第五單元數(shù)學(xué)廣角-鴿巢問題【五大考點(diǎn)】-2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列（解析版）人教版

篇首寄語我們每位老師都希望把最好的教學(xué)資料留給學(xué)生，但在面對(duì)琳瑯滿目的資料時(shí)，總是費(fèi)時(shí)費(fèi)力才能找到自己心儀的那份。于是，編者就常想，如果是自己來創(chuàng)作一份資料又該怎樣呢？那這份資料在滿足自己教學(xué)需求的同時(shí)，還能為他人提供參考。本著這樣的想法，在結(jié)合自己教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生實(shí)際情況后，最終創(chuàng)作出了一個(gè)既適宜課堂教學(xué)，又適應(yīng)課后作業(yè)，還適合階段復(fù)習(xí)的大綜合系列?！?023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列》，它基于教材知識(shí)和常年真題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要分為典型例題篇、專項(xiàng)練習(xí)篇、單元復(fù)習(xí)篇、分層試卷篇等四個(gè)部分。1.典型例題篇，按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型，考點(diǎn)豐富，變式多樣。2.專項(xiàng)練習(xí)篇，從高頻考題和期末真題中選取專項(xiàng)練習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。3.單元復(fù)習(xí)篇，匯集系列精華，高效助力單元復(fù)習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于綜合全面，精煉高效，實(shí)用性強(qiáng)。4.分層試卷篇，根據(jù)試題難度和不同水平，主要分為基礎(chǔ)卷、提高卷、拓展卷三大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考點(diǎn)廣泛，分層明顯，適應(yīng)性廣。黃金無足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過程中有任何寶貴意見，請(qǐng)留言于我改進(jìn)，歡迎您的使用，謝謝！101數(shù)學(xué)創(chuàng)作社2024年3月17日2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列第五單元數(shù)學(xué)廣角——鴿巢問題【五大考點(diǎn)】專題解讀本專題是第五單元數(shù)學(xué)廣角——鴿巢問題。本部分內(nèi)容考察鴿巢原理（抽屜原理）及最不利原則，考點(diǎn)考題以理解為主，較有難度，建議作為本章核心內(nèi)容進(jìn)行講解，一共劃分為五個(gè)考點(diǎn)，歡迎使用。目錄導(dǎo)航TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)一】鴿巢原理（抽屜原理） 3【考點(diǎn)二】鴿巢原理的應(yīng)用 4【考點(diǎn)三】最不利原則其一：求總數(shù) 5【考點(diǎn)四】最不利原則其二：摸球問題 7【考點(diǎn)五】最不利原則其三：生日問題 9典型例題【考點(diǎn)一】鴿巢原理（抽屜原理）?！痉椒c(diǎn)撥】1.把多于n個(gè)物體任意分放進(jìn)n個(gè)鴿巢中（n是非0自然數(shù)），那么一定有一個(gè)鴿巢里至少放進(jìn)了2個(gè)物體。2.把多于kn個(gè)的物體任意分放進(jìn)n個(gè)鴿巢中（k和n是非0自然數(shù)），那么一定有一個(gè)鴿巢里至少放進(jìn)了（k＋1）個(gè)物體。3.抽屜原理的關(guān)鍵：平均分配，蘋果數(shù)÷抽屜數(shù)，若有余數(shù)也要盡量平均分配?！镜湫屠}】生活實(shí)踐題。（1）上學(xué)期有18名留守兒童插班進(jìn)入實(shí)驗(yàn)小學(xué)就讀，將18名留守兒童編入5個(gè)班，總有一個(gè)班至少要編入4名。為什么？（2）18名留守兒童來自全國(guó)的4個(gè)省份，至少有5名來自同一個(gè)省份。為什么？（3）把50本圖書分給18名留守兒童，總有一名至少分到3本圖書。為什么？