2024-2025學年甘肅省慶陽某中學高一（上）第一次月考數(shù)學試卷+答案解析

2024-2025學年甘肅省慶陽一中高一(上)第一次月考數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設集合0={areN*W<4},A={1,2},R={2,4},則(C[M)UB=()

A.{1,2}B.{1,2,3,4}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.已知命題?：BxER>x2<1'則命題p的否定是()

A.V/eR，/21B.Y喝R,/》i

C.\/xeR，a?〉iD.3x^R,/2i

3.如圖，已知矩形。表示全集，N、8是U的兩個子集，則陰影部分可表示為()

A.UB)

B.C(7(AnB)

C.(CuB)nA

D.(Cc/A)nB

4.已知集合A={z|-1<x<1},B={x|a;2-a;-2<0},則()

A.AGBB.BGAC.A=BD.AnB=0

5.已知命題p：YT￡R,a/+2/+3〉0為真命題，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.{a|0<a<g}B.{a|0<a<g}C.{a\a》-}D.{a\a>|)

6.中國清朝數(shù)學家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學》中首次將“Unction”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什

么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”.1930年美國人給出了我們課本中所

學的集合論的函數(shù)定義，已知集合河={—1,1,2,4},N={1,2,4,16},給出下列四個對應法則：①y=

X

②沙=2+1,③g=|可，④。=獷，請由函數(shù)定義判斷，其中能構成從M到N的函數(shù)的是()

A.①③B.①②C.③④D.②④

7.關于x的方程/+/+2￡1=0有兩個根，其中一個大于1,另一個小于1時，則。的取值范圍為()

A.a<—1B.a<—C.a<—1或a<—D.a<—1或a&—

888

8.已知力〉0,y>0,且力+3沙一磔/=0,若力+3g〉m2+機恒成立，則實數(shù)冽的取值范圍為()

A.(—00,—3]U[4,+oo)B.(—4,3)

C.(—3,4)D.(―oc,—4]U[3,-poo)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

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9.下列命題是真命題的為（）

A.若Q〉b〉0〉c>d,則就〉cdB.若QC2〉兒?，則?！礲

cc11

C.若Q〉b〉0且c<0，則港D.若Q〉6且一>工，則ab〈0

Q//ab

10.下列說法正確的是（）

A.至少有一個實數(shù)x,使/+i=o

B.“a〉6〉0”是“工<的充分不必要條件

ab

C.命題川―C+；<0”的否定是假命題

4

D.“集合4={劍的2+/+1=0}中只有一個元素”是“a=；”的必要不充分條件

11.設正實數(shù)x,夕滿足2/+沙=1,貝?。荩ǎ?/p>

A.xy的最大值是:B.--F-的最小值為4

82a;y

i2x1

C.472+夕2最小值為三D.----最小值為2

2y2x

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若集合4={—1,1},B={x\mx=2},且8匚4,則實數(shù)機的值是.

13.若關于x的不等式a/+法+2〉0的解集為{引—1<z<3},則a—b=.

14.當%,neZ時，定義運算?：當加,n〉0時，m0n=m+n；當加，n<0時，m?n=m-n；

當m〉0,n<0或m<0,n>0時，m?n=\m-n\；當m=0時，m0n=n；當n=0時，m?n=m.

在此定義下，若集合力==4},則/中元素的個數(shù)為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題13分）

已知集合A={x\x2—ax+2a=0},B={-2,0}.

（1）若a=l,求AuB；

（2）若4nB中只有一個元素，求。的取值所構成的集合.

16.（本小題15分）

（1）已知abrO,求證：a+b=1是（？+"+a6-（？一肥=o的充要條件.

ec

⑵已知a〉b>0,c<d<0,e<0,求證：>7一了

''a—cb—a

17.（本小題15分）

求下列關于x的不等式的解集：

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4

⑴—+"°;

⑵a/一222C-ax{aGR).

18.(本小題17分)

如圖，要設計一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的

面積之和為18000cm2,四周空白的寬度為10cm,兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm,設廣告牌的高為

寬為ycm.

