高一數(shù)學(xué)必修第二冊同步學(xué)與練（人教版）第04講 復(fù)數(shù)的乘、除運算（解析版）

第04講7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運算

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.在熟悉課本能容的基礎(chǔ)上，掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法

①掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運算。

和除法運算；

②理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對

2.在學(xué)習(xí)中逐步加強(qiáng)理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和

加法的分配律。

乘法對加法的分配律；

知識點01：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算

（1）復(fù)數(shù)的乘法法則

我們規(guī)定，復(fù)數(shù)乘法法則如下：設(shè)z1abi,z2cdi是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的乘積為

2，

z1z2(abi)(cdi)acadibcibdi(acbd)(adbc)i

即(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i

（2）復(fù)數(shù)乘法滿足的運算律

復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律、分配律

z1z2z2z1(交換律)

(z1z2)z3z1(z2z3)(結(jié)合律)

z1(z2z3)z1z2z1z3(分配律)

【即學(xué)即練1】（2023上·貴州六盤水·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）i59i的虛部為．

【答案】5

【詳解】由題意得i59i95i，所以i59i的虛部為5．

故答案為：5

知識點02：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘方

（1）復(fù)數(shù)的乘方

復(fù)數(shù)的乘方就是相同復(fù)數(shù)的乘積

（2）復(fù)數(shù)乘方的運算律

根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運算律，實數(shù)范圍內(nèi)的正整數(shù)指數(shù)冪的運算律在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，即對任意的

z,z1,z2C，m,nN，有：

①zmznzmn

②(zm)nzmn

nnn

③(z1z2)z1z2

知識點03：共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)

設(shè)，（）

zabizabia,bRz1,z2,z3,znC

①(z)z；②zzz為實數(shù)；③zz且z0z為純虛數(shù)

1

④z|z|1；⑤zz2a，zz2bi，zza2b2

z

【即學(xué)即練2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為1,1，則(1i)z（）

A．1iB．2C．2iD．0

【答案】B

【詳解】復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為1,1，則z1i，

所以z1i，所以(1i)z(1i)(1i)2．故B正確.

故選:B．

知識點04：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算

（1）定義

規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運算，即把滿足(cdi)(xyi)abi（a,b,c,d,x,yR，cdi0）

abi

的復(fù)數(shù)xyi叫做復(fù)數(shù)abi除以復(fù)數(shù)cdi的商，記作(abi)(cdi)或

cdi

（2）復(fù)數(shù)的除法法則

abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)iacbdbcad

(abi)(cdi)i（cdi0）

cdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2c2d2

由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除（除數(shù)不為0），所得的商是一個確定的復(fù)數(shù).

35i

【即學(xué)即練3】（2023上·廣西·高二憑祥市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知z，則z在復(fù)平面上對應(yīng)

i

的點所在象限為（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

35i35ii

【詳解】因為z53i，

iii

所以它在復(fù)平面上對應(yīng)的點為5,3，該點位于第四象限.

故選：D.

題型01復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算

【典例1】（2023上·貴州貴陽·高二貴陽一中校考階段練習(xí)）已知aR，2aii32i（i為虛數(shù)單位），

則a（）

A．1B．1C．3D．3

【答案】C

【詳解】因為2aii32i，所以a2i32i，解得a3.

故選:C.

【典例2】（2023上·四川成都·高三四川省成都市第八中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知z2i，則zzi的

虛部是（）

A．2B．2

C．2iD．2i

【答案】A

【詳解】因為z2i，則zzi2i2ii22i42i，

所以zzi的虛部為2，

故選：A.

3

【典例3】（2023上·福建莆田·高二莆田第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1i12i(i為虛數(shù)單位)，

則z的模等于.

【答案】10

【詳解】因為z1i312i1i12i13i，

所以z1910，

故答案為：10.

【變式1】（2021·山西臨汾·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足1iz1i，則復(fù)數(shù)z的虛部是（）

2222

A．B．iC．D．i

2222

【答案】C

|1i|2(1i)1

【詳解】z(1i)

1i(1i)(1i)2

122

z(1i)i，

222

2

復(fù)數(shù)z的虛部是，

2

故選：C.

【變式2】（2024上·遼寧沈陽·高三沈陽實驗中學(xué)校聯(lián)考期末）z12i2i，則z的共軛復(fù)數(shù)z等于（）

A．34iB．34iC．43iD．43i

【答案】D

【詳解】z12i2i43i，z43i，

故選：D.

