2025年 九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 圖形變換綜合解答題 考前沖刺專題訓(xùn)練

2025年春九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圖形變換綜合解答題》考前沖刺專題訓(xùn)練（附答案）1．如圖，過等邊△ABC的頂點(diǎn)A作AC的垂線l，點(diǎn)P為l上點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，連接QB．(1)求證：AP=BQ；(2)連接PB并延長交直線CQ于點(diǎn)D．若PD⊥CQ，求證：PD垂直平分CQ；(3)在（2）的條件下，若AC=22，求PB2．如圖1所示的是某款手機(jī)的平板支架，它由托板、支撐板和底座構(gòu)成，現(xiàn)將該款手機(jī)放置在托板上．圖2是該款手機(jī)及平板支架的側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，已知托板DE=14cm，支撐板AC=8cm，底座AB=12cm，托板DE固定在支撐板頂端點(diǎn)C處，且CE=8cm，托板DE可以繞著點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板(1)若∠ACE=75°，∠CAB=60°，求點(diǎn)D到AB的距離．（結(jié)果保留根號）(2)為了觀看舒適，在（1）的情況下，將DE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后，再將AC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)E落在直線AB上（如圖3），求AC旋轉(zhuǎn)的角度．3．在正方形ABCD中，點(diǎn)P是CD邊上點(diǎn)，點(diǎn)E在AP的延長線上，將線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，到線段AF，連接DE(1)如圖1，連接BF，求證：BF=DE；(2)如圖2，若EF正好經(jīng)過點(diǎn)B，①求證：DE⊥EF；②探究BE、BF、BA三條線段的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；4．綜合與實(shí)踐【初步探究】已知四邊形ABCD是正方形，在同一平面內(nèi)，將等腰直角三角尺CEF（∠ECF=90°，CE=CF）按如圖1所示的方式放置，點(diǎn)E在CB邊上，連接DE，BF．（1）圖1中DE與BF之間的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；【類比探究】（2）如圖2，將三角尺CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B，E，F(xiàn)在同一條直線上．線段DE與BF之間的關(guān)系是否成立？并說明理由；【問題解決】（3）在（2）中，若AB=5，CE=2，求線段5．如圖1，將一把含45°角的三角尺放在邊長為2的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)始終與A點(diǎn)重合，其一條直角邊與CB的延長線交于點(diǎn)E，另一條直角邊與DC交于點(diǎn)F．(1)在三角尺繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中．①請判斷AE與AF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．②四邊形AECF的面積是否為定值？如果是，求出這個(gè)值；如果不是，試說明理由．(2)如圖2，將這把三角尺45°角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn)A重合，角的一邊與BC交于點(diǎn)E，另一邊與DC交于點(diǎn)F．在旋轉(zhuǎn)的過程中，求點(diǎn)A到線段EF的距離．6．【問題背景】如圖1，在四邊形ABCD中，若BC=CD,∠BAD=∠BCD=90°，則AC平分∠BAD，小明為了證明這個(gè)結(jié)論，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)【問題探究】如圖2，在四邊形ABCD中．若BC=CD,∠BAD+∠BCD=180°．求證：AC平分【遷移應(yīng)用】如圖3，在周長為16的五邊形ABCDE中，AB=BC=4,∠A=∠C=90°,DB平分∠CDE7．【問題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師和同學(xué)們一起玩旋轉(zhuǎn)，如圖1，四邊形ABCD是正方形，△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合．【解決問題】（1）連接EF，若BC=23，BF=2，求EF【類比遷移】（2）用上述思想或其他方法證明：如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在DC、BC上，且∠EAF=45°．求證：EF=BE+DF．8．如圖，△ABC為直角三角形紙片，其中∠ACB=90°．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，進(jìn)行了如下探究活動(dòng)．活動(dòng)一：O為AC上一點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到△DEF，A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，連接AE，BD．