解析：（1）18÷5＝3（名）??3（名）3＋1＝4（名）答：所以將18名留守兒童編入5個(gè)班，總有一個(gè)班至少要編入4名。（2）18÷4＝4（名）??2（名）4＋1＝5（名）答：18名留守兒童來自全國(guó)的4個(gè)省份，所以至少有5名來自同一個(gè)省份。（3）50÷18＝2（本）??14（本）2＋1＝3（本）答：所以把50本圖書分給18名留守兒童，總有一名至少分到3本圖書。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（1）9個(gè)蘋果放在3個(gè)抽屜里，放蘋果最多的抽屜里至少有幾個(gè)呢?（2）9個(gè)蘋果放在4個(gè)抽屜里，"抽屜王"里至少有幾個(gè)蘋果呢?（3）9個(gè)蘋果放在5個(gè)抽屜里，一定有1個(gè)抽屜至少有幾個(gè)蘋果?解析：（1）9÷3=3（個(gè)）；（2）9÷4=2（個(gè)）……1（個(gè)）2+1=3（個(gè)）（3）9÷5=1（個(gè)）……4（個(gè)）1+1=2（個(gè)）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】14本書借給4位小朋友，借書最多的一位小朋友最少可以借到多少本書？解析：14÷4=3（本）……2（本），每個(gè)小朋友先分得3本，還剩下兩本，剩下的2本，無論分給誰，都有一個(gè)小朋友至少借到了4本書。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】7只鴿子飛回3個(gè)鴿舍，至少有多少只鴿子飛回同一個(gè)鴿舍里？解析：7÷3=2……1，因此至少有3只飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍?！究键c(diǎn)二】鴿巢原理的應(yīng)用?！痉椒c(diǎn)撥】鴿巢原理的解題方法：1.分析題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成"鴿巢問題"，即弄清"鴿巢"（"鴿巢"是什么，有幾個(gè)鴿巢）和分放的物體及它們的個(gè)數(shù).2.設(shè)計(jì)"鴿巢"的具體形式.3.運(yùn)用原理得出在某個(gè)"鴿巢"里至少分放的物體個(gè)數(shù)，最終解決問題?！镜湫屠}】學(xué)校開設(shè)了書法、舞蹈、棋類、樂器四個(gè)課外學(xué)習(xí)班，每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)（可以不參加）學(xué)習(xí)班。某班有52名同學(xué)，至少有幾名同學(xué)參加課外學(xué)習(xí)班的情況完全相同？解析：52÷11＝4（人）……8（人）4＋1＝5（人）答：至少有5名同學(xué)參加課外學(xué)習(xí)班的情況完全相同?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】10個(gè)小朋友相約去游樂場(chǎng)，共有碰碰車、摩天輪、旋轉(zhuǎn)木馬三種游樂設(shè)施可選擇，每個(gè)小朋友可選一個(gè)游樂設(shè)施組合（不重復(fù)的兩種游樂設(shè)施）游玩，至少有幾個(gè)小朋友選的游樂設(shè)施組合相同?解析：每個(gè)小朋友可選的游樂設(shè)施組合有3種：碰碰車和摩天輪、碰碰車和旋轉(zhuǎn)木馬、摩天輪和旋轉(zhuǎn)木馬，相當(dāng)于3個(gè)抽屜。將10個(gè)小朋友看成蘋果，根據(jù)平均分配的思想∶10÷3=3（個(gè)）……1（個(gè)），根據(jù)抽屜原理∶3+1=4（個(gè)），所以至少有4個(gè)小朋友選的電影組合相同?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】學(xué)校開設(shè)了畫畫、寫作、書法3個(gè)興趣班，四年級(jí)3班共40人，每個(gè)學(xué)生都報(bào)名了其中兩個(gè)興趣班，那么這個(gè)班至少有多少個(gè)學(xué)生報(bào)的興趣班完全一樣？解析：學(xué)生的報(bào)班情況可能有：畫畫和書法、畫畫和寫作、寫作和書法，共3種，看成3個(gè)抽屜，把40個(gè)學(xué)生看成40個(gè)蘋果，40÷3=13……1，13+1=14（個(gè)），即至少有14個(gè)學(xué)生報(bào)的興趣班完全—樣?