2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：四邊形中的相似三角形綜合問(wèn)題（含解析）

2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)四邊形中的相似三角形綜合問(wèn)題

1.如圖，在矩形ABC。中，對(duì)角線AC與交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在8c邊上，DE與AC交于

點(diǎn)、F,NCDE=/ADB.

(1)求證：ACDEs^CBD；

(2)已知AB=2,BC=4,求尸的面積.

2.如圖，在四邊形ABC￡＞中，AD//BC,AC,BD交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作MN〃AO,分別交

AB,C￡>于點(diǎn)Af,N.

(1)求證：△AMEs/viBC；

,111

(2)求證：---=—+一；

MEADBC

(3)若AO=5,BC=1,求MN的長(zhǎng).

3.如圖，在正方形ABCO中，E為AO邊上一點(diǎn)，EFLBE交CD于點(diǎn)、F.

Cl)求證：△ABES△￡)￡■/；

(2)若A2=4,CF=3FD,求DE的長(zhǎng).

4.如圖點(diǎn)E是矩形ABCD中AD邊上一點(diǎn)，連接CE,沿線段CE翻折點(diǎn)D的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)尸恰好落在AB邊上.

(1)求證：AEAFs^FBC.

(2)若FC=3EF,BF=12,求線段的長(zhǎng).

5.如圖，點(diǎn)尸是平行四邊形ABC。的邊AD上的一點(diǎn)，直線CF交線段84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：△AEFsADCF；

(2)若AF：DF=1：2,AE=V2,SAAEF=

①求EB的長(zhǎng)；

②求平行四邊形ABC。的面積.

6.如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)G在邊CD上，連線AG并延長(zhǎng)交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E連

結(jié)交于點(diǎn)E,連結(jié)CE.

(1)求證：△AED四△CED；

(2)求證：EC1=EF'EG-,

CE

(3)若AB=6,-=3,求CE的長(zhǎng).

EG

7.如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)E是3C邊上一動(dòng)點(diǎn)(且與點(diǎn)2、C不重合)，連接AE交BD

于點(diǎn)G.

(1)若AE_LBC,ZBA￡=18°,求/BGE的度數(shù)；

(2)若AG=BG,求證8乒-G￡2=AG?GE；

(3)過(guò)點(diǎn)G作GM〃3C交A3于點(diǎn)記.S”MG為Si,S四邊形DGEC為S2,BC=xBE,

111

①求證:—+—=---；

BEADMG

②求y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式.

8.如圖，在矩形ABC。中，AB=2A。，點(diǎn)E在CD上,ZDA￡=45°,尸為BC的中點(diǎn),

連結(jié)AE,AF,分別交BD于點(diǎn)G,H,連結(jié)E?

(1)求證：BD=2EF.

(2)當(dāng)即=6時(shí)，求GH的長(zhǎng).

9.已知正方形42c點(diǎn)E,F,G分別在邊CD,BC,A。上，連接4E、GF,

(1)若AE_LGP于點(diǎn)"

①如圖1,求證：AE=GF；

②如圖2,將G尸向下平移，當(dāng)點(diǎn)G與D重合時(shí)，若E為C。的中點(diǎn)，連接7/C,求J的

CH

值；

(2)如圖；若A2=6,AG=CP=L5,且CE=2OE,請(qǐng)你求出NAHG的度數(shù).

圖1圖2圖3

10.如圖，在13ABe。中，點(diǎn)￡■在上，AE=^AB,EQ和AC相交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)/作FG

//AB,交A。于點(diǎn)G.

AF

(1)求一的值.

FC

(2)若48：AC=V3：2

①求證：/AEF=/ACB.

②求證：DF1=DG-DA.

11.如圖，在正方形ABC。的外側(cè)，以A。為邊作等邊△ADE,線段AC與線段8E相交于

點(diǎn)元

(1)求NA3E,NBPC的度數(shù);

(2)求證：FC=FE；

(3)求一的值.

12.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)是3,BP=CQ,連接AQ,。尸交于點(diǎn)0,并分別與邊C。、

BC交于點(diǎn)、F、E,連接AE.

(1)求證：AQ±DP；

(2)求證：AO1=OD'OP-,

(3)當(dāng)8尸=1時(shí)，求。。的長(zhǎng)度.

13.如圖，點(diǎn)E是正方形ABC。的邊2C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接。E,過(guò)頂點(diǎn)B作BFLDE,

垂足為RBF交邊DC于點(diǎn)G.

