人教版2025年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)章節(jié)重點(diǎn)梳理 第18章 平行四邊形（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)+11類題型突破）

第十八章平行四邊形0101思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記【知識(shí)點(diǎn)01】平行四邊形1.平行四邊形的概念：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2.平行四邊形的性質(zhì)：（1）平行四邊形的對(duì)邊相等；（2）平行四邊形的對(duì)角相等（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。3.平行四邊形的判定（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形（概念）（2）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形叫做平行四邊形（3）對(duì)角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形（4）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形【知識(shí)點(diǎn)02】矩形1.矩形的概念和性質(zhì)有一角是直角的平行四邊形叫做矩形，矩形也叫做長方形。矩形是特殊的平時(shí)行不行，它除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還具有的性質(zhì)：矩形的對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。2.矩形的判定（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（2）三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（3）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形【知識(shí)點(diǎn)03】菱形1.菱形的概念與性質(zhì)有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形，菱形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還具有一些特殊的性質(zhì)：菱形的四條邊相等；菱形的對(duì)角線互相垂直。2.菱形的判定（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（概念）（2）四邊相等的四邊形是菱形（3）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形【知識(shí)點(diǎn)04】正方形1.正方形的概念、性質(zhì)有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是有一組鄰邊相等的特殊的矩形，也是有一個(gè)角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性質(zhì)。2.正方形的判定（1）有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形（概念）（2）有一組鄰邊相等的矩形是正方形（3）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形0303題型歸納題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求解例題：（2023上·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考期末）在中，若，則的度數(shù)為度．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·吉林長春·八年級(jí)校考期末）如圖，在中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，則的周長為.2．（2024下·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，的平分線AE交DC于點(diǎn)E，連接BE，若，則的度數(shù)為．3．（2024上·吉林長春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，平分，交于點(diǎn)F，平分，交于點(diǎn)E，，，則長為.題型二利用平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合例題：（2023下·廣東深圳·八年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D，E、F是對(duì)角線上的兩點(diǎn)．

(1)若，求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，垂足分別為E、F，，求的度數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．（2023下·吉林長春·八年級(jí)校考期中）如圖，中，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，連接交于O．(1)連接、，判斷四邊形的形狀并說明理由．(2)若，，的面積為2，求的面積．(3)若，，，延長交的延長線于G，當(dāng)時(shí)，則的長為______．2．（2023下·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）在四邊形中，，．(1)如圖①，求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖②，平分，交于點(diǎn)．若，，求的面積；(3)如圖③，平分，交于點(diǎn)，作交射線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，請(qǐng)?zhí)骄烤€段，，之間的數(shù)量關(guān)系．題型三矩形的性質(zhì)例題：（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）下列命題正確的是（）A．矩形的四個(gè)角都相等 B．矩形的四條邊都相等C．矩形的對(duì)角線互相垂直 D．矩形的對(duì)角線平分內(nèi)角鞏固訓(xùn)練1.（23-24八年級(jí)下·河南濮陽·期中）矩形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線垂直 B．四個(gè)角都是直角 C．是軸對(duì)稱圖形 D．對(duì)角線相等2.（2024·河南鶴壁·一模）矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（

）A．兩組對(duì)邊分別平行 B．兩組對(duì)角分別相等C．對(duì)角線相等 D．對(duì)角線互相平分題型四利用矩形的性質(zhì)求解例題：（23-24八年級(jí)下·遼寧鞍山·期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，連接，若則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1.（2024·四川涼山·二模）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2.（23-24八年級(jí)下·湖北襄陽·期中）如圖，在矩形中，分別是上的點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，，，則線段的長為．3.（23-24七年級(jí)下·上海金山·期中）如圖，長方形中，點(diǎn)E、F分別為邊上的任意點(diǎn)，、的面積分別為15和25，那么四邊形的面積為．題型五菱形的性質(zhì)例題：（2024八年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）下列選項(xiàng)中，菱形不具有的性質(zhì)是（

