2025年九年級中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圓中相似三角形與圖形面積綜合問題（含答案）

2025年九年級中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)圓中相似三角形與圖形面積綜合問題

1.如圖，四邊形ABC。為。。的內(nèi)接四邊形，對角線AC為直徑，過點(diǎn)。作DELAC于點(diǎn)

E,交BC于點(diǎn)?

(1)若NCBO=35°,求NCDF的度數(shù)；

(2)連接B。，若C尸：BF=1：3,求。R的值；

(3)在(2)的條件下，

①記ACEF,ACDE,△AOE分別為Si,Si,S3,若S/=S「S3，求乙4。5的正切值；

PE

②若BD,AC交于點(diǎn)P,—=m,試用含m的式子表示cos/BDF.

備用圖

2.如圖，在。。中，AB為直徑，M為AB上一動點(diǎn)，MA^l,MB=x(x>0),過M的弦

CD±AB,N為皿上一點(diǎn)，AH±CN,垂足為H,連接AC,BN.

(1)若x=3,求NC4B的大小；

(2)連接AN.

①求證：LACHsAABN；

②記丫=sin工NH'求>關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)記△?!”,AABN,△AMC分別為Si,8,&,若存在一個(gè)大小確定的圓O。，對

于點(diǎn)N的任意位置，都有S3+3S2-4S1的值是一個(gè)定值，求此時(shí)/BNC的大小.

備用圖

3.如圖1,四邊形A2C。內(nèi)接于O。，對角線AC,BD交于點(diǎn)、P,AC為O。的直徑.

(1)求證：AP?PC=BP，DP；

BD

(2)如圖2,作。ELAC于R交BC于點(diǎn)E,若BE=3CE,求——的值；

DE

(3)記的面積為Si,ABPC的面積為S2,四邊形ABCD的面積為S,若滿足遮=

如+展，試判斷四邊形ABC。的形狀，并說明理由.

4.已知四邊形ABCD為O。的內(nèi)接四邊形，如圖1，邊與BC的延長線交點(diǎn)E,AC與

8。相交于點(diǎn)F,油所對的圓心角的度數(shù)為a,而所對的圓心角的度數(shù)為0,且a>0.

(1)求證：AECDS^EAB；

(2)求NE的度數(shù)(用含a、p的式子表示)；

(3)如圖2,當(dāng)a=20時(shí).

①若AB=8,CD=2V5,求。。的半徑；

②記△BCD的面積為Si,△A2E的面積為S2,—=y,cosE=x,當(dāng)BE=3BC時(shí)，求y

關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式.

5.已知四邊形A8C。是。。內(nèi)接四邊形，對角線AC與BD相交于點(diǎn)尸.

(1)求證：AADPsABCP；

(2)連接?！?gt;,如圖1,^ZADB=ZODC,求證：AC±BD；

(3)如圖2,設(shè)AAPB的面積為Si,△AP。的面積為S2,△€1「￡>的面積為S3,/XBPC

的面積為S4,并且滿足JS1+S?+S3+S4=1S4,延長CD,BA父于點(diǎn)F,連接

BQ

FP交A。于點(diǎn)E,延長FP交BC于點(diǎn)。，求二的值.

6.如圖，在等腰△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的交BC于點(diǎn)￡>,點(diǎn)尸是皿上一

動點(diǎn)(不與點(diǎn)。重合)，ED的延長線交AC于點(diǎn)E,連接AP交2。于點(diǎn)G.已知A￡>=6,

BD=8.

(1)ZADC=°.

(2)當(dāng)所〃A8時(shí)，求的值；

(3)設(shè)AE=x,DG=y,

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的范圍；

②設(shè)AAGC的面積為Si,ZVIEF的面積為S2,求生的最小值.

備用圖

7.如圖，在OO中，已知AB=AC,。為。。上一動點(diǎn)，連接AD直線A。與直線BC相

交于點(diǎn)E.

(1)若NABC=70°,則/BOC=；

1

(2)若8C=2,cosZABC=-T,則AZ>AE=；

(3)點(diǎn)。在劣弧AC上，

211AD

(i)記△ABE,AABZ),￡\BDE的面積分別為S、Si、Si,且一=--------,求—；

SS1S2DE

(ii)若A8=〃，BD=m,CD=n,試用含如n,p的式子表示AE?DE.