(1)求證：DG?BC=DF,BG；

(2)連接CR求NCFB的大??；

(3)作點(diǎn)C關(guān)于直線。E的對(duì)稱點(diǎn)X,連接CHFH.猜想線段DRBF,S之間的

數(shù)量關(guān)系并加以證明.

14.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)〃是邊BC上的一點(diǎn)(不與3、C重合)，將線段AM繞

點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AN,連接DN、MN、AC,MN與邊AD交于點(diǎn)E,與AC相交

于點(diǎn)O.

(1)求證：0△AON；

(2)當(dāng)AM平分/BAC時(shí)，求證：AM2=AC-AE；

OM

(3)當(dāng)CM=3BM時(shí)，求——的值.

OE

15.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC,BD交點(diǎn),AF平分/D4C交2。于點(diǎn)G,

交DC于點(diǎn)F.

(1)求證：

(2)判斷△OGF的形狀.

(3)若AG=1,求G尸的長(zhǎng).

16.如圖，矩形A3CQ中，已知AB=6.3C=8,點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE

并延長(zhǎng)，交射線。。于點(diǎn)足將△A3E沿直線AE翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)8.

(1)如圖1,若點(diǎn)E為線段5。上一點(diǎn)，延長(zhǎng)A8交。。于點(diǎn)M,求證：AM=FM；

BE

(2)如圖2,若點(diǎn)8恰好落在對(duì)角線AC上，求法的值；

BE3

(3)若一=一，求NZM8的正弦值.

CE2

參考答案

1.【解答】（1）證明：???四邊形A5CD是矩形,

:,AD〃BC,CD=AB,

：.ZADB=ZCBD,

ZEDC=ZADB,

：.ZEDC=ZCBD,

又?：/ECD=/DCB,

.?.△CDEs^CBD；

(2)解：?:ACDEsACBD,

.CDEC

BC~CD

9

：AB=CD=2fBC=AD=4,

.\EC=1,

,:AD〃BC,

：.AADF^ACEF,

.ECCFEF1

99AD~AF~DF~4

1

*.*S/\ADC=2X4X2=4,

14

:?S^DFC=-^SAADC=5，

1i

S^EFC=4s△尸QC=耳.

2.【解答】(1)證明：,：AD//BC,MN//AD,

：.MN//BC,

：.AAME^AABC；

9

(2)證明：：MN//ADfAD//BC,

.空AE

??BD~AC

9：MN//BC,

：.AAME^AABC,ADENsADBC,

.AEMEDENE.MENE

99AC~BCBD-CB'?'BC-CB'

:?ME=NE,

i

???點(diǎn)E1是MN的中點(diǎn)，ME=NE=5MN,

U：AD//BC//MN,

:ACENs^CAD,AAME^AABC,

.NECEMEAE

99AD~ACBC~AC

tNEMECEAEAC

?9ADBC~AC+AC~AC~'

NEME

—+=L

ADBC

?__1__1___1|____

?'ME~ADBC

(3)結(jié)合(2)的結(jié)論，

VAZ)=5,BC=7,

111

ME-5+7'

；?ME=

■:ME=NE,

353535

:?MN=ME+NE=言+言=娑.

1212o

3.【解答】（1）證明：???四邊形A8CD為正方形，

AZA=ZD=90°,

?；EF_LBE交CD于點(diǎn)F,

：.ZBEF=90°,

：.NAEB=ZDFE=90°-NDEF,

AABEsADEF.

（2）解:VAB=AD=CD=4fCF=3FD,

：.EA=4-DE,3FD+FD=4,

：.FD=1,

'：AABEsADEF,

.EAAB

??二,

FDDE

.4-DE4

??=r

1DE

解得DE=2,

的長(zhǎng)是2.

4.【解答】（1）證明：：沿線段CE翻折△CDE,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)下恰好落在AB邊上,

:.NEFC=ND=90°,

:四邊形ABC。為矩形，

ZA=ZB=90°,

ZAFE+ZBFC=ZBFC+ZBCF=90°,

NAFE=ZBCF,

:.AEAFs"BC；

（2）解：:△EAFs-BC,

：.AE：BF=EF：CF^AF：BC,

而FC=3EF,

：.AE：FB=1：3,

而B(niǎo)F^12,

.*.AE=4,

設(shè)AF=x,

則BC=AD=3x,

根據(jù)折疊得DE=EF=AD-AE=3x-4,

在RtZXAE尸中，AE1+AF1=EF2,

42+X2=（3x-4）2,

/.8X2-24x=0,

Axi=0（舍去），X2=3,

：.BC=9.

