高一數(shù)學(xué)必修第一冊同步學(xué)與練（人教A版）第04講 奇偶性（解析版）

第04講3.2.2奇偶性

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①了解函數(shù)奇偶性的含義，掌握判斷函數(shù)奇

偶性的方法，了解奇偶性與函數(shù)圖象對稱性

之間的關(guān)系.

②利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式，利用函通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法，會求

數(shù)的奇偶性解有關(guān)函數(shù)不等式，利用函數(shù)的與奇偶函數(shù)有關(guān)的函數(shù)解析式，能處理與函數(shù)單調(diào)性、

周期性相關(guān)的綜合問題.

奇偶性求參數(shù)范圍.

③能解決與函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性有

關(guān)的綜合問題.

知識點(diǎn)01：函數(shù)的奇偶性

1、定義：

1.1偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镮，如果xI，都有xI，且fxfx，那么函

數(shù)fx就叫做偶函數(shù).

1.2奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镮，如果xI，都有xI，且fxfx，那么

函數(shù)fx就叫做奇函數(shù).

2、函數(shù)奇偶性的判斷

2.1定義法：

（1）先求函數(shù)f(x)的定義域I，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.

（2）求f(x)，根據(jù)f(x)與f(x)的關(guān)系，判斷f(x)的奇偶性：

①若f(x)f(x)0f(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)

②若f(x)f(x)0f(x)f(x)f(x)是偶函數(shù)

f(x)f(x)0f(x)f(x)

③若f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

f(x)f(x)0f(x)f(x)

f(x)f(x)

④若f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

f(x)f(x)

2.2圖象法：

（1）先求函數(shù)f(x)的定義域I，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.

（2）若f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱f(x)是偶函數(shù)

（3）若f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱f(x)是奇函數(shù)

2.3性質(zhì)法：

f(x)，g(x)在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：

f(x)

f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

g(x)

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

【即學(xué)即練1】（2023春·青海西寧·高二?？奸_學(xué)考試）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)，既是奇函數(shù)又是減函

數(shù)的是（）

1

A．fxxB．fxC．fxxxD．fxx2

x

【答案】C

1

【詳解】對于A，fxx為增函數(shù)，不符合題意；對于B，fx為奇函數(shù)，但是該函數(shù)在定義域內(nèi)不

x

符合單調(diào)遞減的定義，錯誤；對于C，f(x)xxf(x)，故為奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2在0,

上單調(diào)遞減，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2在,0單調(diào)遞減，故C符合題意；對于D，fxx2為偶函數(shù)，且

在定義域內(nèi)不單調(diào).

故選：C

知識點(diǎn)02：奇函數(shù)，偶函數(shù)的性質(zhì)

1、奇函數(shù)，偶函數(shù)的圖象特征

設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镮

（1）fx是偶函數(shù)fx的圖象關(guān)于y軸對稱；

（2）fx是奇函數(shù)fx的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；

（3）若fx是奇函數(shù)且0I，則f00

2、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系

（1）fx是偶函數(shù)fx在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；

（2）fx是奇函數(shù)fx在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；

3、函數(shù)的奇偶性與函數(shù)值及最值的關(guān)系

設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)閇b,a][a,b]（其中ab0）

（1）fx是偶函數(shù)，且fx在[a,b]上單調(diào)，則fx在[b,a]上有相反的單調(diào)性，

此時(shí)函數(shù)的最大（?。┲迪嗤?；

（2）fx是奇函數(shù)，且fx在[a,b]上單調(diào)，則fx在[b,a]上有相同的單調(diào)性，

此時(shí)函數(shù)的最值互為相反數(shù)；

【即學(xué)即練2】（2023·全國·高三對口高考）設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0,)上為單調(diào)遞增函數(shù)，且f(2)0，則

f(x)f(x)

不等式0，的解集為（）

x

A．[2,0][2,)B．(,2](0,2]

C．(,2][2,)D．[2,0)(0,2]

【答案】D

【詳解】由題意可得，奇函數(shù)f(x)在(0,)和(,0)上都為單調(diào)遞增函數(shù)，

且f2f20，函數(shù)圖像示意圖如圖所示：

f(x)f(x)2f(x)f(x)

故不等式0，即0，即0，

xxx

結(jié)合f(x)的示意圖可得它的解集為{x|2x0或0x2}

故選：D．

知識點(diǎn)03：對稱性

1、軸對稱：

設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镮，且xa是fx的對稱軸，則有：

①faxf(ax)；

②fxf(2ax)