(1)試用x表示y,并求x的取值范圍；

(2)用x表示廣告牌的面積S；

(3)廣告牌的高取多少時，可使廣告牌的面積S最?。?/p>

19.(本小題17分)

設命題P：對任意/e[0,1],不等式22—37m2一4加恒成立，命題“：存在;re[—1,1],使得不等式

x2—2x+m—l^Q成立.

(1)若p為真命題，求實數(shù)小的取值范圍；

(2)若命題〃與命題q—真一假，求實數(shù)”的取值范圍.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：?.?集合U={2eM>W4}={l,2,3,4},A={1,2},B={2,4},

二.即4={3,4},

則(C必)U8={2,3,4}.

故選：D.

根據(jù)全集U與4求出/的補集，找出/補集與8的并集即可.

此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵.

2.【答案】A

【解析】解：命題〃：3xER>x2<1>則命題p的否定是V/eA，

故選：A.

根據(jù)全稱命題、特稱命題的概念直接判斷.

本題考查了全稱命題、特稱命題的概念，是基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素X,

則2任4且即立e且/e

所以，陰影部分可表示為(Co4)cR

故選：D.

在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素X,分析元素X與各集合的關系，即可得出合適的選項.

本題考查了集合的運算與應用問題，是基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：因為/—2<0=(2一2)(c+l)<0=>—1</<2,

所以B={x\-1<x<2].

所以ACR

故選：A.

求出集合2,可確定兩個集合之間的關系.

本題考查了判斷兩個集合的包含關系，屬于基礎題.

5.【答案】D

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【解析】解：因為命題P：V力eR，Q/+2/+3〉0為真命題，所以不等式a/+2力+3〉0的解集為H.

所以：若Q=0,則不等式a/+2)+3〉0可化為2①+3〉001〉—5,不等式解集不是R

若a#0,則根據(jù)一元二次不等式解集的形式可知：(2>?2八，解得.>[，

[△=2—iza<U3

綜上可知：a>—.

O

故選：D.

問題轉化為不等式a/+2c+3>0的解集為凡根據(jù)一元二次不等式解集的形式求參數(shù)的值.

本題主要考查了全稱量詞命題真假關系的應用，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：在①中，y=~,當"=16時，滿足條件的x不存在，故①不能構成從河到N的函數(shù)；

X

在②中，y=x+l,當?/=16時，滿足條件的x不存在，故②不能構成從M到N的函數(shù)；

在③中，y=\x\,在N中任取一個y值，在M中總有唯一確定的一個x值與之相對應，故③能構成從M到

N的函數(shù)；

在④中，U=/,在N中任取一個y值，在M中總有唯一確定的一個x值與之相對應，故④能構成從M到

N的函數(shù).

故選：C.

利用函數(shù)的概念直接求解.

本題考查函數(shù)的判斷，考查函數(shù)的定義等基礎知識，運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題.

7.【答案】A

【解析】解：構造函數(shù)/(z)=/+/+2a,

?.?方程/+4+2&=0有兩個根，其中一個大于1,另一個小于1,

1?+1+2a<0>

Q<—1.

故選：A.

構造函數(shù)/(2)=/+z+2a,根據(jù)方程/+/+2a=0有兩個根，其中一個大于1，另一個小于1,可得

/(I)<0,從而可求實數(shù)a的取值范圍.

本題考查方程根的研究，考查函數(shù)思想的運用，解題的關鍵是構造函數(shù)，利用函數(shù)思想求解，屬于基礎題.

8.【答案】B

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【解析】解：因為，〉o,y〉0,且立+3沙一雙/=0,

所以中+3沙=（①+3妨（。+工）=6+即+上26+21產(chǎn)工=12,

xyxy\xy

當且僅當/=3沙，即y=2,2=6時取等號，

若立+3g〉+m恒成立，則12>m2+m,

解得一4<m<3.

故選：B.

由已知結合乘1法及基本不等式可求2+3沙的最小值，然后結合恒成立與最值關系的轉化即可求解.

