全國各省中考相關考點分析,中考專題復習數(shù)學專題05反比例函數(shù)(5大模塊知識梳理+5大考點+3大易錯點)解析版

專題05反比例函數(shù)目錄01理·思維導圖：呈現(xiàn)教材知識結構，構建學科知識體系。 02盤·基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（5大模塊知識梳理）知識模塊一：反比例函數(shù)的圖象與性質知識模塊二：反比例函數(shù)的解析式確定方法知識模塊三：反比例系數(shù)k的幾何意義知識模塊四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合知識模塊五反比例函數(shù)的實際應用03究·考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（5大考點）考點一：反比例函數(shù)的圖象與性質考點二：反比例函數(shù)解析式的確定考點三：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合考點四：反比例函數(shù)的實際應用考點五：反比例函數(shù)與幾何綜合（含k的幾何意義）04辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（3大易錯點）易錯點1：利用反比例函數(shù)的性質時，誤認為所給出的點在同一曲線上易錯點2：利用函數(shù)圖象解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義．易錯點3：反比例函數(shù)k的幾何意義知識模塊一：反比例函數(shù)的圖象與性質知識點一：反比例函數(shù)的概念一般地，形如y=kx（k為常數(shù)，反比例函數(shù)的解析式也可以寫成xy=k（k≠0、xy≠0）、y=kx知識點二：反比例函數(shù)的圖象與性質性質表達式y(tǒng)=kx（k為常數(shù)，圖象k>0k<0經過象限一、三象限（x、y同號）二、四象限（x、y異號）增減性在圖象所在的每一象限內，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小在圖象所在的每一象限內，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大對稱性中心對稱:反比例函數(shù)的圖象關于原點成中心對稱,如雙曲線一支上的點A(a,b)關于原點的對稱點A(-a,-b)在雙曲線的另一支上軸對稱:反比例函數(shù)的圖象關于直線y=x或y=-x成軸對稱圖象特征1）反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸．2）反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=±x，對稱中心為原點．注意：(1)研究反比例函數(shù)的增減性及比較兩個函數(shù)值的大小時，要分象限進行研究或比較.(2)判斷某點是否在反比例函數(shù)的圖象上，只需要判斷該點的橫、縱坐標之積是否等于k即可.(3)因為反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象都關于原點對稱，所以在同一直角坐標系中，若反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象有兩個交點，則這兩個交點關于原點對稱.知識模塊二：反比例函數(shù)解析式的確定方法待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟：1）設反比例函數(shù)的解析式為y=k2）把已知的一對x，y的值帶入解析式，得到一個關于待定系數(shù)k的方程；3）解方程求出待定系數(shù)k；4）將所求的k值代入所設解析式中.知識模塊三：反比例系數(shù)k的幾何意義當反比例函數(shù)圖象與三角形、矩形結合時,可直接利用k的幾何意義求解,若圖形為不規(guī)則圖形,則結合割補法進行求解.一、一點一垂線結論：S△AOB=S△CODS△AOE=S四邊形CEBDS△AOC=k二、一點兩垂線結論：S矩形ABOE=S矩形CDOFS矩形AEFG=S矩形CGBDS?ABCD=k三、兩點一垂線結論：S△ABC=2S△ABO=k如左圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=kx交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+=12co?|yA|+12co?|yB|=12co(|yA|+如右圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=kx交于A、B兩點，且一次函數(shù)與y軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+=12co?|xA|+12co?|xB|=12co(|xA|+四、兩點兩垂線【模型結論】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點及由交點向坐標軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|五、兩點和原點方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】方法二：作AE⊥x軸于點E，交OB于點M，BF⊥x軸于點F，而S△OAM＝S四邊形MEFB，則S△AOB＝S直角梯形AEFB．方法三：S△AOB＝S四邊形COFD－S△AOC－S△BOF.【補形】方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝12OD?（|yA|-|yB|方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝12OC?（|xB|-|xA|六、兩曲一平行類型一兩條雙曲線的k值符號相同結論：S陰影＝|k1|-|k2|S陰影＝12|k1|-12結論：S陰影＝|k1|-|k2|S陰影＝|k1|-|k2|-S直角梯形AFDE類型二兩條雙曲線的k值符號相同結論：S△AOB＝S△ACB＝12(|k1|+|k2|)S陰影＝|k1|+|k2知識模塊四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合1.自變量取值范圍當一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩個解析式，構造方程組，然后求出交點坐標．針對y1>y2時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應的x的范圍．例如，如下圖，當y1>y2時，x的取值范圍為x>xA或xB<x<0；同理，當y1<y2時，x的取值范圍為0<x<xA或x<xB．2.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定．①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；②k值異號，兩個函數(shù)可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．知識模塊五反比例函數(shù)的實際應用知識點一：用反比例函數(shù)解決實際問題的步驟1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關系；2）設：根據常量與變量之間的關系，設出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示；3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)；4）寫：寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；5）解：用函數(shù)解析式去解決實際問題．知識點二：反比例函數(shù)實際應用常考題型解題方法1.與實際情境結合的分段函數(shù)問題(1)通過問題提供的信息,明確變量之間的函數(shù)關系或直接設出函數(shù)解析式,再根據已知條件確定函數(shù)解析式中的字母系數(shù)。(2)寫出函數(shù)解析式,然后運用其圖象與性質解決實際問題。2.跨學科應用考查反比例函數(shù)的實際應用時，常會結合其他學科的知識(專業(yè)名詞、公式等),做題時要讀懂題意,理解所給的函數(shù)圖象,利用反比例函數(shù)的相關知識解決問題.考點一：反比例函數(shù)的圖象與性質【典例1】（一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象）（2024·黑龍江大慶·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】判斷一次函數(shù)的圖象、判斷（畫）反比例函數(shù)圖象【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象，根據一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質，逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：∵當時，一次函數(shù)經過第一、二、三象限，當時，一次函數(shù)經過第一、三、四象限A.一次函數(shù)中，則當時，函數(shù)圖象在第四象限，不合題意，B.一次函數(shù)經過第二、三、四象限，不合題意，一次函數(shù)中，則當時，函數(shù)圖象在第一象限，故C選項正確，D選項錯誤，故選：C．【典例2】（二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象）（2024·山東德州·中考真題）已知，是某函數(shù)圖象上的兩點，當時，．該函數(shù)的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質、已知反比例函數(shù)的增減性求參數(shù)、根據一次函數(shù)增減性求參數(shù)【分析】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的增減性．由題意可得當時，y隨x的增大而增大，逐個選項判斷函數(shù)的增減性，即可額解答．【詳解】解：∵當時，，即，∴當時，y隨x的增大而增大．A、對于函數(shù)，y隨x的增大而減小，故該函數(shù)不合題意；B、對于，當時，y隨x的增大而減小，故該函數(shù)不合題意；C、函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，則當，y隨x的增大而增大，故該函數(shù)符合題意；D、函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，則當，y隨x的增大而減小，故該函數(shù)不合題意．故選：C【典例3】（判斷反比例圖象所在象限）（2024·安徽六安·模擬預測）若關于x的一元二次方程無實數(shù)根，則反比例函數(shù)的圖象所在的象限分別位于（

