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2025屆中考復(fù)習(xí)專題04:圓的?？寄Ｐ蜌w納

總覽1題型解讀

【題型1]弦切角定理與切割線定理..................................................24

【題型2】中點(diǎn)弧模型..............................................................28

【題型3】內(nèi)心模型................................................................32

【題型4]線段和差問題（構(gòu)造手拉手）..............................................34

【題型5】阿基米德折弦定理........................................................39

【題型6]平行弦與相交弦，垂直線,割線模型........................................44

【題型7】垂徑圖..................................................................47

【題型8】等腰圖..................................................................50

【題型9】雙切圖..................................................................53

【題型10]射影圖.................................................................57

【題型11]切割圖.................................................................60

【題型12】圓與三角函數(shù)綜合.......................................................64

【題型13]圓與相似綜合...........................................................67

題型匯編

圓的基本模型（一）：圓幕定理

1.弦切角與切割線

①PC是切線；②4=N2（弦切角定理）；③PC?=PAPB

以上三個結(jié)論知一推二

y

弦切角：弦和切線所夾的角等于它們所夾的弧所對的圓周角，即切線AP和弦AB所夾的N1,等于它

們所夾的弧裝所對的圓周角N2

2.圓基?定理

①相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。

②切割線定理：從圓外點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項。

③割線定理（推論）：從圓外一點(diǎn)尸引兩條割線與圓分別交于A、B、C、D,貝”有PA?PB=PC?PD。

【統(tǒng)一歸納】：過任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線/1、m/1與圓交于A、B（可重合，即切線），/2

與圓交于C、D（可重合），則有PAPB=PCPD

相交弦定理

相交弦定理推論本質(zhì)一樣

切割線定理圓號定理

制線定理

【模型圖解】

相交弦定理割線定理切割線定理切線長定理

PA?PB=PC?PDPA?PB=PC?PDPA2=PC?PD

統(tǒng)一敘述為：過一點(diǎn)P（無論點(diǎn)P在圓內(nèi),還是在圓外）的兩條直線，與圓相交或相切（把切點(diǎn)看

成兩個重合的“交點(diǎn)”）于點(diǎn)A、B、C、D則有PAPB=PCPD

圓幕定理:過一個定點(diǎn)P的任何一條直線與圓相交，則這點(diǎn)到直線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的乘積為定值

（定值|0P2-產(chǎn)|稱做點(diǎn)P對。。的“賽”，等于點(diǎn)P到圓心的距離與半徑的平方差的絕對值）

PA.PB=r2-0產(chǎn)（P在圓內(nèi)）

PA?PB=OP2-r2（P在圓夕卜）

PA?PB=OP2-r2=0（P在圓上）

【問題】求證PA.P3=O產(chǎn)-/(點(diǎn)在圓外)

【證明】由切割線定理推論得：PA-PB=PCPD,

又?.?PCPD=(PH—CH)(PH+CH)=PH2—CH2

=(0P2-OH2)-(1^-OH2)

=OP2-r2

【例題】如圖，已知PAB是。。的割線，P0=14cm,PA=4cm,AB=16cm?求。。的半徑。

【證明】由7^.依二^/^一/得，r2=OP2_pA.PB=132,；.r=2后

圓的基本模型（二）：中點(diǎn)弧模型

點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上一動點(diǎn)、,則

【以下五個條件知一推四】

①點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)

②AC=BC

（3）OC-LAB

④PC平分NAP3

⑤CE?CP=CB?（即ACPB?ACBE）

【簡證】Z1=Z2,NPCB為公共魚，子母型相似

注意：⑥不能反推出前五項

ZA=ZC

△APE?MPCB

c

【例】如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于。。,對角線AC、BD交于點(diǎn)P,且AB=AT＞，若AC=7，AB=3,

貝|J3CCD=.

