安徽省合肥市2024屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期最后一練試題含解析

Page182024屆高三最后一練數(shù)學(xué)試題一?選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求）1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，得到，，再利用集合的運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又由，得到，即，所以，故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則z的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算求出，結(jié)合虛部的概念即可得出結(jié)果.【詳解】∵，∴z的虛部為.故選：B.3.已知雙曲線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出雙曲線方程再根據(jù)雙曲線漸近線的求法得解.【詳解】因?yàn)殡p曲線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，漸近線方程為.故選：B4.為弘揚(yáng)我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對(duì)全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了言語(yǔ)表達(dá)測(cè)試，經(jīng)過(guò)大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次言語(yǔ)表達(dá)測(cè)試成績(jī)服從，據(jù)此估計(jì)測(cè)試成績(jī)不小于94的學(xué)生所占的百分比為（）參考數(shù)據(jù)：A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求得正確答案.【詳解】依題意，所以測(cè)試成績(jī)不小于94的學(xué)生所占的百分比為．故選：A．5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，結(jié)合誘導(dǎo)公式與二倍角公式計(jì)算即可得.【詳解】.故選：C.6.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由條件可得是周期函數(shù)，周期為4，然后可得答案.【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)滿足，所以，所以，所以是周期函數(shù)，周期為4所以故選：C7.已知直線與相交于兩點(diǎn)，若是直角三角形，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1或 B.或 C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意是等腰直角三角形，可得圓心到直線的距離為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】根據(jù)題意，圓的圓心，半徑，易知是等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離為，則，解得，所以或.故選：A.8.橢圓的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是A點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，若且，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先設(shè)，根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)，用表示出（為橢圓的另一焦點(diǎn)）的各邊長(zhǎng)，結(jié)合的周長(zhǎng)為和勾股定理，求出（用表示），再在中，表示各邊長(zhǎng)，結(jié)合勾股定理，可求橢圓的離心率.【詳解】如圖取橢圓另一焦點(diǎn)，連接，，.因?yàn)?、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則四邊形是平行四邊形.又，所以四邊形是矩形.設(shè)，在中：，，，所以.由橢圓定義：，所以.在中，，，，，由勾股定理：.所以，故.故選：C二?多選題（共3小題，每小題6分，共18分）9.已知函數(shù)的最小正周期為2，則（）A. B.曲線關(guān)于直線對(duì)稱C.的最大值為2 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AB【解析】【分析】借助三角恒等變換公式將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)后，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】，對(duì)A：由的最小正周期為2，故，即，故A正確；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，，由是函數(shù)的對(duì)稱軸，故曲線關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)C：又，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，由不是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，故不是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.在三棱錐中，已知，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則（）A.B.異面直線AN，CM所成的角的余弦值是C.三棱錐體積為D.三棱錐的外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，向量法求直線的夾角判斷A，B；利用體積公式求三棱錐的體積判斷C；確定三棱錐的外接球的半徑，求表面積判斷D.【詳解】三棱錐中，已知，三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖所示，則有，解得，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則有，，，，，，所以，A選項(xiàng)正確；，，，所以異面直線AN，CM所成的角的余弦值是，B選項(xiàng)正確；三棱錐，三棱錐，三棱錐，三棱錐，體積都為，三棱錐的體積等于長(zhǎng)方體體積減去這四個(gè)三棱錐體積，為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，這個(gè)外接球也是三棱錐的外接球，其表面積為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11.已知，為不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，方程變形得到，利用基本不等式求出答案；B選項(xiàng)，由變形后，利用基本不等式求出最值；C選項(xiàng)，由由變形得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，進(jìn)而求出最值情況；D選項(xiàng)，由證明出，進(jìn)而證明出.