高等數(shù)學-極限和導數(shù)-2-2極限的概念

二、函數(shù)極限一、數(shù)列極限第二節(jié)極限概念

第二章

第1頁一、數(shù)列極限1.數(shù)列極限定義(1)數(shù)列：簡記作稱為通項(普通項).數(shù)列也稱為整標函數(shù).自變量取正整數(shù)函數(shù),比如,第2頁比如,有界無界有界性第3頁單調(diào)增加單調(diào)降低單調(diào)數(shù)列單調(diào)性第4頁設有數(shù)列假如當n無限增大時,xn無限趨近于某個確定常數(shù)a

,極限,這時,也稱數(shù)列{xn

}收斂于a.不然,稱數(shù)列{xn

}發(fā)散.則稱a為數(shù)列{xn

}記作(2)數(shù)列極限定義

定義2.2第5頁比如,趨勢不定收斂發(fā)散第6頁“無限增大”，“無限靠近”意味著什么?怎樣用數(shù)學語言定量地刻劃它？a靠近b程度用絕對值：表示.問題:第7頁定義2.3若數(shù)列及常數(shù)a有以下關系:當n>

N

時,總有記作此時也稱數(shù)列收斂,不然稱數(shù)列發(fā)散.或則稱該數(shù)列{xn

}極限為a,第8頁3°N由所確定，故記但不唯一.4°不能與n相關.5°數(shù)列極限定義未給出求極限方法.注普通來說，ε越小，N越大;第9頁(3)幾何解釋時，恒有注第10頁例1

已知證實數(shù)列極限為1.證要使即只要所以,取則當時,就有故N是正整數(shù),所以要取整第11頁證所以結論:

常數(shù)列極限等于同一常數(shù).例2第12頁證(1)(2)要使即只要例3第13頁例4證分析N不唯一,證實時能夠適當放大故得證.也可由取第14頁注

將適當放大目標，是為了易于求N.放大時，應該注意適當！小結:用定義證實數(shù)列極限存在時,關鍵是任意給定

>0,

尋找N,但無須求最小N.第15頁證實：證要使只要即則當n>N時，有從而例5第16頁思索:對于例5,以下推導是否正確：要使只要故取……N不能與n相關！第17頁子數(shù)列比如，(4)數(shù)列極限性質(zhì)第18頁定理1以下三個命題等價

有一子列發(fā)散數(shù)列必發(fā)散或兩個子列都收斂但收斂于不一樣值數(shù)列也發(fā)散，例第19頁定理2收斂數(shù)列必定有界.證由定義,注意有界性是數(shù)列收斂必要條件.推論

無界數(shù)列必定發(fā)散.收斂有界第20頁自變量改變過程有六種形式:二、函數(shù)極限第21頁1.x

時函數(shù)f(x)極限(1)定義2.3

設函數(shù)當(M為某一正數(shù)）時有定義,假如存在常數(shù)A,當時,有則稱常數(shù)A為函數(shù)當時極限,記作第22頁當時,有(2)幾何解釋第23頁注當時,有當時,有1°時函數(shù)f(x)

極限：定理第24頁2°或則稱直線y=A為曲線y=f(x)水平漸近線.假如比如，都有水平漸近線第25頁都有水平漸近線又如，再如，都有水平漸近線第26頁例6證實證取所以注就有故欲使即第27頁2.x

x0時函數(shù)f(x)極限(1)時函數(shù)極限定義定義2.4

設函數(shù)在點某去心鄰域則稱常數(shù)A為函數(shù)當時極限,或當時,總有內(nèi)有定義.假如有常數(shù)A,記作第28頁幾何解釋:第29頁注第30頁xO1第31頁例7證實證故取當時,必有所以第32頁證只要例8第33頁左極限:有極限存在充要條件:(2)單側極限當時,右第34頁例9設函數(shù)討論時極限是否存在.

解因為所以不存在.第35頁內(nèi)容小結1.數(shù)列極限“–N

”定義及應用2.函數(shù)極限或定義及應用思索與練習1.若極限存在,2.設函數(shù)且存在,則是否一定有3.左、右極限定義及左、右極限相等等價條件第36頁故時,例4-1已知證實證要使只要即取則當N不唯一,證實時能夠適當放大也可由取有第37頁例5-1證注意到為了使于是

a=所以,則當n>N時,有只要使第38頁證例5-2第39頁證例6-1第40頁例6-2證第41頁例8證分析第42頁例9-1

證實證要使取則當時,必有所以只要第43頁例10-1證由不等式可得已知即于是證實了第44頁左右極限存在，但不相等,證例1