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】六年一班有55個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生參加籃球、足球、排球中的兩項(xiàng)活動(dòng)，那么至少多少人參加的活動(dòng)項(xiàng)目相同？解析：三個(gè)抽屜，把55按三個(gè)抽屜平均分，55÷3=18（人）…1（人），余數(shù)為1，所以至少有18+1=19人參加的活動(dòng)項(xiàng)目相同?！究键c(diǎn)三】最不利原則其一：求總數(shù)。【方法點(diǎn)撥】1.在日常生活中，我們常常會(huì)遇到求最大值或最小值的問題，解答這類問題，一般需要從最糟糕的情況出發(fā)分析問題，這就是最不利原則，即從最壞的情況出發(fā)分析問題，如果在最壞的情況下都能滿足題目要求，那么所有情況都能保證滿足題目要求。2.一般問句中出現(xiàn)"至少保證"這個(gè)詞的時(shí)候，我們解決這個(gè)問題需要從最不利的方面思考。【典型例題】紙箱里雜亂地放著黑、白、紅、綠、黃五種顏色的襪子各50只，規(guī)格都相同。在黑暗中至少要取出多少只襪子，才能保證有15雙顏色相同的襪子？【答案】146只【分析】15雙就是30只，考慮最不利原則，五種顏色，每種都摸到29只，怎么辦呢，那就隨便再摸一只，因?yàn)椴还苊绞裁瓷?，都可以跟前面?9相加，到30了，這樣就能保證有15雙顏色相同的襪子?！驹斀狻?×29＋1＝145＋1＝146（只）

答：在黑暗中至少要取出146只襪子，才能保證有15雙顏色相同的襪子。【點(diǎn)睛】本題考查鴿巢問題，解答本題的關(guān)鍵是掌握抽屜原理解決問題?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】王老師借來了歷史、文藝和科普三種書若干本．每個(gè)同學(xué)從中任意借一本或兩本，那么至少要幾個(gè)同學(xué)借閱才能保證一定有兩人借的圖書一樣？【答案】10個(gè)【分析】每個(gè)學(xué)生從中任意借1本，有3種借法，借兩本，那么一共有6種借法：歷史兩本、文藝兩本、科普兩本、歷史和文藝各一本、歷史和科普各一本、文藝和科普各一本；所以一共有3+6=9種不同的借法，把9種借法看作9個(gè)抽屜，把學(xué)生數(shù)看作元素，從最不利情況考慮，每個(gè)抽屜先放1個(gè)元素，共需要9個(gè)，再取出1個(gè)不論是哪一種借法，總有一個(gè)抽屜里和他相同，所以至少要有：9+1=10（個(gè)），據(jù)此解答?！驹斀狻棵總€(gè)學(xué)生從中任意借兩本，那么一共有9種借法：只借1本，有三種情況；借兩本：歷史兩本、文藝兩本、科普兩本、歷史和文藝各一本、歷史和科普各一本、文藝和科普各一本，9+1=10（個(gè)）；答：那么至少要10個(gè)學(xué)生才能保證一定有兩人接到的圖書是一樣的?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一副撲克牌(大、小王除外)，有四種花色，每種花色有13張，從中任意抽牌，至少要抽幾張，才能保證有四張牌是同一花色的？【答案】13張【詳解】3×4＋1＝13(張)【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】不透明的袋子中，有外形完全一樣的紅黃藍(lán)，三種顏色的球各10個(gè)，每個(gè)小朋友從中摸出一個(gè)球，至少有多少個(gè)小朋友摸球才能保證一定有5個(gè)小朋友摸的球顏色一樣？【答案】13個(gè)【分析】抽屜原則二：如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n＞m，那么必有一個(gè)抽屜至少有：（1）當(dāng)n不能被m整除時(shí)，k＝[]＋1個(gè)物體。（2）當(dāng)n能被m整除時(shí)，k＝個(gè)物體。小朋友數(shù)量相當(dāng)于n，三種顏色相當(dāng)于m，根據(jù)（k－1）×m＋1＝n，列式解答即可?！驹斀狻?×（5－1）＋1＝3×4＋1＝12＋1＝13（個(gè)）答：至少有13個(gè)小朋友摸球才能保證一定有5個(gè)小朋友摸的球顏色一樣?！军c(diǎn)睛】抽屜問題的關(guān)鍵是構(gòu)造物體和抽屜，也就是找到代表物體和抽屜的量，然后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行計(jì)算?！究键c(diǎn)四】最不利原則其二：摸球問題?！痉椒c(diǎn)撥】“最不利原則”方法，即從最壞情況出發(fā)考慮問題?！