③fxf(2ax)

2、點(diǎn)對稱

設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镮，且(a,0)是fx的對稱中心，則有：

①faxf(ax)；

②fxf(2ax)

③fxf(2ax)

3、拓展：

ba

①若faxf(bx)，則fx關(guān)于x對稱；

2

ba

②若faxf(bx)，則fx關(guān)于(,0)對稱；

2

【即學(xué)即練3】（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）已知函數(shù)fx，gx的定義域均為R，且

fxf2x4，gxfx11，若gx1為偶函數(shù)，且f20，則g2022g2023（）

A．5B．4C．3D．0

【答案】B

【詳解】∵fxf2x4，∴fx以1,2為對稱中心，且f12；

∵gx1gx1即fx1fx1，

∴fx為偶函數(shù)，以y軸為對稱軸；

∴f(2x)f2x，即fx2f2x，

由fxf2x4知，fx2fx4，

∴fx2f2x，fx2fx2，

從而fx22fx22，即fx4fx，

∴fx的周期為4，∴gx的周期為4；

故g2022g2023g2g1f11f2121014．

故選：B.

題型01函數(shù)奇偶性定義與判斷

【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）

x

A．f(x)x3B．f(x)|x1|C．f(x)1D．f(x)

x21

【答案】C

【詳解】對于A，函數(shù)f(x)x3的定義域?yàn)镽，f(x)(x)3x3f(x)，f(x)不是偶函數(shù)，A不是；

對于B，函數(shù)f(x)|x1|的定義域?yàn)镽，f(x)|x1||x1|f(x)，f(x)不是偶函數(shù)，B不是；

對于C，函數(shù)f(x)1的定義域?yàn)镽，f(x)1f(x)，f(x)是偶函數(shù)，C是；

xx

對于D，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)f(x)，f(x)不是偶函數(shù)，D不是.

x21(x)21

故選：C

【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)f(x)x|x|(x0)的奇偶性是（）

A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既奇又偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)

【答案】D

【詳解】函數(shù)f(x)x|x|(x0)的定義域?yàn)?,0]，不關(guān)于數(shù)0對稱，

所以函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù).

故選：D

【典例3】（2022秋·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)fx滿足

fx1x22x1

(1)求函數(shù)fx的解析式；

1

(2)若函數(shù)gxfxf，試判斷gx的奇偶性，并證明.

x

【答案】(1)fxx2

(2)偶函數(shù)，證明見解析

2

【詳解】（1）由于fx1x22x1x1，

所以fxx2.

121

（2）gxfxfxx0，

xx2

gx為偶函數(shù)，證明如下：

gx的定義域?yàn)閤|x0，

211

2

且gxx2x2gx，

xx

所以gx是偶函數(shù).

【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（）

A．f(x)xB．f(x)|x|C．f(x)x2D．f(x)x21

【答案】A

【詳解】對于A，f(x)x的定義域?yàn)镽，f(x)xf(x)，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，A是；

對于B，f(x)|x|的定義域?yàn)镽，f(x)|x|f(x)，函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)，B不是；

對于C，f(x)x2的定義域?yàn)镽，f(x)(x)2f(x)，函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)，C不是；

對于D，f(x)x21的定義域?yàn)镽，f(x)(x)21f(x)，函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)，D不是.

故選：A

2

【變式2】（2022秋·北京·高一北京師大附中?？计谥校┮阎瘮?shù)f(x)a，g(x)xa（aR）.

x

(1)當(dāng)a1時(shí)，解關(guān)于x的不等式f(x)0；

(2)判斷函數(shù)yf(x)g(x)的奇偶性，并證明；

【答案】(1)0x2

(2)奇函數(shù)，證明見解析

22x

【詳解】（1）當(dāng)a1時(shí),f(x)10,

xx

x(2x)0

即,解得0x2.

x0

2

（2）依題意，yf(x)g(x)x，判斷函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：

x

2

令h(x)x，定義域?yàn)?0(0,)，

x

22

因?yàn)閔(x)x(x)h(x)，

xx

所以函數(shù)為奇函數(shù).

題型02由奇偶性求解析式

【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，fxx2，

則當(dāng)x0時(shí)，fx（）

A．x2B．x2C．x-2D．x2

【答案】C

【詳解】x0時(shí)，x0，fxx2，∴fxfxx2，

故選：C.

