遼寧省五校2024-2025學年高三下學期第一次階段檢測試題數(shù)學試題含解析

遼寧省五校2024-2025學年高三下學期第一次階段檢測試題數(shù)學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列的公差不為零，且，，構(gòu)成新的等差數(shù)列，為的前項和，若存在使得，則（）A．10 B．11 C．12 D．132．在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣．馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半．”請問各畜賠多少？它的大意是放牧人放牧時粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升），三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同．馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半．問羊、馬、牛的主人應該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）A． B． C． D．3．已知復數(shù)滿足：（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．4．已知正四面體外接球的體積為，則這個四面體的表面積為（）A． B． C． D．5．在三角形中，，，求（）A． B． C． D．6．若復數(shù)z滿足,則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是（）A． B． C． D．8．記單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A． B． C． D．9．設,則(

)A．10 B．11 C．12 D．1310．己知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，是等邊三角形，且；若點在四棱錐的外接球面上運動，記點到平面的距離為，若平面平面，則的最大值為（）A． B．C． D．11．已知滿足，，,則在上的投影為（）A． B． C． D．212．已知拋物線：的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，其中點在第一象限，若弦的長為，則（）A．2或 B．3或 C．4或 D．5或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在棱長為的正方體中，是面對角線上兩個不同的動點.以下四個命題：①存在兩點，使；②存在兩點，使與直線都成的角；③若，則四面體的體積一定是定值；④若，則四面體在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值.其中為真命題的是____.14．在一次體育水平測試中，甲、乙兩校均有100名學生參加，其中:甲校男生成績的優(yōu)秀率為70%，女生成績的優(yōu)秀率為50%;乙校男生成績的優(yōu)秀率為60%，女生成績的優(yōu)秀率為40%.對于此次測試，給出下列三個結(jié)論:①甲校學生成績的優(yōu)秀率大于乙校學生成績的優(yōu)秀率;②甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率;③甲校學生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學生成績的優(yōu)秀率的大小關系不確定.其中，所有正確結(jié)論的序號是____________.15．曲線y＝e－5x＋2在點(0，3)處的切線方程為________．16．已知函數(shù)圖象上一點處的切線方程為，則_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角，，的對邊分別為，其中，.（1）求角的值；（2）若，，為邊上的任意一點，求的最小值.18．（12分）已知點到拋物線C：y1=1px準線的距離為1．（Ⅰ）求C的方程及焦點F的坐標；（Ⅱ）設點P關于原點O的對稱點為點Q，過點Q作不經(jīng)過點O的直線與C交于兩點A，B，直線PA，PB，分別交x軸于M，N兩點，求的值．19．（12分）某企業(yè)質(zhì)量檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上零件的質(zhì)量情況，從生產(chǎn)線上隨機抽取了個零件進行測量，根據(jù)所測量的零件尺寸（單位：mm），得到如下的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這個零件尺寸的中位數(shù)（結(jié)果精確到）；（2）若從這個零件中尺寸位于之外的零件中隨機抽取個，設表示尺寸在上的零件個數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；（3）已知尺寸在上的零件為一等品，否則為二等品，將這個零件尺寸的樣本頻率視為概率.現(xiàn)對生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件進行成箱包裝出售，每箱個.企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對每箱的所有零件進行檢驗，已知每個零件的檢驗費用為元.若檢驗，則將檢驗出的二等品更換為一等品；若不檢驗，如果有二等品進入買家手中，企業(yè)要向買家對每個二等品支付元的賠償費用.現(xiàn)對一箱零件隨機抽檢了個，結(jié)果有個二等品，以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值作為決策依據(jù)，該企業(yè)是否對該箱余下的所有零件進行檢驗？請說明理由.20．（12分）如圖所示，三棱柱中，平面，點，分別在線段，上，且，，是線段的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）在以為頂點的五面體中，底面為菱形，，，，二面角為直二面角.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù).其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式可得，再利用等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由，，構(gòu)成等差數(shù)列可得即又解得：又所以時，.故選：D本題考查了等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎題.2．D【解析】

設羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出答案.【詳解】設羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.本題考查數(shù)列與數(shù)學文化,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了學生的運算求解能力,屬于基礎題.3．A【解析】

利用復數(shù)的乘法、除法運算求出，再根據(jù)共軛復數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，則，所以.故選：A本題考查了復數(shù)的四則運算、共軛復數(shù)的概念，屬于基礎題.4．B【解析】

