2024-2025學(xué)年云南省紅河哈尼族彝族自治州高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題3（含答案）

2024-2025學(xué)年云南省紅河哈尼族彝族自治州高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1．用列表法將函數(shù)表示如下：x0y0則（

）A．0 B．1 C．2 D．32．如圖所示，中，，，則 B． C． D．3．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則（

）A． B．1 C． D．24．下列冪函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．5．已知為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其離心率為，為上一動點(diǎn)（除頂點(diǎn)），過點(diǎn)的直線，分別經(jīng)過雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，已知直線的斜率，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，則的最小值為(

)A． B． C． D．7．在三棱錐中，底面，，，，是線段AC上一點(diǎn)，且，三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，過點(diǎn)作球的截面，若所得截面圓的面積的最大值與最小值之差為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．8．已知，，，則（

）A． B．C． D．二、多選題9．下列運(yùn)算法則正確的是（

）A．B．C．（且）D．10．某學(xué)校為了豐富同學(xué)們的課外活動，為同學(xué)們舉辦了四種科普活動：科技展覽、科普講座、科技游藝、科技繪畫．記事件：只參加科技游藝活動；事件：至少參加兩種科普活動；事件：只參加一種科普活動；事件：一種科普活動都不參加；事件：至多參加一種科普活動，則下列說法正確的是（

）A．與是互斥事件 B．與是對立事件C． D．11．在直三棱柱中，，，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．平面B．異面直線與所成的角為C．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則平面截直三棱柱所得截面的周長為D．點(diǎn)是底面三角形內(nèi)一動點(diǎn)（含邊界），若二面角的余弦值為，則動點(diǎn)的軌跡長度為三、填空題12．已知函數(shù)且，則的值為．13．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，若，則的取值范圍是．14．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則方程的所有解的和為.四、解答題15．國務(wù)院于2023年開展第五次全國經(jīng)濟(jì)普查，為更好地推動第五次全國經(jīng)濟(jì)普查工作，某地充分利用信息網(wǎng)絡(luò)開展普查宣傳，向基層普查人員、廣大普查對象及社會公眾宣傳經(jīng)濟(jì)普查知識．為了解宣傳進(jìn)展情況，現(xiàn)從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡（單位：歲）分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求圖中a的值；(2)求這200人年齡的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組所在區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)（精確到0.1）；(3)現(xiàn)要從年齡在與的兩組中按照人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人，再從這5人中任選3人進(jìn)行問卷調(diào)查，求從中至少抽到2人進(jìn)行問卷調(diào)查的概率．16．已知的內(nèi)角A，，所對的邊分別為，，，且.(1)求A；(2)若，且，求內(nèi)切圓的半徑.17．已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，長軸長為，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.18．如圖所示，在矩形ABCD中，，，E是CD的中點(diǎn)，O為AE的中點(diǎn)，以AE為折痕將向上折起，使D點(diǎn)折到P點(diǎn)，且．(1)求證：面ABCE；(2)求AC與面PAB所成角的正弦值．19．已知拋物線.（1）設(shè)為拋物線上橫坐標(biāo)為1的定點(diǎn)，為圓上的上的動點(diǎn)，若拋物線與圓無公共點(diǎn)，且的最小值，求的值；（2）設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，另一條直線交拋物線于，兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，且直線，的斜率均存在，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），四邊形的四條邊所在直線都存在斜率，直線的斜率不等于0，求證：（，分別為直線，的斜率）答案題號12345678910答案ADCDCBCDCDABC題號11答案ACD1．A【分析】由表格可得答案.【詳解】由表格可得，故選：A.2．D【分析】利用向量加法和減法的運(yùn)算表示出.【詳解】，故選D．本小題主要考查向量的加法和減法運(yùn)算，考查平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.3．C【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程、直線傾斜角列方程即可求得的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為又一條漸近線的傾斜角為，所以，解得.故選：C.4．D由冪函數(shù)的知識可直接選出答案.【詳解】、、在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減故選：D5．C【分析】由離心率可得由題意可得，由斜率，即可得斜率的取值范圍.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為為上一動點(diǎn)，上頂點(diǎn)下頂點(diǎn)離心率為，即可得直線為直線PA,直線為直線PB,則，，又，，可得，故選：C6．B【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)表示出，再表示成同一變量，然后利用基本不等式求出其最小值即可.【詳解】因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列，所以，，仍然構(gòu)成等比數(shù)列，所以.又，，成等差數(shù)列，所以，，所以.又是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.故選：B.7．C【分析】如圖，將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，根據(jù)球的性質(zhì)確定球心位置，要使過點(diǎn)作球的截面圓的面積最小，只需截面與垂直；當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大，即可求解.【詳解】將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，如圖所示，則三棱錐和該直三棱柱的外接球都是球，設(shè)三角形ABC的中心為，球的半徑為R，，連接，則球心到平面ABC的距離為，即，連接，，則，所以，即．在中，取AC的中點(diǎn)，連接OD，，則，，，所以．連接OD，在中，，由題意得，當(dāng)截面與直線OD垂直時(shí)，截面圓面積最小，設(shè)此時(shí)截面圓的半徑為r，則，所以截面圓的最小面積為；當(dāng)截面過球心時(shí)，截面圓面積最大，為，所以，解得，所以球的表面積為，故選：C．8．D【分析】構(gòu)造函數(shù)以及函數(shù)，分別利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.【詳解】令，，當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞增，，即，，即，令，，令，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞減，，即，綜上.故選：D.9．CD【分析】取可判斷A選項(xiàng)的正誤；取，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用對數(shù)的換底公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則無意義，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，若，，則無意義，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，由換底公式可得（且），C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)，、時(shí)，，D選項(xiàng)正確.故選：CD.10．ABC【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念判斷AB的真假，根據(jù)事件的交、并的概念判斷CD的真假.【詳解】對A：互斥事件表示兩事件的交集為空集.事件：只參加科技游藝活動，與事件：一種科普活動都不參加，二者不可能同時(shí)發(fā)生，交集為空集，故A正確；對B：對立事件表示兩事件互斥且必定有一個(gè)發(fā)生.事件和事件滿足兩個(gè)特點(diǎn)，故B正確；對C：表示：至多參加一種科普活動，即為事件，故C正確；對D：表示：只參加一種科普活動，但不一定是科技游藝活動，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11．ACD【分析】利用直線和平面垂直的性質(zhì)定理證明平面，利用交線法找出截面，利用平行關(guān)系找出異面直線與所成的角，選項(xiàng)D可以先在上找一點(diǎn)滿足題意，再找到平面與直三棱柱的截面，即可找到點(diǎn)在底面的軌跡.【詳解】選項(xiàng)A，由已知得△為等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，則，∵為直三棱柱，∴平面，∵平面，∴，∵平面，，∴平面，∴，設(shè)與交于點(diǎn)，其中，，∵∽，，，∵，∴，∵平面，，∴平面，故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B，過點(diǎn)作的平行線，則角為異面直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，且∥，所以平面，所以，所以，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角，所以，故異面直線與所成的角為，故選項(xiàng)B不正確；

