人教版六年級數(shù)學上冊 第8單元 數(shù)學廣角-數(shù)與形數(shù)與形 教案 教案

8數(shù)學廣角——數(shù)與形數(shù)形結合是一種非常重要的數(shù)學思想,把數(shù)和形結合起來解決問題,可以使復雜的問題變得更簡單,使抽象的問題變得更直觀。有些情況下,是圖形中隱含著數(shù)的規(guī)律,可利用數(shù)的規(guī)律來解決圖形的問題。本單元的例1以及相關練習就屬于這種情況。而有些情況下,是利用圖形來直觀地解釋一些比較抽象的數(shù)學原理與事實,讓人一目了然。尤其是小學生,其思維的抽象程度還不夠高,經(jīng)常需要借助直觀模型來幫助理解。例如,利用長方形模型來教學分數(shù)乘法的算理,利用線段圖來幫助學生理解分數(shù)除法的算理,利用面積模型來解釋兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理、乘法分配律、完全平方公式等。本單元的教學內容分為兩個層次。一是使學生通過數(shù)與形的對照,利用圖形直觀形象的特點表示出數(shù)的規(guī)律。例如,例1從圖形的角度直觀地理解“正方形數(shù)”或“平方數(shù)”的特點。二是借助圖形解決一些比較抽象的、復雜的、不好解釋的問題。例如,例2解決求和的問題,教科書利用分數(shù)意義的直觀模型,使學生直觀地理解“無限”的抽象概念。小學六年級的學生已具備初步的邏輯思維能力,但仍以形象思維為主。為了使學生更直觀地理解知識,同時又滿足學生發(fā)展邏輯思維能力的要求,教科書在編排上體現(xiàn)了先“數(shù)”后“形”的順序,把形象真正放在“支撐”地位,從而為培養(yǎng)學生的邏輯能力而服務。1.形的問題中包含著數(shù)的規(guī)律,數(shù)的問題也可以用形來幫助解決。教學時,要讓學生通過解決問題體會到數(shù)與形的這種完美結合：既可以從數(shù)的角度出發(fā),讓學生看看可以怎樣用圖形來表示數(shù)的規(guī)律；也可以讓學生尋找圖形中所包含的數(shù)的規(guī)律。例如,教學例1時,可從形引入,先讓學生說一說三幅圖中分別有多少個小正方形,通過學生的討論,得出小正方形數(shù)為12,22,32,…,還可以分別表示成1,1+3,1+3+5,…的結論；也可以從數(shù)引入,讓學生通過計算,發(fā)現(xiàn)1+3=4,1+3+5=9,…引導學生用正方形來表示這些算式,使學生通過數(shù)與形的比照,從而對規(guī)律形成更為直觀的認識。2.充分發(fā)揮教師的指導作用,讓學生感受用形來解決數(shù)的有關問題的直觀性與簡捷性。例2中,“無限”的概念非常抽象,學生不易理解。因此,在教學過程中,教師要積極發(fā)揮自身的主導作用,幫助學生深刻理解。比如說,教師可以出示一個圓或者一條線段或者一個正方形,讓學生根據(jù)分數(shù)的意義表示出這些加數(shù),使學生直觀地看到最終的結果是“1”,從而進一步感受到“化數(shù)為形”直觀、形象、簡捷的特點。當然,如果學生還是有困難,教師也可以通過反推的方法幫助學生理解?！蚪虒W筆記◎教學筆記?教學內容教科書P105例1及P106“做一做”第1、2題,完成教科書P107~108“練習二十二”中第1～3題。?教學目標1.體會數(shù)與形的聯(lián)系,進一步積累數(shù)形結合的數(shù)學活動經(jīng)驗,培養(yǎng)學生數(shù)形結合的數(shù)學思想意識。2.體驗數(shù)形結合的數(shù)學思想方法價值,激發(fā)學生用數(shù)形結合的思想方法解決問題的興趣,感受數(shù)學的魅力。3.在解決數(shù)學問題的過程中,體會和掌握數(shù)形結合、歸納推理等基本的數(shù)學思想方法。?教學重點體會數(shù)形結合的思想。?