設正四面體ABCD的外接球的半徑R，將該正四面體放入一個正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對角線，根據(jù)正方體和正四面體的外接球為同一個球計算出正方體的棱長，從而得出正四面體的棱長，最后可求出正四面體的表面積．【詳解】將正四面體ABCD放在一個正方體內(nèi)，設正方體的棱長為a，如圖所示，設正四面體ABCD的外接球的半徑為R，則，得．因為正四面體ABCD的外接球和正方體的外接球是同一個球，則有，∴．而正四面體ABCD的每條棱長均為正方體的面對角線長，所以，正四面體ABCD的棱長為，因此，這個正四面體的表面積為．故選：B．本題考查球的內(nèi)接多面體，解決這類問題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來，考查計算能力，屬于中檔題．5．A【解析】

利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【詳解】，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，，.由正弦定理得.故選：A.本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.6．A【解析】

化簡復數(shù)，求得，得到復數(shù)在復平面對應點的坐標，即可求解.【詳解】由題意，復數(shù)z滿足，可得，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應點的坐標為位于第一象限故選：A.本題主要考查了復數(shù)的運算，以及復數(shù)的幾何表示方法，其中解答中熟記復數(shù)的運算法則，結(jié)合復數(shù)的表示方法求解是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.7．C【解析】

先求導函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立，對導函數(shù)不等式換元成二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，則，故在上恒成立；結(jié)合圖象可知，，解得故.故選：C.本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法：就是將比較復雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當作一個角(或)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解；(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.8．C【解析】

先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的值，再根據(jù)的方程組可得的值，從而得到數(shù)列的公比，進而得到數(shù)列的通項和前項和，根據(jù)后兩個公式可得正確的選項.【詳解】因為為等比數(shù)列，所以，故即，由可得或，因為為遞增數(shù)列，故符合.此時，所以或（舍，因為為遞增數(shù)列）.故，.故選C.一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.9．B【解析】

根據(jù)題中給出的分段函數(shù)，只要將問題轉(zhuǎn)化為求x≥10內(nèi)的函數(shù)值，代入即可求出其值．【詳解】∵f（x），∴f（5）＝f[f（1）]＝f（9）＝f[f（15）]＝f（13）＝1．故選：B．本題主要考查了分段函數(shù)中求函數(shù)的值，屬于基礎題．10．A【解析】

根據(jù)平面平面，四邊形為等腰梯形，則球心在過的中點的面的垂線上，又是等邊三角形，所以球心也在過的外心面的垂線上，從而找到球心，再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示：取的中點，則是等腰梯形外接圓的圓心，取是的外心，作平面平面，則是四棱錐的外接球球心，且，設四棱錐的外接球半徑為，則，而，所以，故選：A.本題考查組合體、球，還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.11．A【解析】

根據(jù)向量投影的定義，即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A本題考查向量的投影，屬于基礎題.12．C【解析】

先根據(jù)弦長求出直線的斜率，再利用拋物線定義可求出.【詳解】設直線的傾斜角為，則，所以，，即，所以直線的方程為.當直線的方程為，聯(lián)立，解得和，所以；同理，當直線的方程為.，綜上，或.選C.本題主要考查直線和拋物線的位置關系，弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現(xiàn)了到焦點的距離時，一般考慮拋物線的定義.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．①③④【解析】

對于①中，當點與點重合，與點重合時，可判斷①正確；當點點與點重合，與直線所成的角最小為，可判定②不正確；根據(jù)平面將四面體可分成兩個底面均為平面，高之和為的棱錐，可判定③正確；四面體在上下兩個底面和在四個側(cè)面上的投影，均為定值，可判定④正確.【詳解】對于①中，當點與點重合，與點重合時，，所以①正確；對于②中，當點點與點重合，與直線所成的角最小，此時兩異面直線的夾角為，所以②不正確；對于③中，設平面兩條對角線交點為，可得平面，平面將四面體可分成兩個底面均為平面，高之和為的棱錐，所以四面體的體積一定是定值，所以③正確；對于④中，四面體在上下兩個底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度均為1的四邊形，其面積為定義，四面體在四個側(cè)面上的投影，均為上底為，下底和高均為1的梯形，其面積為定值，故四面體在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值，所以④正確.故答案為：①③④.本題主要考查了以空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征為載體的謎題的真假判定及應用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，異面直線的關系和椎體的體積，以及投影的綜合應用，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔試題.14．②③【解析】