【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1，四邊形ABDE的形狀為______．【深入探究】如圖2，若BC=3cm，AC=4cm，當(dāng)四邊形ABDE為矩形時(shí)，求活動(dòng)二：如圖3，點(diǎn)P是AC的垂直平分線與AB的交點(diǎn)，將△ACP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0°≤α≤180°）得到△MNP，A，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為M，N，連接CM，AN．【拓展提高】①猜想AN與CM的位置關(guān)系，并給予證明；②如圖3，當(dāng)PM∥AC時(shí)，∠ANP的平分線NG∥BC，若點(diǎn)P到NG的距離為2，請直接寫出CM的長．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=?12x+3與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在線段OA上，將線段CB繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，此時(shí)點(diǎn)D恰好落在直線AB上時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥x(1)求證：△BOC≌(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖，直線y=x+2與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)，D、E分別是直線AB，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請直接寫出△CDE周長的最小值．10．【感知】在矩形ABCD中，AB=8,AD=6．將△DAB繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α0°<α<360°得到△FEB，點(diǎn)A、D的對應(yīng)點(diǎn)分別為E、F．若點(diǎn)E落在BD上，如圖①，則DE=【探究】當(dāng)點(diǎn)E落在線段DF上時(shí)，CD與BE交于點(diǎn)G．其它條件不變，如圖②．（1）求證：△ADB≌△EDB；（2）CG的長為______．【拓展】連接CF，在△BAD的旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)△CEF的面積為S，直接寫出S的取值范圍．11．已知△ABC與△ADE均為等邊三角形，且頂點(diǎn)A重合，現(xiàn)將等邊△ADE繞頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)得到下列圖形．(1)初步探究：如圖1，連接BD、CE，當(dāng)C、E、D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，猜想∠BDC=60°，請證明這一結(jié)論是正確的；(2)大膽嘗試：如圖2，連接BD、CE，當(dāng)B、D、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，作CH⊥BE于H，猜想HE、AD與BE的數(shù)量關(guān)系并證明你猜想的結(jié)論．(3)拓展延伸：如圖3，連接BD、CE，當(dāng)∠ADB=90°時(shí)，延長ED交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DP⊥AB于P，DP=4，△ACE的面積為20，求CF的長．12．如圖，四邊形ABCD是邊長為2，一個(gè)銳角等于60°的菱形紙片，小芳同學(xué)將一個(gè)三角形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)與該菱形頂點(diǎn)D重合，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)三角形紙片，使它的兩邊分別交CB、BA（或它們的延長線）于點(diǎn)E、F，∠EDF=60°，當(dāng)CE=AF時(shí)，如圖1小芳同學(xué)得出的結(jié)論是DE=DF．(1)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當(dāng)CE≠AF時(shí)，如圖2小芳的結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由；(2)再次旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CB，BA的延長線上時(shí)，如圖3連EF，若BE=12，求13．（1）如圖①，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EDF=45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM，可以證明△DEF≌△DMF，進(jìn)一步推出AE，EF，（2）如圖②正方形ABCD，∠EDF=45°，猜想AM，MN，（3）如圖③，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，且∠EAF=60°，連接BD分別與邊AE，AF交于M，N．當(dāng)∠DAF=15°時(shí)，直接寫出BM，MN14．