）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限【答案】C【知識點】根據一元二次方程根的情況求參數(shù)、判斷反比例函數(shù)圖象所在象限【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式、反比例函數(shù)的圖象和性質.先利用一元二次方程無實數(shù)根得到，解得，則，根據反比例的圖象和性質即可判斷反比例函數(shù)的圖象所在的象限.【詳解】解：∵關于x的一元二次方程無實數(shù)根，∴，解得，∴，∴反比例函數(shù)的圖象所在的象限分別位于第一、三象限，故選：C【典例4】（反比例函數(shù)性質）（2024·江蘇南京·中考真題）已知點，，在下列某一函數(shù)圖像上．且那么這個函數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【知識點】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小、比較一次函數(shù)值的大小、y=ax2+bx+c的圖象與性質【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質、反比例函數(shù)的性質、二次函數(shù)的性質，利用函數(shù)的增減性逐一判斷，即可求解；掌握一次函數(shù)的性質、反比例函數(shù)的性質、二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.【詳解】解：A.在上時，，故不符合題意；B.在上時，，故不符合題意；C.在上時，，故不符合題意；D.在上時，，故符合題意；故選：D．【典例5】（已知反比例函數(shù)圖象，判斷其解析式）（2024·內蒙古·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)和的圖象大致如圖所示，則函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C． D．【答案】D【知識點】一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷、已知函數(shù)經過的象限求參數(shù)范圍、已知反比例函數(shù)的圖象，判斷其解析式【分析】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，熟練掌握各函數(shù)的圖象特點是解題關鍵．先根據一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可得，，再根據二次函數(shù)的圖象特點即可得．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經過第一、二、四象限，∴，即，∵反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，∴，即，∴函數(shù)的開口向下，與軸的交點位于軸的正半軸，對稱軸為直線，故選：D．【典例6】（反比例函數(shù)的增減性）（2024·江蘇徐州·中考真題）若點、、都在反比例函數(shù)的圖象上，則a、b、c的大小關系為．【答案】【知識點】判斷反比例函數(shù)的增減性、比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題主要考查了比較反比例函數(shù)值的大小，判斷反比例函數(shù)的增減性，根據解析式得到反比例函數(shù)的函數(shù)圖象在二、四象限，且在每一象限內y隨x的增大而增大，再根據三個點的橫坐標判斷A，B，C三點的位置，從而根據增減性判斷a，b，c的大小即可．【詳解】解：∵在反比例函數(shù)中，，∴反比例函數(shù)的函數(shù)圖象在二、四象限，且在每一象限內y隨x的增大而增大，∵、、，∴A在第二象限，B，C在第四象限，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【典例7】（由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點的坐標）（2024·陜西·模擬預測）已知P、Q兩點分別在反比例函數(shù)和的圖象上，若點與點關于y軸對稱，則m的值為．【答案】1【知識點】由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點的坐標、坐標與圖形變化——軸對稱【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、關于x軸、y軸對稱的點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，列出方程是解題的關鍵．設，根據點與點關于y軸對稱，求出，分別代入各自所在函數(shù)解析式，通過方程即可求解．【詳解】解：設，點與點關于y軸對稱，點，P、Q兩點分別在反比例函數(shù)和的圖象上，解得：，故答案為∶1．【典例8】（有關反比例函數(shù)新定義）（2024·黑龍江大慶·中考真題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在縱坐標是橫坐標2倍的點，則把該函數(shù)稱為“倍值函數(shù)”，該點稱為“倍值點”．例如：“倍值函數(shù)”，其“倍值點”為．下列說法不正確的序號為．①函數(shù)是“倍值函數(shù)”；②函數(shù)的圖象上的“倍值點”是和；③若關于x的函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”，則m的取值范圍是；④若關于x的函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點”，且當時，n的最小值為k，則k的值為．【答案】①③④【知識點】y=ax2+bx+c的最值、比較反比例函數(shù)值或自變量的大小、y=ax2+bx+c的圖象與性質【分析】本題考查了新定義問題，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)的最值問題．根據“倍值函數(shù)”的定義，逐一判斷即可．【詳解】解：①函數(shù)中，令，則，無解，故函數(shù)不是“倍值函數(shù)”，故①說法錯誤；②函數(shù)中，令，則，解得或，經檢驗或都是原方程的解，故函數(shù)的圖象上的“倍值點”是和，故②說法正確；③在中，令，則，整理得，∵關于x的函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”，∴且，解得且，故③說法錯誤；④在中，令，則，整理得，∵該函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點”，∴，整理得，∴對稱軸為，此時n的最小值為，根據題意分類討論，，解得；，無解；，解得或（舍去），綜上，k的值為0或，故④說法錯誤；故答案為：①③④．【典例9】（反比例函數(shù)圖象變換）（2024·寧夏·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象平移得到．依此想法，數(shù)學小組對反比例函數(shù)圖象的平移進行探究．(1)【動手操作】列表：12345210123421描點連線：在已畫出函數(shù)的圖象的坐標系中畫出函數(shù)的圖象．(2)【探究發(fā)現(xiàn)】①將反比例函數(shù)的圖象向___________平移___________個單位長度得到函數(shù)的圖象．②上述探究方法運用的數(shù)學思想是（）整體思想

