浙江省衢州市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué) 含解析

浙江省衢州市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．2．“”是“”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A．或 B． C． D．4．如圖一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為，腰和上底均為1的等腰梯形，則原平面圖形的面積是（

）

A． B． C． D．5．關(guān)于函數(shù)，下列說法不正確的是（

）A．周期為 B．在上不單調(diào)C．是它的一條對稱軸 D．有一個對稱中心6．若，且在方向上的投影向量為，則與的夾角為（

）A． B． C． D．7．靈山江畔的龍洲塔，有“人文薈萃，學(xué)養(yǎng)深厚”的福地一說.如圖，某同學(xué)為了測量龍洲塔的高度，在地面處測得塔在南偏東的方向上，向正南方向行走后到達(dá)D處，測得塔在南偏東的方向上，處測得塔尖的仰角為，則可得龍洲塔高度為（

）A． B． C． D．8．定義在上的偶函數(shù)滿足：當(dāng)時，，且當(dāng)時，，則的零點(diǎn)個數(shù)是（

）A．6個 B．7個 C．8個 D．無數(shù)個二、多選題9．下列各組函數(shù)的圖象，能夠通過左右平移實(shí)現(xiàn)重合的是（

）A．與 B．與C．與 D．與10．在中，內(nèi)角所對的邊分別是，則下列說法正確的是（

）A．若，則的外接圓的面積是B．若，則是等腰三角形C．若，則可能等于10D．若，則的面積為或11．在中，是中點(diǎn)，與BD交于點(diǎn)F，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題12．已知復(fù)數(shù)是方程的一個根，則復(fù)數(shù)的模的值為.13．古希臘幾何學(xué)家海倫和我國宋代數(shù)學(xué)家秦九?都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫—秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是，記，則三角形面積為.已知中，，則的內(nèi)切圓半徑為.14．在正四面體ABCD中，分別為的中點(diǎn)，，截面EFG將四面體分成兩部分，則體積較大部分與體積較小部分的體積之比是.四、解答題15．已知圓錐的軸截面是一個邊長為4的正三角形.(1)求該圓錐的體積與表面積；(2)該圓錐內(nèi)切球半徑為，內(nèi)接正方體棱長為，求的值.16．已知函數(shù).(1)如果，求函數(shù)的最小正周期與增區(qū)間；(2)如果，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，求的值.17．已知三角形內(nèi)角對邊分別為，向量，且.(1)求角；(2)若，三角形邊上有一點(diǎn)，求的長；(3)角的平分線交于點(diǎn)，且，求面積最小值.18．如圖矩形中，，直線與相互垂直，垂足為點(diǎn).(1)求的值；(2)若.設(shè)，求關(guān)于的表達(dá)式，并求的最大值.19．以下是數(shù)學(xué)中對“曼哈頓距離”的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，則叫作兩點(diǎn)的曼哈頓距離，又稱為折線距離或出租車距離等.某同學(xué)在上課聽了老師對曼哈頓距離的介紹后，課后對它進(jìn)行了研究.首先，把點(diǎn)P取在特殊直線上，取已知定點(diǎn)，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)（為常數(shù)）的問題；第二步，把兩點(diǎn)取在一般直線上，轉(zhuǎn)化為函數(shù)為常數(shù)的問題；第三步，把兩點(diǎn)分別取在直線與曲線上，設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)，再求兩點(diǎn)曼哈頓距離最值；……請按該同學(xué)研究思路，完成以下問題：(1)求函數(shù)的值域；(2)已知關(guān)于的函數(shù)的最小值為2時，求實(shí)數(shù)的值；(3)已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)坐標(biāo)滿足條件，求兩點(diǎn)間曼哈頓距離的最小值.題號12345678910答案CABADBCCADACD題號11答案BCD1．C利用解一元二次不等式求解集，即可求交集.【詳解】由，所以，故選：C.2．A直接利用充分條件與必要條件的定義判斷即可.【詳解】“”是“”成立的充分條件;舉反例推出“”是“”成立的不必要條件,故選A.3．B轉(zhuǎn)化為，對恒成立，利用判別式法求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，對恒成立，?dāng)時，，符合題意；由，得，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B4．A根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，由直觀圖的特征推出原平面圖形的形狀及相關(guān)邊長，再利用梯形面積公式計(jì)算原平面圖形的面積．【詳解】在直觀圖中作，垂足分別為E，F(xiàn)，則

