2025年中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練正方形折疊問題專題練習(xí)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練正方形折疊問題專題練習(xí)1．如圖①，在正方形中，是上的點（不與、重合），連接，把沿折疊得到，延長交于點，連接．(1)求證：；(2)如圖②，過點作的垂線，交的延長線于點，連接，求證：；(3)在圖②中，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．綜合與實踐利用正方形紙片的折疊開展數(shù)學(xué)活動，探究體會在正方形折疊過程中，圖形與線段的變化及其蘊含的數(shù)學(xué)思想方法．如圖①，E為正方形的邊上的一個動點，，將正方形對折，使點與點重合，點與點重合，折痕為．思考探索（1）將正方形展平后沿過點的直線折疊，使點的對應(yīng)點落在上，折痕為，連接，如圖②，請根據(jù)以上條件填空．①點在以點為圓心，的長為半徑的圓上（填線段）；②的長為；拓展延伸（2）當(dāng)時，正方形沿過點的直線（不過點）折疊后，點的對應(yīng)點落在正方形的內(nèi)部或邊上．求面積的最大值；3．【感知】如圖①，在正方形中，點、分別在邊，上，．求證：．【拓展】在圖①的基礎(chǔ)，將沿翻折，點的對應(yīng)點落在上，如圖②．若，，則______．【應(yīng)用】如圖③，在正方形中，點在邊上，點在邊上，將沿翻折，點的對稱點落在邊上，如圖③．若，，則四邊形的面積為______．4．如圖，正方形中，，E為邊上一點，，連接，．點為線段上一個動點，，將沿線段折疊，得到，連接．(1)求，的長；(2)當(dāng)點落在線段上，求的長；(3)連接，若為等腰三角形，求的值及．5．把正方形對折，得到折痕（如圖①），展開后把正方形沿折疊，使點落在上的點處，連接（如圖②）．試求及的度數(shù)．6．如圖，在正方形中，點為上一點，連接，把沿折疊得到，延長交于點，連接．(1)求證；(2)如圖，若正方形邊長為，點為的中點，連接，求線段的長；(3)在（）的條件下求出的面積．7．在一次數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)活動中，某學(xué)習(xí)小組進行以下的探究操作：(1)如圖1，矩形中，，，點P是邊上的一個動點，將沿進行翻折到，當(dāng)Q點折疊到上時，求和的長；(2)如圖2，矩形中，，，若點P、O分別為是邊的中點，點H是邊上的一個動點，連接，將四邊形沿PH折疊，得到四邊形，連接，求長度的最小值．（直接寫出結(jié)果）(3)如圖3，當(dāng)矩形變成正方形，且正方形的邊長為10，在P點移動的過程中，①當(dāng)時，求的長；②當(dāng)為等腰三角形時，請在備用圖中探究并直接寫出線段的長．8．綜合與實踐：數(shù)學(xué)活動課上，老師組織數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們以“正方形折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖（1），已知正方形紙片，數(shù)學(xué)小組將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形的內(nèi)部，點B的對應(yīng)點為點M，折痕為，再將紙片沿過點A的直線折疊使與重合，折痕為，易知點E、M、F共線，則______，三條線段的數(shù)量關(guān)系為______；(2)探究遷移：如圖（2），數(shù)學(xué)小組在圖（1）的條件下進行如下操作：作于點N，交于點P，請寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)拓展應(yīng)用：如圖（3），數(shù)學(xué)小組在圖（1）的條件下進行如下操作：將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點為點N，他們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點E的位置不同時，點N的位置也不同，若點N恰好落在邊上，，請直接寫出此時的長度．9．已知直線過正方形的頂點，與直線交于一點，與關(guān)于直線對稱，連接，過點作于點，過點作于點．(1)如圖1，當(dāng)交點在線段上時，_______，，與之間大小關(guān)系為：_______．(2)如圖，當(dāng)交點在線段右側(cè)上時，（）中的結(jié)論還成立嗎？并說明理由．(3)當(dāng)交點在線段左側(cè)上時，請直接寫出結(jié)論．10．（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，將正方形紙片沿折疊，使點落在正方形內(nèi)部的點處，連接．①求證：；②求的度數(shù)；（2）【拓展探究】如圖2，在（1）的條件下，繼續(xù)將正方形紙片沿折疊，若，求線段的長；（3）【遷移應(yīng)用】如圖3，在矩形中，點在，點在上，將矩形沿、折疊，點落在點處，點落在點處，，恰好在同一直線上，若點為的三等分點，，，請求出線段的長．11．如圖1，四邊形是邊長為6的正方形，為上一點，將沿折疊，點落在點處，連接，．(1)若為的中點，求的面積．要解決這個問題，可以這樣思考：如圖2，過作，可得與、都垂直，在中，由勾股定理得，由等面積法可求得，因此，由可得，則，因此，所以________；(2)如圖3，若為的三等分點（），則________；(3)如圖4，若為的等分點（），則________．12．折疊問題是我們常見的數(shù)學(xué)問題，它是利用圖形變化的軸對稱性質(zhì)解決的相關(guān)問題．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動．在正方形中，點在射線上，將正方形紙片沿所在直線折疊，使點A落在點處，連接，直線交所在直線于點，連接．【觀察猜想】（1）如圖1，當(dāng)時，_____．【類比探究】（2）如圖2，正方形的邊長為4，，連接，取的中點，連接，求的度數(shù)及線段的長度．【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，當(dāng)被線段分成一個等邊三角形和一個等腰三角形時，請直接寫出線段的長度．13．如圖，點是正方形的邊上一動點(點不與、重合)，連接，將沿翻折，使點落在點處．