【典例2】（2023·云南曲靖·宣威市第七中學(xué)?？寄M預(yù)測）函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，

f(x)x22x．

（1）求函數(shù)f(x)在x(,0)的解析式；

（2）當(dāng)m0時(shí)，若|f(m)|1，求實(shí)數(shù)m的值．

【答案】（1）f(x)x22x；（2）1或12.

【詳解】（1）令x(,0)，則x(0,)，

由f(x)f(x)，此時(shí)f(x)x22x；

（2）由m0，|f(m)|m22m1，

所以m22m1，

解得m1或m12或m12（舍）.

axb

【典例3】（2023春·云南文山·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx是定義在1,1上的奇函數(shù)，且

1x2

14

f.

25

（1）確定函數(shù)fx的解析式；

（2）試判斷函數(shù)fx的單調(diào)性，并用定義法證明.

2x

【答案】（1）fx；（2）fx在1,1上單調(diào)遞增，證明見解析

1x2

axb

【詳解】（1）∵函數(shù)fx是定義在1,1上的奇函數(shù)，

1x2

∴由f00，得b0．

1

a

144

又∵f，∴2，解之得a2；

1

2515

4

2x

所以函數(shù)fx的解析式為：fx；

1x2

2x12x22x1x21x1x2

（）設(shè)1xx1，則fxfx∵1xx1，

21212222212

1x11x21x11x2

22

x1x20,1x1x20,1x10,1x20，

∴fx1fx20，即fx1fx2，

所以fx在1,1上單調(diào)遞增．

【變式1】（2023春·河北石家莊·高二正定中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx是定義在3,3上的奇函數(shù)，

1

當(dāng)0x3時(shí)，fxx2x.

2

(1)求當(dāng)3x0時(shí)，函數(shù)fx的解析式；

(2)若fa1f2a10，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

1

【答案】(1)fxx2x

2

(2)(0,2]

【詳解】（1）設(shè)3≤x0，則0x3，

11

所以fx(x)2xx2x，

22

因?yàn)閒x是定義在3,3上的奇函數(shù)，

所以fxfx，

1

所以fxx2x，

2

1

所以fxx2x

2

1

即當(dāng)3≤x0時(shí)，函數(shù)fx的解析式為fxx2x，

2

（2）由fa1f2a10，得fa1f2a1，

因?yàn)閒x為奇函數(shù)，所以fa1f12a，

1121

當(dāng)0x3時(shí)，fxx2xx1，

222

所以fx在(0,3]上單調(diào)遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)fx是定義在3,3上的奇函數(shù)，

所以fx在3,3上單調(diào)遞增，

3a13

所以32a13，解得0a2，

a112a

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,2]

【變式2】（2023秋·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，

2

fxx2.

x

(1)求fx在R上的解析式；

(2)當(dāng)x2,1時(shí)，求fx的值域.

2

x2,x0

x

【答案】(1)fx0,x0

2

x2,x0

x

(2)3,1

【詳解】（1）∵函數(shù)fx為奇函數(shù)，則有：

22

當(dāng)x0時(shí)，則x0，故fxfxx2x2；

xx

當(dāng)x0時(shí)，則f00；

2

x2,x0

x

所以fx在R上的解析式為fx0,x0.

2

x2,x0

x

2

（2）當(dāng)x2,1時(shí)，則fxx2，

x

1122

對x1,x22,1，且x1x2，則，故，

x1x2x1x2

22

∴x12x22，即fx1fx2，

x1x2

2

故fxx2在2,1上為增函數(shù)，

x

且f23,f11，則3fx1，

所以當(dāng)x2,1時(shí)，fx的值域?yàn)?,1.

題型03由奇偶性求參數(shù)

【典例1】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知f(x)x2xa是偶函數(shù)，則a（）

A．1B．1C．2D．2

【答案】D

【詳解】方法一：因?yàn)閒xx2a2x2a，

所以fxx2a2x2a，

由fxfx，得x2a2x2ax2a2x2a，

解得a2；

方法二：fxx2a2x2a，

因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，

所以f(x)圖像關(guān)于直線x0對稱，

a2

所以0，解得a2，

2

故選：D．

【典例2】（2023秋·高一單元測試）設(shè)f(x)ax2bx2是定義在[1a,1]上的偶函數(shù)，則a2b=

1

A．0B．2C．2D．

2

【答案】C

【詳解】由于f(x)在[1a,1]上的偶函數(shù)，故定義域[1a,1]關(guān)于原點(diǎn)對稱，即：1a10，得a2.