8.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于OO,對角線AC、5。交于點(diǎn)石且AC為直徑，延長D4、

C5交于點(diǎn)R連接0。，若NA0D=NAC3,請回答下列問題：

（1）求證：AOADsXCBE：

AE1DE

（2）若法=?求薪的值;

（3）設(shè)=K,448尸與四邊形ABC。的面積之比為》請求出y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式.

9.定義：對于凸四邊形，對角線相等的四邊形稱為“等對”四邊形，對角線垂直的四邊形

稱為“垂對”四邊形.

（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應(yīng)的括號中，正確的打“J”，錯誤的打“X”）

①平行四邊形一定不是“等對"四邊形；

②“垂對”四邊形的面積等于其對角線長的乘積的一半；

③順次連接“等對"四邊形四邊中點(diǎn)而成的四邊形是“垂對"四邊形；

(2)如圖1,已知四邊形ABC。(ADWBC)既是“等對”四邊形，又是“垂對”四邊形,

且四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在。。上，連接四邊形的對角線AC,交于點(diǎn)P.

①記△AQP,△BCP,四邊形A8C。的面積分別為Si,S2,S,求證：Vs—

②如圖2,點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)N,若AZ)+BC=M7,MN-n,

求O。的半徑(用含相，”的式子表示).

10.已知：如圖，A2是。。的直徑，M為OB上一點(diǎn),過M作COLAB,N為弧AC上一

動點(diǎn)，連接NC、NB、ND,NB交CD與P.

(1)當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，求證以。、C、B、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

(2)當(dāng)NCLCD時(shí)，設(shè)的長為Bx,y=AM'AB,求y與無的關(guān)系式.

(3)在(2)的條件下，△PBC=Si,4PBM=S2,△NPC=S3,自然數(shù)p、，滿足以下

關(guān)系，Si=3,Si=2p-t,S3=3p+t,求AB的長.

11.如圖1,以A8為直徑的O。與△ABC的邊BC交于點(diǎn)。，NCAD=NABC,點(diǎn)M是直

徑AB下方半圓上的一動點(diǎn)，連接AM,DM.DM交AB于點(diǎn)P.

(1)若AB=4,BC=2V6,求tanM；

》

(2)①記△AC。的面積為SCD,△A2D的面積為SAABD,若S-CD；ShABD=QO

的半徑為近.求線段CD的長；

②如圖2,當(dāng)動點(diǎn)M運(yùn)動到恰好使得尸為DM的中點(diǎn)時(shí)，N48C的角平分線交。M于點(diǎn)

DEDF

E,交于點(diǎn)R求丁+丁的值；

DPAD

(3)如圖3,連接記△APQ的面積為Si,的面積為52,四邊形的

面積為S,若滿足遮=后+，可，試判斷四邊形的形狀，并說明理由.

圖1圖2圖3

12.如圖1,四邊形A5CD內(nèi)接于。0,對角線5。平分NAOC,連接AC交5。于點(diǎn)盡

(1)求證：AB=BC；

..DA+DC

(2)若AC為直徑，如圖2,求------的值；

DB

(3)若AD：BC=S/\ADE：SADEC,S/\BEC=S^AEB+S/\AED,求(而產(chǎn)的值.

圖2備用圖

13.已知。0的直徑A5,CD互相垂直，G為弧5。上一點(diǎn)，連接CG,AG分別交AB,CD

于尸兩點(diǎn)，連接。G.

(1)連接AD,求證：ACGF^AAGD；

DGDF

⑵如圖1,若E為。。中點(diǎn)，求而與Q

OEc

(3)如圖2,若布=*，△AOR△■DGF的面積分別為Si,S2,y=g，試求y關(guān)于x

的函數(shù)解析式.

14.已知四邊形ABC。內(nèi)接于O。，且AC_LBD于點(diǎn)M.(1)如圖1,過圓心。作OH_LCD

于點(diǎn)H.

①若O。半徑為5,CO=8,求。"的長；

②試判斷AB與。"的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.

(2)如圖2,記△ABM,ABCM,ACDM,ADAM的面積分別為Si,Si,S3,S4,若

Si%=3,求的最小值.

15.如圖，點(diǎn)A,P,B,C是。。上的四個(gè)點(diǎn)，NAPC=NCPB=60°,AB.PC交于點(diǎn)。.