根據(jù)局部頻率和整體頻率的關系，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】不能確定甲乙兩校的男女比例，故①不正確；因為甲乙兩校的男生的優(yōu)秀率均大于女生成績的優(yōu)秀率，故甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率，故②正確；因為不能確定甲乙兩校的男女比例，故不能確定甲校學生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學生成績的優(yōu)秀率的大小關系，故③正確.故答案為：②③.本題考查局部頻率和整體頻率的關系，意在考查學生的理解能力和應用能力.15．.【解析】

先利用導數(shù)求切線的斜率，再寫出切線方程.【詳解】因為y′＝－5e－5x，所以切線的斜率k＝－5e0＝－5，所以切線方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3.故答案為y＝－5x＋3.(1)本題主要考查導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的求導，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)函數(shù)在點處的導數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應的切線方程是16．1【解析】

求出導函數(shù)，由切線方程得切線斜率和切點坐標，從而可求得．【詳解】由題意，∵函數(shù)圖象在點處的切線方程為，∴，解得，∴．故答案為：1．本題考查導數(shù)的幾何意義，求出導函數(shù)是解題基礎，三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化簡即可得出結(jié)果；（2）在中，由余弦定理得，在中結(jié)合正弦定理求出，從而得出，即可得出的解析式，最后結(jié)合斜率的幾何意義，即可求出的最小值.【詳解】（1），，由題知，，則，則，，；（2）在中，由余弦定理得，，設，其中.在中，，，，，所以，，所以的幾何意義為兩點連線斜率的相反數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得，故的最小值為.本題考查正弦定理和余弦定理的實際應用，還涉及二倍角正弦公式和誘導公式，考查計算能力.18．(Ⅰ)C的方程為,焦點F的坐標為(1,0)；（Ⅱ）1【解析】

（Ⅰ）根據(jù)拋物線定義求出p，即可求C的方程及焦點F的坐標；

（Ⅱ）設點A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1)，由題意直線AB斜率存在且不為0，設直線AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0)，與拋物線聯(lián)立可得ky1-4y+4k-8=0，利用韋達定理以及弦長公式，轉(zhuǎn)化求解|MF|?|NF|的值．【詳解】(Ⅰ)由已知得，所以p=1.所以拋物線C的方程為,焦點F的坐標為(1,0)；(II)設點A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1)，由題意直線AB斜率存在且不為0.設直線AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0).由得，則,.因為點A,B在拋物線C上,所以,.因為PF⊥x軸，所以，所以|MF|?|NF|的值為1.本題考查拋物線的定義、標準方程及直線與拋物線中的定值問題，常用韋達定理設而不求來求解，本題解題關鍵是找出弦長與斜率之間的關系進行求解，屬于中等題.19．（1）；（2）分布列見詳解，期望為；（3）余下所有零件不用檢驗，理由見詳解.【解析】

（1）計算的頻率，并且與進行比較，判斷中位數(shù)落在的區(qū)間，然后根據(jù)頻率的計算方法，可得結(jié)果.（2）計算位于之外的零件中隨機抽取個的總數(shù)，寫出所有可能取值，并計算相對應的概率，列出分布列，計算期望，可得結(jié)果.（3）計算整箱的費用，根據(jù)余下零件個數(shù)服從二項分布，可得余下零件個數(shù)的期望值，然后計算整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值，進行比較，可得結(jié)果.【詳解】（1）尺寸在的頻率：尺寸在的頻率：且所以可知尺寸的中位數(shù)落在假設尺寸中位數(shù)為所以所以這個零件尺寸的中位數(shù)（2）尺寸在的個數(shù)為尺寸在的個數(shù)為的所有可能取值為1，2，3，4則，，所以的分布列為（3）二等品的概率為如果對余下的零件進行檢驗則整箱的檢驗費用為（元）余下二等品的個數(shù)期望值為如果不對余下的零件進行檢驗，整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值為（元）所以，所以可以不對余下的零件進行檢驗.本題考查頻率分布直方圖的應用，掌握中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)的計算方法，中位數(shù)的理解應該從中位數(shù)開始左右兩邊的頻率各為0.5，考驗分析能力以及數(shù)據(jù)處理，屬中檔題.20．（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）取中點為，根據(jù)幾何關系，求證四邊形為平行四邊形，即可由線線平行推證線面平行；（Ⅱ）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量和平面的法向量，即可求得線面角的正弦值.【詳解】（Ⅰ）取的中點，連接，.如下圖所示：因為，分別是線段和的中點，所以是梯形的中位線，所以.又，所以.因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以.所以，.所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因為，且平面，故可以為原點，的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，如下圖所示：不妨設，則，所以