）A．四邊相等 B．對(duì)角線互相垂直C．對(duì)角線相等 D．每條對(duì)角線平分一組對(duì)角鞏固訓(xùn)練1.（23-24八年級(jí)下·河南商丘·期中）關(guān)于菱形的性質(zhì)，下列說法不正確的是（

）A．四條邊相等 B．對(duì)角線互相垂直C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線相等2.（2024八年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）A．兩組對(duì)邊分別平行 B．兩組對(duì)角分別相等C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線互相垂直題型六利用菱形的性質(zhì)求解例題：（2024·陜西西安·三模）如圖，點(diǎn)E是菱形的對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，若，，則的度數(shù)為．鞏固訓(xùn)練1.（2024·重慶九龍坡·二模）如圖，在菱形中，，依次連接各邊中點(diǎn)，得到四邊形，則°．2.（2024·四川成都·二模）如圖，在菱形中，，分別是，上的點(diǎn)，且，連接，．若，，則的大小為．3.（23-24八年級(jí)下·江蘇無錫·期中）如圖，菱形中，，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上，且，若，則．4.（23-24八年級(jí)下·河北承德·期中）如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，分別是邊，的中點(diǎn)，連接．若，則(用含的代數(shù)式表示)；若，，則菱形的面積為5.（2024·江蘇南京·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)都在第一象限，若，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．題型七正方形的性質(zhì)例題：（23-24八年級(jí)下·河南周口·期中）下列關(guān)于正方形的說法錯(cuò)誤的是（

）A．正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角B．正方形有四條對(duì)稱軸C．正方形的兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等D．正方形一條對(duì)角線上的點(diǎn)到另一條對(duì)角線兩端點(diǎn)的距離不一定相等鞏固訓(xùn)練1.（23-24八年級(jí)下·湖北荊州·期中）菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是（

）A．四條邊都相等 B．都是軸對(duì)稱圖形C．對(duì)角線互相垂直且互相平分 D．對(duì)角線相等且互相平分2.（23-24八年級(jí)下·山東淄博·期中）正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線平分一組對(duì)角 B．對(duì)角線相等C．對(duì)角線互相垂直平分 D．四條邊相等3.（23-24八年級(jí)下·江蘇無錫·階段練習(xí)）正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線互相垂直B．對(duì)角線互相平分C．對(duì)角線相等D．四個(gè)角都是直角題型八利用正方形的性質(zhì)求解例題：（23-24八年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期中）如圖，在正方形的內(nèi)側(cè)，作等邊三角形，則為（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1.（23-24八年級(jí)下·黑龍江·期中）如圖，正方形中，，直線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2.（23-24八年級(jí)下·廣西玉林·期中）如圖，正方形的對(duì)角線是菱形的一邊，則等于（

