解直角三角形及其應(yīng)用課件人教版數(shù)學(xué)九年級下冊

解直角三角形及其應(yīng)用學(xué)習(xí)內(nèi)容一、解直角三角形知識串講合作探究(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊．三邊關(guān)系：_______________；三角關(guān)系：_________________

；邊角關(guān)系：sinA＝cosB＝_____，

cosA＝sinB＝____，tanA＝_________，tanB＝_______.a2＋b2＝c2∠A＝90°－∠B

解直角三角形(2)互余兩角的三角函數(shù)間的關(guān)系sinα=

，cosα=_____________，sin2α+cos2α=

.tanα·

tan(90°－α)

=___.cos(90°－α)sin(90°－α)11知識串講(3)直角三角形可解的條件和解法條件：解直角三角形時知道其中的2個元素(至少有一個是邊)，就可以求出其余的3個未知元素．解法：①一邊一銳角，先由兩銳角互余關(guān)系求出另一銳角；知斜邊，再用正弦(或余弦)求另兩邊；知直角邊用正切求另一直角邊，再用正弦或勾股定理求斜邊；②知兩邊：先用勾股定理求另一邊，再用邊角關(guān)系求銳角；③斜三角形問題可通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．

解直角三角形

練1.1.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c,根據(jù)下列條件解直角三角形.∠A＝60°,a＝10;

例2.【例2】在△ABC中,∠A＝105°,∠B＝30°,AC＝2,求BC的長.

練2.1.如圖,在△ABC中,AC＝6,∠C＝75°,∠B＝45°,求AB的長.

學(xué)習(xí)內(nèi)容二、解直角三角形的應(yīng)用知識串講(1)仰角和俯角鉛直線水平線視線視線仰角俯角在進(jìn)行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.三角函數(shù)的應(yīng)用知識串講仰角、俯角問題的常見基本模型模型一ADBEC模型二ABDCαβ模型三αβBCDA模型四αβ知識串講以正南或正北方向為準(zhǔn)，正南或正北方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成的小于90°的角，叫做方位角.如圖所示：30°45°BOA東西北南(2)方位角45°45°西南O東北東西北南西北東南知識串講坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，有i=tan

α.坡度通常寫成1∶m的形式，如i=1∶6.顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.如圖：坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（l）的比叫做坡面坡度.記作i，即i

=.(3)坡度，坡角知識串講(4)利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：①將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題

（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）；②根據(jù)條件的特點，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；③得到數(shù)學(xué)問題的答案；④得到實際問題的答案．仰角和俯角的應(yīng)用例3.1.如圖,某初中數(shù)學(xué)興趣小組想測量學(xué)校旗桿CD的高度,他們在地面上選取了一個測量點A測得點D的仰角為26.6°,然后沿AC方向移動12.62m到達(dá)測量點B,在點B測得點D的仰角為37°,求旗桿CD的高度(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin26.6°≈0.45,cos26.6°≈0.89,tan26.6°≈0.50).

某滑雪場舉辦冰雪嘉年華活動,采用直升機(jī)航拍技術(shù)拍攝活動盛況.如圖,通過直升機(jī)的鏡頭C觀測到水平雪道一端A處的俯角為30°,另一端B處的俯角為45°.若直升機(jī)鏡頭C處的高度CD為300m,點A,D,B在同一直線上,則雪道AB的長度為(

).

D例3.2如圖,某學(xué)校的初中部教學(xué)樓對面是小學(xué)部教學(xué)樓,在初中部教學(xué)樓的窗口C(AC∥BD)處測得小學(xué)部教學(xué)樓頂部D的仰角為27°,小學(xué)部教學(xué)樓底部B的俯角為13°,量得兩棟教學(xué)樓之間的距離AB＝15m.求教學(xué)樓BD(BD⊥AB)的高度(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):sin13°≈0.22,cos13°≈0.97,tan13°≈0.23,sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.51).

方向角的應(yīng)用例4.1.如圖①,一艘輪船在小島A的北偏東60°方向距小島80nmile的B處,沿正西方向航行3h后到達(dá)小島的北偏西45°的C處,則該船行駛的速度為________nmile/h.

例4.2如圖,輪船沿正南方向以30nmile/h的速度勻速航行,在M處觀測到燈塔P在南偏西22°方向上,航行2h后到達(dá)N處,觀測到燈塔P在南偏西44°方向上,若該輪船繼續(xù)向南航行至離燈塔最近位置,則此時輪船離燈塔的距離約為(

).(由計算器得到sin68°≈0.9272,sin46°≈0.7193,sin22°≈0.3746,sin44°≈0.6947)A.22.48nmile B.41.68nmile C.43.16nmile D.55.63nmile解析:過點P作PA⊥MN,交MN的延長線于點A,若該輪船繼續(xù)向南航行至離燈塔距離最近的位置,此時輪船離燈塔的距離為PA的長度,利用銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解即可.答案:B

坡度與坡角的應(yīng)用例5.如圖,某商場門前的臺階共高出地面1.2m,為幫助殘疾人,便于輪椅行走,現(xiàn)準(zhǔn)備拆除臺階換成斜坡.出于安全考慮,斜坡的坡角不得超過9°.已知此商場門前的人行道距門前垂直距離為8m(斜坡不能修在人行道上),則此商場能否把臺階換成斜坡(參考數(shù)據(jù):sin9°≈0.1564,cos9°≈0.9877,tan9°≈0.1584)?

A學(xué)習(xí)內(nèi)容三、綜合訓(xùn)練

D

A5.如圖,一艘輪船先由海平面上A地出發(fā)向南偏西40°的方向行駛40nmile到達(dá)B地,再由B地向北偏西20°的方向行駛40nmile到達(dá)C地,則A,C兩地之間的距離為________nmile.

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7.如圖,從地面上的C,D兩點測得樹頂A的仰角分別是45°和30°,已知CD＝20m,點C在BD上,則樹高AB＝____________m.

（1）求AD的長；

（2）求sinα的值.

9.翼裝飛行世界錦標(biāo)賽在某風(fēng)景區(qū)隆重舉行,某選手飛行示意圖如圖所示.該選手從離水平地面1000m高的點A出發(fā)(AB＝1000m),沿俯角為30°的方向直線飛行1400m到達(dá)點D,然后打開降落傘沿俯角為60°的方向降落到地面上的點C,求該選手飛行的水平距離BC.

10.如圖,海中有一個小島A,它的周圍25nmile內(nèi)有暗礁.某漁船跟蹤魚群由西向東航行,在點B測得小島A在北偏東60°方向上,航行30nmile后到達(dá)點C,這時測得小島A在北偏東30°方向上.(1)求漁船在點C時與小島A的距離;解:由題意得∠ABC＝30°,∠ACF＝60°,∴∠A＝∠ACF－∠ABC＝30°.∴∠ABC＝∠A.∴AC＝BC＝30nmile.故漁船在點C時與小島A的距離是30nmile.

(2)若漁船不改變航線繼續(xù)向東航行,是否有觸礁危險?請說明理由.

10.8m66.8m學(xué)習(xí)