《集合間的基本關(guān)系》教學設(shè)計

7/161.1.2集合間的基本關(guān)系(徐應娟)一、教學目標（一）核心素養(yǎng) 本節(jié)課是集合的含義與表示的延續(xù)，核心是集合與集合間的“包含”、“真包含”、“相等”關(guān)系，通過對集合間關(guān)系的探究，感受數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理，提高分析與解決數(shù)學問題的能力，熟悉數(shù)學探究基本特點．通過實例，了解子集、真子集、空集等概念，區(qū)分一些容易混淆的關(guān)系和符號，規(guī)范數(shù)學表達．（二）學習目標1．在應用類比思想探究兩個集合的包含和相等關(guān)系的過程中，體會辨證思想，能用數(shù)學的思維方式去認識世界，提高分析、解決問題的能力．2．理解集合之間包含與相等的含義，在具體情境中，了解空集的含義，掌握并能使用Venn圖表達集合的關(guān)系，加強從具體到抽象的思維能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想．能識別給定集合的子集，能判斷給定集合間的關(guān)系，能區(qū)別元素與集合間的屬于關(guān)系和集合間的包含關(guān)系．（三）學習重點 1．子集、真子集、空集的概念． 2．集合間包含關(guān)系與相等關(guān)系的含義．（四）學習難點 1．對子集、真子集、空集概念的正確理解． 2．對新學的數(shù)學符號的正確使用． 3．屬于與包含之間的區(qū)別．二、教學設(shè)計（一）課前設(shè)計 1．預習任務 （1）讀一讀：閱讀教材第6頁至第7頁，填空：一般地，對于兩個集合，，如果集合中任意一個元素都是集合的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作，讀作“A包含于B”（或“B包含A”）．如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此時，集合與集合的元素是一樣的，因此集合與集合相等，記作A=B．如果，但存在元素且我們稱集合是集合的真子集，記作（或?）．我們把不含任何元素的集合叫空集，記作，并規(guī)定：空集是任何集合的子集．（2）寫一寫：寫出集合的所有子集．0個元素的：;1個元素的：;2個元素的：．（3）想一想：包含關(guān)系與屬于關(guān)系有什么區(qū)別？“”與“”的區(qū)別：“”表示元素與集合之間的關(guān)系，如；“”表示集合與集合之間的關(guān)系，如，．預習自測數(shù)0與集合的關(guān)系是（）A．0∈B．0＝C．{0}＝D．0?【答案】D．（2）集合{1，2，3}的子集的個數(shù)是（）A．7 B．4C．8 D．6【答案】C．（3）下列六個關(guān)系式中正確的個數(shù)為（）①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}?{b，a}；③＝{}；④{0}＝；⑤0∈{0}．A．2 B．5C．4 D．3【答案】D．(二)課堂設(shè)計 1．知識回顧（1）一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合．只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的．（2）如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A，記作；如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作aA．（3）除了用自然語言表示集合，還能用列舉法、描述法表示集合． 2．問題探究探究一回顧舊知，提出新問●活動①回顧舊知問題：元素與集合之間的關(guān)系應如何表示？（可舉例進行說明） 元素與集合間是“∈”或“”的關(guān)系，如1∈{1，2，3}；0{1，2，3}等．【設(shè)計意圖】檢驗學生上節(jié)課所學知識掌握情況，并為后續(xù)探究集合間的關(guān)系做好鋪墊．●活動②創(chuàng)設(shè)情境，提出問題對兩個數(shù)，應有對于兩個集合、，它們之間有什么關(guān)系？【設(shè)計意圖】結(jié)合學生已有知識經(jīng)驗，通過類比啟發(fā)學生思考并積極探索集合間的關(guān)系．探究二探究集合間的關(guān)系、集合的子集以及集合的性質(zhì)★▲●活動①歸納提煉子集的概念觀察下面4個例子，指出給定兩個集合中的元素有什么關(guān)系？每個例子中的兩個集合又有什么關(guān)系呢？（1），;（2），;（3）E＝{x︱x是等邊三角形}，F(xiàn)＝{x︱x是三角形}； （4）G＝{x︱x＞2}，H＝{x︱2x－1≥3}．