(1)當(dāng)最小時，的值為；(2)如圖，連接并延長，交的延長線于點，在點的運動過程中，的大小是否變化，若變化，請說明理由；若不變，請求的值；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，試探索、、之間的數(shù)量關(guān)系．14．綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．【操作判斷】(1)如圖①，在正方形中，點是的中點，交于點．點是邊上的一點，連接，將正方形紙片沿所在直線折疊，點的對應(yīng)點落在上．已知，則的度數(shù)為______；【深入探究】(2)如圖②，在圖①的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，點是邊上的一點，連接，將正方形紙片沿所在直線折疊，點的對應(yīng)點落在上．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系；【拓展應(yīng)用】(3)如圖③，在圖②的基礎(chǔ)上，點，分別是，的中點，順次連接、、、，若，求點，之間的距離．15．如圖1，在正方形中，點E是上一動點，將正方形沿著折疊，使點B落在F處，連接，延長交于點G．(1)【初步探究】在E的運動過程中，與始終保持全等的關(guān)系，請說明理由．(2)【深入探究】把圖1中的延長交于點H，如圖2，若，求線段的長．(3)【拓展延伸】如圖3，將正方形改成矩形，同樣沿折疊，連接，延長交直線CD與點G、H兩點，若，直接寫出的值（用含m的代數(shù)式表示）．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練正方形折疊問題專題練習(xí)》參考答案1．(1)見解析(2)見解析(3)，理由見解析【分析】（1）沿折疊得到，則，，，，用即可證明；（2）證明，而，則為等腰直角三角形，即可求解；（3）證明，則．本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)得到相等的邊和相等的角，證明三角形全等，作出輔助線也是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：沿折疊得到，則，，，，∴，∴；（2）證明：，則，∵，∴，則，，∴為等腰直角三角形，∴；（3）解：，理由：設(shè)正方形的邊長為，在上取，則，則，，，，，則，∴．2．（1）①；②；（2）【分析】本題考查了圓的性質(zhì)，正方形的折疊、勾股定理等．（1）①利用圓的基本性質(zhì)，即可求解；②根據(jù)折疊的性質(zhì)，利用勾股定理，即可求解；（）由題意知點在以點為圓心，半徑長為的圓上，的面積要最大，只要以為底的高最長即可，此時當(dāng)時，的面積最大．【詳解】解：（1）正方形中，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)知：，，，，①點在以點為圓心，的長為半徑的圓上；②；故答案為：①，②，（），，，故點在以點為圓心，半徑長為的圓上，的面積要最大，只要以為底的高最長即可，當(dāng)時，的面積最大，如圖：的面積最大值．3．（1）見解析；（2）；（3）【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)勾股，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，則，根據(jù)，得出，即可推出，即可求證；（2）易得，，用面積法得出，由折疊可得：，最后根據(jù)，即可解答；（3）易得四邊形均為矩形，則，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，求出，最后根據(jù)四邊形的面積為即可解答．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，解得：，由折疊可得：，∴，故答案為：；（3）過點H作于點P，∵，四邊形是正方形，∴四邊形均為矩形，∴，由折疊可得：，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴四邊形的面積為．故答案為：．4．(1)，；(2)(3)的值面積為或，面積為4．【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)和勾股定理解答即可；（2）利用折疊的性質(zhì)得到，利用三角形的面積公式和正方形的性質(zhì)得到正方形的面積，進而求得，再利用勾股定理解答即可得出結(jié)論；（3）利用分類討論的思想方法分三種情況討論解答∶①當(dāng)CF=FD時，連接，利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到為等邊三角形，則，利用折疊的性質(zhì)解答即可；②當(dāng)時利用等腰三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得到為等邊三角形，則，，利用折疊的性質(zhì)解答即可；③不存在的情形，綜上即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：正方形中，，E為邊上一點，，，，，；（2）當(dāng)點F落在線段上，如圖，則，，．．E為邊上一點，，，，，；（3）①當(dāng)CF=FD時，連接BF，如圖，，．將沿線段折疊，得到，，，，，，，，，，，，在和中，，，，為等邊三角形，，，；過F作于N，交于M，則，四邊形為矩形，，，為等腰三角形，，由折疊的性質(zhì)得∶，，的面積；②當(dāng)時，如圖，，，，為等邊三角形，，，，，作于M，于N，如圖所示∶則，由折疊的性質(zhì)得∶，，為等邊三角形，，在中，，，的面積；③不存在的情形，綜上，若為等腰三角形，的值面積為或，面積為4．