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3a≠0與x軸交于點(diǎn)A1,0和點(diǎn)B(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和此拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M是拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MA?MC的值最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，若線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上，求點(diǎn)P15．背景知識(shí)：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=BC，則：AB=(1)解決問題：如圖（1），∠ACB=90°，AC=BC，MN是過點(diǎn)A的直線，過點(diǎn)B作BD⊥MN于點(diǎn)D，連接CD，現(xiàn)嘗試探究線段DA、DC、BD之間的數(shù)量關(guān)系：過點(diǎn)C作CE⊥CD，與MN交于點(diǎn)E，易發(fā)現(xiàn)圖中出現(xiàn)了一對全等三角形，即≌，由此可得線段DA、DC、BD之間的數(shù)量關(guān)系是：；(2)類比探究：將圖（1）中的MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置，其它條件不變，試探究線段DA、DC、BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)拓展應(yīng)用：將圖（1）中的MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置，其它條件不變，若BD=3，DC=2，則AD的長為16．已知∠MAN=α0°<α<45°，點(diǎn)B，C分別在射線AN，AM上，將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°?2α得到線段BD，過點(diǎn)D作AN的垂線交射線AM于點(diǎn)E(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在射線AN上時(shí)，求證：C是AE的中點(diǎn)；(2)如圖2，當(dāng)α=30°，AB=AC，BC=6時(shí)，在圖2中補(bǔ)全圖形，直接寫出CE(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在∠MAN內(nèi)部時(shí)，作DF∥AN，交射線AM于點(diǎn)F，用等式表示線段EF與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明．17．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D是平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足DA=DB(1)延長BD交直線AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥AD交直線BD于點(diǎn)F．①如圖1，若AF=DE，且BD=3，求EF的長；②如圖2，延長AD交直線BC于點(diǎn)G，連接CF，若AF=AG，求證：AE=EC；(2)如圖3，將BD繞著點(diǎn)B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)75°得到BM，連接CM．若AB=3，當(dāng)CM最小時(shí)，直接寫出△BCM的面積．18．已知四邊形ABCD是矩形，AB=2,?(1)如圖①，將矩形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形CGFE，連接AC、CF、AF，判定△ACF的形狀，并說明理由；(2)如圖②，將矩形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（90°≤α≤180°）得到矩形CGFE，點(diǎn)F恰好落在AD的延長線上，CG與DF相交于點(diǎn)M，求△CMF的面積；(3)如圖③，在（2）條件下，連接AE，取AE的中點(diǎn)H，連接DH，求線段DH長度的最大值和最小值．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx?4與x軸交于點(diǎn)A2,0，B?4,0，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)P作PM∥AD交BD于點(diǎn)M，連接AP交BD于點(diǎn)N．當(dāng)MNND最大時(shí)，求PQ?DQ(3)如圖2，在（2）的條件下，將拋物線沿射線PD方向平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)F(6,n)為平移后拋物線上一點(diǎn)，E(4,0)，連接AF，EF．點(diǎn)G為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將△AEF繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)180°后得到對應(yīng)的△B′E′F′（點(diǎn)A，E，F(xiàn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，E′，F(xiàn)′20．【實(shí)踐探究】數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，活動(dòng)小組的同學(xué)將兩個(gè)正方形紙片按照圖1所示的方式放置．