(1)判斷△ABC的形狀，并說明理由；

(2)試探究線段研，PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

111

(3)記△ABC、△AC。、ABCQ的面積分別為S、SiS2,若一+—=—,AC=2,求

sS2S1

AQ的長.

A

P,PA

參考答案

1.【解答】解：（1）;AC為。。的直徑，

AZADC=ZABC=90°,

：.ZCAD+ZACD=90°,

DELAC,

：.ZCED=90°,

：.ZDCE+ZCDE=90°,

?./CAD=NCDE,

?/CBD=35°,CD=CD,

?NCAD=NCDE=NCBD=35°,即NC。尸=35°；

(2)'：ZCBD=ZCDF,ZDCF=ZBCDf

?△CDFs^CBD,

CDCFDF

?CB-CD-BD

*CF：BF=1：3,

.設(shè)C/=〃，則5尸=3mBC=BF+CF=4a,

CDa

4aCD'

?CD=2〃，

DFCD2a1

?BD~CB~4a~2；

(3)①；ACEF,ACDE,ZkADE的面積分別為Si,S2,S3,

111

，.S\=^CE,EF,S2=^CE-DE.S3=^AE-DE.

?^2=Si.S3,

?一，

S352

-CEDE-CE-EF

.2________2_______

?1=1，

-AE-DE-CEDE

22

.CEEF

??=,

AEDE

'：ZCEF=ZAED=90°,

：.ACEF^AAED,

:.NECF=NEAD,

：.AD//BC,

：.ZBCD=ZADC=ZABC=90°,

???四邊形ABC。是矩形，

.\AB=CD=2a,

：.在RtAABC中,tan^ACB=需=我=與

②如圖，作尸?！?。尸交BC于Q,

QFPE

：.—^―=m,/\CEF^>/\CPQ,△BPQS△BDF,

PQBQBF—QF3ct—?71(13-mEFCECF

QF=mCF=ma,—

DFBF~BF-3aPQ~CP~CQ

CFa1

CF+QFa+mal+m，

3—7711

：.PQ=^^DF,PQ，

,EF——--xDF—3一6DF

,?“-1+血、33(l+rn)〃，'

3—rn4-TTI

;DE=DF—EF=DF-J^DF=不領(lǐng)近，

'JPQ//DF,

DPQFmamrn

—=—=----=——，WflDP=kBD,

DBFB3a33

DF4DF

在RtAPDE中，cos^PDE=黑=3黑黑

iD-^-DU1+mBD'

DF1

由⑵可得：茄=5,

4122

cosZ-PDE=-T-.—x5=丁?一，即COSNBDF=-.

1+m21+m1+m

2.【解答】⑴解:Vx=3,

CM=<AM-BM=V3,

tanZCAB==V3,

：.ZCAB=60°；

(2)①證明：：AB為O。直徑，

ZANB=9Q°,

'：AN=AN,

：.NACN=/ABN,

'：AH±CN,

：.△ACHMABN；

②解：連接BC,如圖：

'：AC=AC,

：./ABC=ZANC,

由射影定理可知，CM=>JAM-BM=yfx,

：.BC=y/CM2+BM2=y/x2+x,

==

sin^.ANHsin^ABC=1廠=/，

bDcrm同

.".y—Vx+1;

(3)解：；O。為確定圓，

為定值,

.*.S3=[xlx?=苧為定值,

又：S3+3S2-4S1的值是一個(gè)定值，

?1.3S2-4S1的值是一個(gè)定值，

由(2)①知，△ACHS/VIBN；

SIAC2,

—=—r=cos2z^CAB,

2

s2BC

，3S2-4SI=(3-4COS2ZCAB)S2為定值,

：N為任意一點(diǎn)，

，S2為變量，

；.3-4COS2ZCAB=0,

cosZCAB=亭,

.'.ZCAB=60°,

'：BC=BC,

:.NBNC=/CAB=6G.