教學難點用自己的語言描述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。?教學準備課件、不同顏色的小正方形。?教學過程一、游戲激趣,導入課題【教學提示】比賽結束后，適當引導學生觀察一下算式的特點，再說自己的計算方法?！窘虒W提示】比賽結束后，適當引導學生觀察一下算式的特點，再說自己的計算方法。課件依次出示習題。師生比賽,看誰算得快。（老師當然快一些）師：你們想不想也像老師一樣算得快呢？（想）老師給你們一點點提示,我是借助圖形發(fā)現(xiàn)計算方法的。今天這節(jié)課我們就來研究數(shù)與形。［板書課題：數(shù)與形（1）］【設計意圖】從談話導入,通過設置懸念,激發(fā)學生學習興趣,從而順理成章地引出課題。二、形中找數(shù),以形解數(shù)師：我先根據(jù)算式中的加數(shù)拿出若干個圖形。比如1+3,我就先拿1個小正方形,再拿3個小正方形貼在黑板上,我發(fā)現(xiàn)這些數(shù)量的小正方形剛好可以拼成1個大正方形,那就把它們拼成一個大的正方形。師：接著,我觀察圖形和算式之間的關系,發(fā)現(xiàn)了可以快速算得結果的方法,你們想不想自己試試看？1.動畫引出形與數(shù)的聯(lián)系。師：請大家認真觀察屏幕上的內容。（課件動態(tài)呈現(xiàn)教科書P105例1）【教學提示】避免學生將數(shù)與形分離開觀察，在此要求學生用數(shù)表示出圖的規(guī)律。【教學提示】避免學生將數(shù)與形分離開觀察，在此要求學生用數(shù)表示出圖的規(guī)律。學生活動,教師巡視。全班交流?！緦W情預設】學生可能會根據(jù)圖形的呈現(xiàn)順序(每層個數(shù))回答,如1(1層)、1+3(2層)、1+3+5(3層)……；也可能根據(jù)圖形的結果(正方形個數(shù))回答,如1、4、9……學生邊回答,課件邊呈現(xiàn)算式,教師邊完成下面板書。1＝1×1＝121+3=2×2=221+3+5=3×3=322.探究發(fā)現(xiàn)形與數(shù)的關系。師：請大家結合圖形與算式,看看能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?拼這樣的圖形,一共需要多少個小正方形?課件集中呈現(xiàn)。學生活動,教師巡視。全班交流。【學情預設】預設1：結合算式看圖形,發(fā)現(xiàn)圖形中所包含的規(guī)律是各層小正方形的個數(shù)之和等于層數(shù)的平方。預設2：發(fā)現(xiàn)算式左邊是每層圖形的個數(shù)之和,右邊也是。并從中發(fā)現(xiàn),在計算連續(xù)奇數(shù)的和時,用“個數(shù)”的平方來計算比較快。預設3：發(fā)現(xiàn)圖形和算式之間有一定的聯(lián)系。也就是說,圖形中的規(guī)律可以用算式表示出來,這樣不需要再繼續(xù)拼下去,就可以從算式中知道所拼圖形中一共有多少個小正方形。◎教學筆記預設4：發(fā)現(xiàn)拼出的圖形有多少層,層數(shù)的平方就是圖中所有小正方形的個數(shù)。如拼出的圖形有2層,一共有22個小正方形；拼出的圖形有3層,一共有32◎教學筆記3.初步體會形與數(shù)的關系?！窘虒W提示】要關注學生多種推理方法，突出學生的思維過程，不能讓學生套用規(guī)律?！窘虒W提示】要關注學生多種推理方法，突出學生的思維過程，不能讓學生套用規(guī)律。課件動態(tài)呈現(xiàn)拼成4、5、6層的大正方形,學生分別說出算式和得數(shù)。師：如果拼成10層呢？100層呢？請大家先想一想,再交流一下?！緦W情預設】預設1：拼10層,共需102＝100(個)小正方形;拼100層,共需1002＝10000(個)小正方形。預設2：可以把拼圖問題轉化為計算連續(xù)奇數(shù)的和,因為1+3＝22＝4,1+3+5＝32＝9,所以1+3+5+7＝42＝16,1+3+5+…+19＝102＝100,1+3+5+…+199=1002=10000。