確定原平面圖形的形狀及部分邊長：在斜二測畫法中，平行于y軸的線段，在原圖形中長度變?yōu)橹庇^圖中對應(yīng)線段長度的倍．已知直觀圖是底角為，腰和上底均為的等腰梯形，因?yàn)橹庇^圖中腰長為且平行于y軸，所以原平面圖形為直角梯形，其直角腰長為直觀圖中腰長的倍，即；上底邊長在斜二測畫法中長度不變，所以原平面圖形上底邊長為．原圖如下：

將原平面圖形上底，下底，高代入公式，可得．原平面圖形的面積是．故選：A．5．D對于A，由周期公式可判斷正誤；對于B、C、D，有兩種方法判斷正誤，一種是利用的單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心，將看成一個整體，將反解出來即得的單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心；另一種是從選項(xiàng)入手，由選項(xiàng)條件得到的范圍或值，判斷是否是的單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心，由此可判斷正誤，注意本題是選非題，故選擇不正確的選項(xiàng).【詳解】對于A，的最小正周期為，故A正確；對于B，由，得，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上不單調(diào)，故B正確；對于C，當(dāng)時，，因?yàn)槭堑囊粭l對稱軸，所以時是的一條對稱軸，故C正確；對于D，當(dāng)時，，而是的一條對稱軸，而非對稱中心，故不是的一個對稱中心，故D不正確.故選：D.6．B利用投影向量的概念列式即可求數(shù)量積，從而可求夾角大小.【詳解】根據(jù)在方向上的投影向量為，可得：，根據(jù)，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，故選：B.7．C先根據(jù)題意得到角度和邊，則在中，由正弦定理可求得，而塔是垂直于地面的，故在中，結(jié)合仰角和可算得龍洲塔高度.【詳解】由題意可知，所以，在中，由正弦定理可得，因?yàn)樘帨y得塔尖的仰角為，即，則在中，龍洲塔高度為.故選：C.8．C將的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與圖像交點(diǎn)個數(shù)，畫出圖像，看交點(diǎn)即可.【詳解】的零點(diǎn)，則，即的根個數(shù)，畫出與圖像，看兩個函數(shù)圖像交點(diǎn)個數(shù)即可.當(dāng)時，，畫出此部分圖像，再根據(jù)當(dāng)時，，即表示x隔2函數(shù)值減半，畫出y軸右側(cè)圖像.最后根據(jù)偶函數(shù)圖像性質(zhì)，得到y(tǒng)軸左側(cè)圖像.根據(jù)圖像，知道的零點(diǎn)個數(shù)是8個.故選：C.9．ADA通過誘導(dǎo)公式即可判斷；B通過兩個函數(shù)的最低點(diǎn)判斷；C反證法，在一個函數(shù)圖象上找出兩個特殊點(diǎn)通過平移判斷能否在另一個圖象上；D通過指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)性質(zhì)可得.【詳解】因，則將函數(shù)圖象向左平移個單位可得，故A正確；因，則其最低點(diǎn)坐標(biāo)為，而最低點(diǎn)坐標(biāo)為，故無法只通過左右平移實(shí)現(xiàn)，故B錯誤；因圖象上存在點(diǎn)，圖象上存在，若函數(shù)圖象可左右平移得到，則將函數(shù)圖象向右平移個單位即可得到，而函數(shù)圖象上的點(diǎn)向右平移個單位后得到的點(diǎn)不在圖象上，故C錯誤；，則將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移個單位即可得到，故D正確.故選：AD10．ACD根據(jù)正弦定理計(jì)算即可判斷A；根據(jù)正弦定理和三角恒等變換計(jì)算即可判斷B；根據(jù)余弦定理和基本不等式計(jì)算即可判斷C；根據(jù)余弦定理和三角形面積公式計(jì)算即可判斷D.【詳解】A：由正弦定理得為外接圓的半徑），得，所以該外接圓的面積為，故A正確；B：由正弦定理得，即，得或，解得或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；C：由余弦定理得，即，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取到“=”，又，所以，故C正確；D：由余弦定理得，即，整理得，解得或2.當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，故D正確.故選：ACD11．BCD選定作為基底，根據(jù)圖形的幾何關(guān)系以及向量的線性運(yùn)算，結(jié)合三角形面積公式以及數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：由，則，由是的中點(diǎn)，則，由圖可得，，可得，解得，則，由，，則，故A錯誤；由，，則，即，由，則，由圖可得，，則，故B正確；由，，，則，故C正確；由，，則，故D正確.故選：BCD.12．求出復(fù)數(shù)后利用公式可求其模.【詳解】即為，故，故，故答案為：13．利用海倫公式結(jié)合等面積法，即可求三角形內(nèi)切圓半徑.【詳解】根據(jù)海倫公式，可知：，再設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則有，故答案為：.14．根據(jù)平面的公理，將平面進(jìn)行延拓，利用分割法，結(jié)合棱錐的體積公式，可得答案.【詳解】由題意，取，使得，連接，如下圖：