5?【解答】（1）證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

J.BA//CD,

:./E=NFCD,NEAF=NCDF,

：.AAEF^ADCF；

(2)解：①由(1)知△AEFS2V)CR

.些AF

??—,

DCDF

\'AF：DF=1：2,AE=a,

.V21

??—―,

DC2

:.DC=2近,

:四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB=DC,

:.AB=2近,

:.BE=AB+AE=36；

②連接AC,

?.,四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB//CD,

.EFAF1AE

,?FC-FD—2-CO'

..2

?SAAEF=

=

S/\AEC29

ttAEAE1

*CD~AB~2

?*S&4BC=4,

平行四邊形ABC。的面積為8.

6.【解答】（1）證明：???四邊形ABC。是菱形,

:.AD=CD,NADE=NCDE,

在AAED與ACED中，

AD=CD

Z-ADE=Z-CDE,

DE=DE

：.AAED^ACED(SAS)；

(2)證明：I?四邊形ABC。是菱形，8D是對(duì)角線,

工由對(duì)稱性可得ND4E=ZDCE.

,:AD〃BC,

：.ZDAE=ZF,

：.ZDCE=ZF,

?：NFEC=NCEG,

.'.△FEC^ACEG,

?ECEF

??=，

EGEC

，EC2=EF?EG；

(2)解：由(1)可知△FECS2XCEG,

9：AD//CF,

△AOGs△尸CG,

.ADDG

??一,

FCCG

.66-x

??—,

3%x

解得x=4,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是分式方程的解，

：.CF=3x=12.

7.【解答】(1)解：根據(jù)題意可得NAM=90°,ZBAE=18°,

ZABE=9Q°-18°=72°,

???四邊形A5CD是菱形，

11

：.Z.ABG=乙EBG=^^ABE=-x72°=36°,

ZBGE=ZABG+ZBAG=18°+36°=54°.

9

(2)證明：：AG=BGf

：.ZABG=ZBAG,

'：ZGBE=ZABG,

：.ZGBE=ZBAG,

又???/AEB=/GEB,

：.△AEBsLBEG,

.BEGE

??=J

AEBE

：?B/=AE?GE,

：.BE1=(AG+GE)GE,

:.B/-G/=AG?GE.

(3)①證明：9：GM//BC,BC//AD,

：.MG//AD,

：.ABMGsABAD,△AMGsAABE,

MGBMMGAM

AD~AB"BE~AB

VIgMGMGBMAM

兩式相加倚記+最=/+方，

rMGMG

即---+---=1,

ADBE

111

----+-----:

BEAD_MG'

②解：?;BC=xBE,AD//BC,

.BEBE1

=AADGsAEBG,

??BC-ADX

BGGE1

?'GD~AG~x

SAAGD=XSAABG,

S^ABD=SAABG+XSAABG=(X+1)S^ABG,

???四邊形ABC。是菱形，

AABD^ABCD(SSS),

:.SABDC=(X+1)S^ABG,

,:MG〃BE,ZMBG=ZGBE,

：.△AMGsLABE,ZMBG=ZGBE=NMGB,

:?MG=MB,

.MB1

**AMx'

.ABx+1

**AMx'

,S—MG_x

S^ABGT+l

.11

??S1=%+]S^ABG，S^BGE=>ABG，

VS^BDC=(x+l)S^ABG,

?1

??$2=S^BDC~S〉BGE=(%+1—1)SMBG?

?Si_盍

??y-s2-x+1_r

._______________

??y(x+i)(%2+x-i)?

8.【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是矩形，AB=2AD,

：.AB=CD=2AD,ZADC=ZDAB=9Q°,AD=BC,

VZZ)AE=45°,

：.ZDEA=90°-45°=45°=ZDAEf

：.AD=ED,

:?CD=2DE,

：.DE=CE,

???"為5c的中點(diǎn),

；?EF是ABCD的中位線，

：.BD=2EF；

(2)解：由(1)知，BD=2EF,

VEF=6,

：.BD=12,

'：AB=CD=2AD=IDE,AD=BC,尸為5C的中點(diǎn)，

.DE1BF_1

??—■一，——，

AB2AD2

在矩形A5CD中，CD〃A3,AD//BC,

：.ADEGs△BAG,AFBH^AADH,

tDEDG1BHBF1

"AB~BG~2DH~AD~2

.DG1BH1

^12-DG-212-BH~2

.*.Z)G=4,BH=4,

：.GH=BD-DG-BH=4.