3.【解答】（1）證明：:/DAC=NCBD,/ADB=/ACB,

：.△APDs^BPC,

.APPD

?.—,

BPPC

，AP?PC=BP?DP；

（2）解：???AC為。。的直徑，

ZADC=90°,

：.ZDAC+ZACD=90°,

u：DELAC,

：.ZDFC=90°,

：.ZCDF+ZDCF=90°,

：.ZCDF=ZCAD,

■:/CAD=NCBD,

:?NCDF=NCBD,

'：ZDCB=ZECD,

—=—=—=2；

DECEx

(3)解：四邊形A8C￡＞是矩形，理由如下:

作。E_LAC于E,8F_LAC于凡設(shè)△APO的面積是a,△BCP的面積是6,

.\Si=^AP-DE,S2=3CP，BF,a=%P?DE,b=^CP'BF,

:.a，b=Si*S2,

由g=M+得，5=S1+S2+27VS；,

a+b=2yJS1-S2,

（a+匕）2=4SI?S2,

〃2+廿+2次?=4Si?S2,

c^+b2-2ab=3

??a=b,

\'a=^AP'DE=^AP'PD'sinZDPC,b=^PC'BF^^PC'BP'sinZBPF,ZBPF^ZDPE,

???AP?PZ)=B尸?CP①，

???/BAC=NCDB,

?.?/BAC=/BDC,

：.△APBs^DPC,

?APPB

??PD~PC

：.AP-PC=DP*PB?,

由①②得，PD=PC,AP=PB,

：.ZPAB=ZPBA,

VZADC=90°,

???ZACD+ZCAD=ZABD+ZCAD=ZBAC+ZCAD=90°,

：.ZPAD=ZADP9

：.PA=PD.

；.PB=PD,

???點(diǎn)尸是瓦)的中點(diǎn)，此時(shí)尸和。重合，

???5。過點(diǎn)O,

：.AC=BD,

???四邊形AMBD是平行四邊形，

團(tuán)AM8D是矩形.

4.【解答】(1)證明：???四邊形A5CD為。。的內(nèi)接四邊形，

：.ZBCD+ZBAD=1SO°,

VZBCZ)+ZECZ)=180o,

：.ZBAD=ZECD.

??,ZE=ZE,

:?△ECDs^EAB.

(2)解：:麗所所對的圓心角的度數(shù)為a,前所對的圓心角的度數(shù)為0,

11

由圓周角定理可得/BD4=*a,/CBD=^6,

由外角定理可得NE=ga—y,

（3）解：①作。G,AB于X,交O。于點(diǎn)G,連接04,GA,如圖1：

Va=2p,則通=2前，

由垂徑定理可得而=而=前=

：.AG^CD=2V5,AH=專AB=4,

：.HG=y/AG2+AH2=V20-16=2,

設(shè)OO半徑為r,則。8="2,

在RtZXOHA中，(r-2)2+42=r,解得廠=5,

即O。的半徑為5.

11

②當(dāng)a=20時(shí)，NE=),NCAD=”,

'：CD=BG,

1

ZCAD=ZBAG=ZE=/?,

cosE=x=cosXBAG=方

?；BE=3BC,貝ljEC=25C,

2s4BCD=SAECD,

?S^ECD_‘CD2_AG21AG1即至衛(wèi)=2尸白，

^S~W-(羔)—(--)

LABE4W4%2SLABE

即尸表?

5.【解答】(1)證明：：四邊形ABC。是O。內(nèi)接四邊形,

ZADB=ZACB.

'：ZAPD=ZCPB,

：.△ADPsLBCP；

(2)證明：延長。。交OO于點(diǎn)E,連接CE,如圖，

???￡)E為。。的直徑，

AZACE=90°,

：.ZODC+ZE=90°.

,?NADB=NODC,

ZADB+ZE=90°.

'：ZDBC=ZE,NADB=NACB,

：.ZDBC+ZACB=90°.

：.ZBPC=90°,

：.AC±BD；

(3)解：???JS]+S2+S3+S4=疝+國

「?Sl+S2+S3+S4=S?+2ds2s4+S4.

???S1+S3=2匾果.

??豆一些也￡￡

，

?S2~PDS3—PD

,SiS4

S2S3

S1S3=S2S4,

??Si+S3=2dS1S3,

(V^l_V^3)2=3

,

S1=S3,

S1+S4=S3+S4,

即：SAABC=SLDBC，

???點(diǎn)A到5C邊的距離=點(diǎn)D到5C邊的距離，

J.AD//BC,

：.△ADPsfBP,

.ADDP

??BC~BP'

同理：ADEPsABOP,

.DEDP

?.—,

BQBP

.DEAD

,?BQ~BC'

'CAD//BC,

:.AFADS^FBC,

.FAADFD

??FB~BC~FC1

同理：AFDEsAFCQ,

.DEFD

,*CQ~FC'

.DEDE

??=,

CQBQ

：.CQ=BQ.