預設3：發(fā)現(xiàn)當層數(shù)較少時,用圖形比較直觀；當層數(shù)較多時,畫圖就比較麻煩,畫100層就很困難。如果層數(shù)比較多,用算式雖然不像圖形那樣直觀,但如果分析出其中隱藏的規(guī)律后,再多的層數(shù)都可以用算式非常方便地計算出結果。教師在全班交流的同時,引導學生歸納出數(shù)與形之間的聯(lián)系,最后完成小結。師：通過探索,發(fā)現(xiàn)形與數(shù)之間存在著緊密的聯(lián)系；并且還發(fā)現(xiàn),圖形雖然直觀,但隨著數(shù)量的不斷增加,會變得不易操作,如果改用尋找數(shù)中隱藏的規(guī)律,就可以進行更加詳細的討論。師：通過計算,你們發(fā)現(xiàn)算式有什么規(guī)律沒有?【學情預設】學生會發(fā)現(xiàn),從1開始,n個連續(xù)奇數(shù)的和等于n2。【設計意圖】本環(huán)節(jié)設計有三層,每層都通過數(shù)形結合來引導學生不斷深入思考。首先,用動畫以“半包圍”的方式引出圖形,讓學生清楚地看到每層的小正方形數(shù)量不斷增加,放手讓學生從中發(fā)現(xiàn)形與數(shù)的聯(lián)系。接著,以共需多少個小正方形為問題,引發(fā)思考,又一次放手讓學生探究發(fā)現(xiàn)形與數(shù)之間的關系。最后是滲透數(shù)學思想方法的關鍵,也是教學的目的所在。以不斷增加層數(shù)提出“高難度”問題,迫使學生從畫圖轉向算式,再加上教師的點撥,使學生初步體會形的直觀與數(shù)的細微。4.運用規(guī)律。（1）課件出示習題?！窘虒W提示】部分學生能靈活運用規(guī)律計算，大部分學生還是需要引導。所以讓會做的學生說思路、方法，分享解答過程?！窘虒W提示】部分學生能靈活運用規(guī)律計算，大部分學生還是需要引導。所以讓會做的學生說思路、方法，分享解答過程。教師請學生獨立完成,然后全班核對答案并適時板書?！蚪虒W筆記◎教學筆記課件展示教科書P106“做一做”第1題。師：根據(jù)例1的結論算一算。全班交流,請學生說明計算結果和原因。5.小結。師：同學們都很細心,不但能很快算出從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和,稍加一點變化,你們也照樣算得很快?，F(xiàn)在知道老師是用什么方法來快速計算這些題了吧。師：這么巧妙的方法,我們是借助什么發(fā)現(xiàn)的？（圖形）看來,有的計算問題借助圖形解決會更容易?！驹O計意圖】充分讓學生觀察分析,感受如何將數(shù)和形結合,體會數(shù)和形之間的緊密聯(lián)系,同時讓學生感受到“形”可以展示“數(shù)”的特點,通過“形”使解決“數(shù)”的問題變得更加容易。三、鞏固練習,綜合應用1.課件展示教科書P106“做一做”第2題。師：請你認真思考、觀察,上邊的圖形和對應的數(shù)之間有什么規(guī)律？四人小組交流,全班匯報。課件出示答案。師：剛才有一個同學說紅色的小正方形順次增加1個,藍色的小正方形順次增加2個,這是為什么呢？我們一起來看一看。第一個圖形,若要增加1個紅色小正方形,其上方、下方就要各增加1個藍色小正方形。依此類推,第三個圖形在第二個圖形的基礎上增加了1個紅色小正方形,則藍色小正方形就要增加幾個？（2個）師：如果不讓你看圖,照這樣畫下去,第6個和第10個圖形各有幾個紅色小正方形和藍色小正方形呢？在草稿本上寫一寫。教師請學生介紹,說說是怎么算出來的。師：觀察發(fā)現(xiàn),圖形中左右兩側的藍色小正方形個數(shù)固定不變（為6個）,在中間部分,紅色小正方形的個數(shù)乘2就是藍色小正方形的個數(shù)。即使在紅色小正方形個數(shù)較多的情況下,仍然可以算得很快,看來圖形中確實蘊涵著數(shù)的規(guī)律。