B．類比思想

C．分類討論思想(3)【應用延伸】①將反比例函數(shù)的圖象先___________，再___________得到函數(shù)的圖象．②函數(shù)圖象的對稱中心的坐標為___________．【答案】(1)圖見解析(2)①左，1；②B(3)①右平移2個單位長度；向下平移1個單位長度（向下平移1個單位長度；向右平移2個單位長度）；②【知識點】從函數(shù)的圖象獲取信息、已知反比例函數(shù)的圖象，判斷其解析式、用描點法畫函數(shù)圖象【分析】（1）列表，描點、連線畫出函數(shù)的圖象即可；（2）結合圖象填空即可；（3）根據發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空即可．【詳解】（1）描點、連線畫出函數(shù)圖象如圖所示：（2）①函數(shù)的圖象可以看作是由函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度，②上述探究方法運用的數(shù)學思想是類比思想．故答案為：左，1；B（3）①函數(shù)的圖象可以看作是由函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度；向下平移1個單位長度（向下平移1個單位長度；向右平移2個單位長度）而得到；②根據平移的性質，函數(shù)圖象的對稱中心的坐標為．故答案為：右平移2個單位長度；向下平移1個單位長度（向下平移1個單位長度；向右平移2個單位長度）；【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象，正比例函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象與幾何變換，數(shù)形結合是解題的關鍵．考點二：反比例函數(shù)解析式的確定【典例1】（2024·內蒙古通遼·中考真題）如圖，平面直角坐標系中，原點為正六邊形的中心，軸，點在雙曲線為常數(shù)，上，將正六邊形向上平移個單位長度，點恰好落在雙曲線上，則的值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【知識點】求反比例函數(shù)解析式、等邊三角形的判定和性質、用勾股定理解三角形、求正多邊形的中心角【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，正六邊形的性質，等邊三角形的性質與判定，勾股定理等等，過點E作軸于H，連接，可證明是等邊三角形，則，，進而得到，設，則，則，，即可得到點在雙曲線上，再由點E也在雙曲線上，得到，據此求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點E作軸于H，連接，∵原點為正六邊形的中心，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，，∵將正六邊形向上平移個單位長度，點恰好落在雙曲線上，∴點在雙曲線上，又∵點E也在雙曲線上，∴，解得或（舍去），∴，故選：A．【典例2】（跨學科試題）（2024·湖南·中考真題）在一定條件下，樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比例關系，即（k為常數(shù)．），若某樂器的弦長l為0.9米，振動頻率f為200赫茲，則k的值為．【答案】180【知識點】求反比例函數(shù)解析式【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，把，代入求解即可．【詳解】解：把，代入，得，解得，故答案為：180．【典例3】（開方題型）（2024·江蘇無錫·中考真題）某個函數(shù)的圖象關于原點對稱，且當時，隨的增大而增大．請寫出一個符合上述條件的函數(shù)表達式：．【答案】（答案不唯一）【知識點】求反比例函數(shù)解析式、判斷反比例函數(shù)的增減性【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質，根據反比例函數(shù)的性質結合已知條件解題即可．【詳解】解：根據題意有：，故答案為：（答案不唯一）【典例4】（2024·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標為．【答案】2,1【知識點】因式分解法解一元二次方程、求反比例函數(shù)解析式、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質以及勾股定理，完全平方公式的應用，先根據得出，設，則，結合完全平方公式的變形與應用得出，結合，則，即可作答．【詳解】解：如圖：連接∵反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且∴設，則∵∴則∵點在第一象限∴把代入得∴經檢驗：都是原方程的解∵∴故答案為：【典例5】（反比例函數(shù)與相似三角形結合）（2024·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點，是矩形的頂點，點分別為邊上的點，將矩形沿直線折疊，使點B的對應點在邊的中點處，點C的對應點在反比例函數(shù)的圖象上，則【答案】【知識點】求反比例函數(shù)解析式、用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題、相似三角形的判定與性質綜合【分析】設交與點E，過點作軸于點H．利用矩形的性質、折疊的性質和勾股定理等可求出，，，，，，證明，利用相似三角形的性質可求出，，證明，利用相似三角形的性質可求出，，則可出求的坐標，然后利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：如圖，設交與點E，過點作軸于點H．四邊形是矩形，，，，，，點是的中點，．在中，，，，矩形沿直線折疊，，，，，，，即，解得，，，，，．，．又，，，即，解得，，，點的坐標為，．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形與折疊，相似三角形的判定與性質，勾股定理，反比例函數(shù)等知識，明確題意，添加合適輔助線，構造相似三角形求解是解題的關鍵．【典例6】（2024·江蘇鹽城·中考真題）小明在草稿紙上畫了某反比例函數(shù)在第二象限內的圖像，并把矩形直尺放在上面，如圖．請根據圖中信息，求：(1)反比例函數(shù)表達式；(2)點C坐標．【答案】(1)(2)【知識點】求反比例函數(shù)解析式、兩直線平行同位角相等、求角的正切值【分析】本題考查反比例函數(shù)、銳角三角函數(shù)：（1）設反比例函數(shù)表達式為，將點A的坐標代入表達式求出k值即可；（2）設點C的坐標為，則，，根據平行線的性質得，進而根據求出m的值即可．【詳解】（1）解：由圖可知點A的坐標為?3,2，設反比例函數(shù)表達式為，將?3,2代入，得：，解得，因此反比例函數(shù)表達式為；（2）解：如圖，作軸于點E，軸于點D，由圖可得，，設點C的坐標為，則，，，矩形直尺對邊平行，，，，即，解得或，點C在第二象限，，，點C坐標為．【典例7】（2024·江西·中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，雙曲線經過點B，過點作x軸的垂線交雙曲線于點C，連接．(1)點B的坐標為______；(2)求所在直線的解析式．【答案】(1)(2)【知識點】坐標與圖形、求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式、等腰三角形的性質和判定【分析】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題，等腰三角形的性質，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的相應性質是解題關鍵．（1）過點B作軸，根據等腰直角三角形的性質得出，即可確定點B的坐標；（2）根據點確定反比例函數(shù)解析式，然后即可得出，再由待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式即可．【詳解】（1）解：過點B作軸于D，如圖所示：∵是等腰直角三角形，，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）由（1）得，代入，得，∴，∵過點作x軸的垂線交雙曲線于點C，∴當時，，∴，設直線的解析式為，將點B、C代入得：，解得，∴直線的解析式為．【典例8】（2024·河南·中考真題）如圖，矩形的四個頂點都在格點（網格線的交點）上，對角線，相交于點E，反比例函數(shù)的圖象經過點A．(1)求這個反比例函數(shù)的表達式．(2)請先描出這個反比例函數(shù)圖象上不同于點A的三個格點，再畫出反比例函數(shù)的圖象．(3)將矩形向左平移，當點E落在這個反比例函數(shù)的圖象上時，平移的距離為________．【答案】(1)(2)見解析(3)【知識點】求反比例函數(shù)解析式、已知圖形的平移，求點的坐標【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析，畫反比例函數(shù)圖象，平移的性質等知識，解題的關鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分別求出，，對應的函數(shù)值，然后描點、連線畫出函數(shù)圖象即可；（3）求出平移后點E對應點的坐標，利用平移前后對應點的橫坐標相減即可求解．【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象經過點A3,2，∴，∴，∴這個反比例函數(shù)的表達式為；（2）解：當時，，當時，，當時，，∴反比例函數(shù)的圖象經過，2,3，，畫圖如下：（3）解：∵向左平移后，E在反比例函數(shù)的圖象上，∴平移后點E對應點的縱坐標為4，當時，，解得，∴平移距離為．故答案為：．【典例9】（2024·貴州·中考真題）已知點在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，比較a，b，c的大小，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析【知識點】求反比例函數(shù)解析式、比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質，以及函數(shù)圖象上點的坐標特點，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，關鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經過的點必能滿足解析式．（1）把點代入可得k的值，進而可得函數(shù)的解析式；（2）根據反比例函數(shù)表達式可得函數(shù)圖象位于第一、三象限，再根據點A、點B和點C的橫坐標即可比較大?。驹斀狻浚?）解：把代入，得，∴，∴反比例函數(shù)的表達式為；（2）解：∵，∴函數(shù)圖象位于第一、三象限，∵點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，，∴，∴．【典例10】（2024·貴州貴陽·模擬預測）中考過后，我們會是雙曲線兩個分支上的兩個點，隨著時間的流逝，我們漸行漸遠嗎？如圖，還是點A在反比例函數(shù)的圖象上，點C是點A關于y軸的對稱點，已知，．(1)直接寫出C點坐標(2)求反比例函數(shù)的解析式；(3)若點P在x軸上，且，直接寫出點P的坐標．【答案】(1)(2)反比例函數(shù)的解析式為(3)或【知識點】求反比例函數(shù)解析式、由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點的坐標【分析】（1）設交y軸于點D，由點C是點A關于y軸的對稱點，可知，再由可求出的長，故可得出A、C點坐標．（2）根據（1）中A點坐標，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式．（3）設，利用三角形的面積公式即可得出結論．【詳解】（1）解：設交y軸于點D，，∵點C是點A關于y軸的對稱點，，∴，∵，∴，∴，，故答案為：；（2）解：由（1）知，∵點A在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為；（3）解：∵點P在x軸上，∴設，∴，∵，即，∴，解得，∴或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據題意得出的長是解題的關鍵．考點三：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合【典例1】（根據對稱性求點的坐標）（2024·北京·模擬預測）直線與雙曲線交于兩點（A在第二象限），則的值為．【答案】10【知識點】由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點的坐標、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題為反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的綜合．根據反比例函數(shù)上點的坐標特征推出與與的關系，直線與雙曲線交點的特征推出與與的關系是解答本題的關鍵．先根據點Ax1,y1,Bx2,y2是雙曲線上的點可得出【詳解】解：∵點Ax1,，∵直線與雙曲線交于點Ax1,即兩點關于原點對稱．，，故答案為：10．【典例2】（分割法求圖形面積）（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點、B2,1．(1)求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達式；(2)連接，求的面積．【答案】(1)，(2)【知識點】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）設直線與軸交于點，分割法求出的面積即可．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點、B2,1，∴，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為：，，∴，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為：；（2）解：設直線與軸交于點，∵，∴當時，，∴，∴的面積．【典例3】（與銳角三角函數(shù)結合求點的坐標）（2024·四川達州·中考真題）如圖，一次函數(shù)（、為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象交于點，．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)若點是軸正半軸上的一點．且．求點的坐標．【答案】(1)，(2)【知識點】求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式、解直角三角形的相關計算、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其他綜合應用【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題型，也考查了銳角三角函數(shù)的應用．（1）用待定系數(shù)法先求反比例函數(shù)解析式，再求一次函數(shù)解析式即可；（2）過作軸于，過作軸于，設，先求得得到，即，得出等量關系解出即可．【詳解】（1）解：將代入得將代入得將和代入得解得故反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式分別為和；（2）如圖，過作軸于，過作軸于，即設，則，解得（舍去）或經檢驗，是原分式方程的解，．【典例4】（與三角形面積幾何求取值范圍）（2024·四川廣安·中考真題）如圖，一次函數(shù)（，為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象交于，兩點．

