高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系2.3.1直線與平面垂直的判定

2.3直線、平面垂直判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直判定1/34目標(biāo)導(dǎo)航課標(biāo)要求1.了解線面垂直定義和判定定理.2.能利用線面垂直判定定理證實(shí)一些空間位置關(guān)系簡(jiǎn)單命題.3.能在簡(jiǎn)單幾何體中計(jì)算線面角.素養(yǎng)達(dá)成經(jīng)過(guò)線面垂直定義和判定定理學(xué)習(xí),鍛煉了學(xué)生邏輯思維能力、空間想象能力,促進(jìn)直觀想象、邏輯推理等關(guān)鍵素養(yǎng)達(dá)成.2/34新知探求課堂探究3/34新知探求·素養(yǎng)養(yǎng)成點(diǎn)擊進(jìn)入情境導(dǎo)學(xué)知識(shí)探究1.直線與平面垂直概念假如直線l與平面α內(nèi)

都垂直,就說(shuō)直線l與平面α相互垂直,記作

,直線l叫做平面α

,平面α叫做直線l

,直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)叫做

.探究1:若直線a⊥平面α,直線b?α,則a與b相互垂直嗎?答案:垂直.任意一條直線l⊥α垂線垂面垂足4/342.直線與平面垂直判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)都垂直,則該直線與此平面垂直兩條相交直線a∩b=P探究2:若直線a⊥b,直線a⊥c,且b?α,c?α,直線a⊥平面α嗎?答案:不一定垂直,當(dāng)b與c相交時(shí),a⊥平面α.5/343.直線與平面所成角(1)如圖,一條直線PA和一個(gè)平面α相交,但不和這個(gè)平面

,這條直線叫做這個(gè)平面斜線,斜線和平面交點(diǎn)A叫做

,過(guò)斜線上

一點(diǎn)向平面引垂線PO,過(guò)垂足O和

直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上射影,平面一條斜線和它在平面上射影所成

,叫做這條直線和這個(gè)平面所成角.垂直斜足以外斜足斜足A銳角6/34(2)一條直線垂直于平面,稱它們所成角是

;一條直線在平面內(nèi)或一條直線和平面平行,稱它們所成角是

角,于是,直線與平面所成角θ范圍是0°≤θ≤90°.直角0°7/34自我檢測(cè)1.(線面垂直性質(zhì))已知直線a⊥平面α,直線b∥平面α,則a與b關(guān)系為(

)(A)a∥b(B)a⊥b(C)a,b相交不垂直

(D)a,b異面不垂直B2.(線面垂直定理了解)以下條件中,能使直線m⊥α是(

)(A)m⊥b,m⊥c,b?α,c?α (B)m⊥b,b∥α(C)m∩b=A,b⊥α (D)m∥b,b⊥αD3.(線面垂直判定)若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于(

)(A)平面OAB (B)平面OAC(C)平面OBC (D)平面ABCC8/344.(直線與平面所成角)空間四邊形ABCD四邊相等,則它兩對(duì)角線AC,BD關(guān)系是(

)(A)垂直且相交 (B)相交但不一定垂直(C)垂直但不相交 (D)不垂直也不相交C解析:取BD中點(diǎn)O,連接AO,CO,則BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC,又BD,AC異面,故選C.9/345.(直線與平面所成角)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC1與底面ABCD所成角正弦值為

.

答案:10/34題型一線面垂直概念與定理了解【例1】列說(shuō)法中正確個(gè)數(shù)是(

)①若直線l與平面α內(nèi)一條直線垂直,則l⊥α;②若直線l與平面α內(nèi)兩條直線垂直,則l⊥α;③若直線l與平面α內(nèi)兩條相交直線垂直,則l⊥α;④若直線l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直,則l⊥α;⑤若直線l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直,則l⊥α.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4課堂探究·素養(yǎng)提升解析:由直線與平面垂直判定定理和定義知正確是③④,故選B.11/34方法技巧線面垂直判定定理中,直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線,“相交”兩字必不可少,不然,就是換成無(wú)數(shù)條直線,這條直線也不一定與平面垂直.12/34即時(shí)訓(xùn)練1-1:以下說(shuō)法中錯(cuò)誤是(

)①假如一條直線和平面內(nèi)一條直線垂直,該直線與這個(gè)平面必相交;②假如一條直線和平面一條平行線垂直,該直線必在這個(gè)平面內(nèi);③假如一條直線和平面一條垂線垂直,該直線必定在這個(gè)平面內(nèi);④假如一條直線和一個(gè)平面垂直,該直線垂直于平面內(nèi)任何直線.(A)①② (B)②③④ (C)①②④ (D)①②③解析:由線面垂直判定定理可得①②③錯(cuò)誤,④正確.故選D.D13/34【備用例1】

以下命題中,正確命題序號(hào)是

.