我們可以看到，（1）中的集合中的任何元素都是集合的元素，（2）中的集合中的元素都是集合中的元素，（3）中的集合的任何元素都是集合的元素，（4）中的集合中的任何元素都是集合中的元素．一般地，對于兩個集合，，如果集合中任意一個元素都是集合的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集（subset），記作，讀作“包含于”（或“包含”）．在數(shù)學中，除了用列舉法、描述法來表示集合之外，我們還有一種更簡潔、直觀的方法——用平面上的封閉曲線的內(nèi)部來表示集合Venn（韋恩）圖．那么，集合A是集合B的子集用圖形表示如下：【設(shè)計意圖】通過實例的共性探究，感知子集的概念，并通過圖形更加深入體會子集的含義及數(shù)形結(jié)合的思想．●活動②歸納提煉集合相等的概念觀察下面4個例子，各對集合中，有沒有包含關(guān)系？（1）;（2）（3）E＝{x︱x是等腰三角形}，F(xiàn)＝{x︱x是兩條邊相等的三角形}；（4）G＝{x︱x＞2}，H＝{x︱2x－1≥3}．顯然，是的子集，是的子集，是的子集，是的子集．反過來，是的子集，是的子集，是的子集，是的子集．一般地，如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此時，集合與集合的元素是一樣的，因此集合與集合相等，記作．【設(shè)計意圖】通過實例的共性探究，感知集合相等的概念．在上一節(jié)課用元素完全相同表示集合相等的基礎(chǔ)上，從子集的角度提升對集合相等的理解．●活動③歸納提煉真子集的概念問題1：若，則集合與一定相等嗎？不一定，比如活動②中的四個例子．問題2：若，則可能有，也可能．當，且時，我們?nèi)绾芜M行數(shù)學解釋？如果，但存在元素且我們稱集合是集合的真子集，記作（或?）．【設(shè)計意圖】在理解子集、集合相等的含義基礎(chǔ)上，進一步提煉真子集的概念．●活動④歸納提煉空集的概念觀察下面2個集合，它們有何共同特點？（1）；（2）．顯然，這兩個集合中都沒有元素．我們把不含任何元素的集合叫空集，記作．規(guī)定：空集是任何集合的子集，即．空集是任何非空集合的真子集，即【設(shè)計意圖】通過實例的共性探究，感知空集這個比較難理解的抽象的概念．●活動⑤類比實數(shù)大小關(guān)系，歸納子集基本性質(zhì)實數(shù)集合對于實數(shù)，有；對于集合，有．對于實數(shù)如果【設(shè)計意圖】通過類比數(shù)的大小關(guān)系的結(jié)論，引導學生推導集合的兩個性質(zhì)．探究三識別給定集合的子集，判斷給定集合間的關(guān)系★▲●活動①基礎(chǔ)型例題填寫下表，并回答問題原集合子集子集的個數(shù)________________________________________________________________由此猜想，含n個元素的集合的所有子集的個數(shù)是多少？真子集的個數(shù)、非空子集及非空真子集個數(shù)呢？【知識點】子集與真子集、集合中元素個數(shù)的最值．【數(shù)學思想】分類討論思想．【解題過程】的子集只有它本身，子集有1個．的子集為：，；子集共2個．的子集為：，，，；子集共4個．的子集為：，，，，，，，；子集共8個． 【思路點撥】按子集元素個數(shù)為標準進行分類． 【答案】原集合子集子集的個數(shù)1，2，，，4，，，，，，，8有n個元素的集合，含有2n個子集，2n－1個真子集，2n－1個非空子集，n個元素的非空真子集有2n－2個．同類訓練已知集合滿足，寫出集合．【知識點】子集與真子集、集合中元素個數(shù)的最值．【數(shù)學思想】分類討論思想．【解題過程】因為，則1、2一定在中．又因為，則中的元素一定在中，即中的元素不包含1、2、3、4、5以外的元素．若含有2個元素，則；若含有3個元素，則；若含有4個元素，則；若M含有5個元素，則．【思路點撥】通過集合間包含關(guān)系的含義按元素個數(shù)分類羅列．【答案】【設(shè)計意圖】從簡單到復雜，從特殊到一般，歸納總結(jié)出集合子集個數(shù)與元素個數(shù)的關(guān)系，更加深入理解子集的含義．例2判斷下列關(guān)系是否正確．；(2)?；(3);(4)；(5);(6)?．【知識點】集合的包含關(guān)系判斷及應用、集合相等．【數(shù)學思想】【解題過程】（1）集合中的元素1、2都是集合的元素，而集合中的元素3不是集合的元素，故正確；（2）因為，所以?錯誤；（3）任何一個集合是它本身的子集，因此正確；（4）中沒有任何元素，而{0}中有一個元素，兩者不相等，故＝{0}錯誤；（5）空集是任何非空集合的真子集，因此{0}正確；（6）空集是任何集合的子集，因此?正確．【思路點撥】通過子集、真子集、集合相等的含義及集合性質(zhì)做出正確判斷．【答案】（1）、（3）、（5）、（6）正確，（2）、（4）錯誤．