）

A． B． C． D．3.（23-24八年級(jí)下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，，，垂足分別為、，若，則．4.（23-24七年級(jí)上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，正方形和正方形的邊長分別為和，則陰影部分的面積為.5.（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，以為頂點(diǎn)的正方形的兩邊，分別變正方形的邊，于點(diǎn)，．記的面積為，的面積為，若正方形的邊長，則的大小為．題型九矩形的性質(zhì)與判定的綜合問題例題：（23-24八年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）如圖，在平行四邊形中，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長．鞏固訓(xùn)練1.（2024·云南德宏·一模）如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)，使，連接，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求菱形的面積．2.（23-24八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，是的角平分線，是的外角的平分線，過點(diǎn)C作，垂足為E．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求四邊形的面積．3.（2024八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）在中，，為上的兩點(diǎn)，且，．(1)求證：；(2)求證：是矩形；(3)連接，若是的平分線，，，求四邊形的面積．題型十利用菱形的判定與性質(zhì)綜合性問題例題：如圖，在等腰中，，平分，過點(diǎn)作交的延長線于，連接，過點(diǎn)作交的延長線于．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，求的長．鞏固訓(xùn)練1.如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若菱形的周長為，，求的長度．2.已知，四邊形是菱形．(1)若，則菱形的周長______；(2)如圖①，、是對(duì)角線，則與的位置關(guān)系是_______．(3)如圖②，點(diǎn)、分別在、上，且，，，點(diǎn)、分別在、上，與相交于點(diǎn)．求證：四邊形是菱形．題型十一正方形的性質(zhì)與判定的綜合問題例題：（23-24八年級(jí)下·江蘇無錫·期中）實(shí)踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片沿過D的直線折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處，得到折痕，然后在把紙片展平；第二步：如圖2，將圖1中的矩形紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在上的點(diǎn)處，得到折痕，交于點(diǎn)M，再把紙片展平．問題解決：(1)如圖1，求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，若，，，求的面積．鞏固訓(xùn)練1.（23-24九年級(jí)下·山東淄博·期中）如圖，中，，、外角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)分別作直線，的垂線，，為垂足．(1)________°（直接寫出結(jié)果不寫解答過程）(2)求證：四邊形是正方形．若，求的面積．(3)如圖（），在中，，高，，則的長度是________（直接寫出結(jié)果不寫解答過程）．2.（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·期中）如圖，四邊形是邊長為4的正方形，點(diǎn)P為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長到點(diǎn)E，使，連接，以為邊作平行四邊形，直線和直線相交于點(diǎn)M．(1)如圖1，點(diǎn)P在邊上，判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)P為的中點(diǎn)，求點(diǎn)F到邊的距離；(3)若，求的長．3.（23-24八年級(jí)下·四川廣安·期中）問題情境：如圖①，點(diǎn)E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，且，延長交于點(diǎn)G，連接．猜想證明：（1）如圖①，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．（2）如圖②，若，請(qǐng)猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．解決問題：（3）如圖①，若，請(qǐng)直接寫出的長．

第十八章平行四邊形0101思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記【知識(shí)點(diǎn)01】平行四邊形1.平行四邊形的概念：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2.平行四邊形的性質(zhì)：（1）平行四邊形的對(duì)邊相等；（2）平行四邊形的對(duì)角相等（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。3.平行四邊形的判定（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形（概念）（2）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形叫做平行四邊形（3）對(duì)角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形（4）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形【知識(shí)點(diǎn)02】矩形1.矩形的概念和性質(zhì)有一角是直角的平行四邊形叫做矩形，矩形也叫做長方形。矩形是特殊的平時(shí)行不行，它除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還具有的性質(zhì)：矩形的對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。2.矩形的判定（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（2）三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（3）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形【知識(shí)點(diǎn)03】菱形1.菱形的概念與性質(zhì)有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形，菱形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還具有一些特殊的性質(zhì)：菱形的四條邊相等；菱形的對(duì)角線互相垂直。2.菱形的判定（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（概念）（2）四邊相等的四邊形是菱形（3）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形【知識(shí)點(diǎn)04】正方形1.正方形的概念、性質(zhì)有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是有一組鄰邊相等的特殊的矩形，也是有一個(gè)角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性質(zhì)。2.正方形的判定（1）有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形（概念）（2）有一組鄰邊相等的矩形是正方形（3）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形0303題型歸納題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求解例題：（2023上·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┰谥校?，則的度數(shù)為度．【答案】65【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形鄰角互補(bǔ)求解即可．【詳解】∵，∴，∵，∴，解得，故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·吉林長春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，則的周長為.【答案】22【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及三角形周長等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住平行四邊形的對(duì)角線互相平分．根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分求出的長，即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴的周長．故答案為：22．2．（2024下·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，的平分線AE交DC于點(diǎn)E，連接BE，若，則的度數(shù)為．【答案】【解析】略3．（2024上·吉林長春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，平分，交于點(diǎn)F，平分，交于點(diǎn)E，，，則長為.【答案】3【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對(duì)等邊；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得，，；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得；根據(jù)從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線可得；推得，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，，即可列出等式，求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，∵平分，∴，則，∴，同理可證：，∵，即，解得：；故答案為：3．題型二利用平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合例題：（2023下·廣東深圳·八年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D，E、F是對(duì)角線上的兩點(diǎn)．