940

易知AB?=ACAPnAP=—,則CP=——，CBCD=CACP=40

77

圓的基本模型（三）：內(nèi)心模型與等腰

【模型講解】外接圓+內(nèi)心n得等腰

如圖，圓。是△ABC外接圓圓心，/是三角形ABC的內(nèi)心延長4/交圓O于。，則￡）/=DC=B。

【簡證】N1=N4+N5,N4=N3,N2=N5Z.Z1=Z2+Z3

圓的基本模型（四）：線段和差問題（構(gòu)造手拉手或阿基米德折弦定理）

1.中點(diǎn)弧與旋轉(zhuǎn)

【模型解讀】點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上一動點(diǎn)，且點(diǎn)C是的中點(diǎn)

鄰邊相等+對角互補(bǔ)②旋轉(zhuǎn)相似模型，一般用來求圓中三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

由于對角互補(bǔ)，即NP3C+ZPAC=180°,顯然K4P共線，且PC=P'C,通過導(dǎo)角不難得出相

似.

2.常見結(jié)構(gòu)

（1）圓內(nèi)接等邊三角形結(jié)論：PB+PA=PC,可構(gòu)造做角平分線或構(gòu)造手拉手模型

P'

【簡析】

/5

/、\'4o

o

截取PQ=PA易知△^^三△■4。

延長BP到A，，使PA=PA,

易知等邊，必R4c

(2)圓內(nèi)接等腰直角三角形(正方形)

情況一：有甬平分線PA+PC=6PB

—BBB

B

，一B

B

情況二：無角平分線PA=PC+后PB

截長補(bǔ)短構(gòu)造手拉手一旋轉(zhuǎn)相似，轉(zhuǎn)成雙

BB

在AP上取一點(diǎn)Q,使BP=BQ,AQ=PC,PQ=42PB,PA=PC+6PB

【旋轉(zhuǎn)六法】

Q

?BB

B!"\

BQ

補(bǔ)充【托密勒定理】：AZ）BC+A3DC=ACB￡>秒殺?。ㄟx填可用）

3.阿基米德折弦定理

【模型解讀】

【問題］：已知M為AC的中點(diǎn)，8為AM上任意一點(diǎn)，且肋于D.求證：AB+BD=DC

證法'—：（補(bǔ)短法）

如圖：延長DB至尸，使為AC中點(diǎn)/.AM=CM<Z1=Z2---------①

又：MC=MC,：.Z1=Z3,N2=N3--------②又；N3+NMBB=180°--------③

由圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，N2+NMB4=180°--------④

'BF=BA

由①②③④可得：NMBA=ZMBF,在LMBF與AMBA中ZMBA=NMBF

MB=MB

：./\MBF^AMBA(SAS)：.MF=MA,又：.MF=MC

又：MZ)_LCF:.DF=DC：.FB+BD=DC又,：BF=BAAB+BZ)=￡)C(證畢)

證法二：（截長法——兩種截取方式）

如圖1:在C￡＞上截取CG=AB,則有。C=CG+OG,再證出BZ)=r)G即可

'：BM=BM/.Z1=Z2--------①又是AC中點(diǎn),：.MA=MC-------②

AB=CG

由①②可知，在△M8A與△MGC中|/1=/2

MA=MC

/\BMA^AGMC(SAS)：.BD=GD又?.?ATOJ_2G：.BD=DG43+2。=。。(證畢)

如圖2：在CD上截取DB=OG,再證明AB=CG即可

簡證：易知△MBG與△MAC均為等腰三角形，且N1=N2,可知△M8G與△MAC構(gòu)成手拉手模型,

ABMA四△GMC(SAS)：.AB=CG

常規(guī)證明：\'MD±BG；.MB=MG：.N2=NMGD-------①

又：企=泥，Z1=Z2——②是AC中點(diǎn)，MA=MC，N1=NMCA——③

由①②③可得NMGZ)=NMC,而NMG￡?+NMGC=180°,ZMCA+ZMBA=180°：,ZMGC=

ZMBA

又BM=BM**-ZMAB=ZMCG

MB=MG

在△MBA與△A/GC中，IZ.MBA=ZMGC：.ABMAAGMC(A4S)：.AB=GC

ZMAB=ZMCG

：.AB+BD^DC(證畢)

