2)如圖，連接。。，

C￡>=8,ABLCD,

,.DE=CE=4,A0=B0=0D=5,

?.OE=VOD2-OE2=72s-16=3,

\AE=8,

\.AC=y]AE2+CE2="6+64=4圾

;尸。=4,

,.PC=12,PE=8,

,.AP=yJPE2+AE2=764+64=8VL

：ZCAQ^ZCAP,AACQ^ACPA,

?.△CAQs/WC,

.ACCQ4遮CQ

.—=—，即--p=—，

APCP8V212

\CQ=3V10；

(3)①：四邊形A。。。為圓的內接四邊形,

\ZPDQ=ZQAC,

：ZACQ^ZCPA,

\/\PDQ^^CAQ,

.S&PDQ=DP2=E

"SAQAC—%C)—80'

,?SAQAC=淳XS^PDQ,

：/\PDQ與△OCQ是等高的三角形，

.S&DCQ_竺_8

SADQPDx

.SADCQ=&SHPDQ，

S&QAC

S4QDC

80

z12

---y=

與x之間的函數(shù)關系式為y=號；

②在RtAAPE中，4P=TAE?+PE2=J64+(久+4/,

由(1)得：ZXE4cs△a。，

.ACAP

??—,

AQAC

24c280

、64+(%+2)2

,/四邊形ACDQ內接于OO,

：.ZPDQ=ZPAC,

,:/P=/P,

:.APDQsA臥c,

DQPD

ACAP

“ACPD4展

DQ=—Ap-=i2

j64+(%+4)，

on

.<x+^>2V80=8V5,

???AQ?。。的最大值為：50-10V5.

8.【解答】(1)證明：連接OC,則。4=0。,

：.ZOAC=ZOCA.

???。。為。。的切線，

???0C1CD,

VAD±CDf

OC//AD,

：.ZOCA=ZDACf

：.ZOAC=ZDAC,

二?AC平分NZMB；

(2)證明：連接CE,BC,

???四邊形ABCE是。。的內接四邊形，

ZABC+ZAEC=180°,

VZAEC+ZCE￡)=180°,

NABC=NCED,

??,A5是。。的直徑，

ZABC+ZBAC=9Q°,

：.ZCED^-ZBAC=9Q°,

'：ZOAC=ZDACf

：.ZDAC+ZCED=90°,

9：ADLCD,

：.ZDAC+ZACD=90°,

；?/CED=NACD,

VZCDE=ZADC,

J.ACDE^AADC,

CDDE

'AD~CD'

\CD2=DE^DA；

(3)解：設。E=x,則AE=3Z)E=3x,

AD=AE+DE=4x,

由(2)知，CD2=DE-DA=X-4X=4X1,

:.CD=2x,

根據(jù)勾股定理得，AC=y/AD2+CD2—J(4%)2+(2x)2=2小x,

由(1)知，ZOAC^ZDAC,

,：ZACB^ZADC,

：.△ABCs/kAO),

.ABAC

??—,

ACAD

.AB2A/5X

*?2-\/5%4%'

.\AB=5x,

eAD4%4

*AB5%5,

9.【解答】（1）證明：連接04并延長AO交5C于5

VAB=AC,

?,?弧AB=MAC,

???AE過圓心O,

???AE垂直平分BC,

???AE平分NA4C,

；./BAC=2/BAE,

*：OA=OB,

：.ZABD=NBAE,

：.ZBAC=2ZABD；

圖1

(2)解：設NA5O=x,

由(1)知N3AC=2NABO=2x,

：.ZBDC=3x,

△BCD是等腰三角形，

①若BD=BC,

則NC=N3DC=3%,

VAB=AC,

ZABC=ZC=3X9

在△ABC中，ZABC+ZC+ZBAC=180°,

3x+3x+2x=180°,

解得％=22.5。，

ZABD=22.5°；

②若5C=O),則NBOC=NC8Z)=3x,

???ZABC=ZACB=4x,

在△ABC中，ZABC+ZC+ZBAC=180°,

4x+4x+2x=180°，

???x=18°,

：.ZACB=1S°；

綜上所述，△BCD是等腰三角形時，NA5O為22.5°或18°；

(3)解：①:△ABC、AABD.△BCD的面積分別為S、Si、S2,

，S=Si+S2,

111

v-+—=—,

Ss2Si

,1_1_1_S2-Si

S1+S2SiS2S1S2

：.S\S2=Sl-Sl，

則f+x-1=0,

解得：制=匚/，彘=今歷

中AC邊上的高為h,

.S]~ADhAD-1+V5

??—1——;