(1)若，求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，垂足分別為E、F，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接交于O，根據(jù)，得，，繼可證得，即可由平行四邊形的判定定理得出結(jié)論．（2）先由，，得出，，再證，得，從而證得四邊形是平行四邊形，即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得．【詳解】（1）證明：連接交于O，

∵，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：∵，，∴，，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023下·吉林長春·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，連接交于O．(1)連接、，判斷四邊形的形狀并說明理由．(2)若，，的面積為2，求的面積．(3)若，，，延長交的延長線于G，當(dāng)時(shí)，則的長為______．【答案】(1)四邊形是平行四邊形，理由見解析；(2)；(3)4；【分析】（1）分別證明，，即可；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)，由的面積為2，得到，再利用三角形同底等高的性質(zhì)，得到的面積，再求出，則可知的面積為；（3）由是等腰直角三角形，得出，因?yàn)?，得出，所以與都是等腰直角三角形，從而依次求得、、的長，則可求；【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形；證明：由題意，在中，，∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴的面積為．（3）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵，，∴，∴，是等腰直角三角形，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，以及同底等高類的三角形面積，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023下·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）在四邊形中，，．(1)如圖①，求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖②，平分，交于點(diǎn)．若，，求的面積；(3)如圖③，平分，交于點(diǎn)，作交射線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，請(qǐng)?zhí)骄烤€段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)3(3)或【詳解】解：（1）證明：，．，，，四邊形是平行四邊形．（2）在中，，．平分，，，．如圖①，作交的延長線于點(diǎn)，．圖①，，，，．（3）如圖②、圖③，作交射線于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖②．圖②，，，．四邊形是平行四邊形，，，．在和中，，．由（2）易知．，，．又，，即；當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，如圖③．圖③同理可得，，，即．綜上所述，線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為或題型三矩形的性質(zhì)例題：（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）下列命題正確的是（）A．矩形的四個(gè)角都相等 B．矩形的四條邊都相等C．矩形的對(duì)角線互相垂直 D．矩形的對(duì)角線平分內(nèi)角【答案】A【分析】本題考查真假命題的判斷、矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的角、邊、對(duì)角線的特點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、矩形的四個(gè)角都相等，正確，符合題意；B、矩形的四條邊不相等，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；C、矩形的對(duì)角線相等但不垂直，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；D、矩形的對(duì)角線相等但不平分內(nèi)角，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；故選A．鞏固訓(xùn)練1.（23-24八年級(jí)下·河南濮陽·期中）矩形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線垂直 B．四個(gè)角都是直角 C．是軸對(duì)稱圖形 D．對(duì)角線相等【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)：對(duì)邊相等且平行，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線平分且相等，矩形既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形，根據(jù)性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：矩形不一定具有的性質(zhì)是對(duì)角線垂直．故選：B．2.（2024·河南鶴壁·一模）矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（