證法三：（翻折）—證共線

如圖3:連接MB,MC,MA,AC,將沿翻折，使點(diǎn)A落至點(diǎn)E,連接ME,BE

:△MBA與AMBE關(guān)于對稱，所以AMBEgAMBAC.MA^ME,NMBA=NMBE——①

又：MA=MC,：.ME=MC,又B,A,C四點(diǎn)共圓，/.ZMBA+ZMCA=180°——②

又（已證）AAMCA

又,.證=菽\AZMBC^ZMAC:.NMBC=NMCA-------③

由①②③得：ZMBC+ZMBE=180°：.E,B,C三點(diǎn)共線。丸,：ME=MC,MD±CE

:.DE=DC,：.EB+BD=DC,又Y&MBE沿AMBAJ.AB^EB

：.AB+BD^DC（證畢）

圖3圖4

證法四：兩次全等

如圖4,連接MB,MA,MC,AC,延長A8,過點(diǎn)M作MHLAB于點(diǎn)、H,

為&'的中點(diǎn)：.AM=MC,又：嬴=“：.ZHAM=ZDCM

ZMHA=ZMDC

又：NMHA=ZMDC=90：.在△AfflA與△AfflC中<ZHAM=ZDCM

MC=MA

MH=MD

：.AMHA^AMDC（AAS）：.CD=AH——①M(fèi)D=MH在RtAMHB與RtTAMDB中<

MB=MB

：.（HL）J.BD^BH又?.?AH=AB+3H,AH=AB+BD——②

由①②可得OC=AB+8O(證畢)

證法五：補(bǔ)短法(2)——兩次全等

如圖4,延長至H,使BH=BD,則AB+BO=AH,先證/XBHM絲/\BDM(HL),再證

MDC(HL)

圓的基本模型(五)：平行弦與垂直相交弦，割線定理

一、平行弦：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在。O中，’；AB〃CD,/而

D

:??(5)0

易知，△AGBMDGC

二、相交弦：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等

即：在。0中，：弦AC、BD相交于點(diǎn)G,則AG?CG=BG?E)G

【模型構(gòu)造】

1.當(dāng)圓中有相互垂直的弦時

(I)經(jīng)常作直徑所對的圓周角，可以得到平行弦

(II)還可以構(gòu)造相似

易知NB=NE,AACE-ADCB

(III)當(dāng)圓中有和弦垂直的線段時，還可以構(gòu)造平行弦，BD~+AC2=BC2+AD1=4r2

例題：弦CD_L弦AB,過圓心0作OF_LBC于F,證AD=2OF

練習(xí)：(深圳南山區(qū)模擬)如圖，PC為圓的切線，弦CD_L弦AB,AD=2,BC=6,求圓的半徑

【簡證】易知：AE/7CD,AD=EC=2,通過勾股定理可知直徑EB

2.當(dāng)圓中有相等的弦、弧時

（I）等弧時常作輔助線：（1）構(gòu)造等弦或等角（2）構(gòu)造平行

田AB=CD口J知:

AB=CD;Z1=Z2;ADIIBC

WBc

（II）等弦時常作輔助線:（1）構(gòu)造等角（2）作弦心距（3）作平行

/---------

/由AB=CD可知：

大/IOD=OF,CDIIAB,

A

【小試牛刀】試一試看能寫出幾種證法

\o\/]已知AB,DC為圓的直徑,且BF=DE,證NB=ND

BD

【證法1】-.-FB=ED,AFB=CED,:.AFB—FB=CED—ED，:.AF=CE，；.NB=ND

【證法2】

C_4

△FOBSAEOD(SSS)

.ZB=ZD

BD

【證法3]

-.-△FBASAEDC(SSS)

ZB=ZD

BD

【證法4】

CA

?△OGBSAOHD(HL)

?.ZB=ZD

BD

三、割線定理

割線PD、PC相交于點(diǎn)P,則PAPD=PBPC

D"