如圖1，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，且這兩個(gè)正方形的邊長相等，四邊形(1)【問題發(fā)現(xiàn)】①線段AE，BF之間的數(shù)量關(guān)系是__________，線段BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系是__________．②在①的基礎(chǔ)上，連接EF，則線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是_________．(2)【類比遷移】如圖2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，A1O與邊AB相交于點(diǎn)E，C1O與邊BC相交于點(diǎn)F，連接EF，延長C1O交AD于點(diǎn)P，連接EP，(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，直角∠EDF的頂點(diǎn)D在邊AB的中點(diǎn)處，它的兩條邊DE和DF分別與直線AC，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠EDF可繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)．當(dāng)AE=2時(shí)，請求出線段BF參考答案1．（1）證明：在等邊△ABC中，AC=BC，∠ACB=60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CP=CQ，∠PCQ=60°，∴∠ACB=∠PCQ=60°，∴∠ACB?∠PCB=∠PCQ?∠PCB，即∠ACP=∠BCQ，∴△ACP∴AP=BQ；（2）證明：連接PQ，如圖：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CP=CQ，∠PCQ=60°，∴△CPQ是等邊三角形，∵PD⊥CQ，∴CD=DQ，∴DP是CQ的垂直平分線；（3）解：由（1）得△ACP≌∴AP=BQ，∠CBQ=∠CAP，由（2）DP是CQ的垂直平分線，∴BQ=BC，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=22∴AP=BQ=BC=22∵CA⊥AP，∴∠CAP=90°，∴∠CBQ=∠CAP=90°，∴CP=A在Rt△CDP中，∠CPD=90°?∠PCQ=30°∴CD=1∴PD=P∵∠CBQ=∠CAP=90°，BC=BQ，∴∠BCQ=45°，∵∠CDB=90°，∴∠CBD=45°=∠BCQ，∴BD=CD=2，∴PB=PD?BD=232．（1）解：如圖2，過D作DM⊥AB，交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CF⊥DM，垂足為F，過點(diǎn)C作CN⊥AB，垂足為N，∴∠CFM＝∴四邊形CFMN是矩形，∴CN=FM，F(xiàn)C∥由題意可知，AC=8cm，∠CAB=60°∴∠ACN=90°?60°=30°，∠FCA=∠CAB=60°，∵∠ACE=75°，∴∠DCF=180°?75°?60°=45°，∵∠CFD=90°，∴△DCE為等腰直角三角形，∴DF=FC，在Rt△CAN中，AN=由勾股定理可得：CN=A∴FM=CN=43在Rt△DCF中，DC=DE?CE=14?8=6由勾股定理可得：DF2+F∴DF=32∴DM=DF+FM=3答：點(diǎn)D到AB的距離為32（2）解：旋轉(zhuǎn)后，如圖3所示，根據(jù)題意可知∠ACE=75°+15°=90°，在Rt△ACE中，AC=8cm，∴AC=CE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴∠A=45°，因此旋轉(zhuǎn)的角度為：60°?45°=15°，答：AC旋轉(zhuǎn)的角度為15°．3．（1）證明：∵正方形ABCD，線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，到線段AF，∴∠FAE=90°=∠BAD，BA=DA，AF=AE，∴∠FAB=90°?∠BAE=∠EAD，∵AB=AD∠FAB=∠EAD∴△BAF≌△DAESAS∴BF=DE．（2）解：①∵正方形ABCD，線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，到線段AF，∴∠FAE=90°=∠BAD，BA=DA，AF=AE，∴∠FAB=90°?∠BAE=∠EAD，∠AFE=∠AEF=45°，∵AB=AD∠FAB=∠EAD∴△BAF≌△DAESAS∴∠AFB=∠AED，∴∠AFE=∠AEF=∠AED=45°，∴∠FED=∠AEF+∠AED=90°，∴DE⊥EF．②BE、BF、BA三條線段的數(shù)量關(guān)系是BE連接BD，∵正方形ABCD，線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，到線段AF，∴∠FAE=90°=∠BAD，BA=DA，AF=AE，∴∠FAB=90°?∠BAE=∠EAD，∠AFE=∠AEF=45°，∴BD∵AB=AD∠FAB=∠EAD∴△BAF≌△DAESAS∴∠AFB=∠AED，BF=DE，∴∠AFE=∠AEF=∠AED=45°，∴∠FED=∠AEF+∠AED=90°，∴BD∴BE4．解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴DC=CB，∠DCB=∠BCF=90°，又∵CE=CF，∴△DCE≌△BCFSAS∴DE=BF，∠DEC=∠BFC，延長DE交BF于點(diǎn)H，如圖所示：∵∠DEC=∠BEH,∠CBF+∠BFC=90°，∴∠CBF+∠BEH=90°，∴DE⊥BF；故答案為：DE=BF，DE⊥BF；（2）DE=BF，DE⊥BF．