專題01 旋轉(zhuǎn)中的三種全等模型（手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)模型）（原卷版）

專題01旋轉(zhuǎn)中的三種全等模型（手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)模型）本專題重點(diǎn)分析旋轉(zhuǎn)中的三類全等模型（手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)模型），結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結(jié)合經(jīng)典例題和專項(xiàng)訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時(shí)規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)的綜合解題能力。模型1.手拉手模型【模型解讀】將兩個(gè)三角形（或多邊形）繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。手拉模型解題思路：SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）。1）雙等邊三角形型條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。2）雙等腰直角三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)N。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。3）雙等腰三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD。4）雙正方形形型條件：△ABCFD和△CEFG都是正方形，C為公共點(diǎn)；連接BG，ED交于點(diǎn)N。結(jié)論：①△△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。例1．（2022秋·福建龍巖·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為8的等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是平面上△ABC外一點(diǎn)，且DE=2，連接BE，將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF，連接AF，CE．

(1)判斷△BEF的形狀，并說明理由；(2)求證：AF=CE；(3)當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)你在備用圖中畫出符合條件的圖形，并求出此時(shí)BE的長(zhǎng)．備用圖例2．（2022·吉林·九年級(jí)期末）如圖①，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，此時(shí)，成立．（1）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，在圖②中補(bǔ)充圖形，并直接寫出的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你利用圖③證明，若不成立請(qǐng)說明理由；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．例3．（2022·黑龍江·虎林市九年級(jí)期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點(diǎn)，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．如圖1，當(dāng)D與C重合時(shí)，易證：CD2＋DB2＝2DF2；（1）當(dāng)D不與C、B重合時(shí)，如圖2，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明．（2）當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．例4．（2023·山西大同·九年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐：已知是等腰三角形，．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)∥時(shí)，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）到圖2所示的位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．（3）拓展運(yùn)用：某學(xué)習(xí)小組在解答問題：“如圖3，點(diǎn)是等腰直角三角形內(nèi)一點(diǎn)，，且，，，求的度數(shù)”時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)可以利用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，構(gòu)造新圖形解決問題．請(qǐng)你根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)直接寫出的度數(shù)．例5．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為2的正方形CEFG如圖1擺放，將正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BG，DE．（1）如圖2，求證：△BCG≌△DCE；（2）如圖2，連接DG，BE，判斷DG2+BE2否為定值．若是，求這個(gè)定值若不是，說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在DE上時(shí)，求α的值．模型2.半角模型【模型解讀】半角模型概念：過多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半思想方法：通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；3）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。4）等邊三角形半角模型（60°-30°型）條件：ABC是等邊三角形，∠EAD=30°；結(jié)論：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+；5）任意角度的半角模型（-型）條件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。例1．（2023·福建·龍巖九年級(jí)期中）（1）【發(fā)現(xiàn)證明】如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，使與重合時(shí)能夠證明，請(qǐng)你給出證明過程．（2）【類比引申】①如圖2，在正方形中，如果點(diǎn)，分別是，延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系______（不要求證明）②如圖3，如果點(diǎn)，分別是，延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則，，之間的數(shù)量關(guān)系是_____（不要求證明）.（3）【聯(lián)想拓展】如圖1，若正方形的邊長(zhǎng)為6，，求的長(zhǎng)．例2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22例3．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，點(diǎn)D，E都在邊BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的長(zhǎng)．例4．（2023·綿陽市八年級(jí)期中）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（1）問的結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說明理由．(3)如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．例5．（2023·重慶市二模）回答問題（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請(qǐng)直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．模型3、旋轉(zhuǎn)中的對(duì)角互補(bǔ)模型【模型解讀】對(duì)角互補(bǔ)模型概念：對(duì)角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對(duì)對(duì)角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。思想方法：解決此類問題常用的輔助線畫法主要有兩種：①過頂點(diǎn)做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3）“等邊三角形對(duì)120°模型”（1）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4）“等邊三角形對(duì)120°模型”（2）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，結(jié)論：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.5）“120°等腰三角形對(duì)60°模型”條件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。結(jié)論：①PB+PC=PA；例1．（2023·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)．（1）如圖1，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BE＝AF、求證：△DEF是等腰直角三角形經(jīng)過分析已知條件AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)．容易聯(lián)想等腰三角形三線合一的性質(zhì)，因此，連結(jié)AD（如圖2），以下是某同學(xué)由已知條件開始，逐步按層次推出結(jié)論的流程圖．請(qǐng)幫助該同學(xué)補(bǔ)充完整流程圖．補(bǔ)全流程圖：①，②∠EDF＝（2）如果E、F分別為AB、CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，仍有BE＝AF，其他條件不變，試猜想△DEF是否仍為等腰直角三角形？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形、先作出判斷，然后給予證明．例2．（2023·山東棗莊·中考模擬）在中，，，于點(diǎn),（1）如圖1，點(diǎn)，分別在，上，且，當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在上，且，求證：;例3．（2023·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，，，MN是過點(diǎn)A的直線，過點(diǎn)D作于點(diǎn)B，連接CB；過點(diǎn)C作，與MN交于點(diǎn)E．(1)連接AD，AD是AC的______倍；(2)直線MN在圖1所示位置時(shí)，可以得到線段BD和AE的數(shù)量關(guān)系是______，與BC之間的數(shù)量關(guān)系是______，請(qǐng)證明你的結(jié)論；(3)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，若，，則AB的長(zhǎng)為______（直接寫結(jié)果）；(4)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，直接寫出線段BA，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系______．例4．（2023四川宜賓八年級(jí)期末）如圖1，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn)E.（1）求證：；（2）圖1中，若，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn).若，求四邊形的面積．例5．（2023湖北省宜城市八年級(jí)期末）如圖，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E．（1）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），請(qǐng)猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；（3）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長(zhǎng)線相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，O為正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：①可由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)O與O′的距離為4；③∠AOB＝150°；④S四邊形AOBO′＝6+2；⑤，其中正確的是（