找到了其中的規(guī)律,解決問題就清晰、容易多了。2.課件展示教科書P107“練習二十二”第1題。先放手讓學生找出規(guī)律,再交流匯報?！窘虒W提示】學生可以從不同角度觀察、分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不能僅僅關注結果。【學情預設】由于每個圖形最外圈小正方形的個數(shù)都是8的相應倍數(shù),因此第n個圖形最外圈小正方形的個數(shù)是8n。類似的算式(2n+1)2-(2n-1)2可能學生找不到,教師可以引導學生觀察給出的算式中兩個數(shù)間的關系,如3和1、5和3、7和5……【教學提示】學生可以從不同角度觀察、分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不能僅僅關注結果。3.課件展示教科書P107“練習二十二”第2題。師：上方有圖,下方有對應的數(shù)字,請你觀察和思考,圖和數(shù)之間有什么規(guī)律？◎教學筆記◎教學筆記【學情預設】預設1：第2個圖形中小圓的個數(shù)為1+2,第3個圖形中小圓的個數(shù)為1+2+3,第4個圖形中小圓的個數(shù)為1+2+3+4。預設2：是第幾個圖形,其中就有幾行小圓。師：照這個規(guī)律往下畫,你能畫出來嗎？圖形下方的數(shù)字表示的是什么？第5個、第6個、第7個圖形下方的數(shù),你能不能很快寫出來？(2)請學生獨立完成在練習紙上。(3)學生匯報,說說是怎么得到結果的。師：第10個圖形中的最后一行是第幾行？一共含有幾個小圓？【學情預設】第10個圖形中的最后一行是第10行,一共含有55個小圓。師：現(xiàn)在如果老師不讓你畫圖,你能不能想象一下第10個圖形,它是什么樣子的？一共有多少個小圓呢？現(xiàn)在我們就不畫圖,算一算,第10個圖形下方的那個數(shù)是多少？能算出來嗎？動筆試一試。(4)展示學生作品,請學生介紹方法。【設計意圖】通過練習,讓學生進一步體會數(shù)形結合的特點,感受用形來解決數(shù)的有關問題的直觀性與簡捷性。在練習中充分讓學生動腦、動口、動手,在交流中發(fā)現(xiàn)特點,解決問題。4.課件展示教科書P108“練習二十二”第3題。（1）學生獨立在教科書上完成。（2）展示交流,集體訂正?！緦W情預設】就具體的圖形來說,學生能較輕松地填出數(shù)。在發(fā)現(xiàn)規(guī)律時,學生可能會有困難,特別是發(fā)現(xiàn)的規(guī)律難以用語言表達清楚。教師要引導學生用字母表示。四、回顧反思師：今天這節(jié)課,我們一起學習了“數(shù)與形”,說說你們有什么收獲?！緦W情預設】學生可能會說,利用圖形發(fā)現(xiàn)規(guī)律,利用圖形進行計算比較簡便等。師小結：在解決問題時,可以利用形解決數(shù)的問題,也可以利用數(shù)解決形的問題,根據(jù)實際靈活選用。?板書設計數(shù)與形（1）1＝1×1＝121+3=2×2=221+3+5=3×3=321+3+5+7=421+3+5+7+9+11+13=72?教學反思◎教學筆記讓學生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律時,他們首先說的都是數(shù)的規(guī)律,比如每個加法算式依次多加了一個數(shù),分別是3、5、7……◎教學筆記?作業(yè)設計見對應課時作業(yè)。一、下面每個圖形中各有多少個白色小正方形和多少個灰色小正方形?照這樣接著畫下去,第n個圖形中有()個白色小正方形和()個灰色小正方形。二、先數(shù)一數(shù),再填一填,用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題。1.擺15個三角形,需要多少根小棒？2.有89根小棒,能擺出多少個三角形？