S2-CD-hCD2

②如圖2,在AB上取一點G,連接。G,使BG=DG,過點。作。MLAB于M,

設CD=m,則AD=—瓶,

?；BG=DG,

：.NABD=NBDG,

'：ZAGD=NABD+/BDG=2/ABD,

又,.,NBAZ)=2NA3。，

：.ZBAD=ZAGD,

：.AD=DG=BG,

VAB=AC,

:?AG=CD=m,

'：AD=DG,DMLAB,

：.AM=GM=1AG=

1

AM_2mV5+1

cosNBAC=~~T~

AD~-1+工

2—m

10.【解答】(1)證明：??,NR4C為直角,

：.ZPBA+ZAPB=90°,

?.?NAPB=NADB,

：.ZADB+ZPBA=90°.

■:DELAD,

ZADB+ZBDE=90°,

：.ZPBA=ZBDE；

(2)證明：連接。4,如圖，

則NAO尸=2NP5A,

■:/PBD=2NPBA,

：.ZAOP=ZPBD.

'：NAPB=NADB,

:?叢OAPsRBFD,

.OPBF

??—，

OABD

???OP=OA,

：.BD=BF；

(3)@'：AB=6fAC=8,

：.BC=y/AB2+AC2=10.

9/AP=x,BD=y,

：.PC=AC-AP=S-x,CD=BC-BD=10-y,

??,四邊形PABD為圓的內接四邊形，

：.ZCPD=ZABC,

'：ZC=ZC9

???△CPDsACBA,

.CP_CD_

??—,

CBCA

.8-x10-y

??=,

108

②?：PB//DE,

：.ZPBA=ZE.

'：ZPBA=ZBDE,

：?NBDE=/E,

；?BD=BE.

VZE+ZZ)AE=90°,NBDE+/BDA=90°,

：.ZDAE=ZBDA,

：.BD=AB=6,

：?AB=BD=BE,

即3為AE的中點.

418

一x+=6,

5T

，x=3,

???AP=3.

在RtABAP中，

PB=y/AP2+AB2=3V5,

..cosZABP=BP=^=—?

,JPB//DE,B為AE的中點，

，2尸為△ADE的中位線，

C.AF^FD,

：.OF±AD,

在RtAABF中，

VcosZABP=卷,

?￡￡_2氽

??—,

65

.1275

??BRFF=M，

:.PF=BP-BF=號,

3V5

.PP—1

「BF~12V5-4,

5

IL【解答】(1)證明：在圓內接矩形ABC。中，ZADC=90°,

?'?AC為。。直徑，

AZADM=ZADC=90°,

：.ZDAM+ZAMD=90°,

〈AM為。0切線，

：.ZCAM=90°,

ZDAM+ZCAD=9Q°,

ZAMD=ZCAD,

'：ZADM=ZCDA,

：.AADM^ACDA；

MDAD

（2）解:由（1）得:

AD~CD

.“八加2

??MD=CD=x,

：.MC=MD+CD=x1+l,

.MDx2

??MC~%2+l，

(3)解：\9ZCOD=2ZCAD,

'：ZM0A=2Z0AD,

：.ZCOD=ZMOA,

設OM交于OO點N,連接ON,

'/ZDON+ZODN+ZOND=ZDON+2ZODN=180°,ZDON+ZCOD+ZMOA=Z

DON+2ZCOD=1SO°,

：.ZODN=ZCOD,

：.DN//AC,

：.AMDNsXMCO,△OEMAAEO,M

.DNMDDNDE

??CO_MC'AO~AE1

VCO=AO,

.DEMDx2

"AE~MC~%2+l，

B

?Ar——，+1_爐+x

?,力七一2%2+1月〃-2/+1，

過點。作。尸，AC于點尸，

在RtAACD中，AC=y/AD2+CD2=Vx2+1,

.AD-CDx

??陽F

VOC—.AC=^Vx2+1,

MD9C

：.DN=

MC

作OG_LON于G,

?：ON=OD,

1

：.DG=^DN,

又?:DG=OP,

1

：.0P=^DN,

1

在直角三角形。。尸中，&DN）2+￡>p2=。。2,

??.(—=)2+修=)2=(iVFTl)2,

4J/+1Jx2+1

解得：/=2或久2=|(舍)，

Vx>0,

.*.%=V2,

.372

??44Z￡7=—g—.