【詳解】A選項(xiàng)，由可知，即，故，因?yàn)?，所以，所以，故，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)或，時(shí)取“=”，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，，又，故，令，有，令，解得，令，解得，可知的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，故，故，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，等價(jià)于，即，因?yàn)?，又，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.三?填空題（共3小題，每小題5分，共15分）12.已知向量滿足，，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再由計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?故答案為：13.如圖，過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，且，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到方程，聯(lián)立方程組求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用焦半徑公式求解即可.【詳解】設(shè)，，，拋物線準(zhǔn)線與交與點(diǎn)，若，作，可得//，故，故，解得，得，將代入拋物線方程，得到，解得(正根舍去)，故，易知，故的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，，解得，故得，由焦半徑公式得，解得，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】借助裂項(xiàng)相消法可得，即可得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性進(jìn)而即得.【詳解】由，則，故，由，可得，即，設(shè)，則恒成立，故在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于得到恒成立后，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性，從而得到的范圍.四?解答題（共5小題）15.在中，角的對(duì)邊分別是，且.（1）求的值；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將條件式邊化角，化簡(jiǎn)求出；（2）根據(jù)余弦定理以及三角形的面積公式求解出的值，從而求出周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以，因?yàn)?，所以，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）易知，因.所以，由余弦定理，得.又因?yàn)?，所以代入得，所以，所?又因?yàn)?，所以，所以的周長(zhǎng)為.16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），無(wú)極小值.（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值；（2）參變分離可得對(duì)任意恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出，即可求出參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，即，無(wú)極小值.【小問(wèn)2詳解】若對(duì)任意，都有成立，即對(duì)任意恒成立，令，，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.如圖，在三棱臺(tái)中，，平面平面，．（1）證明：平面；（2）若三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得，再利用面面垂直的性質(zhì)定理得，最后根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；（2）首先利用錐體體積公式得，再通過(guò)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)法向量即可求出面面角余弦值,【小問(wèn)1詳解】如圖，在等腰梯形中，連接，又，可以解得，在三角形中，，又平面平面，且平面平面，，且平面，平面．又，且平面，平面．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，．以為原點(diǎn)，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．可得：．易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，又，由令，解得平面的一個(gè)法向量為，．平面與平面的夾角的余弦值為．18.五月初，某中學(xué)舉行了“慶祝勞動(dòng)光榮，共繪五一華章”主題征文活動(dòng)，旨在通過(guò)文字的力量，展現(xiàn)勞動(dòng)者的風(fēng)采，傳遞勞動(dòng)之美，弘揚(yáng)勞動(dòng)精神．征文篩選由A、B、C三名老師負(fù)責(zé)．首先由A、B兩位老師對(duì)征文進(jìn)行初審，若兩位老師均審核通過(guò)，則征文通過(guò)篩選；若均審核不通過(guò)，則征文落選；若只有一名老師審核通過(guò)，則由老師C進(jìn)行復(fù)審，復(fù)審合格才能通過(guò)篩選．已知每篇征文通過(guò)A、B、C三位老師審核的概率分別為，且各老師的審核互不影響．（1）已知某篇征文通過(guò)篩選，求它經(jīng)過(guò)了復(fù)審的概率；（2）從投稿的征文中抽出4篇，設(shè)其中通過(guò)篩選的篇數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式求出征文通過(guò)篩選概率，再利用條件概率公式計(jì)算得解.（2）求出的可能取值，利用二項(xiàng)分布求出求出分布列及期望.【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件老師審核通過(guò)，事件老師審核通過(guò)，事件老師審核通過(guò)，事件征文通過(guò)篩選，事件征文經(jīng)過(guò)復(fù)審，則，，，因此，所以它經(jīng)過(guò)了復(fù)審的概率為.【小問(wèn)2詳解】依題意，的可能取值為，顯然，則，，所以的分布列如下：X01234數(shù)學(xué)期望為.19.已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且焦距為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.①證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)；②若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意有，，即可求解；（2）①設(shè)直線：的方程，聯(lián)立與橢圓方程消元后，利用韋