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．(2)直線與軸交于點，點是軸上的點，若的面積大于12，請直接寫出的取值范圍．【答案】(1)，(2)或【知識點】求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其他綜合應用【分析】（1）將A點坐標代入反比例函數(shù)解析式求得反比例函數(shù)，再把B點坐標代入所求得的反比例函數(shù)解析式，求得m，進而把A、B的坐標代入一次函數(shù)解析式便可求得一次函數(shù)的解析式；（2）由一次函數(shù)的解析式求得與x軸的交點C的坐標，然后的面積大于12，再建立不等式即可求解．【詳解】（1）解：∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為：，把代入，得，∴，把，都代入一次函數(shù)，得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為：；（2）解：如圖，

對于，當，解得，∴C?2,0∵，∴，∵的面積大于12，∴，即，當時，則,解得：，當時，則，解得：；∴或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積等，求得交點坐標是解題的關鍵．【典例5】（與三角函數(shù)、勾股定理、一元二次方程結合）（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點B，C在第一象限，四邊形是平行四邊形，點C在反比例函數(shù)的圖象上，點C的橫坐標為2，點B的縱坐標為3．提示：在平面直角坐標系中，若兩點分別為，，則中點坐標為．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)如圖2，點D是邊的中點，且在反比例函數(shù)圖象上，求平行四邊形的面積；(3)如圖3，將直線向上平移6個單位得到直線，直線與函數(shù)圖象交于，兩點，點P為的中點，過點作于點N．請直接寫出P點坐標和的值．【答案】(1)(2)9(3)【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關系、求反比例函數(shù)解析式、已知正弦值求邊長、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得，再利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；（2）設Aa,0，根據平行四邊形的性質可得，利用中點坐標公式可得，再把點D代入反比例函數(shù)解析式求得，即可求解；（3）由一次函數(shù)平移規(guī)律可得直線：，聯(lián)立方程組得，設、，即，利用中點坐標公式求得點P的橫坐標為4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直線與x、y軸的交點、，利用勾股定理求得，可得，過點O作，由平行線定理可得，利用銳角三角函數(shù)求得，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點B的縱坐標為3．∴，把代入得，，∴反比例函數(shù)的表達式為；（2）解：設Aa,0∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵點D是邊的中點，∴，即，∵點D在反比例函數(shù)圖象上，把代入得，，解得，∴，∴；（3）解：∵將直線向上平移6個單位得到直線：，∵直線與函數(shù)圖象交于，兩點，∴聯(lián)立方程組得，，即，設、，∴，∵點P為的中點，∴點P的橫坐標為，把代入得，，∴，∴，把代入得，，把代入得，，解得，∴直線與x、y軸交于點、，∴，，∴，∴，過點O作，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質、中點坐標公式、一次函數(shù)的平移規(guī)律、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、銳角三角函數(shù)、平行線定理、一次函數(shù)與坐標軸的交點問題、勾股定理、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．【典例6】（求不等式解集與點的坐標）（2024·山東東營·中考真題）如圖，一次函數(shù)（）的圖象與反比例函數(shù)（）的圖象交于點，，且一次函數(shù)與軸，軸分別交于點C，D．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；(2)根據圖象直接寫出不等式的解集；(3)在第三象限的反比例函數(shù)圖象上有一點P，使得，求點的坐標．【答案】(1)，(2)或(3)點坐標為【知識點】求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟知反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．（1）將點坐標代入反比例函數(shù)解析式，求出，再將點坐標代入反比例函數(shù)解析式，求出點坐標，最后將，兩點坐標代入一次函數(shù)解析式即可解決問題；（2）利用反比例函數(shù)以及一次函數(shù)圖象，即可解決問題；（3）根據與的面積關系，可求出點的縱坐標，據此可解決問題．【詳解】（1）解：將代入得，∴，反比例函數(shù)的解析式為，將代入得，，點的坐標為．將點和點的坐標代入得，，解得，一次函數(shù)的解析式為；（2）解：根據所給函數(shù)圖象可知，當或時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，即，不等式的解集為：或．（3）解：將代入得，，點的坐標為，，．將代入得，，點的坐標為，，解得．∵點在第三象限，∴，將代入得，，點坐標為．【典例7】（反比例函數(shù)與全等綜合）（2024·山東濟南·中考真題）已知反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于點，點是線段上（不與點A重合）的一點．

(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)如圖1，過點作軸的垂線與的圖象交于點，當線段時，求點的坐標；(3)如圖2，將點A繞點順時針旋轉得到點，當點恰好落在的圖象上時，求點的坐標．【答案】(1)；(2)；(3)點．【知識點】求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其他綜合應用【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，交點坐標滿足兩個函數(shù)關系式是關鍵．（1）待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；（2）設點，那么點，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征解出點B的坐標即可；（3）過點作軸，過點作于點，過點作于點，可得，則設點，得到點，根據反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出n值，繼而得到點E坐標．【詳解】（1）解：將代入得，，將代入得，解得，反比例函數(shù)表達式為，（2）解：如圖，設點，那么點，

由可得，所以，解得（舍），;（3）解：如圖，過點作軸，過點作于點，過點作于點，

，點繞點順時針旋轉，，，，，設點，點，，解得，點或（舍），此時點．【典例8】（求面積與不等式解集）（2024·山東淄博·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點，與，軸分別相交于點，．且．(1)分別求這兩個函數(shù)的表達式；(2)以點為圓心，線段的長為半徑作弧與軸正半軸相交于點，連接，．求的面積；(3)根據函數(shù)的圖象直接寫出關于的不等式的解集．【答案】(1)一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為(2)(3)或【知識點】已知兩點坐標求兩點距離、已知正切值求邊長、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，勾股定理，解直角三角形：（1）先求出得到，再解直角三角形得到，則，據此利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，進而求出點A的坐標，再把點A坐標代入反比例函數(shù)解析式中求出對應的反比例函數(shù)解析式即可；（2）先求出點B的坐標，再利用勾股定理建立方程求出點E的坐標，最后根據，求解面積即可；（3）利用函數(shù)圖象找到一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時自變量的取值范圍即可得到答案．【詳解】（1）解：在中，當時，，∴，∴，∵，∴在中，，∴，∴，把代入中得：，解得，∴一次函數(shù)解析式為，在中，當時，，∴，把代入中得：，解得，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：聯(lián)立解得或，∴；設，由題意得，，∴，解得或（舍去），∴，∴，∴；（3）解：由函數(shù)圖象可知，當一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時自變量的取值范圍為或，∴關于的不等式的解集為或．【典例9】（最值問題）（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象l與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達式；(2)求的面積；(3)若點P是y軸上一動點，連接．當?shù)闹底钚r，求點P的坐標．【答案】(1)一次函數(shù)的表達式為，反比例函數(shù)表達式為(2)(3)【知識點】求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式、根據成軸對稱圖形的特征進行求解、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其他綜合應用【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題時要熟練掌握并能靈活運用反比例函數(shù)的性質是關鍵．（1）依據題意，由在反比例函數(shù)上，可得的值，進而求出反比例函數(shù)，再將代入求出的坐標，最后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式；（2）依據題意，設直線交軸于點，交軸于點，由直線為，可得，故，再由，進而計算可以得解；（３）依據題意，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則的最小值等于的長，結合)與關于軸對稱，故為，又，可得直線為，再令，則，進而可以得解．【詳解】（1）解：由題意，∵在反比例函數(shù)上，∴．∴反比例函數(shù)表達式為．又在反比例函數(shù)上，∴．∴．設一次函數(shù)表達式為，∴，∴，．∴一次函數(shù)的表達式為．（2）解：由題意，如圖，設直線l交x軸于點A，交y軸于點B，又直線l為，∴，．∴，，∴；（3）解：由題意，如圖，作點M關于y軸的對稱點，連接交y軸于點P，則的最小值等于的長．∵與關于y軸對稱，∴為．又，設的解析式為，則，解得，∴直線為．令，則．∴．考點四：反比例函數(shù)的實際應用【典例1】（2024·山西大同·模擬預測）火力發(fā)電廠的大煙囪并不是我們所理解的排放廢氣的煙囪，它的專業(yè)名字叫雙曲線冷卻塔，從這里冒出的煙霧其實只是水蒸氣，它的縱截面是如圖所示的軸對稱圖形，是一個矩形，若以所在直線為x軸，的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，分別是兩個反比例函數(shù)圖象的一部分，已知，，上口寬，則整個冷卻塔高度為（