.BQ

??—=11.

CQ

6.【解答】解：(1)TAB是。。的直徑,

ZAZ)B=90°,

ZAZ)C=180°-ZADB=90°,

故答案為：90；

(2)9：EF//AB,

:?NBAG=/F,ZB=ZGDF,

'：BF=BF,

:.NBAG=/GDF,

：.NB=ZBAG=ZF=ZGDF,

：.AG=BG,DG=FG,

:?AG+GF=DG=BG,

：.AF=BD=S,

BG=AG=x,則。G=8-x,

在RtZXAOG中，由勾股定理得，

AZ)2+DG2=AG2,

62+(8-x)2=/,

???AG?A/=8x于=50；

(3)①如圖，

作DHLAC于H,

：.ZDHE=ZADG=90°,

VAB=AC,

VAD=AD,

：.ZF=ZB,

：.ZC=ZF,

F

工ZDEH=ZC+ZCDE=ZF+ZCDE,

'：ZCDE=ZFDG9

/AGD=ZF+ZFDG=NF+NCDE,

：.ZDEH=ZAGD,

：.AADG^ADHE,

.DHEH

??,

ADDG

9DH_CD_8_4

：sinZDAC=AD=AC=W=Sf

.EH4

??=一,

y5

..AHAD

?COSZDAC=AD^AC'

?A一絲!—?dú)W—竺

：.EH=x-^-,

18

XT4

y,5,

9

1?yx--2!

,『59

由y>0得，一光一一〉0,

42

18

號'

Vx^lO,

18

：.—<x<10；

②由①知，

ZF=ZC,

'：ZFAE=ZCAG,

：.AACG^AAFE,

100

,-A=（絲）2

2

S2"AF

???當(dāng)A尸最大時(shí),

???當(dāng)點(diǎn)廠和點(diǎn)5重合時(shí)，A尸最大=AB=AC,

；?丁的最小值是1.

7.【解答】解：(1)VZABC=70°,AB=AC,

：.ZBAC=180°-2X70°=40°,

當(dāng)。在優(yōu)弧瓦花上時(shí)，可得N3DC=NB4C=40°；

當(dāng)。在劣弧就上時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得N5DC=180°-40°=140°,

故答案為：40°或140°；

(2)作AF_LBC于點(diǎn)凡由垂徑定理可得3F=CF=/BC=1,如圖1所示:

1BF1

???C°S/ABC=4=詆=而，

：.AB=4=AC.

???四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，

工ZABC=ZCDE,

又?:ZABC=ZACB.

：.ZCDE=ZACB,

：.ZADC=ZACE,

又,.?NCAZ)=NE4C,

AADC^AACE,

ACAD0

???一=一，BPA0C2=AD-AE=42=16.圖1

AEAC

故答案為：16.

(3)(i)由條件一=--------，可整理得一=——

ss1S2S^1^2

從而2sls2=s(S2-Si),

又：S=S1+S2,

；.2SIS2=(S2+S1)(52-Si),即2sls2=SRS3

：.S^+Sl-2Sl-2sls2=0,即(S2—Si)2=2Sl,

兩邊同時(shí)開平方得：52-S1=&Sr

故S2=(1+夜)S1，

從而￡=&=W-1,

(ii)由四邊形A8C￡＞為0。的內(nèi)接四邊形可得NA3E=NCZ)E,

又＜ZDEC=4BEA,

：.LABEsACDE,

AB

CD

?.?NCAE=NDBC,ZAEB=/BED,

：.AACEsABDE,

CEACp

--=---=—②，

DEBDm

AEQ2-vyi-vi

把①、②兩式相乘，得—=---,即DE=—^AE,

DEmnp‘

由(2)可知△AOCS/XACE,從而AC2=AO?AE,即p2=AD?AE,

；.p2=AE(AE-DE)=AE(AE-寫2E)—寫啟=p2-產(chǎn)值,

pZpZpZ

：.AEr=2P4

p^—mn

遼租九?v2mn

i^AE'DE^AE'—AE=—AE2=可

pzpzp^—mn

8.【解答】(1)證明：：前=CD,

:./CAD=NCBD,

又,:ZAOD=ZACB,

：.AOADsACBE；

(2)解：設(shè)AE=a,CE=4a,則AC=5。，OA=OD=OC=25a,

由(1)△OAZ)S/^CBE可得0A=0D,

.OAODAD

"CB~CE~BE'