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．5．，【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)和等腰三角形判定和性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可以證明是等邊三角形，進而可得，再利用正方形性質(zhì)證明，根據(jù)等邊對等角求出，進而求解.【詳解】解：連接，如圖．由折疊可得，垂直平分，∴是等邊三角形，，∵在正方形中，，，，．，，．6．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（）由正方形得，，由折疊的性質(zhì)得，，即可得，，進而利用即可求證；（）由正方形的邊長為得，進而由折疊得，又由得，設(shè)，則，，在中，利用勾股定理求出即可求解；（）求出，再根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，由折疊可得，，，∴，，在和，，∴；（2）解：∵正方形邊長為，∴，∵點為的中點，∴，由折疊可得，，∵，∴，設(shè)，則，，在中，，∴，解得，∴；（3）解：∵，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，掌握正方形和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(1)，(2)長度的最小值是；(3)①；②線段的長為或．【分析】（1）設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)可得，，由勾股定理可得，，即可求解；（2）連接、，根據(jù)矩形和折疊性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求得，，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求解即可；（3）①過作交于，交于，取的中點，連接，可證，從而可得，，設(shè)，則有，設(shè)，則，設(shè)，則，由勾股定理可得，，，即可求解；②分三種情況討論，當(dāng)時，在的垂直平分線上，過作交于，交于，由勾股定理可得，設(shè)，則，再由，即可求解；當(dāng)時，過作交于，交于，同理可求解，當(dāng)時，與重合，不符合題意．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，，設(shè)，則，由折疊得：，，在中：，，在中：，即：，解得：，；故：，；（2）解：連接、，∵四邊形是矩形，，∴，，∵點、分別是邊、的中點，∴，，∴，由折疊性質(zhì)得，，，∴，∵，當(dāng)點O、P、E共線時取等號，長度的最小值是；（3）解：①如圖，過作交于，交于，取的中點，連接，，四邊形是正方形，，，四邊形是矩形，，，，由折疊得：，，，，，，在和中，()，，，設(shè)，則有，，在中：即：，解得：，，，設(shè)，則，在中：，在中：解得：，，，，，，設(shè)，則，，在中：即：，解得：；故的長為；②當(dāng)時，在的垂直平分線上，如圖，過作交于，交于，，由（2）同理可證：四邊形是矩形，，，，，在中：，，，設(shè)，則，，在中：，即：，解得：，故；當(dāng)時，如圖，如圖，過作交于，交于，，，，在中：，，設(shè)，則，，同理可得：，解得：，故；當(dāng)時，與重合，不符合題意；綜上所述：當(dāng)為等腰三角形時，的長為或時．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等，掌握相關(guān)的性質(zhì)及判定方法，能根據(jù)折疊性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化到直角三角形中用勾股定理求解的典型解法，根據(jù)等腰三角形的腰不同進行分類討論是解題的關(guān)鍵．8．(1)；(2)，證明見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，由此可得．由，可得三點共線．又由可得；（2）由，可得，于是可得，由“同角的余角相等”可得，最后根據(jù)角邊角即可證明，即可得到；（3）分兩種情況：當(dāng)點N落在上時，當(dāng)點N落在上時，分別利用三角函數(shù)解直角三角形即可求得的長．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，．沿折疊后得，沿折疊后得，，，，即．，．三點共線．，，．故答案為：；；（2）解：，證明：∵，．，，．中，，．中，，，．在和中，，，∴；（3）解：如圖，當(dāng)點N落在上時，

∵四邊形是正方形，．由折疊的性質(zhì)可得，，．，∴；如圖，當(dāng)N落在上時，

∵四邊形是正方形，，由折疊的性質(zhì)可得，又，，∴，，，，綜上，的長為或．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、利用三角函數(shù)解直角三角形，綜合性強，難度較大．熟練掌握正方形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，證出是解題的關(guān)鍵．9．(1)，(2)不成立，，．理由見解析(3)，【分析】（1）過點作，連接，由正方形的性質(zhì)得，，進而根據(jù)同角的余角相等證明，根據(jù)對稱性得垂直平分，，從而證明點，，三點共線，又證四邊形是矩形，得，，再證（），得，即，從而可得，再利用三角形的內(nèi)角和可得；（2）過點作，連接，由（）得點，，三點共線，四邊形是矩形，（），從而，，，，即，于是可得，再由，得，從而得；（3）過點作，連接，由（）得點，，三點共線，，四邊形是矩形，，，，，再證（），得，即，從而得，．