2

又由于f(x)為偶函數(shù)，即：f(x)f(x)ax2bx2axbx2，化簡得：b=0.

則a2b202.

故選：C.

【典例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)x2cx1是偶函數(shù)，其中c為常數(shù).

(1)求c的值；

(2)若mn2時(shí)，均有f(m)f(n)f(1)，求m的取值范圍.

【答案】(1)c=0；

3

(2)m

2

【詳解】（1）函數(shù)f(x)x2cx1是偶函數(shù)，則xR，f(x)f(x)0，

即[(x)2c(x)1](x2cx1)02cx0，而x不恒為0，則c=0，

所以c的值是0.

（2）由（1）知，f(x)x21，f(1)2，由mn2，得n2m，

顯然f(m)f(n)m21[(2m)21]4m4，由f(m)f(n)f(1)，

3

得4m42，解得m，

2

3

所以m的取值范圍是m.

2

【變式1】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知f(x)(x1)(xa)為偶函數(shù)，則a=（）

A．2B．1C．1D．2

【答案】B

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(x1)(xa)為偶函數(shù)，

則xR,f(x)f(x)0(x1)(xa)(x1)(xa)0，

即xR,2(a1)x0，因此a10，解得a1，

所以a1.

故選：B

【變式2】（2023秋·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)fxx3a2x2x是定義在

[2b,b3]上的奇函數(shù)，則fab＝（）

A．1B．0C．1D．2

【答案】B

【詳解】因?yàn)閒xx3a2x2x是定義在[2b,b3]上的奇函數(shù)，

所以2bb30，即b=-1，且fx＝x3a2x2xfx，故a20，所以a2，

所以fxx3x，則fabf11310.

故選：B.

【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)fxax2bx3aba1x2a是偶函數(shù)，則a、b的

值是（）

A．a(chǎn)0，b0B．a(chǎn)不能確定，b0

1

C．a(chǎn)0，b不能確定D．a(chǎn),b0

3

【答案】D

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fxax2bx3aba1x2a是偶函數(shù)，

11

可得a12a0，解得a，即fxx2bx1b，

33

1

又由fxx2bx1b，

3

11

因?yàn)楹瘮?shù)fx為偶函數(shù)，則fxfx，即x2bx1bx2bx1b，

33

解得b0.

故選：D.

題型04由奇偶性解不等式

【典例1】（2023春·四川自貢·高一校考階段練習(xí)）已知gx為定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)a1b，

gagb

有0，若gmgm20，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

ab

A．3,B．,3C．1,D．,1

【答案】D

gagb

【詳解】對任意實(shí)數(shù)a1b，有0,所以函數(shù)gx在R上單調(diào)遞減，

ab

又因?yàn)楹瘮?shù)gx為定義在R上的奇函數(shù)，且gmgm20，則gmg2m，所以m2m，2m2,

得m1.

故選：D

【典例2】（2023秋·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）若偶函數(shù)fx在0,上單調(diào)遞增，且f5f5，

則不等式xfx10解集是（）

A．4,06,B．4,6

C．,46,D．,40,6

【答案】A

【詳解】因?yàn)閒x是偶函數(shù)，所以由f5f5f5f5f50，

當(dāng)x0時(shí)，由xfx10fx10f5fx1f5，

因?yàn)閒x在0,上單調(diào)遞增，

所以fx1f5x15x6，或x<4，

而x0，所以x6；

當(dāng)x0時(shí)，由xfx10fx10f5fx1f5，

因?yàn)閒x在0,上單調(diào)遞增，

所以fx1f5x154x6或x<4，

而x0，所以4x0，

故選：A

【典例3】（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）定義在R上的偶函數(shù)fx滿足：在0,上單調(diào)遞減，

則滿足f2x1f1的解集________.

【答案】0,1

【詳解】因?yàn)閒x為定義在R上的偶函數(shù)，且在0,上單調(diào)遞減，

所以f2x1f1f2x1f1，

所以2x1112x11，

即0x1，

故答案為：0,1

【典例4】（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知fx為R上的偶函數(shù)，函數(shù)h(x)x2f(x)在

0,上單調(diào)遞增，則不等式(1x)2f(1x)(3x)2f(3x)0的解集為______.