）A．兩組對(duì)邊分別平行 B．兩組對(duì)角分別相等C．對(duì)角線相等 D．對(duì)角線互相平分【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，能熟記知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：矩形的性質(zhì)是：①矩形的四個(gè)角都是直角，②矩形的對(duì)邊相等且互相平行，③矩形對(duì)角線相等且互相平分；菱形的性質(zhì)是：①菱形的四條邊都相等，菱形的對(duì)邊互相平行；②菱形的對(duì)角相等，③菱形的對(duì)角線互相平分且垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角，所以矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是對(duì)角線相等，故選：．題型四利用矩形的性質(zhì)求解例題：（23-24八年級(jí)下·遼寧鞍山·期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，連接，若則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了矩形的對(duì)角線相等，等邊對(duì)等角，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得，再求解即可．【詳解】解：如圖，連接，四邊形是矩形，，，，，，故選：D．鞏固訓(xùn)練1.（2024·四川涼山·二模）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得對(duì)角線相等，進(jìn)而根據(jù)已知可得垂直平分，根據(jù)等邊對(duì)等角得出，進(jìn)而可得，根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，∴，，又∵∴，∴∴∵，∴∴又∵∴∴∴，故選：C．2.（23-24八年級(jí)下·湖北襄陽·期中）如圖，在矩形中，分別是上的點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，，，則線段的長為．【答案】6.5//【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線等知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．連接，利用勾股定理解得的值，然后根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：連接，如下圖，∵四邊形是矩形，，，∴，，∴在中，，∵分別是的中點(diǎn)，∴．故答案為：6.5．3.（23-24七年級(jí)下·上海金山·期中）如圖，長方形中，點(diǎn)E、F分別為邊上的任意點(diǎn)，、的面積分別為15和25，那么四邊形的面積為．【答案】40【分析】本題考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，連接，可得，再根據(jù)面積的和差可得，同理可得，即可解答【詳解】解：連接，

，又，，同理

，又，，，故答案為：40題型五菱形的性質(zhì)例題：（2024八年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）下列選項(xiàng)中，菱形不具有的性質(zhì)是（

）A．四邊相等 B．對(duì)角線互相垂直C．對(duì)角線相等 D．每條對(duì)角線平分一組對(duì)角【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷．【詳解】解：∵菱形四邊相等、對(duì)角線互相垂直、每條對(duì)角線平分一組對(duì)角，∴A、B、D選項(xiàng)不符合題意，∵菱形的對(duì)角線不一定相等，∴菱形不具有的性質(zhì)是對(duì)角線相等，∴選項(xiàng)C符合題意，故選：C鞏固訓(xùn)練1.（23-24八年級(jí)下·河南商丘·期中）關(guān)于菱形的性質(zhì)，下列說法不正確的是（

）A．四條邊相等 B．對(duì)角線互相垂直C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線相等【答案】D【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)判斷即可．此題主要考查對(duì)菱形的性質(zhì)及判定的理解，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)解答．【詳解】解：A、菱形的四條邊都相等，正確不符合題意；B、菱形的對(duì)角線互相垂直，正確不符合題意；C、菱形的對(duì)角線互相平分，正確不符合題意；D、菱形的對(duì)角線不一定相等，錯(cuò)誤符合題意；故選：D．2.（2024八年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）A．兩組對(duì)邊分別平行 B．兩組對(duì)角分別相等C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線互相垂直【答案】D【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可求解．本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、不正確，菱形和平行四邊形都有兩組對(duì)邊都分別平行；B、不正確，兩組對(duì)角分別相等，兩者均有此性質(zhì)正確；C、不正確，對(duì)角線互相平分，兩者均具有此性質(zhì)；D、菱形的對(duì)角線互相垂直但平行四邊形卻無此性質(zhì)．故選：D．題型六利用菱形的性質(zhì)求解例題：（2024·陜西西安·三模）如圖，點(diǎn)E是菱形的對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，若，，則的度數(shù)為．【答案】45【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握菱形的四邊相等是解題的關(guān)鍵．由等腰三角形的性質(zhì)可求，由菱形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：，，，，，四邊形是菱形，，，，故答案為：45．鞏固訓(xùn)練1.（2024·重慶九龍坡·二模）如圖，在菱形中，，依次連接各邊中點(diǎn)，得到四邊形，則°．【答案】35【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．連接，先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得出，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：連接四邊形為菱形，F(xiàn)、G分別為和的中點(diǎn)故答案為：．2.（2024·四川成都·二模）如圖，在菱形中，，分別是，上的點(diǎn)，且，連接，．若，，則的大小為．【答案】/40度【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記菱形的性質(zhì)．根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法“”即可證明，再得到，因?yàn)?，故．【詳解】∵四邊形是菱形，，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為?.（23-24八年級(jí)下·江蘇無錫·期中）如圖，菱形中，，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上，且，若，則．【答案】【分析】此題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出解答．延長，相交于點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出，進(jìn)而利用勾股定理解答即可．【詳解】解：延長，相交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，，在與中，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，即，解得：，，故答案為：．4.（23-24八年級(jí)下·河北承德·期中）如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，分別是邊，的中點(diǎn)，連接．若，則(用含的代數(shù)式表示)；若，，則菱形的面積為【答案】【分析】本題考查了三角形的中線的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)和菱形的面積公式，連接，根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)可得；根據(jù)是的中位線，根據(jù)三角形中位線定理求的的長，然后根據(jù)菱形的面積公式求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，、是和的中點(diǎn)，∴∵、是和的中點(diǎn)，即是的中位線，∴∴菱形的面積為故答案為：，．5.（2024·江蘇南京·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)都在第一象限，若，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)．過點(diǎn)作于，由菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求，，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于，四邊形是菱形，點(diǎn)，，，，，，，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．題型七正方形的性質(zhì)例題：（23-24八年級(jí)下·河南周口·期中）下列關(guān)于正方形的說法錯(cuò)誤的是（