【詳解】（1）解：如圖，過點作，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∵與關(guān)于直線對稱，∴垂直平分，，∵，∴點，，三點共線，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，，∴，，∴，在和中，∴（），∴，即，∴，∵，∴，故答案為：，；（2）解：（）中的結(jié)論不成立，，，理由如下：如圖，過點作，連接，由（）得點，，三點共線，四邊形是矩形，（），∴，，，，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴（）中的結(jié)論不成立，，；（3）解：，，理由如下：如圖，過點作，連接，由（）得點，，三點共線，，四邊形是矩形，，，，，∴，，，∴，∴在和中，∴（），∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，同角的余角相等，過平面內(nèi)一點有且只有一條直線與已知直線垂直，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（1）①見解析；②；（2）；（3）．【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得，，再由折疊的性質(zhì)得：，，即可證明；②根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到，，由可得，即可求解；（2）證是等腰直角三角形，得，則，求出，由直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）分兩種情形：當(dāng)，當(dāng)，利用相似三角形的性質(zhì)分別求解即可．【詳解】解：（1）①四邊形是正方形，，，由折疊知，，，，，，；②四邊形是正方形，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，即；（2）四邊形是正方形，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，由（1）得：，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，；（3）如圖，在上取一點，使得，過點作于點，交于點，連接，得到正方形，當(dāng)時，，四邊形是矩形，，，，，，，由（1）可知，設(shè)，則，，，，當(dāng)時，同法可得．綜上所述，滿足條件的的值為或．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，證出∠EAF＝45°是解題的關(guān)鍵．11．(1)(2)(3)【分析】（1）由三角形面積可得出答案；（2）連接，過作，交于G，可得與、都垂直，由勾股定理得，由等面積法可求得，由可得，求出，，由三角形面積可得出答案；（3）方法同（2）由相似三角形的性質(zhì)及三角形面積可得出答案．【詳解】（1）解：，，三角形的面積，故答案為：；（2）解：如圖，連接，過作，交于G，可得與、都垂直，為的三等分點，，，在中，由勾股定理得，，，，由（1）知，，，，，．故答案為：；（3）解：由題意得，同理可得，同（2）知，，，，，．故答案為：．【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，翻折變換，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識．12．（1）45（2），（3）或【分析】（1）利用正方形性質(zhì)和折疊性質(zhì)，先由推出，進而得，再根據(jù)算出等角度，然后依據(jù)判定，從而得出．（2）根據(jù)折疊性質(zhì)得出角和邊的關(guān)系，通過計算推出，結(jié)合角的等量關(guān)系得到，由折疊性質(zhì)知，進而得．再利用正方形性質(zhì)求，依據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)求出．（3）對被分成一個等邊三角形和一個等腰三角形的情況進行分類討論：當(dāng)為等邊三角形時，先得出，通過角的運算求出和，再在中利用正切函數(shù)求出的長度．當(dāng)為等邊三角形時，得出，通過角的關(guān)系得到，進而求出，最后在中根據(jù)正切函數(shù)求出的長度．【詳解】在正方形中，．∵，由折疊性質(zhì)可知，且．∴，∴∵，∴．∴．∴．∴因為，，，∴．∴，故答案為：45；（2）由折疊可知，，．四邊形為正方形，．又，，．又，．由折疊的性質(zhì)可得，．點為的中點，，在正方形中，，，．（3）情況一：當(dāng)是等邊三角形，是等腰三角形時，如圖：此時，因為，所以．已知，在中，，解得．情況二：當(dāng)是等邊三角形，是等腰三角形時：此時，則．在中，，解得．綜上所述：段的長度為或．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、圖形折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是熟練運用上述性質(zhì)和定理，通過分析折疊前后圖形的角與邊的關(guān)系，結(jié)合特殊三角形的性質(zhì)進行推理計算．13．(1)(2)為，理由見解析(3)【分析】（1）當(dāng)，，三點共線時，有最小值，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）過點作于點，則，證出，則可得出結(jié)論；（3）過點作，交的延長線于點，則，證明，得出，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵將沿翻折，∴，，，∵，即，∴當(dāng)，，三點共線時，有最小值，此時，如圖，設(shè)，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：；

（2）為．理由如下：過點作于點，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∵將沿翻折，使點落在點處，∴，，又∵，∴，又∵，∴，又∵，，∴，∴，即，又∵，∴；

（3）．理由如下：過點作，交的延長線于點，，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，即．

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．14．(1)(2)，理由見解析(3)