【變式3】（2023上·北京順義·高三?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z2i1i，則復(fù)數(shù)z的虛部為，

z．

【答案】110

【詳解】由題意z2i1i22iii23i，

所以復(fù)數(shù)z的虛部為1，z321210.

故答案為：1，10.

題型02復(fù)數(shù)的乘方

i

【典例1】（2023上·湖南永州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)z（i為虛數(shù)單位），則z（）

1i2023

21

A．B．2C．D．2

22

【答案】A

iii1i11

12122

【詳解】由復(fù)數(shù)z2023i，所以z()().

1i1i1i1i22222

故選：A.

【典例2】（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足：z3i3i2023，則z（）

A．1B．5C．25D．5

【答案】A

2023

【詳解】由z3i3i，i2023i3,得

3i33i3i96ii243

zi，

3i3i3i1055

22

43

所以z1．

55

故選：A．

【變式1】（2023上·江蘇蘇州·高三南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第

四象限，則復(fù)數(shù)z(1i)1016對應(yīng)的點在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

10162508508

【詳解】1i1i2i2508i5082508，

1016

設(shè)zabi，則a0，b0，z1i2508a2508bi，

2508a0,2508b0，故復(fù)數(shù)z(1i)1016對應(yīng)的點在第四象限.

故選：D

【變式2】（2023上·貴州遵義·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)z1i32i的虛部是（）

A．iB．1C．3iD．-3

【答案】D

【詳解】z1i32i1i2i2i2ii2213i13i，

所以虛部為3.

故選：D

z

【變式3】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足i2023（i為虛數(shù)單位），

12i

則z（）

A．3B．3C．5D．5

【答案】D

【詳解】復(fù)數(shù)zi202312ii12ii2i22i，故z5．

故選：D．

題型03復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解

【典例1】（2023下·上海嘉定·高一?？计谀┰趶?fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式2x28x26=.

【答案】2x23ix23i

【詳解】由2x28x26=0得x24x13=0，

41641343646i

解得x====23i，

222

所以2x28x26=2x24x13=2x23ix23i.

故答案為：2x23ix23i

【典例2】（2022下·上海普陀·高一?？茧A段練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2x26x5．

3131

【答案】2xixi

2222

【詳解】解：2x26x5

299

2x3x5

42

2

31

2x

22

2

31

2x

24

2

312

2xi

24

3131

2xixi

2222

3131

故答案為：2xixi

2222

【典例3】5．（2023·高一課時練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

(1)x28；

(2)x22x3；

(3)3x22x1.

【答案】(1)x28(x22i)(x22i)

(2)x22x3(x12i)(x12i)

1212

(3)3x22x13(xi）(xi)

33

【詳解】（1）x28=x28i2(x22i)(x22i)

2

（2）x22x3=x12i2(x12i)(x12i)

2112

（3）∵3x22x1=3(x2x)3[(x)2i2]

3339

1212

∴3x22x13[(x)+i][(x)i]

3333

1212

∴3x22x13(xi）(xi)

33

【變式1】（2023下·江蘇南京·高一南京市第二十九中學(xué)?？计谥校22x5在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解

為.

【答案】x12ix12i

【詳解】令x22x50，

24i

Δ4201616i2，所以x12i，

2

即x22x5x12ix12i.

故答案為:x12ix12i.

【變式2】（2022·高一課時練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

(1)x46x29；

(2)x42x28．

【答案】(1)(x3i)2(x3i)2

(2)(x2i)(x2i)(x2)(x2)

【詳解】（1）由于x3ix3ix23，

2

所以x46x29x23(x3i)2(x3i)2.

（2）由于x2ix2ix22，

所以x42x28x22x24(x2i)(x2i)(x2)(x2).

題型04復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根

【典例1】（2023上·河北唐山·高三開灤第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z是一元二次方程x22x40

的一個根，則|z|的值為（）

A．1B．2C．0D．2

【答案】B

【詳解】由題意zz|z|24，即|z|2.

故選：B

【典例2】（2023下·山西晉中·高一校考期中）方程x210的一個解可以是（）

A．0B．iC．1D．1

【答案】B

【詳解】因為x210，所以x21i2，所以xi或xi，

所以方程x210的一個解可以是i.

故選：B

【典例3】（2023下·陜西西安·高二?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)za25a6a3iaR.

(1)若z是純虛數(shù)，求a的值；

(2)若z是方程x24x80的一個根，求z.