）A．正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角B．正方形有四條對(duì)稱軸C．正方形的兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等D．正方形一條對(duì)角線上的點(diǎn)到另一條對(duì)角線兩端點(diǎn)的距離不一定相等【答案】D【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解正方形的性質(zhì)．利用正方形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，故A正確，不符合題意；B：正方形有四條對(duì)稱軸，故B正確，不符合題意；C：正方形的兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等，故C正確，不符合題意；D：由于正方形的兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等，所以正方形一條對(duì)角線上的點(diǎn)到另一條對(duì)角線兩端點(diǎn)的距離一定相等，故D錯(cuò)誤，符合題意；鞏固訓(xùn)練1.（23-24八年級(jí)下·湖北荊州·期中）菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是（

）A．四條邊都相等 B．都是軸對(duì)稱圖形C．對(duì)角線互相垂直且互相平分 D．對(duì)角線相等且互相平分【答案】B【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是菱形、矩形、正方形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握菱形、矩形、正方形的性質(zhì)．根據(jù)菱形、矩形、正方形性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可求解．【詳解】解：根據(jù)菱形、矩形、正方形的性質(zhì)可得：選項(xiàng)，菱形、正方形四條邊都相等，矩形四條邊不都相等，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)，菱形、矩形、正方形都是軸對(duì)稱圖形，符合題意，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，菱形、正方形對(duì)角線互相垂直且互相平分，矩形對(duì)角線互相平分但不互相垂直，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)，菱形對(duì)角線互相平分但不相等，矩形、正方形對(duì)角線相等且互相平分，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．2.（23-24八年級(jí)下·山東淄博·期中）正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線平分一組對(duì)角 B．對(duì)角線相等C．對(duì)角線互相垂直平分 D．四條邊相等【答案】B【分析】本題考查了菱形與正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握菱形與正方形的性質(zhì)．要熟練掌握菱形對(duì)角線相互垂直平分與正方形對(duì)角線相互垂直平分相等的性質(zhì)，根據(jù)各自性質(zhì)進(jìn)行比較即可解答．【詳解】解：A．正方形和菱形的對(duì)角線都平分一組對(duì)角，故本選項(xiàng)不符合題意；B．正方形的對(duì)角線相等，菱形的對(duì)角線不一定相等，故本選項(xiàng)符合題意；C．正方形和菱形的對(duì)角線都互相垂直，故本選項(xiàng)不符合題意；D．正方形和菱形都是四條邊相等，故本選項(xiàng)不符合題意；故選B．3.（23-24八年級(jí)下·江蘇無錫·階段練習(xí)）正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線互相垂直B．對(duì)角線互相平分C．對(duì)角線相等D．四個(gè)角都是直角【答案】A【分析】本題主要考查了矩形、正方形的性質(zhì)，熟知矩形、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：矩形具有的性質(zhì)為對(duì)角線互相平分，對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角，正方形具有的性質(zhì)為對(duì)角線互相平分且垂直，對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角，故選：A．題型八利用正方形的性質(zhì)求解例題：（23-24八年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期中）如圖，在正方形的內(nèi)側(cè)，作等邊三角形，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，得到，等邊三角形的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，等邊對(duì)等角，求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵正方形，∴，∵等邊三角形，∴，∴，，∴；故選C．鞏固訓(xùn)練1.（23-24八年級(jí)下·黑龍江·期中）如圖，正方形中，，直線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，先由正方形的性質(zhì)得到，則，根據(jù)等邊對(duì)等角得到，設(shè)，則，則可推出，，則由平角的定義可得答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，，∴，故選：B．