人教版-高中數(shù)學選修4-5-數(shù)學歸納法及其應用舉例市公開課一等獎省賽課獲獎課件

數(shù)學歸納法及其應用舉例

第1頁問題1：有一臺晚會，若知道晚會第一個節(jié)目是唱歌，第二個節(jié)目是唱歌、第三個節(jié)目也是唱歌，能否斷定整臺晚會都是唱歌？問題2：有一臺晚會，若知道唱歌節(jié)目后面一定是唱歌，能否斷定整臺晚會都是唱歌？問題3：有一臺晚會，若知道第一個節(jié)目是唱歌，假如一個節(jié)目是唱歌則它后面節(jié)目也是唱歌，能否斷定整臺晚會都是唱歌？一、設置情景，導學探究：第2頁

多米諾骨牌課件演示

怎樣確保骨牌一一倒下？需要哪些條件？（2）任意相鄰兩塊骨牌，若前一塊倒下，則必須確保下一塊要相繼倒下。（1）第一塊骨牌倒下----------遞推關(guān)系；即第k塊倒下，則相鄰第k+1塊也倒下----------奠基；第3頁所以n=k+1時結(jié)論也成立那么求證(一定要用上假設)第4頁二、挖掘內(nèi)涵、形成概念：證實一些與自然數(shù)相關(guān)數(shù)學題,可用以下方法來證實它們正確性:(1)驗證當n取第一個值n0(比如n0=1)時命題成立,(2)假設當n=k(kN*，kn0)時命題成立,證實當n=k+1時命題也成立完成這兩步，就能夠斷定這個命題對從n0開始全部正整數(shù)n都成立。這種證實方法叫做數(shù)學歸納法。驗證n=n0時命題成立若當n=k(kn0)時命題成立,證實當n=k+1時命題也成立命題對從n0開始全部正整數(shù)n都成立?！練w納奠基】【歸納遞推】第5頁數(shù)學歸納法是一個證實與自然數(shù)相關(guān)數(shù)學命題主要方法。其格式主要有兩個步驟、一個結(jié)論:

（1）證實當n取第一個值n0（如n0=1或2等）時結(jié)論正確；

驗證初始條件--------游戲開始（2）假設n=k時結(jié)論正確，證實n=k+1時結(jié)論也正確；

假設推理----------游戲規(guī)則（3）由（1）、（2）得出結(jié)論.

點題找準起點奠基要穩(wěn)用上假設遞推才真寫明結(jié)論才算完整尤其提醒：第6頁證實:(1)當n=1時左＝1，右＝12＝1∴n=1時，等式成立(2)假設n=k時，等式成立，即1+3+5+…+(2k

1)=k2

那么，當n=k+1時左＝1+3+5+…+(2k

1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1時等式成立由(1)、(2)可知等式對任何nN*都成立遞推基礎遞推依據(jù)例1.用數(shù)學歸納法證實1+3+5+…+(2n

1)=n2

證實:(1)當n=1時左＝1，右＝12＝1∴n=1時，等式成立(2)假設n=k時，等式成立，即1+3+5+…+(2k

1)=k2

那么，當n=k+1時左＝1+3+5+…+(2k

1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1時等式成立由(1)、(2)可知等式對任何nN*都成立第7頁證實：1、當n=1時,左=12=1，右=∴n=1時，等式成立2、假設n=k時，等式成立，即那么，當n=k+1時左=12+22+…+k2+(k+1)2==右∴n=k+1時，原不等式成立由1、2知當nN*時，原不等式都成立練1、用數(shù)學歸納法證實：第8頁例:以下證實對嗎？證實：①當n=1時，左邊＝

右邊＝

等式成立。②設n=k時，有那么，當n=k+1時，有即n=k+1時，命題成立。依據(jù)①②問可知，對n∈N＊，等式成立。第二步證實中沒有用到假設，這不是數(shù)學歸納法證實。第9頁(1)在第二步中,證實n=k+1命題成立時,必須用到n=k命題成立這一歸納假設,不然就打破數(shù)學歸納法步驟之間邏輯嚴密關(guān)系,造成推理無效.證實中幾個注意問題：(2)在第一步中初始值不一定從1取起，證實時應依據(jù)詳細情況而定.例:欲用數(shù)學歸納法證實2n>n2,試問n第一個取值應是多少?答:對n=1,2,3,…,逐一嘗試,可知初始值為n=5.第10頁例:用數(shù)學歸納法證實:

