重慶市2025屆高三下學(xué)期第六次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

重慶市2025屆高三下學(xué)期第六次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、選擇題1．[2025屆·重慶·三模]已知,則z的虛部為()A.1 B.i C.2 D.31．答案：D解析：依題意,,所以z的虛部為3.故選:D2．[2025屆·重慶·三模]已知數(shù)列為等比數(shù)列,且,,則()A.2 B.4 C.8 D.162．答案：C解析：設(shè)數(shù)列公比為q,則,則.故選:C.3．[2025屆·重慶·三模]記數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)為,方差為,數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)為,方差為,若,k,b為非零常數(shù),則下列說(shuō)法一定正確的是()A. B. C. D.3．答案：C解析：由,得,對(duì)于AB,,AB錯(cuò)誤;對(duì)于CD,,C正確,D錯(cuò)誤.故選:C4．[2025屆·重慶·三模]《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的一部重要數(shù)學(xué)著作,成書于公元一世紀(jì)左右,是《算經(jīng)十書》中最重要的一部.書中商功章第二題至第七題涉及到城、垣、堤、溝、塹、渠這些建筑,其形狀都是底面為等腰梯形的直四棱柱.以“城”為例,有如下問(wèn)題:“今有城下廣四丈,上廣二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺.問(wèn)積幾何?答曰:()立方丈.”（注:一丈等于十尺）A.1265.5 B.1897.5 C.2846.5 D.3795.54．答案：B解析：依題意,“城”的形狀是底面為等腰梯形的直四棱柱,其中等腰梯形的兩底分別為2丈、4丈,高為5丈,因此底面積（平方丈）直四棱柱的高為126.5丈,所以體積（立方丈）.故選:B5．[2025屆·重慶·三模]已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,,則()A. B. C. D.5．答案：A解析：令,則,令,則,故有,解得,即.故選:A.6．[2025屆·重慶·三模]已知向量滿足:,若,則的最小值為()A. B.1 C. D.6．答案：B解析：令,,則,故,則,故的最小值為點(diǎn)B到射線的距離,即.故選:B.7．[2025屆·重慶·三模]已知,,,則()A. B. C. D.7．答案：C解析：令,則,則當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又、、,由,故.故選:C.8．[2025屆·重慶·三模]已知拋物線的焦點(diǎn)為F,雙曲線經(jīng)過(guò)F且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若為等腰直角三角形,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.8．答案：C解析：對(duì)于拋物線,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,所以拋物線的焦點(diǎn).因?yàn)闉榈妊苯侨切?且拋物線與雙曲線都關(guān)于y軸對(duì)稱,所以,則直線的方程為.聯(lián)立,將代入可得,解得或.當(dāng)時(shí),,即;當(dāng)時(shí),,所以,由對(duì)稱性可知.因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)和,將F點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程可得,即,解得.將和代入雙曲線方程可得,化簡(jiǎn)得,移項(xiàng)可得,即.對(duì)于雙曲線,其漸近線方程為.由,可得,所以雙曲線的漸近線方程為.故選:C.二、多項(xiàng)選擇題9．[2025屆·重慶·三模]函數(shù)的部分圖象如圖所示,則下列說(shuō)法正確的有()A.函數(shù)的解析式為B.函數(shù)的對(duì)稱中心為C.函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)為D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增9．答案：AC解析：對(duì)于A,由圖象知,,最小正周期,解得,由,得,,而,則,函數(shù)的解析式為,A正確;對(duì)于B,由,,得,,函數(shù)的對(duì)稱中心為,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)為,C正確;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,而當(dāng)時(shí),取得最小值,因此函數(shù)在上不單調(diào),D錯(cuò)誤.故選:AC10．[2025屆·重慶·三模]已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,P為橢圓上異于A,B的動(dòng)點(diǎn).記,,的面積為S,則下列各式的值與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的有()A. B. C. D.10．答案：BCD解析：由對(duì)稱性,不妨令點(diǎn)P在x軸上方,設(shè),,而,,則,,對(duì)于A,,與點(diǎn)P的位置有關(guān),A錯(cuò)誤;對(duì)于B,,與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān),B正確;對(duì)于C,,與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān),C正確;對(duì)于D,,與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān),D正確.故選:BCD11．[2025屆·重慶·三模]已知關(guān)于x的方程:有兩個(gè)正根,,則下列說(shuō)法正確的有()A. B. C. D.11．答案：ACD解析：對(duì)于A,,函數(shù),在上遞增,因此函數(shù)在上遞減,在上遞增,,,是直線與函數(shù)的兩個(gè)交點(diǎn),則,A正確;對(duì)于B,取,,則,而,此時(shí),B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,而,因此,C正確;對(duì)于D,,則,于是,,令函數(shù),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,因此,即,D正確.