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC=CB，∠DCB=90°，∵∠ECF=90°，∴∠DCB+∠BCE=∠BCE+∠ECF，即∠DCE=∠BCF．在△CDE和△CBF中，CD=CB∠DCE=∠BCF∴△DCE≌△BCFSAS∴DE=BF，∠DEC=∠BFC=45°，∵∠CEF=45°，∴∠DEC+∠CEF=90°，即∠DEF=90°，∴DE⊥BF；（3）如圖，連接，由（2），得DE=BF，設(shè)DE=BF=x．在Rt△CEF中，CE=CF=∴EF=C∴BE=BF?EF=x?2．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=90°,AD=AB=5∴BD=A由（2），得DE⊥BF，∴由勾股定理可得BE2+D解得x1∴線段DE的長為3．5．（1）解：①AE=AF；理由如下：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠D=∠ABC=90°，∴∠ABE=∠D=90°，∵∠EAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∴∠DAF=∠BAE，在△AEB和△AFD中，∠BAE=∠DAFAB=AD∴△AEB≌△AFDASA∴AE=AF；②四邊形AECF的面積的值始終保持不變，值為4；理由如下：∵正方形ABCD的邊長為2，∴S正方形∵△AEB≌∴S△AEB∴S△AEB∴S四邊形即四邊形AECF的面積的值始終保持不變，值為4；（2）解：延長FD至G，使DG=BE，連接AG，作AM⊥EF于M，如圖2所示，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∴∠ADG=90°，∴∠ABE=∠ADG，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠ABE=∠ADG∴△ABE≌△ADGSAS∴AE=AG，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，在△AEF和△AGF中，AE=AG∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGFSAS∴EF=GF，S△AEF∴12∴AM=AD=2，即點(diǎn)A到線段EF的距離為2．6．解：[問題背景]：證明：作圖如圖1：∵∠BAD=∠BCD=90°∴∠ABC+∠ADC=360由旋轉(zhuǎn)知∠MDC=∠ABC，∴∠MDC+∠ADC=180∴A、D、M共線，由旋轉(zhuǎn)∠DCM=∠ACB,CM=CA，∴∠ACM=∠ACD+∠DCM=∠ACD+∠ACB=90∴△ACM為等腰Rt△∴∠CAM=∠M=45由旋轉(zhuǎn)得∠BAC=∠M=45∴∠BAC=∠CAD，∴AC平分∠BAD．[問題探究]證明：如圖2：將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△MDC，∵∠BAD+∠BCD=180∴∠ABC+∠ADC=180由旋轉(zhuǎn)得∠CDM=∠ABC，∴∠ADC+∠CDM=180∴A、D、M共線．由旋轉(zhuǎn)得∠BAC=∠M,CA=CM，∴∠CAM=∠M，∴∠BAC=∠CAM，∴AC平分∠BAD．[遷移應(yīng)用]：延長DC至M，使DM=DE，連接BM，如圖3：∵DB平分∠CDE，∴∠EDB=∠MDB，在△EDB和△MDB中，ED=DM∴△EDB?△MDBSAS∴BE=BM，在Rt△BAE和Rt△BCM中，BE=BM∴Rt∴AE=MC，∵五邊形ABCDE周長為16，∴AE+ED+DC=16?4?4=8，∴MC+ED+DC=16?4?4=8，∴ED+DM=8，∴ED=4．7．（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，BC=23∴CD=BC=23，∠C=90°∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合，BF=2，∴DE=BF=2，F(xiàn)C=BC+BF=23∴CE=CD+DE=23在Rt△ECF中，EF=（2）證明：如圖，將△ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADE∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°∵∠BAE=∠DAE∴∠FAE∴∠FAE∵∠AD∴E′在△EAF和△EAF=AF∠FA∴△EAF≌△E∴EF=E∵E′∴EF=BE+DF．8．解：[觀察發(fā)現(xiàn)]∶由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AB=ED,∠BAC=∠EDF，∴AB∥∴四邊形ABDE是平性四邊形．故答案為：平行四邊形．[深入探究]∶由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AO=DO，如圖1，連接BE，則BE過點(diǎn)O，設(shè)AO=x，則OC=4?x．∵四邊形ABDE為矩形．∵BO=AO=x．∵∠ACB=90°，∴BO2=B解得x=25即AO=25[拓展提高]∶①AN∥CM．∵∠ACB=90°，AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)P，∴AP=CP，∴∠ACP=∠CAP．由旋轉(zhuǎn)可得AP=CP=MP=NP，∠ACP=∠CAP=∠MNP=∠NMP，∴∠NAP=∠ANP，∠CMP=∠MCP，∵四邊形MCAN的內(nèi)角和為360°，∴∠MCP+∠ACP+∠CAP+∠NAP=180°，即∠NAC+∠ACM=180°，∴AN∥CM；②如圖2，延長MP，分別與NG，NA相交于點(diǎn)H，R，設(shè)MP與BC的交點(diǎn)為E．