圓的基本模型（六）：垂徑圖

一、弧中點(diǎn)與垂徑圖

知1推5

①平分NCAB

②。是底的中點(diǎn)

③DO±CB

④CE=EB

⑤AC//OD

⑥OE=-AC

-2

二、垂徑+相等的三段弧

如圖，AABC內(nèi)接于。O,AB是。0的直徑，C是A。的中點(diǎn)，弦CE_LAB于點(diǎn)H,連結(jié)AD,分別

交CE、BC于點(diǎn)P、Q,連結(jié)BD。

(1)證C0〃BD

(2)AD=CE

(3)證：P是線段AQ的中點(diǎn)

(4)證：CP?CE=AH-AB=CQ?CB

(6)若AD=8,BD=6,求AH的值

15

(7)若0O的半徑為5,AQ=y,求弦CE的長.

【簡證】

DD

(3)先利用弧相等導(dǎo)角證AP=CP,再通過RtZ\ACQ中的互余關(guān)系，得到PQ=CP,

???AP=PQ=CP

(4)CP=AP,CE=AD=CP?CE=AP?AD,AAPH-AABD^AP-AD=AH-AB

E

(5)

(6)法一

連接AC,連接CO交AD于G,OG〃BD

易知GO是的中位線(平行線分線段成比例)

可知0G=g6O=3,AG=：AD=4,貝"半徑A0=5

易證△AOGMZSCOH(AAS)

.-.0H=0G=3,AH=r-3=2

(6)法二

易知r=5,連接EO,

勾股可知HO=3,,-.AH=5-3=2

（7）找到對應(yīng)相似三角形是關(guān)鍵

AQ3CQ3

△

AC2~ABCA^-=-^~AC=4

設(shè)CQ=3x,AC=4x=>Ag=5x=-=>x=~

2448

AC=6=BC=8nCH=gnCE=M

補(bǔ)充拓展：垂徑圖導(dǎo)子母相似

如圖弦CDJ_直徑AB于點(diǎn)G,E是直線AB上一點(diǎn)（不與其他點(diǎn)重合），DE交圓O于F,CF交直線

AB于點(diǎn)P

（1）證OE-OP=〃；（2）當(dāng)點(diǎn)E在AB延長線上時，（1）的結(jié)論還成立嗎？

?DF±AC

②F是EC中點(diǎn)

③DR是切線

@2DF=BE

圓的基本模型（七）：等腰圖（直徑在腰上）

直徑在腰上：如圖，已知AB是直徑，AB=AC,則有

結(jié)論

(1)BD=CD=ED

(2)DOHAC

'?DF±AC

②F是EC中點(diǎn)

（3）知1推3：

③DF是切線

?2DF=BE

【補(bǔ)充】

知1推2知1推2

AB=ACDF1EC

BD=CD=ED尸是EC中點(diǎn)

COD#ECFD是。0的切線

圓心在三線上：如圖，已知AB是直徑，AB=AC,則有

①弧:AB=AC

②線段關(guān)系：BD-CD,AB=AC,OD=-CE

2

③位置關(guān)系：AD±BC,CE1BC,AD\\CE

④角度關(guān)系：NBOD=ZCOD=NBAC=ZBEC

AB=ACn《NABO=ZOAB=ZOAC=ZOCA=NACE,

AAON=ZABD=ZACD

⑤全等關(guān)系：△AB。名△ACDAAOB^AAOC

⑥直角三角形相似：LAONsLABDs-CD

⑦X型相似:里OMOA

CM~ME~CE

圓的基本模型（八）：雙切圖

±PB,/1=/2

@OP±AB,AE=BE

PA.網(wǎng)是切線'

③BD門OP

是直徑

@ZCBD=/2=/I=N3

⑤OE=LBD

2

補(bǔ)充：多切圖

內(nèi)切圓半徑為［nr=工內(nèi)％年為R+b+Of（〃可求）

“=90°）2

B

A

CEb

①BC=BE+CO

②OB1OC,EF1FG

BE,BC,GC與O）。相切@EF||OC,OB||GF

R為O0的半徑）0

④矩形。AFD

OB-OCOB-OC,-------------------------

⑤R==-------------2R=y/BC2-(CG-BEY

8cBG+CG

圓的基本模型（九）：射影圖

A3是直徑'

