天津市紅橋區(qū)2025屆高三下學(xué)期一模試題 數(shù)學(xué) 含解析

高三數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．答題時，務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效．祝各位考生考試順利！參考公式：柱體的體積公式，其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高．錐體的體積公式，其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高．球的體積公式，其中R表示球的半徑．第Ⅰ卷注意事項：1．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．2．本卷共9題，每小題5分，共45分．一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C D.或【答案】B【解析】【分析】解不等式，得到，利用并集概念求出答案.【詳解】，又，所以.故選：B2.已知命題，命題，則命題p是命題q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)以及指數(shù)的單調(diào)性化簡，即可求解.【詳解】由可得，由可得，因此，但，因此命題p是命題q的充分不必要條件，故選：A3.等比數(shù)列的前n項和為，且，，則（）A.24 B.28 C.36 D.48【答案】B【解析】【分析】求出公比，得到，從而得到.【詳解】設(shè)公比為，則，所以，所以.故選：B4.已知，記，則的大小關(guān)系是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】解：因為，所以，所以，故選：A5.在2022年某省普通高中學(xué)業(yè)水平考試（合格考）中，對全省所有考生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為分以上為優(yōu)秀，則下列說法中不正確的是（）A.該省考生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為75分B.若要全省的合格考通過率達(dá)到，則合格分?jǐn)?shù)線約為44分C.從全體考生中隨機抽取1000人，則其中得優(yōu)秀考試約有100人D.若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作代表值，可得考試數(shù)學(xué)成績的平均分約為70.5.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖計算中位數(shù)、平均分，由不合格率為4%求得合格線，利用優(yōu)秀率估算抽取的1000人中的優(yōu)秀從數(shù)，從而判斷各選項．【詳解】由頻率分布直方圖知中位數(shù)在上，設(shè)其為，則，解得，A錯；要全省的合格考通過率達(dá)到，設(shè)合格分?jǐn)?shù)線為，則，，B正確；由頻率分布直方圖優(yōu)秀的頻率為，因此人數(shù)為，C正確；由頻率分布直方圖得平均分為，考試數(shù)學(xué)成績的平均分約為70.5,D正確．故選：A.6.拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線垂直于雙曲線的一條漸近線，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出拋物線和雙曲線的焦點坐標(biāo)，得出過兩焦點的直線方程的斜率，根據(jù)直線垂直的條件可得答案.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為，雙曲線的右焦點坐標(biāo)為，漸近線方程為，根據(jù)兩焦點坐標(biāo)可得該直線斜率為，因為兩焦點的連線垂直于雙曲線的一條漸近線，所以，解得，故選：B.7.已知，則的最小值為（）A. B. C.4 D.2【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式即得.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時，取等號，所以的最小值為2.故選：D.8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列正確個數(shù)有（）①關(guān)于點對稱；②關(guān)于直線對稱；③在區(qū)間上單調(diào)遞減；④在區(qū)間上的值域為；A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的圖象確定函數(shù)的解析式，在逐項判斷即可.【詳解】由函數(shù)的圖象可知：，.因為，又，所以.因為，所以，所以，.由圖象可知：，即.所以當(dāng)時，.所以.對①：因為，所以的圖象不關(guān)于對稱，①錯誤；對②：因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，②正確；對③：當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，③正確；對④：當(dāng)時，，所以，所以，④正確.故選：C9.正方體的棱長為3，平面內(nèi)一動點滿足，當(dāng)三棱錐的體積取最大值時，該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求點的軌跡方程，并確定三棱錐體積最大時的點的位置，再代入三棱錐外接球的半徑公式，即可求解.【詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，，，，由可知，，整理為，所以點的軌跡是平面內(nèi)，以為圓心，2為半徑的圓，如下圖，點到平面的最大值為6，此時點在的延長線上，且，所以平面，，等腰直角三角形的外接圓的半徑為，所以三棱錐的外接球的半徑，所以三棱錐外接球的表面積故選：C第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分．10.已知i是虛數(shù)單位，則________________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則求解.【詳解】.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運算法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.11.展開式中的常數(shù)項為___________．【答案】15【解析】【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數(shù)為，求出的值，從而可得展開式中的常數(shù)項.【詳解】二項式展開式的通項公式為，令，得，所以展開式中的常數(shù)項為.故答案為：1512.某班有48名學(xué)生，一次考試的數(shù)學(xué)成績X（單位：分）服從正態(tài)分布，且成績在上的學(xué)生人數(shù)為16，則成績在90分以上的學(xué)生人數(shù)為____________.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.