.AD5

??—―,

BE8

同時(shí)可得△C5E和△04。都是等腰三角形,

:,CB=CE,

：.ZCBD=ZCEB=ZCAD,

又?：NCEB=NAED,

：.ZCAD=ZAED,

：.AD=DE,

tDEAD5

BE~BE~8；

「DEADOD

(3)解：由(2)知一=—=—,

BEBECE

??_D_E

?,—x,

BE

則OD=x,CE,AC=2x,CE,

則AE^AC-CE=(2x-1)CE,

AE

/.—=2%—1,

CE

?:NEAB=NEDC,NAEB=/DEC,

：.AAEBsADEC,

ABAEBE

*'DC~DE~EC

?.?ZABF=/CDF二=180°-ZABC,ZAFB=/CFD,

:.AFABsAFCD,

?S^ABF/B、2AEBEAEBE2x-l

——x—=—X——

'△CDFCDDEECECDE%

.S△4BFy2x-l

S4ABF+S四邊形ABCDy+1%

.l-2x

..y—1.

)x—1

9.【解答】（1）解：①平行四邊形可能是“等對"四邊形，

故答案為：X；

②對角線互相垂直的四邊形的面積等于其對角線長的乘積的一半，即“垂對”四邊形的

面積等于其對角線長的乘積的一半；

故答案為：V；

③順次連接“等對"四邊形四邊中點(diǎn)而成的四邊形是菱形，因此順次連接“等對"四邊

形四邊中點(diǎn)而成的四邊形是“垂對”四邊形；

故答案為：V；

(2)①證明：：四邊形ABC。是“等對"四邊形，

：.AC=BD,

：.AC=BD,

：.AB=CD,

：.NADB=NACB=/DAC=ZDBC,

:四邊形ABC。是“垂對”四邊形，

J.ACLBD,

：.AADP,△2CP為等腰直角三角形，

111

2

設(shè)E4=PO=a,PB=PC=b,則S]=Wa2,S2=^b,S=*(a+b)2,

JS]+JS2=(a+b),Vs=((i+b),

yfS=+；

②解：如圖，連接。4,OB,

由①可知△AOP,△BCP為等腰直角三角形，

設(shè)B4=PD=a,PB=PC=b,。。的半徑為R,

.,.AD+BC=m—yj2a+y[2b,

.q72

VZAZ)B=45°,

ZAOB=90°,

.9.AB=&R,

2222

在RtZkAPB中，a+b=AB=2/^f

???M為AB的中點(diǎn)，

：.PM=BM=^AB=^R,

:./MBP=/MPB,

又/MPB=/DPN,NBAP=NCDP,

：?NDPN+NCDP=NMBP+NBAP=90°,即尸ALLCD,

:.PD?PC=PN?CD,

而CD=AB=V27?,

??.PN=尊，

ab

；?MN=PM+PN=孝R+

ab—y[2nR—R2,

*.*(o+b)2=a2+b2+2ab,

：.(^m)2=2R2+2V2nR-2R2,

解得：氏=需

oYL

10.

【解答】(1)證明：如圖，連接。C,BD,

為直徑，

：.CM=DM,

是OB中點(diǎn)，

：.OM=BM,

V四邊形ODBC為平行四邊形，

'：CD±AB,

:平行四邊形ODBC為菱形.