【答案】(1)a2

(2)22

a25a60

【詳解】（1）za25a6a3iaR為純虛數(shù)，所以a2

a30

2

（2）方程x24x80變形為x24，所以x22ix22i，

所以z22

2

【變式1】（2023·全國·模擬預(yù)測）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程x2x20的根為x1，x2，則x1（）

2

A．B．2C．2D．1

2

【答案】B

【詳解】由x22x20得(x1)21，解得x1i或x1i，

若x11i，則x12；若x11i，則x12；

綜上所述：x12.

故選：B．

【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知2i3是關(guān)于x的方程2x2pxq0的一個根，則實數(shù)p，q的

值分別為.

【答案】12,26

【詳解】因為2i3是關(guān)于x的方程2x2pxq0的一個根，且p,qR，

所以2i3是關(guān)于x的方程2x2pxq0的另一個根，

p

32i32i

2p12

而且，

qq26

32i32i

2

故答案為：12,26

【變式3】（2023下·山東青島·高一?？计谥校┮阎猧是虛數(shù)單位，2i3是關(guān)于x的方程

2x2pxq0p,qR的一個根，則pq.

【答案】14

2

【詳解】把2i3代入方程得22i3p2i3q0，

所以24912i2pi3pq0，

所以242pi103pq0，

242p0

所以，解得p12,q26，

103pq0

所以pq14．

故答案為：14．

題型05共軛復(fù)數(shù)的概念及計算

1i

【典例1】（2023上·內(nèi)蒙古赤峰·高三校聯(lián)考期中）已知z，則z（）

22i

11

A．iB．iC．iD．i

22

【答案】D

2

1i11i12ii2i1

【詳解】由題意z，所以zi.

22i21i1i422

故選：D.

【典例2】（2023下·廣東深圳·高二深圳市龍崗區(qū)龍城高級中學(xué)?？计谥校﹊是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足iz34i，

則z.

【答案】43i

34i

【詳解】iz34i，z43i，故z43i.

i

故答案為：43i.

【典例3】（2023上·山東青島·高三山東省青島第十九中學(xué)?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)z滿足2ziz3，則z（）

A．2iB．2iC．12iD．12i

【答案】B

【詳解】設(shè)zabi,a,bR，則zabi，

則2ziz2(abi)i(abi)(2ab)(2ba)i3，

2ab3a2

則，解得：，則z2i.

2ba0b1

故選：B

13i

【變式1】（2023上·北京東城·高三景山學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)z,則在復(fù)平面內(nèi)z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)

2i

的點位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】B

(13i)(2i)17i1717

【詳解】依題意，zi，則zi，

(2i)(2i)55555

17

所以在復(fù)平面內(nèi)z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(,)位于第二象限.

55

故選：B

4

【變式2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知z3（i為虛數(shù)單位），則zz（）

1i

A．2B．1C．1D．2

【答案】D

44221i

【詳解】因為z31i1i，

1i2i1i1i1i1i

所以z1i，所以zz1i1i2．

故選：D．

【變式3】（2023上·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)zaiaR滿足zz2，則a的值為.

【答案】1

【詳解】解：因為zaiaR，所以zai，

∴zzaiaia212，所以a21.

∴a1.

故答案為：1.

題型06復(fù)數(shù)的除法運算

32i

【典例1】（2023上·北京東城·高三北京市第一六六中學(xué)校考期末）復(fù)數(shù)z，在復(fù)平面內(nèi)z的共軛復(fù)

1i

數(shù)z對應(yīng)的點位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

32i32i1i15

【詳解】zi，

1i1i1i22

15

zi，

22

32i

復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第四象限，

1i

故選：D.

1bi

【典例2】（2023·天津和平·耀華中學(xué)?？级＃﹊是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)zbR為純虛數(shù)，則b．

1i

【答案】1

1bi1bi1i1biibi21bb1i

【詳解】zR,

1i1i1i22

1b0

所以，所以b=-1.

b10

故答案為：1.

【典例3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）計算．

4

6

1i23i；13．

(1)(2)i

1i32i22

55

14i1i24i1i1i

(3)；(4)；

34i1i1i

202222

23i248i48i

(5).

123i1i117i

13

【答案】(1)1i(2)i(3)1i(4)0(5)2i

22

26

(1i)(23i)(32i)662i3i6

【詳解】（1）原式i1i．

2(3)2(2)25

2222

131331313313

（2）原式iiiii．

224242244222

53i24i7i7i34i2525i

（3）原式1i.

34i34i34i34i25

33

662233

1i1i1i1i2i2i8i8i

（4）原式0.