）

A． B． C． D．【答案】A【知識點】求反比例函數(shù)值、實際問題與反比例函數(shù)、求反比例函數(shù)解析式、根據矩形的性質求線段長【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的應用——火電廠的雙曲線型冷卻塔．熟練掌握矩形性質，冷卻塔的對稱性，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，根據自變量的值求函數(shù)值，是解決問題的關鍵．設的解析式為，根據y軸垂直平分，，得到，根據，得到，得到，，根據和冷卻塔的對稱性得到點F的橫坐標為8，得到，即得整個冷卻塔高度為．【詳解】設的解析式為，∵四邊形是矩形，∴，∵y軸垂直平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴點F的橫坐標為8，∴，∴整個冷卻塔高度為．故選：A．【典例2】（2024·山西·二模）物理實驗中，同學們分別測量電路中經過甲、乙、丙、丁四個用電器的電流和它們兩端的電壓，根據相關數(shù)據，在如圖的坐標系中依次畫出相應的圖象．根據圖象及物理學知識，可判斷這四個用電器中電阻最大的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【知識點】實際問題與反比例函數(shù)【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應用，根據圖示得出，，利用不等式的性質得出，，，則可得出丙的電阻大于甲的電阻，丙的電阻大于丁的電阻，丁的電阻大于乙的電阻，即可求解．【詳解】解：∵，∴，由圖象知：，，∴，，∴丙的電阻大于甲的電阻，丙的電阻大于丁的電阻，同理丁的電阻大于乙的電阻，∴這四個用電器中電阻最大的是丙，故選：C．【典例3】（2024·山西陽泉·二模）飲水機接通電源會自動加熱，加熱時水溫每分鐘上升，溫度到停止加熱．然后水溫開始下降，此時水溫與時間成反比例函數(shù)關系，水溫降至時，飲水機重復上述程序開始加熱，加熱時水溫與時間的關系如圖所示．水溫從開始加熱至，然后下降至這一過程中，水溫不低于的時間為．

【答案】12【知識點】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應用【分析】本題考查了一次函數(shù)，反比例函數(shù)的應用．首先求得兩個函數(shù)的解析式，然后將代入兩個函數(shù)求得兩個時間相減即可確定答案．【詳解】解：設一次函數(shù)關系式為：，將，代入，得，解得，，設反比例函數(shù)關系式為：，將代入，得，，中，令，解得；反比例函數(shù)中，令，解得：，（min），水溫不低于的時間為min．故答案為：．【典例4】（2024·山西·中考真題）機器狗是一種模擬真實犬只形態(tài)和部分行為的機器裝置，其最快移動速度是載重后總質量的反比例函數(shù)．已知一款機器狗載重后總質量時，它的最快移動速度；當其載重后總質量時，它的最快移動速度．【答案】4【知識點】實際問題與反比例函數(shù)【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應用，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再將代入計算即可，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式是解題的關鍵．【詳解】設反比例函數(shù)解析式為，機器狗載重后總質量時，它的最快移動速度，，反比例函數(shù)解析式為，當時，，當其載重后總質量時，它的最快移動速度．故答案為：4．【典例5】（2024·廣東深圳·二模）如圖1是某種呼氣式酒精測試儀的電路原理圖，電源電壓保持不變，為氣敏可變電阻，定值電阻．檢測時，可通過電壓表顯示的讀數(shù)換算為酒精氣體濃度，設，電壓表顯示的讀數(shù)與之間的反比例函數(shù)圖象如圖2所示，與酒精氣體濃度的關系式為，當電壓表示數(shù)為時，酒精氣體濃度為．【答案】/0.5【知識點】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應用【分析】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的實際應用等知識．先求出與之間的反比例函數(shù)為，再根據求出，代入即可求出．【詳解】解：設電壓表顯示的讀數(shù)與之間的反比例函數(shù)為，∵反比例函數(shù)圖象經過點，∴，∴與之間的反比例函數(shù)為，當時，,∵，，∴，把代入得，解得．故答案為：【典例6】（2024·吉林·中考真題）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示．(1)求這個反比例函數(shù)的解析式（不要求寫出自變量R的取值范圍）．(2)當電阻R為時，求此時的電流I．【答案】(1)(2)【知識點】實際問題與反比例函數(shù)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的實際應用：（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據（1）所求求出當時I的值即可得到答案．【詳解】（1）解：設這個反比例函數(shù)的解析式為，把代入中得：，解得，∴這個反比例函數(shù)的解析式為；（2）解：在中，當時，，∴此時的電流I為．【典例7】（2024·遼寧大連·一模）智能飲水機接通電源后開始自動加熱，水溫每分鐘上升，加熱到時，飲水機自動停止加熱，水溫開始下降．在水溫開始下降的過程中，水溫（）與通電時間（）成反比例關系．當水溫降至室溫時，飲水機再次自動加熱，重復上述過程．設某天水溫和室溫均為，接通電源后，水溫（）與通電時間（）之間的關系如圖所示．(1)當時，求與之間的函數(shù)關系式（寫出的取值范圍）；(2)加熱一次，求水溫不低于的時間．【答案】(1)(2)加熱一次，水溫不低于的時間為【知識點】求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應用、求一次函數(shù)解析式【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用．（1）待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，再求出的值，即可；（2）先求出時，與之間的函數(shù)表達式，再求出時，的值，即可求解．【詳解】（1）解：當時，設與之間的函數(shù)關系式為，將點代入，得，∴與之間的函數(shù)關系式為，當時，，，∴與之間的函數(shù)關系式為．（2）解：當時，設一次函數(shù)的表達式為，將點代入一次函數(shù)的表達式，得，解得：，∴一次函數(shù)的表達式為，令，則；在降溫過程中，當水溫為時，有，則，∵，∴加熱一次，水溫不低于的時間為．【典例8】（2024·湖南·模擬預測）物理實驗課上，小明為探究電流與接入電路的滑動變阻器之間的關系，設計如圖所示的電路圖．已知電源的電壓保持不變，小燈泡的電阻為．改變接入電路的滑動變阻器的電阻，電流表的讀數(shù)即電流發(fā)生改變．當接入電路的滑動變阻器的電阻為時，電流表的讀數(shù)為．(1)求電路中的電阻關于接入電路的滑動變阻器的電阻之間的函數(shù)關系，(2)求電流關于電路中的電阻的函數(shù)關系；(3)如果電流表的讀數(shù)為，則接入電路的滑動變阻器的電阻為多少？【答案】(1)(2)(3)接入電路的滑動變阻器的電阻為．【知識點】實際問題與反比例函數(shù)【分析】本題考查了反比例函數(shù)應用，掌握串聯(lián)電路的特點以及歐姆定理是解題關鍵．（1）根據串聯(lián)電路的特點可知，燈泡與滑動變阻器串聯(lián)接入電路，則電路中的總電阻等于各部分的電阻之和，即可求解；（2）由歐姆定律可知，，進而得出電源的電壓為，即可求解；（3）將代入（2）所求解析式，即可求解．【詳解】（1）解：由題意可知，燈泡與滑動變阻器串聯(lián)接入電路，則電路中的總電阻等于各部分的電阻之和，電路中的電阻；（2）解：由歐姆定律可知，，由題意可知，小燈泡的電阻為，當接入電路的滑動變阻器的電阻為時，電流表的讀數(shù)為，，解得：，即電源的電壓為，電流關于電路中的電阻的函數(shù)關系為；（3）解：電流表的讀數(shù)為，，解得：，答：接入電路的滑動變阻器的電阻為．考點五：反比例函數(shù)與幾何綜合（含k的幾何意義）【典例1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，雙曲線經過A、B兩點，連接、，過點B作軸，垂足為D，交于點E，且E為的中點，則的面積是（