）A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤2．（2022·成都市·八年級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E在BD上，連接CE，作EF⊥CE交AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，連接CF交BD于點(diǎn)H，延長(zhǎng)CE交AD于點(diǎn)M，連接FM，則下列結(jié)論：①點(diǎn)E到AB，BC的距離相等；②∠FCE=45°；③∠DMC=∠FMC；④若DM=2，則BF=．正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．43．（2022春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)校考期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長(zhǎng)為_____．4．（2022·廣東深圳·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)．點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，且CE＝2，AB＝，∠DAE＝60°，則DE的長(zhǎng)為______．5．（2023·吉林松原·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，，將△BOC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．(1)當(dāng)時(shí)，°；(2)當(dāng)時(shí)，°；(3)若，，，則OA的長(zhǎng)為．6．（2022.成都市八年級(jí)期中）在中，，，于點(diǎn),（1）如圖1，點(diǎn)，分別在，上，且，當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在上，且，求證：;7.如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直線MN是過點(diǎn)A的直線CD⊥MN于點(diǎn)D，連接BD．（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC，AD，BD之間有什么數(shù)量關(guān)系．經(jīng)過觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥BD，交MN于點(diǎn)E，進(jìn)而得出：DC+AD=BD．（2）探究證明：將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時(shí)線段DC，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；8．如圖，已知∠DCE與∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如圖1，∠DCE與∠AOB的兩邊分別相交于點(diǎn)D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，試判斷線段CD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：解：CD＝CE．理由如下：如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥OC，交OB于點(diǎn)F，則∠OCF＝90°，…請(qǐng)根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫出該證明的剩余部分．（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請(qǐng)寫出你的證明過程．（3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．①如圖3，∠DCE與∠AOB的兩邊分別相交于點(diǎn)D、E時(shí)，（1）中的結(jié)論成立嗎？為什么？線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系？說明理由．②如圖4，∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線相交時(shí)，請(qǐng)回答（1）中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)直接寫出線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系；如圖5，∠DCE的一邊與BO的延長(zhǎng)線相交時(shí)，請(qǐng)回答（1）中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)直接寫出線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系．9．（河南省南陽市方城縣2021-2022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）提出問題：如圖1，已知OC平分∠AOB，點(diǎn)D、E分別在OA，OB上．若∠ODC＝∠OEC＝90°，求證：CD＝CE．思路梳理：(1)請(qǐng)根據(jù)思路梳理的過程填空．證法1：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC，OC＝OC，可得≌，則CD＝CE．證法2：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，則CD＝CE，其理論依據(jù)是．類比探究：(2)如圖2，已知OC平分∠AOB，點(diǎn)D、E分別在OA，OB上．若∠ODC＋∠OEC＝180°，求證：CD＝CE．拓展遷移：(3)如圖3，已知OC平分∠AOB，點(diǎn)D在OA的反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在OB上，且∠ODC＝∠OEC，若OC＝4，CE＝5，點(diǎn)C到OB的距離是3，則OD＋OE的值是．（直接寫出結(jié)果，不說明理由）10．（2023春·江蘇·八年級(jí)期中）請(qǐng)閱讀下列材料：已知：如圖（1）在中，，點(diǎn)D、E分別為線段上兩動(dòng)點(diǎn)，若．探究線段三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．小明的思路是：把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，使問題得到解決．請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問題：(1)猜想三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫出你的猜想；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明你的猜想并給予證明；(3)已知：如圖（3），等邊三角形中，點(diǎn)D、E在邊上，且，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使線段能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù)．11．（2022秋·陜西延安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問題提出】（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且.求證：；【問題探究】（2）如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.12．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．(1)【問題背景】已知：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊上，，連接，則之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？（分析：我們把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)G、B、C在一條直線上．）于是易證得：和，所以．直接應(yīng)用：正方形的邊長(zhǎng)為6，，則的值為．(2)【變式練習(xí)】已知：如圖2，在中，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，請(qǐng)寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【拓展延伸】在（2）的條件下，當(dāng)繞著點(diǎn)A逆時(shí)針一定角度后，點(diǎn)D落在線段BC上，點(diǎn)E落在線段BC的延長(zhǎng)線上，如圖3，此時(shí)（2）的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的結(jié)論．

13．（2023·河南洛陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接，容易發(fā)現(xiàn)：①的度數(shù)為；②線段、之間的數(shù)量關(guān)系為；【類比探究】（2）如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接，試判斷的度數(shù)以及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題解決】（3）如圖3，，，，，則的值為．14．（2023·重慶市九年級(jí)階段練習(xí)）【問題背景】如圖1，P是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，∠APB＝30°，則PA2+PB2＝PC2．小明為了證明這個(gè)結(jié)論，將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，請(qǐng)根據(jù)此思路完成其證明．【遷移應(yīng)用】如圖2，在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若△APC的面積為5.5，求PC．15．（2023春·廣東揭陽·九年級(jí)?？计谥校┮阎猂t△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在C處，CP＝CQ＝2