1i1i222

42

23i23i123i13i

（），21，

5i1

123i123i123i131ii

202245052

2225051，

1i

1i1i1ii

22

48i48i

0，

117i

原式ii02i.

【變式1】（2023上·福建廈門·高三福建省廈門第二中學(xué)?？计谥校┤魖i20212i，則z=（）

A．12iB．12iC．12iD．12i

【答案】D

2i2i(2i)(i)

【詳解】由已知可得z12i，

i2021ii2

所以z12i，

故選：D

【變式2】（2023上·湖南常德·高二臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足(12i)z3i，則z

【答案】2

3i3i12i55i

【詳解】(12i)z3i，則z1i，故z12122.

12i12i12i5

故答案為：2.

【變式3】（2023下·高一單元測試）計算：

6

1i23i

(1)；

1i32i

69

3113

(2)ii

2222

【答案】(1)1i

(2)1

66

1i23i(1i)223i32i

【詳解】（1）

1i32i232i32i

62i3i6i2

i6

5

1i

2

（）因為31331213，

2iiii

2242422

632

所以31131313133213

iiiiiii

2222222242422

1313

ii

2222

31

i21，

44

32

因為1313131313132，

iiiiii1

222222222244

933

1313

所以ii1，

2222

69

所以3113

ii111

2222

題型07根據(jù)復(fù)數(shù)乘、除法運算結(jié)果求參數(shù)

【典例1】（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)復(fù)數(shù)z12iaiaR,z的實部與虛部

互為相反數(shù)，則a（）

1

A．3B．C．2D．3

3

【答案】D

【詳解】z12iaia212ai，

由已知得a212a0，解得a3，

故選：D

ai

【典例2】（2022·河南·寶豐縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)zaR的

1i

實部是虛部的2倍，則a（）

1111

A．B．C．D．

3322

【答案】B

ai1ia11aa11a

【詳解】zi，所以2，

1i1i2222

1

解得a，

3

故選：B.

【典例3】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）若復(fù)數(shù)

zm22m3m25m6i是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；

（2）若復(fù)數(shù)z滿足：zzzzi1i，求復(fù)數(shù)z.

1313

【答案】（1）m1；（2）zi或zi

2222

m22m30

【詳解】（）復(fù)數(shù)22是純虛數(shù)，則，

1zm2m3m5m6i2

m5m60

解得m1；

（2）設(shè)zabi，a,bR，zzzzi1i，

a2b21

即abiabiabiabiia2b22ai1i，故，

2a1

11

aa

221313

解得或，故zi或zi.

332222

bb

22

【典例4】（2023下·河南鄭州·高一校聯(lián)考期中）解答下列各題：

z5i

(1)已知z是復(fù)數(shù)，z3i為實數(shù)，為純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），求復(fù)數(shù)z；

2i

(2)已知復(fù)數(shù)z1im23im2i1，實數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)z表示的點位于第四象限．

【答案】(1)z13i

(2)1,2

【詳解】（1）（1）設(shè)復(fù)數(shù)zabi(a,bR)，

因為z3iab3i為實數(shù)，所以b3，則復(fù)數(shù)za3i(aR)，

z5ia2ia2i2i22aa4i22aa4

又因為i為純虛數(shù)，

2i2i2i2i555

22a0

則

，得a1，

a40

所以復(fù)數(shù)z13i．

（2）z1im23im2i1m21m23m2i，

m210

由復(fù)數(shù)z表示的點位于第四象限，可得，解得，

21m2

m3m20

當(dāng)1m2時，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，

∴m的取值范圍為1,2.

【變式1】（2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)za2i13i(aR)的實部與虛部的和為12，則a

（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法運算可知，za2i13ia6(3a2)i，

因為復(fù)數(shù)的實部與虛部的和為12，所以a63a212，解得，a2.

故選：B.

ai

【變式2】（2022下·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z

2i

的實部與虛部相等，則實數(shù)a的值為（）

A．－3B．－1C．1D．3

【答案】A

ai(ai)(2+i)2a1(a2)i

【詳解】由題意可得z，

2i55

2a1a2

故，解得a3，

55

故選：A

z3

【變式3】（2023上·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)zbi（bR，i是虛數(shù)單位），是實數(shù).

1i

(1)求b的值；

2

(2)若復(fù)數(shù)mz8m在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)b3；

(2)0,9.

z33bi3bi1i3bb3i

【詳解】（1）∵zbi，∴

1i1i22

z3

∵是實數(shù)，∴b30，解得b3.