【答案】,1

【詳解】因?yàn)閒x為R上的偶函數(shù)，函數(shù)h(x)x2f(x)，

2

所以h(x)xf(x)x2f(x)h(x)，即函數(shù)h(x)為偶函數(shù)，

由(1x)2f(1x)(3x)2f(3x)0，可得(1x)2f(1x)(3x)2f(3x)，

即h(1x)h(3x)，又函數(shù)h(x)x2f(x)為偶函數(shù)且在0,上單調(diào)遞增，

所以1x3x，解得x1，即原不等式的解集為,1.

故答案為：,1.

【變式1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）fx為定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x2x10，都有

fxfx

212，且f24，則不等式fx2x的解集為（）

x2x1

A．,22,B．2,C．0,2D．,2

【答案】A

fx2fx1fx2fx1fx22x2fx12x1

【詳解】對任意的x2x10，都有2，則20，

x2x1x2x1x2x1

令gxfx2x，則gxfx2x在0,上單調(diào)遞增，

因?yàn)閒x為定義在R上的偶函數(shù)，

所以gxfx2xfx2xgx，即gxfx2x為偶函數(shù)，

又g2f2220，

由fx2x，可得gxfx2x0，即gxg2，

所以x>2，

所以fx2x的解集為,22,，

故選：A.

【變式2】（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x1,x2[0,)，且x1x2，

fxfx

有120，若f10，則不等式x1fx0的解集是（）

x1x2

A．1,11,B．1,1C．,11,D．,10,1

【答案】A

【詳解】已知fx是定義在R上的偶函數(shù)，則fx=fx，

fx1fx2

又對任意x1,x2[0,)，且x1x2，都有0，

x1x2

所以函數(shù)fx在[0,)上單調(diào)遞增，則函數(shù)fx在,0上單調(diào)遞減，又f10，所以f1f10，

x10x10

根據(jù)函數(shù)fx的單調(diào)性可知：x1fx0等價(jià)為或，

fx0fx0

x1x1

即或，解得x1或1x1，

x1或x11x1

即不等式的解集為1,11,.

故選：A.

【變式3】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函

數(shù)，f(x)在[0,)上單調(diào)遞減，且f(3)0，則不等式(2x5)f(x1)0的解集為（）

55

A．(,2),4B．(4,)C．2,(4,)D．(,2)

22

【答案】C

【詳解】依題意，函數(shù)的大致圖像如下圖：

因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在[0,)上單調(diào)遞減，且f(3)0，

所以f(x)在(,0]上單調(diào)遞增，且f(3)0，

則當(dāng)x3或x3時(shí)，f(x)0；當(dāng)3x3時(shí)，f(x)0，

2x502x50

不等式(2x5)f(x1)0化為或，

f(x1)0f(x1)0

2x502x502x50

所以或或，

x13x133x13

55

解得x4或x或2x，即2x或x4，

22

5

即原不等式的解集為2,(4,)；

2

故選：C.

題型05抽象函數(shù)的奇偶性

【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)yf(x)對任意x,yR，恒有f(xy)f(x)f(y)成立，且

f(1)1．

(1)求證：yf(x)是奇函數(shù)；

(2)求f(2),f(6)的值；

(3)若x0時(shí)，f(x)0，試求f(x)在[2,6]上的最大值和最小值．

【答案】(1)證明見解析

(2)f(2)2，f(6)6

(3)最大值為2，最小值為6

【詳解】（1）定義域?yàn)镽，令xy0，得f(0)0，再令yx，得f(x)f(x)，

所以f(-x)+f(x)=0，故yf(x)是奇函數(shù)；

（2）因?yàn)閒(1)1，故令xy1得f(11)2f(1)，即f(2)2f(1)2，

又yf(x)是奇函數(shù)，所以f(2)2，

令xy2得f(4)2f(2)4，

令x2,y4得f6f4f2426

故f(6)6；

（3）不妨設(shè)x2x1,x1,x2R，

f(xy)f(x)f(y)中，令xx1,yx2x1得，

f(x2)f(x1)f(x2x1)，

因?yàn)閤2x10，又x0時(shí)，f(x)0，

所以f(x2)f(x1)f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)，

所以fx在R上單調(diào)遞減，

故f(x)maxf(2)2,f(x)minf(6)6．

【典例2】（2023秋·高一單元測試）已知函數(shù)fx對一切實(shí)數(shù)x,yR都有fxyf(x)f(y)1成

立，且f32021.