【詳解】由X（單位：分）服從正態(tài)分布，知正態(tài)密度曲線的對稱軸為，成績在上的學(xué)生人數(shù)為16，由對稱性知成績在80分上的學(xué)生人數(shù)為24人，所以90分以上的學(xué)生人數(shù)為.故答案為：813.假設(shè)某市場供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占，乙廠產(chǎn)品占，甲廠產(chǎn)品的合格率為，乙廠產(chǎn)品的合格率為，在該市場中購買甲廠的兩個燈泡，則恰有一個是合格品的概率為___________；若在該市場中隨機購買一個燈泡，則這個燈泡是合格品的概率為___________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】根據(jù)全概率公式和條件概率公式計算即可.【詳解】在該市場中購買甲廠的兩個燈泡，恰有一個是合格品的概率為，若在該市場中隨機購買一個燈泡，則這個燈泡是合格品的概率為.故答案為：；.14.如圖，在中，，，D，F(xiàn)分別為，的中點，P為與的交點，且．若，則______；若，，，則______．【答案】①.②.【解析】【分析】連接的中位線，利用三角形相似得到，再利用加法的三角形法則表示出，即可得到的值；同理表示出，利用向量的數(shù)量積運算即可得到結(jié)果.【詳解】如圖所示：連接，因為D，F(xiàn)分別為，的中點，所以是的中位線，所以，則，所以，所以；因為，所以.故答案為：；.15.已知函數(shù)，若函數(shù)有且只有個零點，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】畫出函數(shù)圖像，的圖像是在軸下方的部分向上翻折形成，考慮，，三種情況，根據(jù)相切計算斜率，結(jié)合圖像得到答案.【詳解】的圖像是在軸下方的部分向上翻折形成，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：當(dāng)時，，有兩個零點，不滿足；當(dāng)時，過點，與相切與點，，故，即，解得，，根據(jù)圖像知當(dāng)時，有且只有個零點；當(dāng)時，，過點，與相切與點，，故，即，解得，，根據(jù)圖像知，當(dāng)，即時，有且只有個零點；綜上所述：當(dāng)時，有且只有個零點.故答案為：三、解答題：本大題共5個小題，共75分．解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知，，（1）求b，c的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知，利用余弦定理，代入求解即可；（2）根據(jù)正弦定理進(jìn)行求解即可；（3）由（2）可求得，然后利用兩角差的正弦公式展開計算即可.【小問1詳解】因為，，，則，由余弦定理，，則，解得，.【小問2詳解】由（1）知，由正弦定理，則.【小問3詳解】由（2）知，又，則，所以，則．17.如圖，已知四棱錐平面ABCD，，，，，E是PA的中點，．（1）求證：∥平面PBC；（2）求平面FPC與平面PBC夾角的余弦值；（3）求點A到平面PBC的距離．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）點D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法證明線面平行；（2）求出平面的法向量，然后利用向量法求解兩平面夾角的余弦值；（3）利用點到平面的向量距離公式求解即可.【小問1詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，，則設(shè)平面的法向量，則，即，不妨令，可得，因為，所以，且平面，即∥平面；【小問2詳解】設(shè)平面的法向量，則，即，不妨令，可得，于是，所以平面與平面夾角的余弦值為；小問3詳解】由，平面的法向量，則點A到平面PBC的距離，所以點到平面的距離為．18.已知橢圓的離心率為，以橢圓E的四個頂點為頂點的四邊形面積為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知點，過點且斜率為的直線l與橢圓E相交于不同兩點B、C，直線AB、AC分別與直線交于點M、N，當(dāng)時，求斜率k的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由橢圓的離心率為，且橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為，列出方程組，求得的值，即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程組由，求得，設(shè)，得到，再由和的方程，求得和，結(jié)合，得到，將和，代入化簡得到，求得，進(jìn)而得到答案.【小問1詳解】由橢圓的離心率為，且橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為，可得，解得，橢圓.【小問2詳解】設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，則且，可得，所以，設(shè)，則，則直線的方程為，與直線交于點，直線的方程為，與直線交于點，當(dāng)時，且，則，將，代入可得，所以，解得，所以斜率的取值范圍為．【點睛】方法策略：解答圓錐曲線的最值與范圍問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍；3、涉及直線與圓錐曲線的綜合問題：通常設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化運算求解，同時抓住直線與圓錐曲線的幾何特征應(yīng)用.19.已知等比數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這個數(shù)之和為，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）記，求證：【答案】（1）（2）（3）詳見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)和的關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求出代入化簡即可解決；（3）求出，進(jìn)行適當(dāng)放縮后用裂項相消求和解決.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時，有，則①當(dāng)時，，兩式相減可得：，整理得，可知，代入①可得，所以等比數(shù)列的通項公式為（）.【小問2詳解】由已知在與之間插入個數(shù)，組成以為首項的等差數(shù)列，所以，則，設(shè)，則是遞增數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時，恒成立，即，所以；當(dāng)為奇數(shù)時，恒成立，即，所以；綜上所述，的取值范圍是.【小問3詳解】證明：由（1）得，則有.,原不等式得證.20.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，，求實數(shù)a的取值范圍；（3）已知，證明：．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，根據(jù)點斜式直線方程求解即可；（2）先利用導(dǎo)數(shù)法證明，然后按照和分類討論，時結(jié)