ZABC=90。1nDE是切線

E是中點(diǎn)

基本圖形：AB是直徑，ZABC=90°

其它結(jié)論

知1推4

OE是中位線

點(diǎn)E是BC中點(diǎn)

6個角相等

DE是。。切線

射影定理（3個等積式）

BE=BE

OE1BD2r=OE?AD

OE-AC2￡)Ee=CD?OE

圓的基本模型（十）：切割圖（切線和割線垂直）

AB是直徑''@OC//AD；

CD是切線②AC平分NBAD,CE=CB,ZDCA=ZCBA；

」

ADLCD■?0F=CD=EG=BG=CH,BH=DE=CG,OG=EF=AF=OH；

OFLAE@AD+DE=AB；

CHLAB@AE+AB=2AH=2AD,AE+AB=2AC-cosABAC.

AB是直徑'

DFAFAD

CD是切線,

0而一彳—而

ADVCD

AB是直徑］（AF_AE_EF

CD是切線"nJ而一而一而7

ADLCD[CM2=MF.MB

【題型1]弦切角定理與切割線定理

【例題1】（2024?四川眉山?中考真題）如圖，的是0。的直徑，點(diǎn)A在0。上，點(diǎn)C在BE的延長線上,

ZEAC=ZABC,AD平分/@場交。。于點(diǎn)。，連結(jié)DE.

⑴求證：C4是。。的切線；（2）當(dāng)AC=8,CE=4時，求OE的長.

【例題2】（四川瀘州中考）如圖，AABC是。。的內(nèi)接三角形，過點(diǎn)C作。。的切線交54的延長線于

點(diǎn)、F,AE是。。的直徑，連接EC.

（1）求證：ZACF^ZB；（2）若4B=BC,A。_L3c于點(diǎn)。，PC=4,曲=2,求ADAE1的值.

【例題3】（湖北?黃石中考）如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)。在AB的延長線上，C、￡是0。上的兩

點(diǎn)，CE=CB,NBCD=NCAE,延長AE交BC的延長線于點(diǎn)?

（1）求證：8是。。的切線；（2）若30=1,CO=如，求弦AC的長.

【例題4】（湖北?十堰中考）如圖，“LBC中，AB=AC,以AC為直徑的。。交3C于點(diǎn)。，點(diǎn)E為

C延長線上一點(diǎn)，S.ZCDE=^ZBAC.

（1）求證：DE是0。的切線；（2）若AB=3%）,CE=2,求。。的半徑.

【鞏固練習(xí)1】如圖，。。是AABC的外接圓，AD是。。的直徑，下是AD延長線上一點(diǎn)，連接CDCF,

^.Z.DCF=Z.CAD.

3

⑴求證：CF是。。的切線；（2）若直徑AD=10,cosB=g,求Q的長.

【鞏固練習(xí)2】（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，VABC內(nèi)接于。。，AB=AC=10,過點(diǎn)A作AE〃BC,

交。。的直徑的延長線于點(diǎn)E,連接CD.

(1)求證：AE是。。的切線；(2)若tanNABE=；,求C。和OE的長.

【鞏固練習(xí)3】(2024.四川雅安?中考真題)如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C是。。上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸是曲

延長線上的一點(diǎn)，連接AC,ZPCA=ZB.

⑴求證：尸C是。。的切線；

(2)若sinZB=；,求證：AC=AP；

(3)若C￡>_LAS于。，PA=4,BD=6,求AD的長.

【鞏固練習(xí)4](成都中考)如圖，42為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，連接AC,BC,。為AB延長

線上一點(diǎn)，連接C。，且

(1)求證：C。是。。的切線；

(2)若。。的半徑為百，△ABC的面積為2百，求CD的長；

EF1

(3)在(2)的條件下，E為。。上一點(diǎn)，連接CE交線段。4于點(diǎn)F,若——=-,求B廠的長.