(1)分別求f0和f3的值；

(2)判斷并證明函數(shù)F(x)f(x)1的奇偶性．

【答案】(1)f01，f(3)2023；

(2)F(x)f(x)1是奇函數(shù)，證明見解析.

【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)fx對一切實(shí)數(shù)x,yR都有fxyf(x)f(y)1成立，f32021，

所以當(dāng)xy0時(shí)f0f(0)f(0)1，即f01，

令x3,y3可得f0f(3)f(3)1，所以1f(3)20211，即f(3)2023

（2）令yx可得f0f(x)f(x)1，所以f(x)f(x)2，

所以f(x)1f(x)10，即F(x)Fx0，F(xiàn)(x)Fx，

所以函數(shù)F(x)f(x)1是奇函數(shù).

【變式1】（多選）（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知fx是定義在R上不恒為0的偶函數(shù)，gx

是定義在R上不恒為0的奇函數(shù)，則（）

A．ffx為奇函數(shù)B．ggx為奇函數(shù)

C．fgx為偶函數(shù)D．gfx為偶函數(shù)

【答案】BCD

【詳解】由題意可知，fxfx，所以ffxffx，所以ffx為偶函數(shù)，A項(xiàng)錯誤；

由gxgx，得ggxggxggx，所以ggx為奇函數(shù)，B項(xiàng)正確；

因?yàn)閒gxfgxfgx，所以fgx為偶函數(shù)，C項(xiàng)正確；

因?yàn)間fxgfx，所以gfx為偶函數(shù)，D項(xiàng)正確.

故選：BCD.

【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)fx，gx滿足：

①f01；

②任意的x，yR，fxyfxfygxgy.

（1）求f2xg2x的值；

（2）判斷并證明函數(shù)fx的奇偶性.

【答案】（1）1；（2）偶函數(shù)，證明見解析.

【詳解】（1）依題意，f2xg2xfxfxgxgxfxxf01.

（2）由（1）知f20g201，

∴g20f2010，即g00，

∴fxf0xf0fxg0gxfx，

又因?yàn)閒x的定義域?yàn)镽，

所以函數(shù)fx為偶函數(shù).

題型06函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

【典例1】（2023春·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，x0時(shí)，fxx1，

則f1（）

A．0B．-1C．-2D．2

【答案】C

【詳解】f1112，由于fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f1-f1=-2，

故選：C

【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知f(x)ax3bx1,f(2)10，則f(2)等于（）

A．8B．10C．12D．10

【答案】C

【詳解】函數(shù)f(x)ax3bx1的定義域?yàn)镽，

令函數(shù)g(x)f(x)1ax3bx，顯然g(x)a(x)3b(x)(ax3bx)g(x)，

即函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù)，因此g(2)g(2)0，即f(2)1f(2)10，而f(2)10，

所以f(2)12.

故選：C

【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx是定義在2,2上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0,2時(shí)，

fxx22x2，則fx的最小值是（）

A．2B．1C．1D．2

【答案】A

【詳解】當(dāng)x0,2時(shí)，函數(shù)fxx22x2(x1)21，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

x1fxminf11x2fxmaxf22

所以函數(shù)fx在0,2上的值域?yàn)?,2

因?yàn)閒x是2,2上的奇函數(shù)，所以fx的值域?yàn)?,101,2，

所以fx的最小值是2.

故選：A.

【典例4】（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx是定義在2,2上的奇函數(shù)，

x2x,0x131

且fx，則fff0_________.

x1,1x222

3

【答案】/0.75

4

3331

【詳解】由函數(shù)fx是定義在2,2上的奇函數(shù)，則ff1，f00，

2222

2

111131113

由f，則fff00.

222422244

3

故答案為：.

4

【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若奇函數(shù)fx在區(qū)間[a,b](a0)上是增函數(shù)，則它在區(qū)間[b,a]上是（）

A．增函數(shù)且最大值是f(a)B．增函數(shù)且最小值是f(a)

C．減函數(shù)且最大值是f(b)D．減函數(shù)且最小值是f(b)

【答案】A

【詳解】由題意，奇函數(shù)fx在區(qū)間[a,b](a0)上是增函數(shù)，

則函數(shù)fx在區(qū)間[b,a]也為增函數(shù)，

所以函數(shù)fx在區(qū)間[b,a]上的最大值為f(a)，最小值為f(b).