）A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5【答案】A【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、相似三角形的判定與性質綜合【分析】本題考查了反比例函數(shù)，相似三角形的判定與性質等知識，過點A作，垂足為F，設，證明，有，根據E為的中點，可得，，進而有，，可得，，則有，問題隨之得解．【詳解】如圖，過點A作，垂足為F，設，，∵軸，，∴軸，，∴，∴，∵E為的中點，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：A．【典例2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）矩形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與邊交于點D，與邊交于點F，與交于點E，，若四邊形的面積為2，則k的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、相似三角形的判定與性質綜合【分析】本題考查了矩形的性質、三角形面積的計算、反比例函數(shù)的圖象和性質、相似三角形的判定和性質；熟練掌握矩形的性質和反比例函數(shù)的性質是解決問題的關鍵．過點E作，則，設，由，可得，再由，列方程，即可得出k的值．【詳解】過點E作，則，∴，∴設，∵∴，∴∴即，解得：故選D【典例3】（2024·內蒙古·中考真題）下列說法中，正確的個數(shù)有（

）①二次函數(shù)的圖象經過兩點，m，n是關于x的元二次方程的兩個實數(shù)根，且，則恒成立．②在半徑為r的中，弦互相垂直于點P，當時，則．③為平面直角坐標系中的等腰直角三角形且，點A的坐標為，點B的坐標為，點C是反比例函數(shù)的圖象上一點，則．④已知矩形的一組鄰邊長是關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且矩形的周長值與面積值相等，則矩形的對角線長是．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關系、y=ax2+bx+c的圖象與性質、反比例函數(shù)與幾何綜合、利用垂徑定理求值【分析】利用二次函數(shù)與一元二次方程的關系及二次函數(shù)的圖象和性質即可判斷①；過點O作，垂足分別為M，N，連接，先證明四邊形是矩形，再利用勾股定理，垂徑定理求解即可判斷②；先證明，進而得出點C的坐標，即可求解，進而判斷③；先由一元二次方程根與系數(shù)的關系得出的值，再根據題意得出一元二次方程，求出a的值，進而求解即可判斷④．【詳解】∵二次函數(shù)的圖象經過兩點，∴當時，，∵m，n是關于x的元二次方程的兩個實數(shù)根，且，∴，故①正確；如圖，過點O作，垂足分別為M，N，連接，∴M、N分別為的中點，，∵弦互相垂直，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，同理可得，∴，故②正確；當點C在第一象限時，過點C作于點D，∴，∴，∴，∵，∴，∵點A的坐標為1,0，點B的坐標為，∴，∴，∴∵點C是反比例函數(shù)的圖象上一點，∴；當點C在第二象限時，同理可得∴；綜上，或，故③錯誤；設矩形兩邊分別為m，n，∵矩形的一組鄰邊長是關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且矩形的周長值與面積值相等，∴，∴，解得（負舍），∴，∵矩形對角線，故④正確；綜上，正確的個數(shù)有3個，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系，二次函數(shù)的圖象和性質，勾股定理，垂徑定理，全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，反比例函數(shù)的解析式，一元二次方程根與系數(shù)的關系等，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【典例4】（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，正方形與（其中邊，分別在，軸的正半軸上）的公共頂點在反比例函數(shù)的圖象上，直線與，軸分別相交于點，．若這兩個正方形的面積之和是，且．則的值是（