CF2

【題型2]中點(diǎn)弧模型

【例題1】(蘇州?中考)如圖，的是。。的直徑，D、E為。。上位于異側(cè)的兩點(diǎn)，連接班＞并

延長至點(diǎn)C,使得CD=8D,連接AC交。。于點(diǎn)F,連接AE、DE、DF.

(1)證明：NE=NC；(2)設(shè)。石交互于點(diǎn)G,若AB=10,E是AEB的中點(diǎn)，求EG-ED的值.

【例題2】(深圳?中考妝口圖，已知。。的半徑為2,AB為直徑，CD為弦.AB與CD交于

點(diǎn)將CD沿CD翻折后，點(diǎn)A與圓心。重合，延長。4至P,使AP=Q4,連接PC

(1)求CD的長；

(2)求證：PC是。。的切線;

(3)點(diǎn)G為工防的中點(diǎn)，在PC延長線上有一動點(diǎn)。，連接QG交A3于點(diǎn)E.交蔡于

點(diǎn)、F(F與B、C不重合).問GE?GR是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請

說明理由.

【拓展】(4)在(3)的條件下，當(dāng)CT〃AB時，求的值

【鞏固練習(xí)1】如圖，ZBAC的平分線交AABC的外接圓于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)F,ZABC的平分線交

AD于點(diǎn)E.

(1)求證：DE=DB：(2)若/BAC=90。，BD=4,求AABC外接圓的半徑;

(3)若BD=6,DF=4,求AD的長

D

【鞏固練習(xí)2】（山東棗莊?中考）如圖，A3為。。的直徑，點(diǎn)C是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C做射線的

垂線，垂足為E.

⑴求證：CE是。O切線；

（2）若BE=3,AB=4,求8c的長；

⑶在（2）的條件下，求陰影部分的面積（用含有泥的式子表示）.

【鞏固練習(xí)3】（2024?四川巴中?中考真題）如圖，VABC內(nèi)接于。。，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，連接AD、BD,

BE平分/ABC交AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF//BC交AC的延長線于點(diǎn)F.

（1）求證：￡＞尸是O。的切線.

⑵求證：BD=ED.

(3)若DE=5,3=4,求AB的長.

【鞏固練習(xí)4】（江蘇無錫?中考）如圖，AB是。。的直徑，。與相交于點(diǎn)E.過點(diǎn)。的圓。的切

線D尸〃交C4的延長線于點(diǎn)/，CF=CD.

（1）求ZF的度數(shù)；（2）若DE.￡）C=8,求。。的半徑.

【鞏固練習(xí)5】（2024?云南昆明?一模）如圖，AB,CD是。。的兩條直徑，且ABLCD,點(diǎn)E是上

一動點(diǎn)（不與點(diǎn)8,。重合），連接并延長交42的延長線于點(diǎn)尸，點(diǎn)P在AF上，且N1=N2,連

接AE,CE分別交QD,03于點(diǎn)M,N,連接AC,設(shè)。。的半徑為10.

備用圖

⑴求證：尸￡1是。。的切線;

（2）當(dāng)/DCE=15。時，求證：AM=2ME；

（3）在點(diǎn)E的移動過程中，判斷C7V-CE是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

【題型3]內(nèi)心模型

【例題1】(2024.山東煙臺.中考真題)如圖，是。。的直徑，VA2C內(nèi)接于。。，點(diǎn)/為VABC的內(nèi)

心，連接C/并延長交。于點(diǎn)。，E是BC上任意一點(diǎn)，連接AD,BD,BE,CE.

⑴若ZABC=25。，求/CEB的度數(shù)；

(2)找出圖中所有與。/相等的線段，并證明；

⑶若C/=20,DI=個垃,求VABC的周長.

【例題2】(廣東省?中考)如圖1,在△ABC中，AB=AC,。。是AABC的外接圓，過點(diǎn)C

作NBCDMNACB交。。于點(diǎn)。，連接AD交3C于點(diǎn)E,延長。C至點(diǎn)RftCF=AC,

連接AH

(1)求證：ED=EC；

(2)求證：AR是。。的切線；

(3)如圖2,若點(diǎn)G是△ACD的內(nèi)心，BC?BE=25,求3G的長.