∵PM∥AC，NG∥BC，∴四邊形CEHG為平行四邊形．∵∠ACB=∴四邊形CEHG為矩形，∴∠NHP=∠NHR=90°．∵NG為∠ANP的平分線，∴∠PNH=∠RNH．∵NH=NH，∴△NRH≌△NPH(ASA∴NR=NP，RH=HP，∴RP=2PH=4，由①得AN∥CM，∴∠NPR=∠NRP=∠CMP=∠PCM．∵NP=PM，∴△RNP≌△CPM(AAS∴CM=RP=4．9．（1）證明：∵將線段CB繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，DE⊥x軸，∴∠BOC=∠BCD=∠CED=90°，∴∠OCB+∠DCE=90°，∠DCE+∠CDE=90°，∴∠BCO=∠CDE，在△BOC與△CED中，∠BOC=∠CED∠BCO=∠CDE∴△BOC≌△CEDAAS（2）解：直線y=?1令x=0，y=3；令y=0，?1此時(shí)x=6，∴A6,0∴OA=6,OB=3，∵△BOC≌△CED，∴OC=DE,BO=CE=3，設(shè)OC=DE=m，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為m+3,m，∵點(diǎn)D在直線AB上，∴m=?1∴m=1，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為4,1；（3）解：對于直線y=x+2，當(dāng)x=0時(shí)，y=2,當(dāng)y=0時(shí)，0=x+2，解得x=?2，∴點(diǎn)A0,2∵點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C?1,0作點(diǎn)C?1,0關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為M1,0，作點(diǎn)C?1,0關(guān)于直線y=x+2軸的對稱點(diǎn)為N，連接CN交AB連接MN交直線y=x+2于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，則此時(shí)△CDE周長最小值=CD+DE+CE=DN+DE+ME=MN，過點(diǎn)N作NG⊥x軸于點(diǎn)G，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴∠ABO=∠OAB=45°，∵HC⊥AB，∴△CHB是等腰直角三角形，∴∠NCG=45°，∴△CNG是等腰直角三角形，∴NG=CG；設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為t,s，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為t?12∵點(diǎn)H在直線y=x+2上，∴s2整理得到，s=t+3，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為t,t+3，∴NG=CG=t+3，∵CG=GO?OC=?t?1，∴t+3=?t?1，解得，t=?2，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為?2,1，∴MN=?2?1∴MN的最小值為10，即△CDE周長的最小值為10．10．解；感知：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AB=8,AD=6，∴BD=A由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=AB=8，∴DE=BD?BE=2；探究：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=BA，∵點(diǎn)E落在線段DF上，∴∠BED=180°?∠BEF=90°，又∵BD=BD，∴Rt△ADB≌（2）∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD=∠EBD，∵在矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，CD=AB=8，∴∠GDB=∠GBD，∴DG=BG，設(shè)CG=x，則DG=BG=8?x，在Rt△BCG中，由勾股定理得B∴x2解得x=7∴CG=7拓展：∵BE?BC≤CE≤BE+BC，∴2≤CE≤14，設(shè)點(diǎn)C到EF的距離為h，則CE≥?，∴當(dāng)CE取得最小值時(shí)，且當(dāng)CE⊥EF時(shí)，h有最小值2，即此時(shí)S△CEF有最小值，最小值為1當(dāng)CE取得最大值時(shí)，且當(dāng)CE⊥EF時(shí)，h有最大值14，即此時(shí)S△CEF有最大值，最大值為1∴6≤S≤4211．（1）證明：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAESAS∴∠ADB=∠AEC，∵∠ADE=∠AED=60°，∴∠ADB=60°，∵C、D、E在同一直線上，∴∠CDE=180°，∴∠BDC=180°?60°?60°=60°；（2）2HE+AD=BE，理由：∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，BD=CE，∵∠ADE=∠AED=60°，∴∠ADB=∠AEC=120°，∴∠BEC=60°，∵CH⊥BE，∴∠CHE=90°，∴∠ECH=90°?60°=30°，∴CE=2EH，∵AD=DE，BD=CE，∴BD+DE=BE，∴2HE+AD=BE；（3）解：作BM⊥EF于M，CN⊥EF于N，∴∠BMF=90°，∠CNE=∠CNF=90°，∴∠BMF=∠CNE，∵∠ADB=∠AEC=90°，∠ADE=∠AED=60°，∴∠BDF=∠DEC=30°∵BD=CE，∴△BDM≌△CENAAS∴BM=CN，∵∠BFM=∠CFN，∴△BFM≌△CFN，∴BF=CF，∵△ACE的面積為20，∴△ABD的面積為20，∴12∵DP=4∴AB=10，CF=112．