(3)在證實n=k+1命題成立用到n=k命題成立時,要分析命題結(jié)構(gòu)特點,分析“n=k+1時”命題是什么，并找出與“n=k”時命題形式差異.搞清應增加項.第11頁(1)在第二步中,證實n=k+1命題成立時,必須用到n=k命題成立這一歸納假設,不然就打破數(shù)學歸納法步驟之間邏輯嚴密關(guān)系,造成推理無效.

證實中幾個注意問題：(2)在第一步中初始值不一定從1取起，證實時應依據(jù)詳細情況而定.(3)在證實n=k+1命題成立用到n=k命題成立時,要分析命題結(jié)構(gòu)特點,分析“n=k+1時”命題是什么，并找出與“n=k”時命題形式差異.搞清應增加項.第12頁練習鞏固

1、

證實：

在驗證n=1成立時，左邊計算所得結(jié)果是（

）

A．1 B.C． D.

2.已知:則等于()A:B:

C:D:第13頁這就是說當時等式成立，所以時等式成立.思索1：以下推證是否正確，并指出原因.用數(shù)學歸納法證實：證實：假設時，等式成立，就是那么第14頁思索2：下面是某同學用數(shù)學歸納法證實命題過程.你認為他證法正確嗎?為何?(1)當n=1時,左邊=,右邊=(2)假設n=k(k∈N*)時命題成立，那么n=k+1時,

即n=k+1時,命題也成立.由(1)(2)知,對一切自然數(shù),命題均正確.

=右邊,左邊第15頁思索3：以下證法對嗎？用數(shù)學歸納法證（n∈N+):1+2+3+…+2n=n(2n+1)證實：1)左邊=1=……2)假設n=k時等式成立,即:1+2+3+…+2k=k(2k+1).1+2+3+…+2k+2(k+1)=k(2k+1)+2(k+1)=……那么，n=k+1時，1+2+3+…+2k=k(2k+1).1+2+3+…+2k+(2k+1)+2(k+1)=k(2k+1)+(2k+1)+2(k+1)=……那么，n=k+1時，證實：1)左邊=1+2=3=右邊2)假設n=k時等式成立,即:第16頁例、用數(shù)學歸納法證實：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

從n=k到n=k+1有什么改變湊假設湊結(jié)論證實:2)假設n=k時命題成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝則當n=k+1時，