圖1圖2

【鞏固練習(xí)1】已知：如圖，在AABC中，E是內(nèi)心，延長AE交AABC的外接圓于點(diǎn)。，弦A。交弦

8c于點(diǎn)F.

(1)求證：DE=DB-,

(2)當(dāng)點(diǎn)A在優(yōu)弧BC上運(yùn)動時，若DE=2,DF^y,AD=x,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系.

【鞏固練習(xí)2】(湖北?孝感中考)如圖，點(diǎn)/是△ABC的內(nèi)心，8/的延長線與△ABC的外接圓。。交于

點(diǎn)。，與AC交于點(diǎn)E,延長C。、54相交于點(diǎn)憶尸的平分線交AF于點(diǎn)G.

(1)求證：DG//CA；

(2)求證：AD=ID；

(3)若OE=4,BE=5,求3/的長.

【題型4]線段和差問題(構(gòu)造手拉手)

【例題1】在O。的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=6,AD=W,Z&W=60°,點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn),

則AC的長是.

C

【例題2】（2024.山東濟(jì)寧.二模）【初步感知】

如圖1,點(diǎn)A,B,P均在。。上，若NAO8=90。，則銳角NAP3的大小為.

【深入探究】

如圖2,小聰遇到這樣一個問題：是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)尸在AC上（點(diǎn)尸不與點(diǎn)AC重

合），連接叢，PB,PC.求證：PB=PA+PC；小聰發(fā)現(xiàn)，延長P4至點(diǎn)E,使AE=PC,連接BE,

通過證明APBC絲△￡1麗.可推得△P3E是等邊三角形，進(jìn)而得證.請根據(jù)小聰?shù)姆治鏊悸吠瓿勺C明過

程.

【啟發(fā)應(yīng)用】

如圖3,。。是VABC的外接圓，ZABC=90°,AB=3C,點(diǎn)尸在。。上，且點(diǎn)尸與點(diǎn)3在AC的兩側(cè),

連接R4,PB,PC,若PB=2①PA,則縱的值為.

B

圖1圖2圖3

【例題3］如圖，已知AB是OO的弦，點(diǎn)C是弧/W的中點(diǎn)，。是弦鉆上一動點(diǎn)，且不與A、B重

合，CD的延長線交于點(diǎn)E,連接小、BE,過點(diǎn)A作AFL8C,垂足為尸，ZABC=30°.

(1)求證：”是的切線；

⑵若BC=6,CD=3,求DE的長；

(3)當(dāng)點(diǎn)。在弦AB上運(yùn)動時，晝C產(chǎn)F”的值是否發(fā)生變化？如果變化，請寫出其變化范圍；如果不

AE+BE

變，請求出其值.

【鞏固練習(xí)1】如圖，在。O中AB=AC,點(diǎn)D是上一動點(diǎn)(點(diǎn)D不與C、B重合)連接DA、DB、

DC,

ZBAC=120°

(1)若AC=4,求。O的半徑

(2)探究DA、DB、DC之間的關(guān)系，并證明。

AB

【鞏固練習(xí)2】（吉林長春?中考）【感知】如圖①，點(diǎn)A、8、P均在。。上，ZAOB=90°,則銳角/AP3

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，。。是等邊三角形ASC的外接圓，點(diǎn)尸在AC上（點(diǎn)尸不

與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)上4、PB、PC.求證：PF=R4+PC.小明發(fā)現(xiàn)，延長R4至點(diǎn)E,使AE=PC,

連結(jié)8E,通過證明△P3C/△EBA,可推得E狙是等邊三角形，進(jìn)而得證.

下面是小明的部分證明過程：

證明：延長上4至點(diǎn)E,使A￡=PC,連結(jié)BE,

V四邊形ABCP是。。的內(nèi)接四邊形，

ZBAP+ZBCP^180°.