）A．5 B．1 C．3 D．2【答案】C【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、相似三角形的判定與性質綜合【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖形與性質，反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，利用線段的長度表示出點的坐標是解題的關鍵．設，利用正方形的性質和相似三角形的判定與性質得到a，b的關系式，再利用求得a，b值，則點A坐標可求，最后利用待定系數(shù)法解答即可得出結論．【詳解】解：設，由題意得：．∵正方形與（其中邊分別在x，y軸的正半軸上）的公共頂點A在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．∴．∴，∴．故選：C【典例5】（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知點，，，在平行四邊形中，它的對角線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，且，則．【答案】【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、利用平行四邊形的性質求解、相似三角形的判定與性質綜合【分析】本題考查了反比例函數(shù)與平行四邊形綜合，相似三角形的性質與判定，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，根據平行四邊形的性質得出，證明得出，，進而可得，即可求解．【詳解】如圖所示，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，∵四邊形是平行四邊形，點，，，∴，∴，即，則，∵軸，軸，∴∴∴∴，∴∴故答案為：．【典例6】（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B在反比例函數(shù)的圖像上，軸于點C，，將沿翻折，若點C的對應點D落在該反比例函數(shù)的圖像上，則k的值為．【答案】【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、折疊問題、解直角三角形的相關計算【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，掌握求解的方法是解題的關鍵．如圖，過點作軸于點．根據，，設，則，由對稱可知，，即可得，，解得，根據點C的對應點D落在該反比例函數(shù)的圖像上，即可列方程求解；【詳解】解：如圖，過點作軸于點．∵點A的坐標為，∴，∵，軸，設，則，由對稱可知，，∴，∴，，∴，∵點C的對應點D落在該反比例函數(shù)的圖像上，∴，解得：，∵反比例函數(shù)圖象在第一象限，∴，故答案為：．【典例7】（2024·四川樂山·中考真題）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標軸的距離都小于或等于1的點叫做這個函數(shù)圖象的“近軸點”．例如，點0,1是函數(shù)圖象的“近軸點”．（1）下列三個函數(shù)的圖象上存在“近軸點”的是（填序號）；①；②；③．（2）若一次函數(shù)圖象上存在“近軸點”，則m的取值范圍為．【答案】③或【知識點】從函數(shù)的圖象獲取信息、求一次函數(shù)解析式、y=ax2+bx+c的圖象與性質、反比例函數(shù)與幾何綜合【分析】本題主要考查了新定義——“近軸點”．正確理解新定義，熟練掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特點，是解決問題的關鍵．（1）①中，取，不存在“近軸點”；②，由對稱性，取，不存在“近軸點”；③，取時，，得到1,0是的“近軸點”；（2）圖象恒過點，當直線過時，，得到；當直線過時，，得到．【詳解】（1）①中，時，，不存在“近軸點”；②，由對稱性，當時，，不存在“近軸點”；③，時，，∴1,0是的“近軸點”；∴上面三個函數(shù)的圖象上存在“近軸點”的是③故答案為：③；（2）中，時，，∴圖象恒過點，當直線過時，，∴，∴；當直線過時，，∴，∴；∴m的取值范圍為或．故答案為：或．【典例8】（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點A、B，與軸交于點C，點A的橫坐標為2．(1)求的值；(2)利用圖像直接寫出時的取值范圍；(3)如圖2，將直線沿軸向下平移4個單位，與函數(shù)的圖像交于點D，與軸交于點E，再將函數(shù)的圖像沿平移，使點A、D分別平移到點C、F處，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)(2)或(3)8【知識點】求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象平移問題、反比例函數(shù)與幾何綜合、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用：（1）先求出點坐標，再將點代入一次函數(shù)的解析式中求出的值即可；（2）圖像法求不等式的解集即可；（3）根據平移的性質，得到陰影部分的面積即為的面積，進行求解即可．【詳解】（1）點在的圖像上，當時，．∴，將點代入，得．（2）由（1）知：，聯(lián)立，解得：或，∴；由圖像可得：時的取值范圍為：或．（3）∵，∴當時，，∴，∵將直線沿軸向下平移4個單位，∴，直線的解析式為：，設直線與軸交于點H∴當時，，當時，，∴，，∴，∴，如圖，過點作，垂足為，∴．又，，．連接，∵平移，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴陰影部分面積等于的面積，即．【典例9】（2024·山東青島·中考真題）如圖，點為反比例函數(shù)圖象上的點，其橫坐標依次為．過點作x軸的垂線，垂足分別為點；過點作于點，過點作于點，…，過點作于點．記的面積為的面積為的面積為．(1)當時，點的坐標為______，______，______，______（用含n的代數(shù)式表示）；(2)當時，______（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)；；；(2)【知識點】圖形類規(guī)律探索、反比例函數(shù)與幾何綜合【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，圖形類的規(guī)律探索：（1）先求出，進而得到，再求出，，則，同理可得，，，再根據三角形面積計算公式求出的面積，然后找到規(guī)律求解即可；（2）仿照（1）表示出的面積，然后找到規(guī)律求解即可．【詳解】（1）解：當時，反比例函數(shù)解析式為，在中，當時，；當時，；當時，，∴，∵軸，∴，∵，∴，∴；同理可得，，，∴，，，∴，，……以此類推可得，；故答案為：；；；；（2）解：當時，反比例函數(shù)解析式為，在中，當時，；當時，；當時，，∴，∵軸，∴，∵，∴，同理可得，，，∴，，，以此類推可得，．【典例10】（2024·廣東·中考真題）【問題背景】如圖1，在平面直角坐標系中，點B，D是直線上第一象限內的兩個動點，以線段BD為對角線作矩形，軸．反比例函數(shù)的圖象經過點A．【構建聯(lián)系】（1）求證：函數(shù)的圖象必經過點C．（2）如圖2，把矩形沿BD折疊，點C的對應點為E．當點E落在y軸上，且點B的坐標為時，求k的值．【深入探究】（3）如圖3，把矩形沿BD折疊，點C的對應點為E．當點E，A重合時，連接交BD于點P．以點O為圓心，長為半徑作．若，當與的邊有交點時，求k的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、矩形與折疊問題、相似三角形的判定與性質綜合、解直角三角形的相關計算【分析】（1）設，則，用含的代數(shù)式表示出，再代入驗證即可得解；（2）先由點B的坐標和k表示出，再由折疊性質得出，如圖，過點D作軸，過點B作軸，證出，由比值關系可求出，最后由即可得解；（3）當過點B時，如圖所示，過點D作軸交y軸于點H，求出k的值，當過點A時，根據A，C關于直線對軸知，必過點C，如圖所示，連，，過點D作軸交y軸于點H，求出k的值，進而即可求出k的取值范圍．【詳解】（1）設，則，∵軸，∴D點的縱坐標為，∴將代入中得：得，∴，∴，∴，∴將代入中得出，∴函數(shù)的圖象必經過點C；（2）∵點在直線上，∴，∴，∴A點的橫坐標為1，C點的縱坐標為2，∵函數(shù)的圖象經過點A，C，∴，，∴，∴，∵把矩形沿折疊，點C的對應點為E，∴，，∴，如圖，過點D作軸，過點B作軸，∵軸，∴H，A，D三點共線，∴，，∴，∵，∴，∴,∵，∴，，∴，由圖知，，∴，∴；（3）∵把矩形沿折疊，點C的對應點為E，當點E，A重合，∴，∵四邊形為矩形，∴四邊形為正方形，，∴，，，∵軸，∴直線為一，三象限的夾角平分線，∴，當過點B時，如圖所示，過點D作軸交y軸于點H，∵軸，∴H，A，D三點共線，∵以點O為圓心，長為半徑作，，∴，∴，∴，，，∵軸，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，當過點A時，根據A，C關于直線對軸知，必過點C，如圖所示，連，，過點D作軸交y軸于點H，∵,∴為等邊三角形，∵，∴，∴，，∴，，∵軸，∴，∴，∴,∴，∴，∴，∴,∴當與的邊有交點時，k的取值范圍為．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形，一次函數(shù)的性質，反比例函數(shù)的性質，矩形的性質，正方形的判定和性質，軸對稱的性質，圓的性質等知識點，熟練掌握其性質，合理作出輔助線是解決此題的關鍵．易錯點1：利用反比例函數(shù)的性質時，誤認為所給出的點在同一曲線上1.反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在描述反比例函數(shù)的增減性時，一定要有“在其每個象限內”這個前提．當k＞0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當k＞0時，y隨x的增大而減?。瑯?，當k＜0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．【典例1】（2024·天津·中考真題）若點都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題主要考查了比較反比例函數(shù)值的大小，根據反比例函數(shù)性質即可判斷．【詳解】解：，反比例函數(shù)的圖象分布在第一、三象限，在每一象限隨的增大而減小，點，都在反比例函數(shù)的圖象上，，．∵，在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴.故選：B．【典例2】（2024·廣西·中考真題）已知點，在反比例函數(shù)的圖象上，若，則有（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征是解題的關鍵．根據點Mx1,y1，N【詳解】解：點Mx1,y1，，，，，，．故選：A．【典例3】（2024·山東濟寧·中考真題）已知點在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據反比例函數(shù)的性質得到函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，結合三點的橫坐標即可求解，掌握反比例函數(shù)圖象的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，∵，∴∴，故選：C．【典例4】（2024·貴州·模擬預測）已知點在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，比較的大小，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析【知識點】求反比例函數(shù)解析式、比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求解析式，反比例函數(shù)圖象的性質，掌握待定系數(shù)法的運用，反比例函數(shù)增減性是解題的關鍵．