3.擺成的三角形個數(shù)與所用的小棒根數(shù)之間有什么關系？參考答案第2課時數(shù)與形（2）?教學內容教科書P105~106例2,完成教科書P108~109“練習二十二”中第4～8*題。?教學目標1.在學習過程中引導學生探索研究數(shù)與形之間的聯(lián)系,尋找規(guī)律,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,學會利用圖形來解決一些有關數(shù)的問題。2.讓學生經(jīng)歷猜想與驗證的過程,體會數(shù)形結合、歸納推理、極限等基本數(shù)學思想。?教學重點探索數(shù)與形之間的聯(lián)系,尋找規(guī)律,并利用圖形來解決有關數(shù)的問題。?教學難點讓學生經(jīng)歷探索規(guī)律及驗證規(guī)律的過程。?教學準備課件。?教學過程一、直接導入,揭示課題師：同學們,上節(jié)課我們探究了圖形中隱藏的數(shù)的規(guī)律,今天我們繼續(xù)研究有關數(shù)與圖形之間的聯(lián)系。［板書課題：數(shù)與形（2）］【設計意圖】直奔主題,簡潔明了,有利于學生清楚本節(jié)課學習的內容和方向。二、探索發(fā)現(xiàn),學習新知1.教師與學生比賽算題。師：上節(jié)課計算競賽,老師贏了。本節(jié)課,我還想跟你們比賽,你們還敢挑戰(zhàn)嗎？（敢?。煟耗銈冎?等于多少嗎？()那++等于多少呢？學生嘗試計算,教師直接給出答案?！窘虒W提示】也會有聰明的學生能迅速發(fā)現(xiàn)規(guī)律，很快得出結果。這個時候教師就要轉換角色，問問學生為什么算這么快?！窘虒W提示】也會有聰明的學生能迅速發(fā)現(xiàn)規(guī)律，很快得出結果。這個時候教師就要轉換角色，問問學生為什么算這么快。師：有的同學不相信是嗎？咱們試試就知道。為了驗證,我請我們班計算最快的同學跟我一起算,看看結果是否相同。誰來出題？學生出題,師生競賽?！緦W情預設】學生會按照以上算式中的規(guī)律,出以下題：在學生出題后,教師都能立刻算出結果,并且是正確的,學生感到很驚奇。師：知道我為什么算得那么快嗎？因為我有一件神秘的法寶,你們想知道嗎？【設計意圖】一方面,教師通過與學生比賽計算速度,且每次教師勝利,使學生產(chǎn)生好奇心,再通過幽默的語言,吸引學生的注意力,激發(fā)學生的學習興趣和求知欲；另一方面,為接下來學習例題做好鋪墊。2.借助正方形探究計算方法。教師邊說邊用課件出示一個正方形?！窘虒W提示】課件演示時，開始慢一點，等學生理解后可以加速?！窘虒W提示】課件演示時，開始慢一點，等學生理解后可以加速。（1）進行演示講解。①演示+。師：用一個正方形表示“1”,先取它的一半就是正方形的（涂紅）,再取剩下部分的一半就是正方形的（涂黃）。師：想一想,正方形中表示+的涂色部分與空白部分和整個正方形之間有什么關系呢？（涂色部分等于“1”減去空白部分）空白部分占正方形的幾分之幾？（）那么涂色部分還可以怎么算呢？（1-）也就是說+=1-。②繼續(xù)演示++。師：誰知道除了通分,還可以怎么算？根據(jù)學生回答,板書：++=1-。③演示+++。師：那么計算+++就可以得到什么？+++=1-（2）初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。師：看到這兒,你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？【學情預設】學生發(fā)現(xiàn),從開始,后面分數(shù)的分母依次是前一個分數(shù)分母的2倍,把這些分數(shù)加起來,和等于1減去最后一個分數(shù)。(3)總結規(guī)律。師小結：按照這樣的規(guī)律往下加,不管加到幾分之一,只要用1減去這個幾分之一就可以得到答案了。師：這個法寶怎么樣？誰來說說它好在哪里？