镜湫屠}】有紅、綠、紫三種顏色的襪子各6只，把它們混放在一個(gè)口袋中。如果要從口袋中摸襪子。①至少要摸出幾只，才能保證摸出一雙襪子（顏色相同的兩只為一雙）？②至少要摸出多少只，才能保證摸出兩雙顏色相同的襪子？解析：①因?yàn)橛锌赡苊?只襪子時(shí)，這三種顏色各1只，所以至少要摸出4只，才能保證摸出一雙襪子。答：至少要摸出4只，才能保證摸出一雙襪子（顏色相同的兩只為一雙）。②（只）答：至少要摸出10只，才能保證摸出兩雙顏色相同的襪子。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】把紅、黃、藍(lán)、白四種顏色的球各10個(gè)放到一個(gè)袋子里。至少取多少個(gè)球，可以保證取到兩個(gè)顏色相同的球？解析：解決此類問題，從最壞情況出發(fā)考慮問題。最壞的情況就是摸出的前4個(gè)球的顏色都不一樣，那么摸出的第5個(gè)球的顏色必定與之前的四個(gè)球中的某一個(gè)球顏色相同。答：至少取5個(gè)球，可以保證取到兩個(gè)顏色相同的球?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】箱子里有大小形狀一樣的卡片，其中紅卡30張，白卡20張，黃卡15張，藍(lán)卡25張，那么最少要從箱子里摸出多少?gòu)埧?，才能保證摸出的卡有紅卡、白卡、黃卡和藍(lán)卡。解析：30+25+20+1=76（張）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】桌子上有5個(gè)黑球、6個(gè)白球、7個(gè)紅球，閉上眼睛取多少個(gè)球才能保證三種球都取到？解析：7＋6＝13（個(gè)）13＋1＝14（個(gè)）答：閉上眼睛取14個(gè)球才能保證三種球都取到。【考點(diǎn)五】最不利原則其三：生日問題。【方法點(diǎn)撥】“最不利原則”方法，即從最壞情況出發(fā)考慮問題?！镜湫屠}】某校有30名學(xué)生是2月份出生的，能否至少有兩個(gè)學(xué)生的生日是在同一天？【答案】能【分析】2月份最多有29天，把它看作29個(gè)抽屜，把30名學(xué)生放入29個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)人，因此這30名學(xué)生中至少有兩個(gè)學(xué)生的生日是在同一天。【詳解】2月份最多天數(shù)為29天。30÷29＝1（個(gè)）……1（個(gè)）1＋1＝2（個(gè)）答：至少有兩個(gè)學(xué)生的生日是在同一天?！军c(diǎn)睛】掌握鴿巢原理的解題方法是解答題目的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】某校有370名2020年出生的學(xué)生，其中至少有2名學(xué)生的生日是同一天，為什么？【答案】見詳解【分析】2020能整除4，所以2020年是閏年，有366天。把370名學(xué)生平均分給366天，那么每天會(huì)有1名學(xué)生，還剩下4名學(xué)生，這4名學(xué)生無論給哪一天，總會(huì)有至少2名學(xué)生的生日是同一天?！驹斀狻?020是閏年，全年是366天。370÷366＝1（名）……4（名）1＋1＝2（名）答：2020年共有366天，把它看成是366個(gè)抽屜，把370名學(xué)生放入366個(gè)抽屜中，至少有一個(gè)抽屜里有2名學(xué)生，因此其中至少有2名學(xué)生的生日是同一天的?！军c(diǎn)睛】本題考查鴿巣（抽屜）問題，關(guān)鍵是掌握鴿巣問題的解題方法?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】向陽小學(xué)有730個(gè)學(xué)生，問：至少有幾個(gè)學(xué)生的生日是同一天？【答案】2個(gè)【分析】一年有365天或366天，730個(gè)學(xué)生是蘋果數(shù)，365天或366天是抽屜數(shù)，分別計(jì)算兩種情況下的結(jié)果，分類討論?！驹斀狻咳绻@一年是365天；沒有余數(shù)，至少有2個(gè)學(xué)生的生日是同一天；至少有2個(gè)學(xué)生的生日是同一天；兩種情況下都是至少有2個(gè)學(xué)生的生日是同一天；答：至少有2個(gè)學(xué)生的生日是同一天?！军c(diǎn)睛】本題考查的是抽屜原理，由于并未給出年份，所以要分情況討論，可以考慮一下，如果是7312名學(xué)生，結(jié)果還一