本題主要考查了乘1法及基本不等式求解最值，還考查了不等式恒成立與最值關系的轉化，屬于中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】/解：對于N項，取a=2,b=l,c=-3,d=—4,

則ab=2，cd=12，所以ab<cd，故/選項錯誤；

對于B選項，若加2〉兒2，有。2〉0，則a〉b,8選項正確；

對于C選項，若a〉b〉0，則a?〉儼〉o,則g<1,

azbz

又因為c<0,由不等式的性質(zhì)可得今>表，所以。選項正確；

對于。選項，若a>b且!>《則工=寸<0,所以，ab<0,。選項正確.

abbaab

故選：BCD.

由已知條件結合不等式的性質(zhì)，判斷結論是否正確.

本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎題.

10.【答案】BD

【解析】解：對于/,方程/+1=0無實數(shù)解，故/錯誤；

對于8,由Q〉b〉0,可得但!<：,不能推得Q〉b〉0,比如Q=—1,b=1，故8正確；

abab

對于C,由力之一力+；=（力一：）2》0,可得命題—6+；<0"的否定：“弋xcR,

4'2，4

/—z+"正確，故。錯誤；

對于。，集合4=｛/|Q?+1+1=0｝中只有一個元素，即為。=?；颍矗?；：04。=0,解得

。=0或（1=7，故D正確.

4

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故選：BD.

由不等式的性質(zhì)和命題的否定、方程的解，結合充分必要條件的定義,可得結論.

本題考查命題真假的判斷，以及充分必要條件的判定，考查方程思想、轉化思想和運算能力、推理能力,

屬于中檔題.

11.【答案】ABC

【解析】解：對于2x+y=l^2y/2^,解得敬

O

”=1,即,

當且僅當沙時等號成立，故/正確;

2x=y

3=在11

當且僅當21y即力=彳,g=,時等號成立，故5正確;

2力+"=142

對于C,4/+貨=(2,+0)2—4磔/=1—4曲)；，當且僅當，=；,y=工時等號成立，C正確;

2

2x12x2x+yT21“Tcl2XVc

對于D，“T-2/=3,

--y----H2x=y-----F2x

y2x

———11

當且僅當2%y即力=q時等號成立，故。錯誤.

21+g=142

故選：ABC.

直接利用基本不等式即可求解/,利用乘“1”法即可求解8,利用完全平方式的性質(zhì)即可求解C,將“1”

代換，即可由基本不等式求解O.

本題主要考查了基本不等式求解最值，屬于中檔題.

12.【答案】±2或0

【解析】解：當_8=0時，m—0,符合題意，

當7?={—1}時，m=—2,

當8={1}時，rn=2,

綜上，加的值為±2或0.

故答案為：±2或0.

分6=0、3={-1}和6={1}分別計算即可.

本題主要考查了集合間的包含關系，屬于基礎題.

13.【答案】-2

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【解析】解：由題意得—1,3為方程+法+2=0的兩實數(shù)根，

°b°2

—1+3=—,—1x3=一，

aa

24

解得Q=一示b=a，

oo

724c

：.a—b=----=—2,

oo

故答案為：—2.

題意轉化為方程a/+比+2=0的兩個實數(shù)根為c=—L立=3,利用韋達定理，即可得出答案.

本題考查一元二次不等式的解法，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題.

14.【答案】14

【解析】解：當加，n>0時，m0n=m+n=4,所以［加=）或〔機=『或［機=?,

n=6n=1n=2

當nz〉0,n<0或6<0,n〉0時，m③九=?川=4,所以|小一或！7一4［或17n一一,或

［九=4［九=—I［h=1

3|m==一14或_ix\鼠m==—22或_p.4Im==2—2'

當?71=0時，m?n=n=所以1772一?,

［n=4

當n=0時，m(8)n=m=4,所以1m~,

所以4={(1,3),(3,1),(2,2),(-1,-4),(-4,-1),(-2,-2),(-1,4),(4,-1),(-4,1),(1,

—4),(2,—2),(—2,2),(0,4),(4,0)},

綜上所述，/中元素的個數(shù)為14個.