（1）把代入，運用待定系數(shù)法計算即可求解；（2）由解析式可得函數(shù)圖象位于第二、四象限，每個象限，隨的增大而增大，由此即可求解．【詳解】（1）解：把代入，得，解得，反比例函數(shù)的表達式為．（2）解：，函數(shù)圖象位于第二、四象限，點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，，，．【典例5】（2024·貴州黔東南·二模）如圖，直線（為常數(shù)）與雙曲線（為常數(shù)）相交于兩點．(1)求的值；(2)在雙曲線上任取兩點Mx1,y1和Nx2,(3)請直接寫出關于的不等式的解集．【答案】(1)，(2)當或時，；當時，，判斷過程見詳解(3)或【知識點】求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式、比較反比例函數(shù)值或自變量的大小、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題主要考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的結合，以及數(shù)形結合，（1）利用待定系數(shù)法求得，即可求得點中a的值；（2）根據反比例函數(shù)k，可知反比例函數(shù)圖象在第二、四象限，且在每個象限內，隨的增大而增大，分情況討論即可；（3）結合一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點，以及圖象位置關系即可求得滿足條件的x．【詳解】（1）解：將點的坐標代入，得，雙曲線的解析式為．將點的坐標代入，得．則，；（2）解：對于，故反比例函數(shù)圖象在第二、四象限，且在每個象限內，隨的增大而增大，當或時，；當時，根據圖象可得．綜上所述，當或時，；當時，．（3）解：∵交于兩點，且，∴或．易錯點2：利用函數(shù)圖象解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義．注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實際意義；【典例1】（2024·遼寧·模擬預測）2023年新能源汽車繼續(xù)保持快速增長，產銷突破了900萬輛，市場占有率超過，汽車出口再創(chuàng)新高，全年出口接近500萬輛．為繼續(xù)擴大銷量，某城市新能源汽車銷售商推出分期付款購車促銷活動，交付首付款后，若余款在60個月內結清，則不計算利息．張先生在該銷售商手上購買了一輛價值為20萬元的新能源汽車，交了首付款后余款由平均每月付款y萬元，x個月結清．y與x滿足某函數(shù)關系，其部分對應值如下表，請回答下列問題．x/月…24710…y/萬元…72…(1)確定y與x的函數(shù)表達式，并求出首付款；(2)若張先生用40個月結清，則平均每月應付多少萬元；(3)如果張先生打算每月付款萬元，那么他能否在規(guī)定不計算利息的期限內結算？【答案】(1)（的整數(shù)），首付款為6萬元(2)平均每月應付萬元(3)他能在規(guī)定不計算利息的期限內結算【知識點】由反比例函數(shù)值求自變量、求反比例函數(shù)值、求反比例函數(shù)解析式、實際問題與反比例函數(shù)【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的應用，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，解答本題的關鍵是找出等量關系，列出函數(shù)解析式．（1）利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；（2）在（1）的基礎上，知道自變量，便可求出函數(shù)值；（3）知道了y的值，利用解析式即可求出自變量的值．【詳解】（1）解：由表格猜想y與x成反比例函數(shù)關系，設y與x的函數(shù)表達式為，當，，代入表達式得，，與x的函數(shù)表達式為（的整數(shù)），經檢驗表中其他各組對應值均滿足此表達式，當時，，（萬元）．首付款為6萬元；（2）當時，（萬元），答：平均每月應付0.35萬元；（3）當時，，解得，，答：他能在規(guī)定不計算利息的期限內結算．【典例2】（2024·寧夏銀川·一模）如圖①，將一長方體放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式擺放實驗，記錄了桌面所受壓強P與受力面積S的數(shù)據關系如下表所示(壓強的計算公式是：)：桌面所受壓強250400500800受力面積0.80.5a0.25(1)求出壓強關于受力面積的函數(shù)表達式及a的值；(2)如圖②，將另一長、寬、高分別為，，，且與原長方體相同質量的長方體放置于該水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大壓強為，問：這種擺放方式是否安全？若安全，請說明理由，若不安全，請通過計算說明如何擺放更安全．（長方體完全置于玻璃桌面上）【答案】(1)；；(2)見解析．【知識點】實際問題與反比例函數(shù)【分析】本題考查反比例函數(shù)解應用題，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式、反比例函數(shù)圖像與性質等知識，讀懂題意，找出反比例函數(shù)表達式是解決問題的關鍵．（1）根據題中數(shù)據，可知壓強關于受力面積的滿足反比例函數(shù)關系，待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式即可得到答案；（2）由（1）中關系式，求出接觸面積，代值求解與玻璃桌面承受的最大壓強為比較即可得到答案．【詳解】（1）解：，壓強關于受力面積的滿足反比例函數(shù)關系，設壓強關于受力面積的函數(shù)表達式為，則，壓強關于受力面積的函數(shù)表達式為；把代入，得，解得；（2）這種擺放方式不安全．理由：由已知，此時，∴這種擺放方式不安全．當將長為60cm，寬為10cm這一面置于玻璃桌面時，此時，則∴這種擺放方式不安全．當將長為60cm，寬為40cm這一面置于玻璃桌面時，此時，則∴這種擺放方式是安全的．【典例3】（2024·寧夏銀川·三模）某水果生產基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種水果，如圖是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關閉后，大棚內的溫度與時間之間的函數(shù)關系，其中線段、表示恒溫系統(tǒng)開啟后階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統(tǒng)關閉階段．請根據圖中信息解答下列問題：(1)這個恒溫系統(tǒng)設定的恒定溫度為多少；(2)若大棚內的溫度低于時，水果會受到傷害，問：這天內有多長時間水果生長不受傷害？【答案】(1)這個恒溫系統(tǒng)設定的恒定溫度為：．(2)這天內有小時水果生長不受傷害．【知識點】求一次函數(shù)解析式、實際問題與反比例函數(shù)【分析】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的應用，掌握待定系數(shù)法是關鍵．（1）設線段解析式為，根據圖象求出函數(shù)解析式，再求出恒定溫度即可；（2）根據圖象可知整個圖象由三部分組成：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、恒溫，根據題意設函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式；根據各時間段的函數(shù)解析式算出時的值，進而即可求解．【詳解】（1）解：設線段解析式為，∵線段過點，，∴，解得，∴線段的解析式為：當時，，∴這個恒溫系統(tǒng)設定的恒定溫度為：．（2）解：根據解析（1）可知，線段的解析式為：當時，，∴B坐標為，∴點C的坐標為，∴線段的解析式為：，設雙曲線解析式為：∵，∴，∴雙曲線的解析式為：，∵當時，，∴，∵當時，，∴，∴氣溫不低于的適宜溫度是：．答：這天內有小時水果生長不受傷害．【典例4】（2024·湖南郴州·模擬預測）某數(shù)學小組探究“酒精對人體的影響”，資料顯示，一般飲用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）的關系可近似的用如圖所示的圖象表示．國家規(guī)定，人體血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．(1)求部分雙曲線的函數(shù)表達式；(2)參照上述數(shù)學模型，假設某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上能否駕車出行？請說明理由．【答案】(1)(2)不能，見解析【知識點】實際問題與反比例函數(shù)、求反比例函數(shù)解析式【分析】本題考查反比例函數(shù)的應用，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象、待定系數(shù)法的應用是解題關鍵．（1）由待定系數(shù)法可以求出的函數(shù)表達式，從而得到點坐標，進一步得到點坐標，然后再利用待定系數(shù)法可以得到部分雙曲線的函數(shù)表達式；（2）在部分雙曲線的函數(shù)表達式中令，可以得到飲用低度白酒100毫升后完全醒酒的時間范圍，再把題中某人喝酒后到準備駕車的時間間隔進行比較即可得解．【詳解】（1）解：設的函數(shù)表達式為，則：，，的函數(shù)表達式為，當時，，可設部分雙曲線的函數(shù)表達式為，由圖象可知，當時，，，部分雙曲線的函數(shù)表達式為；（2）解：在中，令，可得：，解之可得：，晚上到第二天早上的時間間隔為，，某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上時體內的酒精含量高于20（毫克百毫升），某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上不能駕車出行．【典例5】（2024·貴州遵義·三模）如圖，在平面直角坐標系中，是等腰直角三角形，．反比例函數(shù)的圖像分別與，交于點和點．(1)求反比例函數(shù)的表達式和點的坐標；(2)若一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像相交于點，當點在反比例函數(shù)圖像上，之間的部分時（點可與點，重合），求出的取值范圍．【答案】(1)；(2)【知識點】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應用、求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)與幾何綜合【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征、反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合應用等知識，運用熟練掌握反比例函數(shù)的圖像與性質是解題關鍵．（1）利用待定系數(shù)法解得反比例函數(shù)的表達式；結合題意可知的橫坐標為4，進而計算點的坐標；（2）分別計算當一次函數(shù)的圖像經過點，時的值，即可獲得答案．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖像經過點，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為；∵是等腰直角三角形，，且與反比例函數(shù)的圖像交于點，∴的橫坐標為4，對于反比例函數(shù)，當時，，∴點的坐標為；（2）把代入得，，把代入得，，∴的取值范圍是．易錯點3：反比例函數(shù)k的幾何意義【類