同類訓練下列各式中錯誤的個數(shù)為()（1）(2)(3)(4)A．1B．2C．3D．4【知識點】元素與集合關(guān)系的判斷、集合的包含關(guān)系判斷及應用、集合相等．【數(shù)學思想】【解題過程】（1）顯然正確；（2）“”是表示元素與集合間的關(guān)系，不能表示集合與集合之間的關(guān)系，因此錯誤；（3）因為任何一個集合是它本身的子集，則正確；（4）因為集合，且，則正確．【思路點撥】通過子集、真子集、集合相等的集合間的關(guān)系及元素與集合的關(guān)系做出正確判斷．【答案】C．【設(shè)計意圖】鞏固檢查集合間的關(guān)系、元素與集合的關(guān)系．●活動②提升型例題例3已知集合，，則A與B的關(guān)系為________．【知識點】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題．【數(shù)學思想】化歸與轉(zhuǎn)化思想．【解題過程】方法一：(列舉法)對于集合A，取k=…，0，1，2，3，…，得A={…，eq\f(1,2)，eq\f(3,2)，eq\f(5,2)，eq\f(7,2)，…}．對于集合B，取k=…，0，1，2，3，4，5，…，得B={…，0，eq\f(1,2)，1，eq\f(3,2)，2，eq\f(5,2)，…}．故AB．方法二：(特征性質(zhì)法)集合A：，分子為奇數(shù)．集合B：，分子為整數(shù)．則AB．【思路點撥】通過列舉法和特征性質(zhì)法兩種不同的方法進行分析，均可得到集合A、B之間的關(guān)系．【答案】AB．同類訓練設(shè)集合，則，之間的關(guān)系為()A．B．?C．D．= 【知識點】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題． 【數(shù)學思想】化歸與轉(zhuǎn)化思想． 【解題過程】，，則． 【思路點撥】將兩個用描述法表示的集合轉(zhuǎn)化成列舉法表示的集合． 【答案】A． 【設(shè)計意圖】鞏固檢查集合的表示法，提高轉(zhuǎn)化的思維能力．例4設(shè)集合，且，求實數(shù)k的取值范圍．【知識點】集合的包含關(guān)系判斷及應用、集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題．【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過程】因為，所以或．當時，有，解得．當時，有解得．綜上，或．【思路點撥】關(guān)注真子集的含義，結(jié)合圖形解決．【答案】或．同類訓練已知集合，，且AB，求實數(shù)的取值集合．【知識點】集合的包含關(guān)系判斷及應用、集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題．【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過程】將數(shù)集表示在數(shù)軸上(如下圖)，要滿足AB，表示數(shù)的點必須在表示4的點處或在表示4的點的右邊，所以所求的集合為．【思路點撥】關(guān)注真子集的含義，結(jié)合圖形解決．【答案】．【設(shè)計意圖】鞏固檢查真子集的含義，體會數(shù)形結(jié)合的思想．●活動③探究型例題例5已知集合，，是否存在實數(shù)x，使得集合B是A的子集？若存在，求出A，B，若不存在，說明理由．【知識點】集合的包含關(guān)系判斷及應用、集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題、集合的確定性、互異性、無序性． 【數(shù)學思想】分類討論思想．【解題過程】因為B?A，所以x+2=3或．當x+2=3，即x=1時，A={1,3,1}不滿足互異性．當，即x=2或x=-1．若x=2時，A={1,3,4}，B={1,4}，滿足B?A．若x=-1時，A={1,3,1}不滿足互異性．綜上，存在x=2使得B?A．此時，A={1,3,4}，B={1,4}．【思路點撥】結(jié)合集合的確定性、互異性、無序性分清況討論x的值和集合A、B．【答案】存在x=2使得B?A．此時，A={1,3,4}，B={1,4}．同類訓練若集合，，且．求由的可取值組成的集合．【知識點】集合的包含關(guān)系判斷及應用，集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題，集合的確定性、互異性、無序性．【數(shù)學思想】分類討論思想．【解題過程】易得，當時，，有．當時，方程的解為，又因為，則或，即或．故所求集合為．【思路點撥】先確定集合的元素，再結(jié)合集合的確定性、互異性、無序性分清況討論的值和集合．【答案】．【設(shè)計意圖】鞏固檢查子集的含義，鍛煉分類討論問題的能力．3．