（1）解：小芳結(jié)論成立：DE=DF．理由如下：連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD=AB=BD，∠A=∠ADB=∠ABD=60°，∴∠DBE=∠A=60°，∵∠EDF=60°，∴∠EDB+∠BDF=60°，∵∠ADF+∠BDF=60°，∴∠ADF=∠BDE，∴△DAF≌∴DF=DE；（2）解：連接BD，作DM⊥FB于點(diǎn)M．∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD=DB，∠A=∠ABD=60°，∠ABC=120°，∠DBC=60°，∴∠DAF=120°，∠DBE=180°?∠DBC=120°，∴∠DAF=∠DBE，∵∠EDF=60°，∴∠FAD+∠ADE=∠BDE+∠ADE=60°，∴∠FDA=∠EDB，∴△DFA≌∴FA=BE=1在等邊△ABD中，AB=AD=BD=2，∴DM=3∴S△DBF=1213．解：（1）結(jié)論：EF=AE+FC；理由：∵△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM，∠EDF=45°，∴∠MDF=45°，△DAE≌△DCM，∴DE=DM，AE=CM，∵∠DCF=∠DCM=90°，∴F、C、M三點(diǎn)共線，在△DEF和△DMF中，DE=DM∠EDF=∠MDF∴△DEF≌△DMF(SAS∴EF=FM=FC+CM，∴EF=AE+CF，故答案為：EF=AE+CF；（2）CN在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90°將△ADM繞著點(diǎn)D逆時(shí)針順序旋轉(zhuǎn)90°，得到△CDP，連接PN，如圖，則△ADM≌△CDP，∴∠ADM=∠CDP，AM=CP，DM=DP，∠DAM=∠DCP=45°=∠DCN，∴∠PCN=∠DCP+∠DCN=90°，又∵∠EDF=45∴∠PDN=∠CDP+∠CDN=∠ADM+∠CDN=90°?∠EDF=45°=∠MDN，∵DN=DN，∠PDN=∠MDN，DM=DP，∴△PDN≌△MDNSAS∴PN=MN，∵∠PCN=90°，∴CN2+C（3）將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，此時(shí)AD與AB重合，F(xiàn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)G，在AG上取AH=AN，連接HM，HB，如圖，∴∠BAG=∠DAF，又AH=AN，AB=AD，∴△ABH≌△ADN(SAS∴DN=BH，∠ABH=∠ADN，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABD=∠ADB=30°，∠BAD=120°，∴∠HBD=∠ABH+∠ABD=60°，∵∠DAF=15°，∠EAF=60°，∴∠BAG=∠DAF=15°，∠BAE=∠BAD?∠DAF?∠EAF=45°，∵∠GAE=∠BAG+∠BAE=60°，∴∠GAE=∠EAF=60°；在△AMH和△AMN中，AN=AH∴△AMH≌△AMN，∴MH=MN，∠AMH=∠AMD；∵∠ADE=30°，∠DAM=∠DAF+∠EAF=75°，∴∠AMD=75°，∴∠AMH=∠AMD=75°；∴∠HMB=180°?∠AMD?∠AMH=30°，∴∠BHM=90°，∴BH∴DN14．（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+3a≠0與x抽交于點(diǎn)∴0=a+b+3∴a=?1∴y=?x∴x=0時(shí)，y=3，∴C(0,3)；（2）解：∵點(diǎn)M是拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MA?MC≤AC∴當(dāng)M，C，A三點(diǎn)共線時(shí)，MA?MC最大，延長CA交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M，M為所求，設(shè)直線AC為：y=kx+b(k≠0)，代入A(1,0)，C(0,3)，那么有0=k+b3=b，解得k=?3∴直線AC的表達(dá)式為：y=?3x+3，∵y=?x∴該拋物線對稱軸為x=?1，∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?1，將x=?1代入y=?3x+3，y=3+3=6，∴M(?1,6)．（3）解：∵拋物線y=?x2?2x+3=?(x+1)2∴設(shè)P(?1,m)，①當(dāng)m≥0時(shí)，∵線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′∴PA=PA′，過A′作A′N⊥對稱軸于N，設(shè)對稱軸與x∴∠NPA′∴∠NA在△A′NP與△PMA∴△A∴A′N=PM=m∴A′(m?1,m+2)，代入y=?解得：m=1，m=?2（舍去），②當(dāng)m<0時(shí)，要使P2A=P2A∵∠AP2A2=90°，A(1,0)∴∠AP∵P∴∠MAP∴△MAP∴MP∴P∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P?1,1或(?1,?2)15．