1i

（2）由（1）知z3i,

22

∴mz8mm3i8mm28m96mi，

2

∵復(fù)數(shù)mz8m在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，

m28m90

∴，解得0m9，

6m0

故實數(shù)m的取值范圍是0,9.

題型08復(fù)數(shù)四則運算的創(chuàng)新應(yīng)用

【典例1】（2023上·陜西咸陽·高三武功縣普集高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）歐拉公式eicosisin（其中

e2.718,i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在

復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論中正確的是（）

A．eiπ的實部為1

B．eiπ的共軛復(fù)數(shù)為1

C．e2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限

D．e2i的模長為1

【答案】D

【詳解】由歐拉公式知eiπcosπisinπ1，則eiπ的實部為1，共軛復(fù)數(shù)為1，AB錯誤；

由歐拉公式知e2icos2isin2，e2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為cos2,sin2，

而cos20,sin20，因此e2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，C錯誤；

顯然e2i的模長為cos22sin221，D正確.

故選：D

【典例2】（2023上·廣東深圳·高三深圳市建文外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)zxyi，xR,yR，

其中i為虛數(shù)單位，且滿足z2，且z1為純虛數(shù).

(1)若復(fù)數(shù)zxyi，xR,yR在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點在第一象限，求復(fù)數(shù)z；

32i

(2)求；

z

(3)若在（1）中條件下的復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2mxn0m,nR的一個根，求實數(shù)m，n的值.

【答案】(1)z13i

(2)答案見解析

(3)m2，n4

【詳解】（1）因為復(fù)數(shù)zxyi，xR,yR，所以z1x1yi，

又z1為純虛數(shù)，所以x1，

又zx2y22，所以y3，

又因為復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點在第一象限，

所以y3，故z13i.

（2）由（1）可知z13i

32i32i32i13i33i2i23331

當(dāng)z13i時，i，

z13i13i13i444

32i32i32i13i35

當(dāng)z13i時，i.

z13i444

（3）法一：由（1）可知z13i是關(guān)于x的方程x2mxn0m,nR的一個根，

2

所以把z13i，代入x2mxn0得13im13in0，

化簡得mn23m23i0，

mn20

即，解得：m2，n4

3m230

法二：由（1）可知z13i是關(guān)于x的方程x2mxn0m,nR的一個根，

zzm2

所以此方程的另一根為：z13i，則，

zzn4

解得：m2，n4

∣nn

【變式1】（2022上·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎螹xxii,nN（其

中i為虛數(shù)單位），則滿足條件的集合M的個數(shù)為.

【答案】8

【詳解】in周期為4，當(dāng)n1時，xii10；當(dāng)n2時，xi2i22；

當(dāng)n3時，xi3i30；當(dāng)n4時，xi4i42，所以集合{-2,0,2}的子集個數(shù)為23=8個.

故答案為：8個.

【變式2】（2023下·廣東東莞·高一東莞實驗中學(xué)?？计谥校?fù)平面上兩個點Z1,Z2分別對應(yīng)兩個復(fù)數(shù)z1,z2，

它們滿足下列兩個條件：①z2z12i；②兩點Z1,Z2連線的中點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為34i，若O為坐標(biāo)原點，則

△

Z1OZ2的面積為

【答案】20

【詳解】設(shè)z1abi(a,bR)，

則z2z12i(abi)2i2b2ai.

所以點Z1,Z2的坐標(biāo)分別為Z1(a,b),Z2(2b,2a)

又兩點Z1,Z2連線的中點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為34i，

a2b22

3,a,

25

解得

2ab4

4,b.

25

2222

224844

OZ125,OZ245.

5555

又OZ1(a,b),OZ2(2b,2a),

OZ1OZ20,OZ1OZ2

1

ZOZ的面積為S254520.

122

故答案為：20.

A夯實基礎(chǔ)B能力提升

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2023上·全國·高三貴溪市實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z2i1i2，則z（）

A．13B．10C．3D．2

【答案】B

221i

【詳解】z2i2i13i,z123210．

1i1i1i

故選：B．

1i

2．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）復(fù)數(shù)zi，則z（）

1i

A．1B．2C．2D．4

【答案】C

2

1i1i2i

【詳解】ziii2i，則z222，

1i1i1i2

故選：C.

2z

3．（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知i，則z（）

1i

A．1iB．1iC．3iD．3i

【答案】B

【分析】根據(jù)條件求出z的代入形式，進(jìn)而可得其共軛復(fù)數(shù).

2z

【詳解】i2z1iz1i，

1i

所以z1i.

故選：B．

2mi

4．（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)5i為純虛數(shù)，則m（）