12.【解答】（1）解：：直線〃y=字％+6與x軸交于點G（—4百，0）,

F5

AO=^x(-4V3)+b,OG=4V3,

解得：。=4,

，直線I的解析式為y=亭％+4,

當％=0時，y=4,

二點”的坐標為(0,4),

AOH=4,

CH4

在RtAOGH中，tan^OGH=金=/

...NOGH=30°；

故答案為：4,30°

(2)證明：如圖，連接GE,BE,

VAC=CE,

：.AC=CE,

：.ZAGE=2ZAGC,

ZAGE=2ZABE,

???ZABE=ZAGC,

J.BE//CG,

：.ZBEC=ZOCG,

VZBEC+ZCAG=180°,ZOAC+ZCAG=180°,

：.ZBEC=ZOAC,

：.ZOCG=ZOACf

???ZAOC=ZCOGf

：.AOAC^AOCG；

(3)解：如圖，過點。作OPLGM于點尸，連接。耳設圓G的半徑為八則CD=2r,

由(1)得：ZOGH=30°,OG=4V3,

\0P=^0G=2V3,

,?PG=70G2—op2=6,

\PC=6-r,

?,CD是直徑，

??NDEC=NOPC=90°,

:NDCE=/OCP,

?△DCEs^ocP,

CDCE

???一=—,BPOCCE=CDCP,

OCCP

：.OCCE=2rX(6-r)=-2，+12r=-2(r-3)2+18,

?,?當廠=3時，OCCE的值最大，最大值為18.

13.【解答】(1)證明：如圖1,連接OC,

VOE±AC,

???OE平分AC,

：.EA=EC,

：.ZEAC=ZECA,

???OC=OAf

：.ZCAO=ZACO,

：.ZEAC+ZCAO=ZECA+ZACO=9Q°,

???OC工EC,

???OC為半徑，

???EC為圓。的切線；

(2)證明：如圖1,

,：AB為半圓。的直徑，Si

ZACB=90°,

9：ODLAC,

：,OE〃BC,

ZEOA=ZABC9

TAE是切線，

：.OA.LAEf

：.ZEAO=ZACB=90°,

???AEAO^AACB,

：.EO：AB=AO：BC,

：.EO*BC=AO*ABf

'：AB=2AO,E

：.AB2=2BCOE；)

(3)解：作。M_LA5于M,如圖2,

Be3

?.?半圓O的直徑為10,—=

AB5

.*.BC=6,

.\AC=8,

VOE±AC,

：.AD=^AC=4,OD=^BC=3,

?■八Ar?OD3

??sinZ-OAD=-^Q=引

9：sin^0AD=sinZ.MAD=綜，

.nn#ADDO12

：.AM=yjAD2-DM2=J42-(卷產(chǎn)=器，BM=AB-AM=餐,

'：DM//AE,

：.ABDM^ABFA,

DMBM

AF~BA

14.【解答】（1）證明：連接03,

9

：AB=CDf

：.AB=CD,

：.AB-AC=CD-AC,

：.BC=AD,

：./CDB=NABD,

:?PB=PD.

(2)證明：連接OC,

由(1)知尸3=PD,AB=CD,

：.AB-PB=CD-PD,

：.PA=PC,

在△0B4與△。尸。中，

PA=PC

OP=OP,

OA=OC

:?△OBldO尸CCSSS),

A

：.NA=NC,

設NAOP=a,

VP0=B4,

NA=ZAOP=a,

/.NC=NA=a,

又，；OC=OD,

ZD=ZC=a,圖2

ZAOP=NO=a,

又NEPO=NOPO,

△QOPs/xo研

(3)解：?；BG?PD=BC/AD,

BGBC

又,.,AC=AC,

???NB=ND,

:?△BGCS^DAP,

：.NBCG=ND%

???ZDPA=ZCPB,

：./BCG=/CPB,

又,：/B=/B,

：.△BGCs^BCP,

.BC_BG_

?.一,

BPBC

：.BC1=BG-BP,

設5G=x,貝！Jl《xW2,

：.BC2=X(X+3),

即BC2=X1+3X,

/APD=NCPB,

：.AAPDs4CPB,

PDAP

—=—=k,

PBPC

:?PD=kPB=k(x+3),

：.2PD-(x+3)-(/+3尤)，

設2PO-BC2=y,貝!]>=-/+0k-3)x+6k(lWx<2),

對稱軸為直線%=^=fc-|,

Qq

①當左一掾三1,即時，當x=l時，ys=-1+2左-3+6%=%，

解得k=2,

o57QQ

2

②當—即時，當％=々一]時，ymax=-(fc-1)+(2fc-3)(k-

3

2)+6k—12,

化簡得k2+3k-^-=0,