9.【解答】(1)①證明：過(guò)G作GM，3c于

:正方形ABC。，

：.AB=BC^CD^DA,/D=NC=/GMC=90°,

四邊形MGDC是矩形，

：.AD=DC^GM,ZADE^ZGMF^ZAGM^90°,

?;GH±AE,

：.ZMGF=90°-ZAGF=ZDAE,

2DAE=A.MGF

'：\AD=GM

/ADE=乙GMF

:.AADEmAGMF(ASA),

C.AE^GF.

②過(guò)點(diǎn)H作HM1DC于點(diǎn)M,

為CO的中點(diǎn)，不妨設(shè)DE=EC=x

?.,正方形ABC。，

：.AD^DC^2x,ZADC=90°,

：.AE=VAD2+DE2=V5x,

:DF_LA￡于點(diǎn)X,

：ADDE275

.DHAE=~X

22

：.AH=VXD-DH=警%，HE=AE-AH=>/AD2-DH2=^-x,

：DHHE

.HM=DEx,

,-------------------4

：.DM=<DH2-HM2=|x,

ACM=CD-DM=

：.CH=7HM2+CM2=^

4A/5

方”一-上蘋一-“、/?

5

(2)如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以。C所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,

"：AB=6,AG=CT=L5,且C￡=2OE,

；.CE=4,DE=2,

92

.1.A(0,6),E(2,0),G(0,J),F(6,1),

設(shè)直線AE的解析式為y—kx+b,

根據(jù)題意，得［匕?=°，

解得kU

直線AE的解析式為y=-3x+6；

設(shè)直線GF的解析式為y=px+q,

6p+q=5

{9，

解得f=

,直線GF的解析式為y=—^支+3；

f_1^9

由此得y=_]%+2,

ly=—3%+6

解得如

故點(diǎn)魯），

.?射=1(2-*+件)2=空，

設(shè)直線GFy=—號(hào)尤+|與x軸的交點(diǎn)為P,

點(diǎn)尸(9,0),

；.PE=9-2=7,PH=J(9--)2+(0一,)2=隼5,

1

，SAPEH=/E?嗎1=14.7,

過(guò)點(diǎn)E作E。，GF于點(diǎn)Q,

.c14.77V5

..1E7Q=甄TH

：.HQ=y/HE2-EQ2=等,

；.HQ=EQ,

：.ZEHQ^45°,

ZAHG=45°.

10.【解答】(1)解：在EL4BC。中，AB//CD,AB=CD,

又,：NDFC=ZAFE,

：.△AFEsACFD,

.AFAEAE1

"FC~CD~AB~3；

(2)①證明：'：AB：AC=V3；2,

可設(shè)AC=2cz,貝lM8=ga,

AF1AE1

由（1）知:

AC4'AB—3

：.AF=1a,AE=學(xué)

1V3a

AFAE3_V3

=—，

ABV3a6AC~2a一6

AFAE

??—，

ABAC

又,：乙BNC=LF^E,

AAME^ABAC,

.*.ZAEF=ZACB；

②證明：9CFG//AB,

：.ZGFD=ZAED=ZACB,

又??,AO〃BC,

???NACB=NFAD,

：.ZFAD=ZGFD,

又。：NGDF=NFDA,

:?XGDFs△EDA.

.DGDF

??—,

DFDA

：.DF2=DG^A.

11.【解答】(1)解：???四邊形ABC。是正方形，

：.ZBAD=90°,BA=AD,ZBAC=45°,

???△AOE是等邊三角形，

：.ZEAD=60°,AD=AEf

：.ZBAE=ZBAD+ZEAD=900+60°=150°,AE=AB,

：.ZABE=/AEB,

VZABE^ZAEB=1SO°-ZBAE=180°-150°=30°,

ZABE=15°,

ZBFC=ZBAC+ZABE=450+15°=60°；

(2)證明：如圖，連接CE,同理(1)可得，/CED=NDCE=15°,

??,四邊形ABC。是正方形，

ZACD=45°,

AZACE=ZACD-ZDCE=45°-15°=30°,NFEC=/AED-NAEB-NCED=60°

-15°-15°=30°,

ZACE=/FEC,

：.FC=FE；

(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn)5作5GLAC于點(diǎn)G,

VZABE=15°,

ZBFG=ZABE+ZBAF=15°+45°=60°,

：.ZGBF=90°-ZBFG=90°-60°=30°,

：.BF=2GF,

：.BG=y/BF2-GF2=yj(2GF}2-GF2=V3GF,

VZBCG=45°,

.'.ZCBG=45°,

：.ZBCG=ZCBG,

：.BG=CG=V3GF,

：.CF=CG+GF=(V3+1)GF,

：.EF=CF=(V3+1)GF,

.EF(V3+1)GFV3+1

??BF-2GF~2?