2.（23-24八年級(jí)下·廣西玉林·期中）如圖，正方形的對(duì)角線是菱形的一邊，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角求出，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得，計(jì)算即可得解．本題主要考查了正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：是正方形的對(duì)角線，，是菱形的對(duì)角線，．故選：B．3.（23-24八年級(jí)下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，，，垂足分別為、，若，則．【答案】【分析】此題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，由正方形，以及對(duì)角線的長，得到對(duì)角線互相垂直，等于的一半，根據(jù)三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到四邊形為矩形，進(jìn)而得到矩形的對(duì)邊相等，同時(shí)得到三角形為等腰直角三角形，由等量代換得到，求出即可．【詳解】解：正方形，，，，，，，，，四邊形為矩形，為等腰直角三角形，，，．故答案為：．4.（23-24七年級(jí)上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，正方形和正方形的邊長分別為和，則陰影部分的面積為.【答案】【分析】本題考查了正方形的面積和陰影部分的面積，根據(jù)圖形面積之間的關(guān)系即可求解．【詳解】解：，即，解得：，故答案為：．5.（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，以為頂點(diǎn)的正方形的兩邊，分別變正方形的邊，于點(diǎn)，．記的面積為，的面積為，若正方形的邊長，則的大小為．【答案】【分析】本題考查對(duì)正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，，推出，證出可得答案，證明是解此題的關(guān)鍵．【詳解】∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，，∴，在與中，，∴，∴，∴，故答案為：．題型九矩形的性質(zhì)與判定的綜合問題例題：（23-24八年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）如圖，在平行四邊形中，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，證明及是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由，，得，由四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在的延長線上，得，則四邊形是平行四邊形，即可由，根據(jù)矩形的定義證明四邊形是矩形；（2）由平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得，，，因?yàn)?，所以是等邊三角形，則，，所以，即可根據(jù)勾股定理求得．【詳解】（1）證明：，，，，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在的延長線上，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形．（2）解：四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，，，，是等邊三角形，，是等邊三角形，，，，，，的長是．鞏固訓(xùn)練1.（2024·云南德宏·一模）如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)，使，連接，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)矩形的判定可證得結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出對(duì)角線的長，再根據(jù)菱形的面積等于其對(duì)角線乘積的一半求解即可．【詳解】（1）證明：∵是的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，在菱形中，四邊形是矩形（2）解：，在菱形中，是的中點(diǎn)是的中點(diǎn)是的中位線在菱形中，，在中，，根據(jù)勾股定理得在菱形中，，．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定、菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)和矩形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．2.（23-24八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，是的角平分線，是的外角的平分線，過點(diǎn)C作，垂足為E．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)矩形的面積為2．【分析】此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．（1）證明，根據(jù)矩形的判定即可得到結(jié)論；（2）證明是等腰直角三角形，再根據(jù)矩形的面積公式即可求解．【詳解】（1）證明：∵，是的平分線，∴，∴，∵是外角的平分線，∴．∴，∵，∴．∴，∴四邊形為矩形；（2）解：∵，是的平分線，∴，∵，∴，∴，∴矩形的面積為．3.（2024八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）在中，，為上的兩點(diǎn)，且，．