故選：A.

【變式2】（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[a,a](a0)上的奇函數(shù)，F(xiàn)(x)f(x)1，

則F(x)的最大值與最小值之和為（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【詳解】因?yàn)閒(x)與F(x)的單調(diào)性相同，且f(x)為奇函數(shù)，

設(shè)f(x)在x0[a,a]處取到最大值，則f(x)在x0[a,a]處取到最小值，

可得f(x0)f(x0)0，且F(x)在x0處取到最大值，在x0處取到最小值，

所以F(x0)F(x0)f(x0)1f(x0)1f(x0)f(x0)22.

故選：C.

【變式3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fxax5bx33且f202316，則f2023的值為

__________

【答案】10

【詳解】因?yàn)閒xax5bx33，所以f2023a20235b20233316，

所以a20235b2023313，

所以f2023a(2023)5b(2023)33

(a20235b20233)313310，

故答案為：10.

題型07奇偶函數(shù)對稱性的應(yīng)用

【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)yf(x1)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x3)f(1x)2，

則（）

A．f10B．f20C．f31D．f41

【答案】D

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)yf(x1)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以f(x)關(guān)于x1對稱，則f(1x)f(x1)，

又f(x3)f(1x)2，

所以f(x3)f(x1)2，即fx2fx2,fx4fx22fx，

函數(shù)f(x)的周期為4，

取x0，則f(2)f(0)2f22f2f01，

所以f4f01，則D選項(xiàng)正確，B、C選項(xiàng)錯誤；

由已知條件不能確定f1的值，A選項(xiàng)錯誤；

故選：D.

【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在R上的函數(shù)fx滿足：fxfx2x，且對于0,

fx2fx122

上的x1,x2x1x2有：1.則關(guān)于fxf12x2xx1的不等式解集為______.

x2x1

11

【答案】1,,1

22

【詳解】∵fxfx2x，則fxxfxx，

故函數(shù)Fxfxx為偶函數(shù)，

對于0,上的x1,x2x1x2，不妨設(shè)x1x2，則x2x10，

fx2fx1

由1可得fx2fx1x2x1，即fx2x2fx1x1，

x2x1

故函數(shù)Fx在0,上單調(diào)遞增，則函數(shù)Fx在,0上單調(diào)遞減，

對fxf12x22x2x1，則fxxf12x212x2，即FxF12x2，

2111

則x12x2，即x212x2，解得x21，可得x1或1x，

422

11

故不等式的解集為1,,1.

22

11

故答案為：1,,1.

22

【變式1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fxfx0，fx1是偶函數(shù)，

f11，則f2023f2026（）

A．0B．1C．-1D．2

【答案】B

【詳解】由fx1是偶函數(shù)，f1xf1x，則f2x=fx，又fxfx0，

fx4f2x4fx2fx2f2x2fxfx，

所以fx是周期函數(shù)，周期為4，

對于fxfx0，令x0，得f00，則f2f00，

所以f2023f2026f50641f50642f1f2f11.

故選：B

【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知yfx是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意xR都有

fx2f2x，若f22，則f2022（）

A．1B．0C．1D．2

【答案】D

【詳解】因?yàn)閥fx是定義在R上的奇函數(shù)，所以fxfx，

又由fx2f2x可得，fxfx4，

所以有fxfx4，則fx4fx8，所以fxfx8，

所以yfx是周期函數(shù)，周期T8.

又202282526，所以f2022f6f2，

又f22，f2f22，所以f2022f22.

故選：D.

題型08數(shù)學(xué)思想方法篇（數(shù)形結(jié)合）

【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞增，且f(1)0，則關(guān)

于x的不等式xf(x)0的解集為（）

A．(1,0)(0,1)B．(,1)(0,1)

C．(,1)(1,)D．(1,0)(1,)

【答案】A

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在(0,)上單調(diào)遞增，

所以f(x)在(，0)上單調(diào)遞增，且f(0)0，f(1)0，

可畫出其大致圖像，如圖所示，

因?yàn)閤f(x)0，

所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，解得0x1，

當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，解得1x0，

當(dāng)x0時(shí)，顯然不合題意，

所以不等式xf(x)0的解集為1,00,1，

故選：A．

【典例2】（2023·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知yfx是定義在區(qū)間2