12.【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是正方形，

：.AD=BC,ZDAB=ZABC=90°,

*；BP=CQ,

：.AP=BQ,

在△ZM尸與△ABQ中，

AD=AB

乙DAP=Z-ABQ,

AP=BQ

：.ADAP^AABQ,

：.ZP=ZQ,

'：ZQ+ZQAB=90°,

：.ZP+ZQAB=90°,

ZAOP=90°,

：.AQ±DP；

(2)證明：\9ZDOA=ZAOP=9Q°,ZADO+ZP=ZAD0+ZDA0=9Q°,

:?NDAO=/P,

：.ADAO^AAPO,

.AOOP

??=,

ODOA

：.AO1=OD*OP.

(3)解：\'BP=1,AB=3,

.\AP=4,

?:APBEsAPAD,

.PBPA4

??EB~DA~3

313

：.BE=pQE=

■:叢QOEs叢PAD,

13

.Q￡=Q￡=T

PA~PD~5'

???。。=學(xué)13

13.【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是正方形，

：.ZBCD=90°,

VBF±DE,

：.ZGFD=90°,

：.ZBCD=ZGFD,

■:NBGC=NFGD,

:.△BGCS^DGF,

tBG_BC

??DG-DF9

:?DG?BC=DF?BG；

(2)解：如圖1,連接50,

ABGCsADGF,

?BGCG

??DG~FG'

.BGDG

??CG~FG'

?.,ZBGD=ZCGF,

：.△BGDs/\CGF,

：.NBDG=NCFG,

???四邊形ABC。是正方形，5。是對(duì)角線，

1

AZBDG=^ZADC=45°,

：.ZCFB=45°；

(3)解：BF=CH+DF,

理由如下：如圖2,在線段尸3上截取尸M,使得尸”=尸。，連接

9：ZBFD=90°,

AZMDF=ZZ)MF=45°,DM=0DF,

VZBZ)G=45°,

：.ZBDM=ZCDF,

?:△BGDs^CGF,

：.ZGBD=ZDCF,

J.ABDM^ACDF,

BMDM

：.—=—=Vr2,

CFDF

：.BM=V2CF,

VZCFB=45°,BFLDE,

點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)H,

：?NEFH=NEFC=45°,

：.ZCFH=90°,

'/CF=FH,

：.CH=V2CF,

；?BM=CH,

：.BF=BM+FM=CH+DF.

14.【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是正方形，

：.AB=AD,ZCAD=ZACB=45°,ZBAD=ZCDA=ZB=90°,

ZBAM+ZMAD=90°,

??,將線段AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至！JAN,

：.ZMAN=90°,AM=AN,

：.ZMAD+ZDAN=90°,

???ZBAM=/DAN,

9：AD=AB,ZABC=ZADN=90°,

△ABM也△AON(ASA)；

(2)證明：?:△ABM"AADN,

'：AM=AN,

'：ZMAN=90°,

AZMNA=45°,

：.ZBCA=ZMNA,

〈AM平分NA4C,

ZCAM=ZBAM=22.5°,

■:/BAM=/DAN=225°,

ZCAM=/NAD,

：.AAMC^AAEN,

.AMAC

9,AE~AN'

：.AM*AN=AC9AE,

:.AM2=AC*AE；

(3)解：?:CM=3BM,

?,?設(shè)3M=m則CM=3〃，

.'.BC=AB=4a,

.'.AC=4V26Z,

：.AM=7AB2+BM2=717a,

?.?將線段AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AN,

ZMAN^90°,AM=AN=Ba,

：.DN=y/AN2-AD2=a,

：.CN=CD+DN=5a,

..,DECM

?tanZCNM=DN=CNJ

.DE_CM

,?DN~CN'

.3aDE

5act

3

：.DE=

17

?,?A.E=亍-4，

■:BC〃XD,

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15?【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是正方形,

；.AC±BD,ZADF=90°,

ZAEG=ZADF=90°,

TA尸平