①若l不垂直于α,則在α內(nèi)沒(méi)有與l垂直直線;②過(guò)一點(diǎn)和已知平面垂直直線有且只有一條;③若a∥α,b⊥α,則a⊥b;④若a∥b,a⊥α,則b⊥α.解析:當(dāng)l與α不垂直時(shí),l可能與α內(nèi)無(wú)數(shù)條相互平行直線垂直,故①不正確;因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.故②正確;③,④顯然正確.答案:②③④14/34題型二直線與平面垂直判定【思索】1.若把定理中“兩條相交直線”改為“兩條直線”,直線與平面一定垂直嗎?提醒:當(dāng)這兩條直線平行時(shí),直線可與平面相交但不一定垂直.2.假如兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面嗎?提醒:垂直.15/34【例2】(12分)在三棱錐P-ABC中,H為△ABC垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求證:PH⊥平面ABC.16/34變式探究:在三棱錐P-ABC中,H為△ABC垂心,且PH⊥平面ABC,求證:AB⊥PC,BC⊥AP.17/34方法技巧利用直線與平面垂直判定定理證實(shí)線面垂直關(guān)鍵是在這個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線,證實(shí)它們都和這條直線垂直.18/34證實(shí):因?yàn)椤螦CB=90°,所以BC⊥AC.又SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC.又AC∩SA=A,所以BC⊥平面SAC.因?yàn)锳D?平面SAC,所以BC⊥AD.又SC⊥AD,SC∩BC=C,所以AD⊥平面SBC.即時(shí)訓(xùn)練2-1:如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求證:AD⊥平面SBC.19/34【備用例2】如圖,在錐體P-ABCD中,ABCD是菱形,且∠DAB=60°,PA=PD,E,F分別是BC,PC中點(diǎn).證實(shí):AD⊥平面DEF.20/3421/34題型三直線與平面所成角22/34(1)證實(shí):如圖,連接A1B.在△A1BC中,因?yàn)镋和F分別是BC和A1C中點(diǎn),所以EF∥BA1.又因?yàn)镋F?平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.(1)求證:EF∥平面A1B1BA;23/34(2)求證:直線AE⊥平面BCB1;24/34(3)求直線A1B1與平面BCB1所成角大小.25/34方法技巧求平面斜線與平面所成角普通步驟:(1)確定斜線與平面交點(diǎn)(斜足);(2)經(jīng)過(guò)斜線上除斜足以外某一點(diǎn)作平面垂線,連接垂足和斜足即為斜線在平面上射影,則斜線和射影所成銳角即為所求角;(3)求解由斜線、垂線、射影組成直角三角形.26/34即時(shí)訓(xùn)練3-1:(·福州一中高一測(cè)試)已知正三棱錐S-ABC全部棱長(zhǎng)都相等,則SA與平面ABC所成角余弦值為

.

27/34【備用例3】(·浙江卷)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC射影為BC中點(diǎn),D是B1C1中點(diǎn).28/34(1)證實(shí):設(shè)E為BC中點(diǎn),連接A1E,AE.由題意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE.因?yàn)锳B=AC,所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.連接DE,由D,E分別為B1C1,BC中點(diǎn),得DE∥B1B且DE=B1B,從而DE∥A1A且DE=A1A,所以AA1DE為平行四邊形.于是A1D∥AE.又因?yàn)锳E⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(1)證實(shí):A1D⊥平面A1BC;29/34(2)求直線A1B和平面BB1C1C所成角正弦值.30/34題型四

易錯(cuò)辨析——忽略條件限制而致誤【例4】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是AB,B1B,C1C中點(diǎn),求證:B1E⊥平面A1FGD1.31/34錯(cuò)解:因?yàn)镕,G分別為棱B1B,C1C中點(diǎn),所以BC∥FG.因?yàn)锽C⊥AB,BC⊥B1B,且B1B∩AB=B,所以BC⊥平面A1ABB1.又因?yàn)锽1E?平面A1ABB1,所以BC⊥B1E,即FG⊥B1E.同理A1D1⊥B1E,所以B1E⊥平面A1FGD1.糾錯(cuò):本題錯(cuò)誤在于只證實(shí)了直線和平面內(nèi)兩條平行直線垂直,不符合判定定理要求.依據(jù)線面垂直判定定理,直線要垂直于平面內(nèi)兩條相交直線時(shí)才能垂直于這個(gè)平面.32/34正解:因?yàn)镋,F分別為AB,B1B中點(diǎn),且AB=B1B,所以B1F=BE.所以Rt△A1B1F≌Rt△B1BE,所以∠B1A1F=∠BB1E.因?yàn)椤螧1A1F+∠B1FA1=90°,所以∠B1FA