(1)求證：；(2)求證：是矩形；(3)連接，若是的平分線，，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定義，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，然后結(jié)合已知條件利用判定兩三角形全等即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，從而判定矩形；（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義以及矩形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，在和中，，；（2）證明：，，在平行四邊形中，，，，四邊形是矩形；（3）解：四邊形是矩形，，是的平分線，，，，，，，四邊形的面積．題型十利用菱形的判定與性質(zhì)綜合性問題例題：如圖，在等腰中，，平分，過點(diǎn)作交的延長線于，連接，過點(diǎn)作交的延長線于．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，求的長．【答案】(1)四邊形是菱形，見解析(2)的長為．【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，再利用平行線的性質(zhì)可得，，從而利用證明，進(jìn)而可得，再利用對(duì)角線互相平分線的四邊形是平行四邊形可得四邊形是平行四邊形，然后利用菱形的定義可得四邊形是菱形，即可解答；（2）先利用角平分線的定義可得，再利用菱形的性質(zhì)可得，從而可得是等邊三角形，進(jìn)而可得，然后利用垂直定義可得，從而可得，進(jìn)而可得，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）四邊形是菱形，理由：，平分，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）平分，，，四邊形是菱形，，是等邊三角形，，，，，，，的長為．鞏固訓(xùn)練1.如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若菱形的周長為，，求的長度．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）先證明四邊形為平行四邊形，再證明，得到，即可得到四邊形是菱形；（）連接交于點(diǎn)，由菱形的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而由得，又由菱形的周長得，由直角三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理得，即可求出的長度；本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：連接交于點(diǎn)，∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∵菱形的周長為，∴，在中，，∴，由勾股定理可得，，∴．2.已知，四邊形是菱形．(1)若，則菱形的周長______；(2)如圖①，、是對(duì)角線，則與的位置關(guān)系是_______．(3)如圖②，點(diǎn)、分別在、上，且，，，點(diǎn)、分別在、上，與相交于點(diǎn)．求證：四邊形是菱形．【答案】(1)20(2)垂直(3)見解析【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的判定等知識(shí)，證得四邊形是平行四邊形與是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）由，，可證得四邊形是平行四邊形，又由四邊形是菱形，，可得，即可證得四邊形是菱形．【詳解】（1）解：（1）∵四邊形是菱形，∴，∴菱形的周長．故答案為：20；（2）∵四邊形是菱形，、是對(duì)角線，∴，∴與的位置關(guān)系是垂直．故答案為：垂直；（3）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是菱形．題型十一正方形的性質(zhì)與判定的綜合問題例題：（23-24八年級(jí)下·江蘇無錫·期中）實(shí)踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片沿過D的直線折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處，得到折痕，然后在把紙片展平；第二步：如圖2，將圖1中的矩形紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在上的點(diǎn)處，得到折痕，交于點(diǎn)M，再把紙片展平．問題解決：(1)如圖1，求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，若，，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)的面積是【分析】（1）由折疊性質(zhì)得，，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定得到四邊形是菱形，進(jìn)而結(jié)合內(nèi)角為直角條件得四邊形為正方形；（2）連接，證明，得，從而有，設(shè)，則，在中，利用勾股定理列方程求出x，得到，即可求出的面積．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∵將矩形紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處，得到折痕，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形，∵，∴四邊形是正方形；（2）解：如圖，連接，由（1）知，，

∵四邊形是矩形，∴，，由折疊知，，，∴，，在和中，∴，∴，∴，設(shè)，∵，，∴，∴，在中，由勾股定理，得，即，，