■.■ZBAP+ZBAE=180°,

:.NBCP=NBAE.

?.?IBC是等邊三角形.

BA=BC,

.△PBC/△EBA（SAS）

請你補(bǔ)全余下的證明過程.

【應(yīng)用】如圖③，。。是44BC的外接圓，ZABC^90°,AB=BC,點(diǎn)尸在。。上，且點(diǎn)尸與點(diǎn)B在AC

的兩側(cè)，連結(jié)24、PB、PC.若PB=2?PA,則登的值為.

【鞏固練習(xí)3]（2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題）在綜合實(shí)踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可

以先研究特殊情況，猜想結(jié)論，然后再研究一般情況，證明結(jié)論.

如圖，已知VABC,CA=CB,。。是VA2C的外接圓，點(diǎn)。在。。上（">>3。），連接2。、BD、

【特殊化感知】

⑴如圖1,若NACB=60。，點(diǎn)。在AO延長線上，則AD-9）與CD的數(shù)量關(guān)系為；

【一般化探究】

⑵如圖2,若NACB=60。，點(diǎn)C、。在AB同側(cè)，判斷AD-3D與CD的數(shù)量關(guān)系并說明理由;

【拓展性延伸】

（3）若/ACB=a,直接寫出A。、BD、CD滿足的數(shù)量關(guān)系.（用含。的式子表示）

【題型5]阿基米德折弦定理

【例題1]如圖，AB和BC是0O的兩條弦(即折線ABC是。O的一條折弦),BOAB,M是A8C

的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作MD±BC垂足為D,求證：CD=AB+BD.(阿基米德折弦定理)

【例題2】己知:如圖1,在。。中，C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CD_LAB于E,易證得:AE=BE,從圓上任

-iV.

一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦。

(1)如圖2,PA、PB組成。O的一條折弦，C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CDLPA于E,

求證:AE=PE+PB

(2)如圖3,PA、PB組成。0的一條折弦，若C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，直線CDXPA于E,則AE、PE、PB

之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出結(jié)論，并證明。

圖

圖1圖23

【鞏固練習(xí)1】如圖，已知等邊三角形ABC內(nèi)接于。0,AB=2,點(diǎn)D為弧AC上一點(diǎn)，ZABD=45°,

AE_LBD于E,求aBDC的周長。

【鞏固練習(xí)2】如圖，AABC內(nèi)接于。O,ACVBC,點(diǎn)D為由的中點(diǎn)，求證AD2=ACBC+CD2

【鞏固練習(xí)3】已知。O是等邊AABC的外接圓，P是。O上一點(diǎn)，求證PA+PBWAC+BC

【鞏固練習(xí)4】(山西中考)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出并證明了“折弦定理”.如圖1,AB和BC是。

0的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦),BC>AB,M是優(yōu)弧ABC的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的

垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD.

(1)請按照下面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

證明：如圖2,在CB上截取CG=AB,

連接MA,MB,MC和MG.

：M是Z企的中點(diǎn)，

：.MA=MC

.".MA=MC.

(2)如圖(3),已知等邊AABC內(nèi)接于0O,AB=2,D為00上一點(diǎn),NABD=45°,AE，BD,垂足為E,請

你運(yùn)用“折弦定理”求ABDC的周長.

2025屆中考復(fù)習(xí)

【鞏固練習(xí)5](深圳?中考)如圖,AABC內(nèi)接于OO,BC=2,AB=AC,點(diǎn)D為晶上的動點(diǎn)，且cos

/ABC嚕.

(1)求AB的長度；

(2)在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，弦AD的延長線交BC延長線于點(diǎn)E,問AD.AE的值是否變化？若不

變，請求出AD-AE的值；若變化，請說明理由；

(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，過A點(diǎn)作AHJ_BD,求證：BH=CD+DH.

(4)拓展：求DA,DB,DC之間的數(shù)量關(guān)系

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2025屆中考復(fù)習(xí)

【鞏固練習(xí)6】己知：如圖，在A