你學會了嗎？(4)嘗試練習。課件出示習題。【教學提示】學生嘗試練習課件呈現(xiàn)的算式，口答就行。適時追問怎么算的，促使學生運用規(guī)律來計算?！窘虒W提示】學生嘗試練習課件呈現(xiàn)的算式，口答就行。適時追問怎么算的，促使學生運用規(guī)律來計算?！驹O計意圖】將復雜的數(shù)量運算轉化為簡單的圖形面積計算,轉繁為簡,化難為易,引導學生探索數(shù)與圖形的聯(lián)系,讓學生體會到數(shù)形結合、歸納推理的數(shù)學思想方法。3.知識提升,探索發(fā)現(xiàn)。(1)感受極限思想。課件出示教科書P105例2。師：剛才我們已經(jīng)從一直加到了,如果我繼續(xù)加,加到,得數(shù)等于多少？()再接著加,一直加到,得數(shù)等于多少？()隨著不斷繼續(xù)加,你發(fā)現(xiàn)得數(shù)越來越大,無數(shù)個這樣的數(shù)相加,和會是多少呢？這時候你心中有沒有一個大膽的猜想？【學情預設】猜想：這樣一直加下去,得數(shù)會不會就等于1了？師：想象一下,如果我們在剛才加的過程中在正方形上不斷涂色,那空白部分的面積會發(fā)生怎樣的變化？涂色部分的面積呢？【學情預設】空白部分的面積會越來越小,涂色部分的面積會越來越大。師：一直往下加,和的得數(shù)越來越接近什么數(shù)？最終得數(shù)是1嗎？你有什么方法來驗證？【學情預設】學生提出用圓和線段來幫助驗證,若沒有學生提出,教師自己提出。(2)利用線段圖直觀感受相加之和等于“1”。師：教科書上有兩幅圖,我們一起來看看。（出示課件）【教學提示】“【教學提示】“無限”的概念非常抽象，學生不易理解。演示時，引導學生邊觀察，邊想象?！緦W情預設】學生會推導出：這些分數(shù)不斷加下去,總和就是1。師：他們的想法對嗎？【學情預設】學生利用直觀圖,并結合算式,看出了++++++…的值越來越接近1。其實,當次數(shù)趨于無限時,這些分數(shù)的和就是1。教師根據(jù)學生的回答進行板書。【設計意圖】利用數(shù)與形的結合,讓學生直觀體會極限的數(shù)學思想,并讓學生經(jīng)歷猜想得數(shù)等于“1”,到數(shù)形結合證明得數(shù)等于“1”的過程,激發(fā)學生的學習興趣,培養(yǎng)學生探索新知的精神。4.遷移提升。（1）交流感受。師：對于這種借用圖形來幫助我們解決問題的方法,你有什么感受？【教學提示】先讓學生說說以前用到的數(shù)形結合，再課件呈現(xiàn)。如果學生一下子說不出來，給學生時間討論一下?！緦W情預設】“數(shù)”與“形”【教學提示】先讓學生說說以前用到的數(shù)形結合，再課件呈現(xiàn)。如果學生一下子說不出來，給學生時間討論一下。（2）舉一反三。師：其實在以前的學習中,我們也常用到數(shù)形結合的數(shù)學方法幫助我們解題,你能想到哪些例子嗎？【學情預設】學生可能有困難,教師舉例：一年級加法,分數(shù)的認識,復雜的路程問題,線段圖等。（出示課件）【教學提示】此題更多的是數(shù)學思考，首先要讓學生自主發(fā)現(xiàn)問題中的關鍵點，再讓學生交流，在交流過程中感悟比例思想?！窘虒W提示】此題更多的是數(shù)學思考，首先要讓學生自主發(fā)現(xiàn)問題中的關鍵點，再讓學生交流，在交流過程中感悟比例思想。師：這些都是數(shù)形結合的方法?！驹O計意圖】讓學生體會“數(shù)形結合”是數(shù)學學習中常用的方法。三、鞏固練習,綜合應用1.課件展示教科書P108“練習二十二”第4題。（1）學生小組合作,研討解答?！緦W情預設】本題滲透著比例思想,對于學生來說,有一定的難度,教師要適當提示。（2）展示交流。師：這道題跟我們以前學習的行程問題相同嗎？需要知道速度和時間嗎？引導學生發(fā)現(xiàn)狗的速度是人的速度的2倍,用比例的知識解答。2.課件展示教科書P108習二十二”