選項(xiàng)C，延長交和的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則四邊形為平面BNP截直三棱柱所得的截面，由已知得，由∽，則，即，由∽，則，即，由余弦定理可知，解得，其周長為，故選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)D，若上存在一點(diǎn)使二面角的余弦值為，連接和，因?yàn)槠矫?，∴，，∴二面角的平面角為，即，設(shè)，則，，在中由余弦定理得，在△中由余弦定理得，，解得，過作的垂線，連接，過作的平行線交于點(diǎn)，則，所以截面為直三棱柱的截面，所以符合題意的的軌跡長度為線段的長，所以，故選項(xiàng)D正確；

故選：ACD.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第4小問的解決關(guān)鍵是利用二面角的定義求得，從而推得，進(jìn)而得到的軌跡長度為的長，從而得解.12．3【分析】將代回原函數(shù)得，再求出即可【詳解】因?yàn)?，所以，所以．?本題考查分段函數(shù)求值問題，屬于簡單題13．【分析】根據(jù)奇偶性與單調(diào)性得到當(dāng)或時(shí)，，則不等式等價(jià)于或，解得即可.【詳解】解：因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，所以當(dāng)或時(shí)，，故當(dāng)或時(shí)，，解得或，故不等式的解集為.故14．【分析】由函數(shù)在上的解析式可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，求出最值，并利用求出其他區(qū)間內(nèi)函數(shù)的表達(dá)式為，又可得出時(shí)關(guān)于的方程，利用韋達(dá)定理即可求得所有解的和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，易知在上的圖象可由函數(shù)的圖象先向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度得到，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，又，且，∴.∵，∴當(dāng)時(shí)，，，∴，，∴，，此時(shí)的最小值為，最大值為..易知，∴當(dāng)時(shí)，，，∴，整理得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且在上的最小值為，最大值為，，，∴方程必有2個(gè)解；由韋達(dá)定理可知方程的所有解的和為.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)在上的解析式判斷出其單調(diào)性求出最值，再結(jié)合求出其他區(qū)間內(nèi)函數(shù)的表達(dá)式，即可構(gòu)造關(guān)于的方程，即可實(shí)現(xiàn)問題求解.15．(1)(2)平均數(shù)為；中位數(shù)約為42.1(3)【分析】(1)用頻率分布直方圖的面積和為直接求出；(2)用平均數(shù)，中位數(shù)的意義可求；(3)古典概率問題，先求出不同年齡段抽取的人數(shù)，再用古典概率公式求出結(jié)果.【詳解】（1）由圖可知，解得．（2）平均數(shù)為．設(shè)中位數(shù)為x，由已知可得．且，解得，即中位數(shù)約為42.1．（3）年齡在和這兩組的人數(shù)分別為30，20，則年齡在的應(yīng)抽取3人，年齡在的應(yīng)抽取2人，設(shè)“從這5人中任選3人，年齡在內(nèi)的至少有2人”為事件A，則．16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡條件式，利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理化邊為角計(jì)算即可；（2）由條件得出三角形的面積，再利用三角形的面積與周長的關(guān)系轉(zhuǎn)化即可.【詳解】（1）已知可化為：化簡得：，由正弦定理上式可得：，由余弦定理可得：，即，因?yàn)?，所以；?）由正弦定理，故，由（1）知：，故，所以，即，解得.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得、，再由可得答案；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為1；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，利用韋達(dá)定理可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求出點(diǎn)到直線的距離，由的范圍可得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，，，∴，∴橢圓的方程為；（2）由（1）得，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為1；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去得，顯然，設(shè)，，則，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴點(diǎn)到直線的距離，∵，∴，∴，綜上，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為.18．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）取的中點(diǎn)，連，，證明，，得到面，從而證明，然后可得面；（2）作交于，則，然后以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量求解即可.【詳解】（1）由題意，可得，，則，取BC的中點(diǎn)F，連OF，，可得，所以，因?yàn)椋?，且，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以．又由BC與AE為相交直線，所以平面．（2）作交于，則如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，所以可取，所以與面所成角的正弦值.19．（1）；（2）證明見解析