(2)解：連接4V,如圖，

■:CNLCD,CD1,AB,

C.CN//AB,

：./NCA=NBAC,

：.CB=AN,

又「AB為直徑，

；./ACB=NANB=90°,

X'-'AB=BA,

.?.RtAACB^RtABA^(HL),

:.AC=BN,

VZAMC^ZACB=90°,ZCAM^ZBAC,

：.ACAM^/\BAC,

:.AC2=AM-AB,

:.NB2=AM-AB,

?：NB=昌且產(chǎn)AAPAB,

.'.y=3x2；

(3)解：\'CN//AB,

：.APCNsAPMB,

.S3CP23p+t

S22p-t

..SiCP3

*S2MP2p-t

.93p+t

**(2p-t)22p-t

:.(3p+/)(2p-/)=9,

:p,f為自然數(shù)，

+t=l_p.f3p+t=3T(3p+t=9

-t=9或12p-t=3或12p-t=lf

解得色二3(舍去)或P一52（舍去）=2

=3

???S3=9,S2=l,

CP3CN3

?'PM~1MB-T

設(shè)5M=4,NC=3a,

如圖，過點(diǎn)。作OELCN,連接OC,

則CE=圳C=|GL,

'：CN//AB,OELCN,CDLAB,

：.ZOEC=ZECM=ZCMO=ZMOE=90°,

二四邊形OECM是矩形，

OM=CE=2a,

：.0B=OM+BM=|a,

在Rt/XQWC中，由勾股定理得MC=70c2-OM?=J(|a)2—(1a)2=2a,

CP3

???一=一，CM=CP+PM,

PM1

：.PM=^CM=pa,

??S]=]axax'—3,

?.a—2,

.9.AB=5a=10.

11.【解答】解：(1);AB時(shí)。。的直徑，

ZADB=90°,

AZABC+ZBAD=90°,

'：ZCAD=ZABC,

：.ZCAD+ZBAD=90°,

：.ZBAC=90°,

：.AC^<BC2-AB2=J(2V6)2-42=2近，

./.n萬AC-\/2

??tanNA3C=

VA&=AD,

：./M=ZABC,

.072

??tanA/=-g-；

(2)①,??$△28：S-BO=4,

CD：BD=1：4,

設(shè)CZ)=%,貝lj5Z)=4x,

VZADB=ZADC=90°,ZC=ZBAD=90°-ZCAZ),

???AACDsABAD,

?_A_D__C_D

??—,

BDAD

：.AD1=BD*CD=4x1,

.\AD=2x,

???。0的半徑為遙，

???A3=2/

112

在中，AD+BD=ABf

???4?+16/=(2V5)2,

解得冗=1(負(fù)值舍去)，

：.CD=1；

②如圖1,

作尸G_LA5于G,連接0D,0M,

???。。=0"，點(diǎn)尸是DM的中點(diǎn)，

：.DP±AB,

：.FG//DP,ZDPB=90°,

AAFG^AADP,ZBDP+ZABD=90°,

.FGAF

99DP~AD"

,.?55平分NABC,ZADB=90°,

：.DF=FG,ZABF=CBF,ZDAP+ZABD=90°,

ZDAP=ZBDP,

：.NABF+DAP=NCBF+NBDP,

：.ZDFE=ADEF,

：.DE=DF=FG,

.DEFG

99DP~DPf

.DEAF

"DP—AD"

DEDFAFDFAF+DFAD

"DPAD~ADAD~AD~AD~'

(3)如圖2,

四邊形AMBO是矩形，理由如下：圖2

作。E_L4B于E,于R設(shè)的面積是a,△BD尸的面積是6,

1111

：.S1=^AP-DE,S2=”P,FM,a=^AP-MF,b=^BP?DE,

.9.a9b=Si*S2,

由v5=a+圾得，

S=SI+S2+2,SI6,

a+b=2jS1-S2，

(Q+Z?)2=4SI?S2,

。2+.+2〃/?=4Si?S2，

c^+b1-2ab=3

??ci~~bf

91I11

：a=^AP-MF=^AP-PM-sin^BPMfb=^BP,DE=^BP-PD,sin(APD,ZBPM

=NAPO,

；.AP?PM=BP?DP①,

'：BM=BM,

ZBAM=/BDM,

'/ZAPM=ZBPD,

：.AAPM^ADPB,

.APPM

??二,

DPBP

；?AP?BP=DP?PM②,

由①②得，

PM=BP,AP=DP,

：.ZPDA=ZPAD9

VZADB=90°,

：.ZPAD+ZABD=90°,/PDA+/BDP=90°,

???ZABP=NBDP,

:?PD=PB,

：.AP=PBf

???點(diǎn)尸是AB的中點(diǎn)，此時(shí)尸和O重合,

???Z）M過點(diǎn)O,

：?DP=PM,

???四邊形AMBD是平行四邊形,

???團(tuán)AM8D是矩形.