課堂總結(jié) 知識梳理（1）一般地，對于兩個集合，，如果集合中任意一個元素都是集合的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集（subset），記作，讀作“包含于”（或“包含”）．（2）如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此時，集合與集合的元素是一樣的，因此集合與集合相等，記作=． （3）如果，但存在元素且我們稱集合是集合的真子集，記作（或）．（4）不含任何元素的集合叫空集，記作．（5）空集是任何集合的子集，即；空集是任何集合的真子集，即A；任何一個集合都是它自己的子集，即;重難點歸納 （1）元素與集合間的關(guān)系用“∈”、“”來表示，集合與集合間的關(guān)系用“”、“”、“=”來表示． （2）集合與集合間的關(guān)系涉及到含參數(shù)問題時，要注意分類討論，并能用元素的互異性進行檢驗．（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．下列集合中表示空集的是()A． B．C．D．【知識點】空集的定義、性質(zhì)及運算．【數(shù)學思想】【解題過程】因為中分別表示的集合為，，，則都不是空集；又因為無解，則表示空集．【思路點撥】根據(jù)空集的含義進行判斷．【答案】D．2．集合{1，2，3}的子集的個數(shù)是()A．7B．4C．6 D．8 【知識點】子集與真子集、集合中元素個數(shù)的最值． 【數(shù)學思想】分類討論思想． 【解題過程】根據(jù)探究結(jié)論得該集合的子集個數(shù)為． 【思路點撥】根據(jù)集合子集的個數(shù)與集合元素的個數(shù)關(guān)系求得． 【答案】D．3．已知集合，，那么集合與Q的關(guān)系是()A．B．C． D． 【知識點】集合的表示法、子集與真子集． 【數(shù)學思想】 【解題過程】因為，，則Q＝{2，3，4，5}．因此，． 【思路點撥】先求出集合，再判斷集合與集合的關(guān)系． 【答案】C．4．設(shè)，集合，則等于()A．1B．－1C．2 D．－2【知識點】集合的相等．【數(shù)學思想】【解題過程】因為，所以，即因此，，選C．【思路點撥】結(jié)合集合的確定性、互異性、無序性分清況討論的值．【答案】C．已知集合，集合，若，則實數(shù)________．【知識點】子集與真子集、集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題．【數(shù)學思想】【解題過程】因為，，，所以．【思路點撥】根據(jù)集合的包含關(guān)系確定兩集合元素間的關(guān)系．【答案】4．6．已知，，則集合與之間的關(guān)系是________．【知識點】集合的包含關(guān)系判斷及應用．【數(shù)學思想】【解題過程】因為，則．又因為，則．【思路點撥】先用配方法求解集合，再判斷集合和集合的關(guān)系．【答案】．能力型師生共研7．已知集合，且中至少含有一個奇數(shù)，則這樣的集合的個數(shù)為()A．6B．5C．4 D．3 【知識點】集合的包含關(guān)系判斷及應用． 【數(shù)學思想】分類討論思想． 【解題過程】因為中至少含有一個奇數(shù)，所以可能含有1個奇數(shù)，也可能含有2個奇數(shù)．若只含有1個奇數(shù)，則或；若A含有2個奇數(shù)，則．因此，滿足條件的有4個． 【思路點撥】對集合中奇數(shù)元素按個數(shù)分類討論． 【答案】D．8．設(shè)集合，，，求的值．【知識點】元素與集合的關(guān)系、集合的包含關(guān)系判斷及應用．【數(shù)學思想】【解題過程】因為，所以中元素都是中的元素，故分兩種情況．(1)，解得－1或2，經(jīng)檢驗滿足條件．(2)，解得1，此時中元素重復，舍去．綜上所述，－1或2．【思路點撥】利用元素與集合關(guān)系、集合的包含關(guān)系構(gòu)造方程組或數(shù)量關(guān)系求解．【答案】－1或2．探究型多維突破 9．已知集合，求的值．【知識點】集合的確定性、互異性、無序性、集合的相等．【數(shù)學思想】分類討論思想．【解題過程】因為，則，或；即（舍去），或，或． 【思路點撥】利用元素與集合關(guān)系、集合的相等關(guān)系構(gòu)造方程組或數(shù)量關(guān)系求解． 【答案】，或．10．是實數(shù)，集合，，若，求．【知識點】集合的相等、集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題．【數(shù)學思想】分類討論思想．【解題過程】因為，所以，，，即，得．若，則不滿足互異性，舍去；若，滿足題意．因此，．【思路點撥】利用元素與集合關(guān)系、集合的相等關(guān)系構(gòu)造方程組或數(shù)量關(guān)系求解．【答案】