故選:ACD三、填空題12．[2025屆·重慶·三模]已知,,則________.12．答案：/解析：.故答案為:.13．[2025屆·重慶·三模]若,,且,則的最小值是________.13．答案：13解析：由,則,則,當(dāng)且僅當(dāng),即、時(shí)等號(hào)成立.故答案為:13.14．[2025屆·重慶·三模]小南將一枚骰子連續(xù)拋擲3次,每一次骰子都會(huì)等可能地出現(xiàn)1、2、3、4、5、6點(diǎn).則3次骰子點(diǎn)數(shù)按拋擲順序構(gòu)成等差數(shù)列的情況有________種.14．答案：18解析：公差為0的情況有6種:111,222,333,444,555,666;公差為的情況有8種:123,234,345,456,321,432,543,654;公差為的情況有4種:135,246,531,642,所以3次骰子點(diǎn)數(shù)按拋擲順序構(gòu)成等差數(shù)列的情況有18種.故答案為:18四、解答題15．[2025屆·重慶·三模]已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若對(duì)恒成立,求的取值范圍.15．答案：（1）見(jiàn)解析（2）解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì):可得,則,即.由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,可得,即.聯(lián)立方程組,解得.將代入,可得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知,則,.所以.則.因?yàn)閷?duì)恒成立,即恒成立.因?yàn)?所以恒成立.令,.對(duì)求導(dǎo)得,所以在上單調(diào)遞增.則,所以.16．[2025屆·重慶·三模]已知函數(shù),其中.（1）討論的單調(diào)性;（2）證明:,在上均恰有一個(gè)零點(diǎn).16．答案：（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析解析：（1）首先求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù).函數(shù)的定義域?yàn)?對(duì)求導(dǎo)可得,,.然后令,即,則,解得或.接著分情況討論:當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),.在區(qū)間和上,,所以在,上單調(diào)遞增;在區(qū)間上,,所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),.在區(qū)間和上,,所以在,上單調(diào)遞增;在區(qū)間上,,所以在上單調(diào)遞減.綜上所得,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,且,由（1）可知,當(dāng)時(shí),在取得極大值,在上恰有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增.在上恰有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí),在取得極大值,且,所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn).綜上所得,,在上均恰有一個(gè)零點(diǎn).17．[2025屆·重慶·三模]把若干個(gè)紅球和白球（除顏色外沒(méi)有其他差異）放進(jìn)甲、乙、丙三個(gè)空盒子中,且其中的紅球占比依次為、、.現(xiàn)隨機(jī)選取一個(gè)盒子,每個(gè)盒子被選取的概率均為,然后從選取的盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球.（1）求摸出的球是紅球的概率;（2）若摸出的球是紅球,記該紅球?yàn)椤癛”.（i）求“R”是從乙盒摸出的概率;（ii）將“R”放回原盒,再?gòu)脑摵兄须S機(jī)摸出一個(gè)球,求此球?yàn)榧t球的概率.17．答案：（1）（2）解析：（1）設(shè)“隨機(jī)選取一個(gè)盒子,選中甲盒子”為事件A、“隨機(jī)選取一個(gè)盒子,選中乙盒子”為事件B、“隨機(jī)選取一個(gè)盒子,選中丙盒子”為事件C、“從選取的盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球,該球?yàn)榧t球”為事件D,則;（2）（i）;（ii）設(shè)“將“R”放回原盒,再?gòu)脑摵兄须S機(jī)摸出一個(gè)球,此球?yàn)榧t球”為事件E,,,分別記、、為H、I、J,則.18．[2025屆·重慶·三模]如圖,在四棱錐中,底面是矩形,底面,,點(diǎn)M為的中點(diǎn),且.（1）求;（2）平面與線段、、分別交于S、T、R三點(diǎn),且,.（i）當(dāng)時(shí),求直線與平面所成角的正弦值;（ii）是否存在,使得為直角三角形?若存在,求;若不存在,說(shuō)明理由.18．答案：（1）（2）解析：（1）由底面,、平面,故、,又底面是矩形,故,故、、兩兩垂直,故可以A為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、,設(shè),則、、、則、,由,則,解得,即;（2）由,則、、,,則,,,則,,,（i）當(dāng)時(shí),,,設(shè)平面的法向量為,則有,則可取,又,則,則直線與平面所成角的正弦值為;（ii）若為直角,則有,解得或,由,故無(wú)解;若為直角,則有,即,解得或,由,故;若為直角,則有,因,故無(wú)解.綜上所述:.19．[2025屆·重慶·三模]已知橢圓的上頂點(diǎn)為,且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程;（2）若斜率為的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（直線斜率為正）,直線、（若、重合,直線即為橢圓在P點(diǎn)處的切線）分別與x軸交于M,N兩點(diǎn),H為中點(diǎn).（i）求的最大值;（ii）當(dāng)最大時(shí),將坐標(biāo)平面沿x軸折成二面角,在二面角大小變化過(guò)程中,求三棱錐外接球表面積取得最小值時(shí)三棱錐的內(nèi)切球的半徑.19．答案：（1）（2）解析：（1）依題意,,,解得,所以所求方程為.（2）（i）設(shè)直線,由消去y得,設(shè),,則,,直線,的斜率分別為,,則,則,即,在中,令,則,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以的最大值為.（ii）當(dāng)取最大值時(shí),,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,過(guò)原點(diǎn)O,,,