+＝=∴n=k+1時命題正確。由(1)和(2)知，當，命題正確。

=1)當n=1時，左邊=1×2=2,右邊==2.命題成立第17頁1）明確首先取值n0并驗證命題真假（必不可少）；2）“假設n=k時命題正確”并寫出命題形式；3）分析“n=k+1時”命題是什么，并找出與“n=k”時命題形式差異，搞清左端應增加項；4）明確等式左端變形目標，掌握恒等式變形慣用方法：乘法公式、因式分解、添拆項、配方等；5）兩個步驟、一個結(jié)論缺一不可，不然結(jié)論不能成立：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結(jié)論寫明莫忘記用數(shù)學歸納法證實恒等式步驟及注意事項：第18頁例1、是否存在常數(shù)a、b,使得等式:對一切正整數(shù)n都成立,并證實你結(jié)論.解:令n=1,2,并整理得以下用數(shù)學歸納法證實:(1)當n=1時,由上面解法知結(jié)論正確.(1)數(shù)學歸納法證實等式問題：二、數(shù)學歸納法應用舉例：第19頁(2)假設當n=k時結(jié)論正確,即:則當n=k+1時,故當n=k+1時,結(jié)論也正確.依據(jù)(1)、(2)知,對一切正整數(shù)n,結(jié)論正確.第20頁例2、已知正數(shù)數(shù)列{an}中,前n項和為sn,且用數(shù)學歸納法證實:證:(1)當n=1時,=1,結(jié)論成立.(2)假設當n=k時,結(jié)論成立,即則當n=k+1時,故當n=k+1時,結(jié)論也成立.依據(jù)(1)、(2)知,對一切正整數(shù)n,結(jié)論都成立.第21頁(2)數(shù)學歸納法證實整除問題：例1、用數(shù)學歸納法證實:當n為正偶數(shù)時,xn-yn能被x+y整除.證:(1)當n=2時,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命題成立.(2)假設當n=2k時,命題成立,即x2k-y2k能被x+y整除.則當n=2k+2時,有都能被x+y整除.故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即當n=2k+2時命題成立.由(1)、(2)知原命題對一切正偶數(shù)均成立.第22頁例2、用數(shù)學歸納法證實:能被8整除.證:(1)當n=1時,A1=5+2+1=8,命題顯然成立.(2)假設當n=k時,Ak能被8整除,即是8倍數(shù).那么:因為Ak是8倍數(shù),3k-1+1是偶數(shù)即4(3k-1+1)也是8倍數(shù),所以Ak+1也是8倍數(shù),即當n=k+1時,命題成立.由(1)、(2)知對一切正整數(shù)n,An能被8整除.第23頁例3、求證:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.證:(1)當n=1時,x3n-1+x3n-2+1=x2+x+1,從而命題成立.(2)假設當n=k時命題成立,即x3k-1+x3k-2+1能被x2+x+1整除則當n=k+1時,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)+x3+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)+(x+1)(x2+x+1)因為x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除,所以上式右邊能被x2+x+1整除.即當n=k+1時,命題成立.依據(jù)(1)、(2)知,對一切正整數(shù)n,命題成立.第24頁例6、平面內(nèi)有n(n

2)條直線，任何兩條都不平行，任何三條不過同一點，問交點個數(shù)為多少?并證實.當n=k+1時：第k+1條直線分別與前k條直線各交于一點，共增加k個點，由1）、2）可知，對一切n∈N

原命題均成立。證實：1）n=2時：兩條直線交點個數(shù)為1,而f(2)=×2×(2-1)=1,∴命題成立。

∴k+1條直線交點個數(shù)=f(k)+k=k(k-1)+k=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),

即當n=k+1時命題仍成立。2）假設n=k(k∈N

,k≥2)時，k條直線交點個數(shù)為f(k)=k(k-1),(3)數(shù)學歸納法證實幾何問題：第25頁練習1:凸n邊形有f(n)條對角線,則凸n+1邊形對角線條數(shù)f(n+1)=f(n)+_________.n-1練習2:設有經(jīng)過一點k個平面,其中任何三個平面或三個以上平面不共有一條直線,這k個平面將空間分成f(k)個區(qū)域,則k+1個平面將空間分成f(k+1)=f(k)+__________個區(qū)域.2k第26頁(4)數(shù)學歸納法證實不等式問題：例1、用數(shù)學歸納法證實:證:(1)當n=2時,左邊=不等式成立.(2)假設當n=k(k≥2)時不等式成立,即有:則當n=k+1時,我們有:第27頁即當n=k+1時,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式對一切都成立.例2、證實不等式:證:(1)當n=1時,左邊=1,右邊=2,不等式顯然成立.(2)假設當n=k時不等式成立,即有:則當n=k+1時,我們有:第28頁即當n=k+1時,不等式也成立.依據(jù)(1)、(2)可知,原不等式對一切正整數(shù)都成立.第29頁例3、求證:證:(1)當n=1時,左邊=,右邊=,因為

故不等式成立.(2)假設n=k()時命題成立,即

則當n=k+1時,第30頁即當n=k+1時,命題成立.由(1)、(2)原不等式對一切都成立.第31頁例4、已知x>

1，且x

0，n

N，n

2．求證：(1+x)n>1+nx.（2）假設n=k時，不等式成立，即

(1+x)k>1+kx當n=k+1時，因為x>

1，所以1+x>0，于是左邊=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右邊=1+(k+1)x．