12.【解答】（1）證明：四邊形A5C。內(nèi)接于。0,對角線5。平分NAOC,如圖1,連

接AO,BO,CO,

：.ZADB=NBDC,

：.ZAOB=ZBOC,

：.AB=BC；

(2)解：如圖2,延長OC到點(diǎn)E,使得CE=AO,連接BE,

TA、B、。、。四點(diǎn)共圓，

：.ZDAB-^ZDCB=1SO°,

VZBCE+ZZ)CB=180°,

；?/DAB=/BCE；

由(1)知

在△AD8和△BCE1中，

CE=AD

乙DAB=乙BCE,

AB=BC

：.AADB^ACEB(SAS),

:?/EBC=/DBA,BD=BE；

〈AC為直徑，

AZABC=ZADC=90°,ZABD^-ZDBC=9Q°,

：.ZEBC+ZDBC=90°,ZDBE=90°,

?：BD=BE,

：.ZEDB=ZE=45°,

在直角三角形BOE中，由勾股定理得：DE2=2BD2,

.DEV2；

…BD

VAZ)=CE,

:?DA+DC=DC+CE=DE,

DA+DCr

/.------------=V2；

DB

(3)解：由題可知：NADB=NACB,ZAED=ZBEC,

：.AADEsABCE,

：.AD：BC=DE：EC,

設(shè)AZ)：BC=S^ADE：S^DEC=1：k,

..S^BEC=2S〉A(chǔ)ED，

：.DE=AE,

在AA硬和△CEB中，

^BAC=乙BDC

DE=AE，

Z-AEB=乙DEC

：.AAEB^ACEB(ASA),

SADEC=SAAEB=kS^AEDf

*.*S^BEC=S?EB+S△AED,

SABEC=S^AED+kSAAED,

.*?必S/xAED=kSAAED+S^AED,

.??修=無+1,

解得人=若(負(fù)值已舍去)，

,?ZADB=ZBDC=ZACB,ZDBC=NDBC,

:?△CEBs^DCB,

2

?(BC、2_S^BEC_kS^AED_k

?晨加一E一/SNED+MMED-E

.(BC、2_—i+V^

,?(南=-2-，

13.【解答】(1)證明：:。。的直徑A5,CD互相垂直,

ZAOC=ZAOD=90°,

1i

ZAGC=iZAOC=45°,ZAGD=^ZAOD=45

：.ZAGF=ZAGD,

'：DG=DG9

：.ZGCF=ZGAD,

：./\CGF^AAGD；

(2)解：過G作GH_LCD于〃，如圖:

??,E為03中點(diǎn)，

11

：.OE=^OB=^OC,

tanC=囂=2，

???CD是OO的直徑，

：.ZCGD=90°,

DGI

——=tanC=4，ZC=90°-/CDG,

CG2

CG=2DG,

GHLCD,

ZDGH=90°-ZCDG=ZC,

1DH1

tanZDGH—tanC=亍，即---=一,

2GH2

設(shè)DH=m,則GH=2相，

：.DG=VDH2+GH2=V5m,

???CG=2DG=2y[5m,

：.CD=VCG2+PG2=5m,

OC=OA=OD=1m,

0H=OD-DH=即OF+HF=

VZAOF=90°=NGHF,/AFO=NGFH,

：.AAOF^AGHF,

.￡4OF

??—,

GHHF

5

.2mOF

??=3,

2m-m-OF

2

解得OF=fm,

o

32

：.HF=-OF=jm,

2sSS10

.-.DF=DH+HF=m+^n=升,CF=OC+OF=那+即=百機(jī),

5

?竺__3^__1

?-ZFCZ=—iom-2

3

DG1DF1

故lt一=一，一=一

CG2FC2

(3)解：過G作GHJ_CD于H,如圖:

、.0E

—=x,

0B

歿

tanC=0C=0B=x,

???8是。0的直徑,

：.ZCGD=90°,

DG

：.一=tanC=x,ZC=90°-NCDG,

CG

：.DG=x*CGf

VGH±CZ),

D

：.ZDGH=90°-ZCDG=ZC,

rDH

tanZDGH—tanC=x,即---=x,

GH

設(shè)GH=〃，則。

：.DG=VDH2+GH2=V%2+In,

.DG_njx2+l

??C^CJ——f

xx

：.CD=<CG2+DG2=

X

：.OC=OA=OD=嗎;1),

OH=OD-DH=腐尸),即OF+HF=n^~x2\

2x2x

VZAOF=90°=NGHF,/AFO=/GFH,

：.△AOFs^GHF,

OAOF

GH~HF'

n(x2+l)

2%___________°F

~n--mi-/)..