（1）解：如圖1過點(diǎn)C作CE⊥CD，與MN交于點(diǎn)E，∴∠DCE=90°=∠ACB，∴∠ACE=∠DCB，∠CED+∠CDE=90°，∵BD⊥MN，∴∠ADB=90°，∴∠CDE+∠CDB=90°，∴∠CED=∠CDB，∵AC=BC，∴△ACE≌△BCD(AAS∴CE=DC，AE=BD，∵∠DCE=90°，∴DE=2∵DE=AE+AD=BD+AD，∴AD+BD=2故答案為：△ACE，△BCD，AD+BD=2（2）解：BD?AD=2如圖（2）過點(diǎn)C作CE⊥CD，與MN交于點(diǎn)E，同（1）的方法得，△ACE≌△BCD(AAS∴CE=DC，AE=BD，∵∠BCE=90°，∴DE=2∵DE=AE?AD=BD?AD，∴BD?AD=2（3）解：如圖（3）過點(diǎn)C作CE⊥CD，與MN交于點(diǎn)E，∴∠DCE=90°=∠ACB，∵BD⊥MN，∴∠ADB=90°=∠ACB，∵∠AOC=∠DOB，∴∠DAC=∠CBD，∵AC=BC，∴△ACE≌△BCD(ASA∴CE=DC，AE=BD，∵∠DCE=90°，∴DE=2∵DE=AD?AE=AD?BD，∴AD?BD=2∵BD=3，DC=2∴AD=BD+2故答案為：5．16．（1）解：當(dāng)點(diǎn)D在射線AN上時(shí)，連接CD，∵將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°?2α得到線段BD，∴BD=BC，∠CBD=180°?2α，∴∠BCD=∠BDC=180°?∠CBD∴∠BCD=∠BDC=∠A=α，∴CD=AC，∵過點(diǎn)D作AN的垂線交射線AM于點(diǎn)E．∴∠ADE=90°，∴∠EDC=90°?∠BDC=90°?α，∠CED=90°?∠A=90°?α，∴∠EDC=∠CED，∴CD=CE，∴AC=CE，∴C是AE的中點(diǎn)；（2）解：補(bǔ)全圖形如下圖，AB與DE交于F，取FD=FG，連接BG，CG，當(dāng)∠MAN=α=30°時(shí)，180°?2α=120°，∵將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段BD，∴BD=BC=6，∠CBD=120°∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=180°?∠MAN∴∠CBF=∠BCM=180°?75°=105°，∴∠FBD=∠CBD?∠CBF=120°?105°=15°，∵DE⊥AN，F(xiàn)D=FG，∴BD=BG=6，∠FBD=∠FBG=15°∴BC=BD=BG=6，∠CBG=∠CBF?∠FBG=105°?15°=90°∴∠BCG=∠BGC=45°，CG=B∴∠GCE=∠BCM?∠BCG=105°?45°=60°，∵∠MAN=α=30°，DE⊥AN，∴∠CEG=60°，∴∠CEG=∠GCE=60°，∴△CEG是等邊三角形，∴CE=CG=23（3）解：EF=2AC，證明如下：如圖，在AM上取一點(diǎn)H，使BA=BH，連接DH，線段EF上取點(diǎn)G，使FG=DG，∵將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°?2α得到線段BD，∴BD=BC，∠CBD=180°?2α，∵BA=BH，∴∠HAB=∠AHB=α，∴∠ABH=180°?2α=∠CBD，∴∠ABC=∠HBD=180°?2α?∠CBH，∴△ABC≌△HBDSAS∴AC=DH，∠HAB=∠BHD=α，∴∠GHD=∠AHB+∠BHD=2α，∵DF∥AN，DE⊥AN，∴∠HAB=∠EFD=α，∠FDE=90°，∵FG=DG，∴∠GDF=∠EFD=α，∴∠HGD=∠GDF+∠EFD=2α，∠FED=∠GDE=90°?α，∴GD=GE，∴GD=GE=FG=1∵∠HGD=∠GHD=2α，∴DG=DH，∴DG=DH=AC=GE=FG=1即EF=2AC．17．（1）解：①如圖1中，∵DA=DB，∴∠DBA=∠DAB，∵∠BAE=90°，∴∠DBA+∠AEB=90°，∠DAB+∠DAE=90°，∴∠DAE=∠DEA，∴DA=DE，∵AF=DE，∴AD=AF，∵∠DAF=90°，∴∠ADF=∠F=45°，而BD=3，∴AF=AD=DE=3，∴DF=32∴EF=DF?DE=32②證明：如圖2中，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)T．∵∠BAC=∠GAF=90°，∴∠BAG=∠CAF，∵AB=AC，AG=AF，∴△BAG≌△CAFSAS∴∠ABG=∠ACF=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°=∠AHB，∴AH∥∴∠EAT=∠ECF，即∠EAT=∠BAT=∠ACF=45°,∵DB=DA，∴∠ABD=∠DAB=∠CAF，∵BA=AC，∠BAT=∠ACF=45°，∴△ABT≌△CAFASA∴AT=CF，∵∠AET=∠CEF，∠EAT=∠ACF=45°

∴△AET≌△CEFAAS∴AE=EC；（2）解：如圖3-1中，將線段BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°得到線段BT，連接AD，∵∠ABT=∠DBM=75°，∴∠ABD=∠TBM，∵BA=BT，BD=BM，∴△ABD≌△TBMSAS∴AD=MT，∵BD=AD=BM，∴MB=MT，∴點(diǎn)M在線段BT的垂直平分線MQ上，設(shè)垂足為Q，當(dāng)CM⊥MQ時(shí)，CM的值最小，設(shè)MQ交BC于點(diǎn)J（如圖3-2中），∵AB=AC=3，∠BAC=90°，∴BC=2∵∠JBQ=∠ABQ?∠ABC=30°，∵BQ=TQ=12BT=∴BJ∴BJ=3，CJ=BC?BJ=3∵∠JBQ=30°，MQ⊥BT，CM⊥MQ，∴BQ∥∴∠MCJ=∠JBQ=30°，∴MJ=12CJ=∴S==1=2318．（1）解：△ACF是等腰直角三角形；理由：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AB=FG,BC=GC,∠ABC=∠FGC=90°,∴△ABC≌△FGCSAS∴AC=CF,?∴△ACF是等腰直角三角形；（2）解：∵CD=GF,?△CDM≌△FGMAAS∴CM=MF，∵AC=CF,?∴