由分別為的中點(diǎn)，則，，由，則，所以共面，所以截面將正四面體分為多面體與多面體，設(shè)正四面體的棱長為，易知高，則體積，由圖可知多面體可分為四棱錐與三棱錐，在四棱錐中，由到底面的距離為，且，則到底面的距離，即在底面上的高，底面的面積，所以四棱錐的體積，在三棱錐中，由到底面的距離為，且，則到底面的距離，即底面上的高，易知為等邊三角形且邊長為，所以三棱錐的體積，故多面體的體積，多面體的體積，所以體積較大部分與體積較小部分的體積之比是.故答案為：.15．(1)，(2)（1）由題意可得圓錐的幾何元素，利用其體積公式以及表面積公式，可得答案；（2）由題意作圖，根據(jù)銳角三角函數(shù)，建立方程，可得答案.【詳解】（1）由軸截面為4的等邊三角形，可得底面半徑，高為，母線長，于是，.（2）如圖1，易知，可得在中，，解得，如圖2，易知，可得在中，，解得，故16．(1)，增區(qū)間為(2)（1）應(yīng)用二倍角公式及輔助角公式化簡得出解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)周期及單調(diào)性計(jì)算求解；（2）應(yīng)用二倍角公式及輔助角公式化簡得出解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值計(jì)算得出正切值.【詳解】（1）當(dāng)時，故最小正周期由，得，故增區(qū)間為（2）當(dāng)時，，其中當(dāng)時，取得最大值.所以，所以17．(1)(2)(3)（1）由向量垂直得到方程，結(jié)合正弦定理得到，求出；（2）根據(jù)向量基本定理得到，兩邊平方，得到，求出模長；（3）由和三角形面積公式得到方程，求出，由基本不等式求出，得到三角形面積最小值.【詳解】（1）由得，，由正弦定理得，，，所以，所以，故，又，所以（2）因?yàn)辄c(diǎn)在上，，故，所以，所以；（3），由，即，得，于是，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故.18．(1)(2)，的最大值為.（1）利用基底表示向量，再利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求解.（2）利用共線向量定理，結(jié)合平面向量基本定理求出關(guān)于的表達(dá)式，再利用（1）的結(jié)論，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求出最值.【詳解】（1）在矩形中，由直線與垂直，得，即，而，則，所以.（2）由，得，即，同理，由，得，又不共線，則，解得；，由，得，所以，設(shè)，由，得，則，當(dāng)，即時，，當(dāng)時，所以當(dāng)，即時取得最大值.19．(1)(2)或0(3)（1）根據(jù)絕對值得定義，化簡函數(shù)解析式，作圖可得答案；（2）由