故答案為：14.

根據(jù)新定義分情況討論，分別求出集合”的元素即可.

本題主要考查了集合的新定義問題，考查了元素與集合的關系，屬于基礎題.

15.【答案】解：⑴若a=1,

則A={劍/—2+2=0},

△=(—1)2—4x2=—7,集合/為0,

故4UB={-2,0}；

(2)當一2e

則4+2Q+2Q=0,解得啊Q=—1,此時4={-2,1},AC\B={—2},符合題意,

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當o“nB,

貝12a=0,解得a=0,此時4={0},AnB={0},符合題意，

綜上所述，。的取值所構成的集合為{-L0}.

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結合并集的定義，二次函數(shù)的判別式，即可求解;

(2)根據(jù)已知條件，結合交集的定義，即可求解.

本題主要考查集合的運算，屬于基礎題.

16.【答案】⑴證明：?”3+匕3=(&+6)(&2—就+標)，

Q3+陰+cib—Q2—廬=(Q+b—])(Q2—ab+廬).

a+b=即a+b—1=0,

/.Q3+/+ab—Q?一肥=(Q+b—1)(Q2—ab+必)=0,

充分性得證；

又「ab彳0,

_ab+B=(a—])2+?匕2>o,

24

Q3+匕3+Qb-Q2一廬=o,

2

/.(Q+b—1)(Q2—ab+b)=0,

Q+6—1=0,即Q+6=1,

必要性得證.

故a+b=1是Q3+川+Qb—Q2—廬=0的充要條件.

e[(b_a)+(c—d)]

⑵證明：工a—c_b占-a=普(一a—砌c)[清b—a)(Q—c)(b—d)

.二a〉b〉0,c<d<0,e<0,

/.a—c>0,b—d>0,b—a<0,c—d<0,

(b—Q)+(c—d)<0,

.e[(b—a)+(c-劃即_e_____e_

"(a-c)(5-d)1a-cb-d

【解析】(1)證明充要條件，可先證明充分性再證必要性;

⑵利用作差法證明即可.

本題主要考查不等式的證明，屬于中檔題.

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4J*-L3

17.【答案】解：(1)由不等式一-+1^0,可得一(0,解得—3<z<l,

X—1X—1

4

即不等式一+1&0的解集為｛劍—3<I<1｝.

x—?1

(2)由不等式Q/—222/—QN,可得化為a/+(Q—2)力—220,

若。=0,不等式可化為—2/—220,解得力W—1，即解集為｛用力W—

2

若好0,不等式可化為QQ+1)Q—4》0,

a

222

當Q〉0時，不等式即為(7+1)(力—-)》0,解得力W—1或6》-，即不等式的解集為｛引7<—1或力》-

aaa

2

當Q<0時，不等式即為(力+1)(①—/(0,

222

①當一1〉—時，即一2<Q<0時，解得—《力(一1,解集為｛劍—WiW—l｝；

aaa

9

②當—l=w時，即Q=—2時，解得N=—1,解集為｛/歸=—I｝；

a

222

③當一時，即Q<—2時，解得—1《］(二解集為｛力|—1

aaa

2

綜上，當Q〉0時，不等式的解集為｛劍/W—1或力》力；

當。=0,不等式的解集為｛⑹/w—1｝；

當—2<Q<0時，不等式的解集為｛劍2/<力(—1｝；

當Q=—2時，不等式的解集為｛刮2=—1｝；

2

當Q<—2時，不等式的解集為｛劍一1

【解析】(1)根據(jù)分式不等式的解法，即可求解；

(2)根據(jù)題意，利用一元二次不等式的解法，分類討論，即可求解.

本題主要考查了分式不等式及二次不等式的求解，體現(xiàn)了分類討論思想的應用，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)每欄的高和寬分別為(c—20)cm,；@—25)cm，其中,〉20，y>25,

兩欄面積之和為：2(C-20).)「苗;18000,

18000

整理得沙=+25Q>20)；

x-20

1800