天津市第七中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

天津七中2024-2025學(xué)年度高二下第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)在區(qū)間[，+x]上的平均變化率為A B.1+ C. D.2【答案】D【解析】【分析】由平均變化率的運(yùn)算公式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，可得平均變化率，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平均變化率的求得，其中解答熟記平均變化率的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2.若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為2，則（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，由導(dǎo)數(shù)定義可知：.故選：C.3.下列求導(dǎo)正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式判斷B,C選項(xiàng)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算律判斷A,D選項(xiàng)即可.

【詳解】,A錯(cuò)誤;,B正確;,C錯(cuò)誤;,D錯(cuò)誤.故選:B.4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，代入即可求解.【詳解】∵，∴，∴，解得：.故選：C.5.曲線在點(diǎn)處的切線與直線和圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【詳解】，所以在點(diǎn)處的切線方程為，它與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，所以三角形面積為故選：A6.用這個(gè)數(shù)字，可以組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)（）A.720 B.648 C.320 D.328【答案】D【解析】【分析】按個(gè)位數(shù)字為和不為分類討論，利用分步計(jì)數(shù)原理即可求得沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù).【詳解】若個(gè)位數(shù)字為，十位和百位的排法種數(shù)為；若個(gè)位數(shù)字不為，則確定個(gè)位數(shù)字有種方法，確定百位數(shù)字有種方法，確定十位數(shù)字有種方法，所以排法種數(shù)為.所以可以組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).故選：D7.某校三位同學(xué)報(bào)名參加數(shù)理化生四科學(xué)科競(jìng)賽，每人限報(bào)且必須報(bào)兩門(mén)，由于數(shù)學(xué)是該校優(yōu)勢(shì)科目，必須至少有兩人參賽，若要求每門(mén)學(xué)科都有人報(bào)名，則不同的參賽方案有（）A51種 B.45種 C.48種 D.42種【答案】A【解析】【分析】由題意，至少兩人報(bào)名數(shù)學(xué)競(jìng)賽，所以可分為：兩人報(bào)名數(shù)學(xué)競(jìng)賽和三人報(bào)名數(shù)學(xué)競(jìng)賽兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：若三人有兩人報(bào)名數(shù)學(xué)競(jìng)賽，并且兩人選報(bào)的學(xué)科都相同，則共有種情況，若這兩個(gè)人選報(bào)的另外的學(xué)科不同，則共有種情況，若三個(gè)人全部都報(bào)名數(shù)學(xué)競(jìng)賽，則共有種情況，所以不同的參賽方案有：種情況，故選：A．8.的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A.－23 B.17 C.20 D.63【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，結(jié)合乘法分配律，求得的系數(shù).【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為.則①出，則出，該項(xiàng)為：；②出，則出，該項(xiàng)為：；③出，則出，該項(xiàng)為：；綜上所述：合并后的項(xiàng)的系數(shù)為17.故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查理解能力，計(jì)算能力，分類討論和應(yīng)用意識(shí).9.已知函數(shù)，，對(duì)，，使得成立.下列結(jié)論正確的是（）A.，使得B.函數(shù)的最大值為0C.a的取值范圍為D.過(guò)作的切線，有且只有一條【答案】D【解析】【分析】利用單調(diào)性說(shuō)明的解判斷A，由導(dǎo)數(shù)求最值判斷B，由，使得求解判斷C，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入所過(guò)點(diǎn)坐標(biāo)求，引入新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定方程只有一個(gè)解，從而判斷D．【詳解】對(duì)于A，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤;對(duì)于B，由A的分析可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值：，無(wú)最大值，故B錯(cuò)誤;對(duì)于C，由前面分析知，由題可知：，使得對(duì)于函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，故無(wú)論a取什么值，均，使得，則a的取值范圍為R，故C錯(cuò)誤;對(duì)于D，不妨設(shè)切點(diǎn)為，，切線方程為，把代入可得：，即：令，，，因?yàn)閷?duì)恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以只有一個(gè)零點(diǎn)0，即只有時(shí)，成立，故過(guò)作的切線，有且只有一條，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若若，，有，則的值域是值域的子集．二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.10.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為7，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，根據(jù)系數(shù)，即可求得參數(shù)值.【詳解】通項(xiàng)公式，令，解得.故可得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式由項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)值，屬簡(jiǎn)單題.11.將6名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排兩名學(xué)生，不同的分配方案有______種．（用數(shù)字作答）【答案】50【解析】【分析】將問(wèn)題分為甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人兩類，進(jìn)而結(jié)合排列組合知識(shí)進(jìn)行分配即可求得答案.【詳解】由題意知將6名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生，包括甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人，當(dāng)甲和乙兩個(gè)屋子住4人、2人，共有種，當(dāng)甲和乙兩個(gè)屋子住3人、3人，共有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到共有（種）.故答案為：5012.在的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項(xiàng)等于________．【答案】252【解析】【分析】根據(jù)展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，求得．在展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．【詳解】∵在的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，∴，解得，∴中，，∴當(dāng)，即時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：252．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．13.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可列不等式求解.【詳解】由得，由于函數(shù)的定義域?yàn)?，故?解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，故答案為：14.已知一個(gè)公園的形狀如圖所示，現(xiàn)有3種不同的植物要種在此公園的A，B，C，D，E這五個(gè)區(qū)域內(nèi)，要求有公共邊界的兩塊相鄰區(qū)域種不同的植物，則不同的種法共有________種．【答案】18【解析】【詳解】可分兩類：第一類，若A，E相同，D有2種種法，則有；第二類，若A，E不相同，D只有1種種法，則有；由分類計(jì)數(shù)原理可得所有種法種數(shù)為．應(yīng)填答案．點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是搞清楚題設(shè)中的要求與約束條件，解答時(shí)，先運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理，分別計(jì)算出其種植方法，再進(jìn)行相加求出其結(jié)果，使得問(wèn)題獲解．本題的求解具有一定的難度，容易出現(xiàn)重或漏的情況．15.已知函數(shù)，若對(duì)，，都有，則k的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，設(shè)，求其最大值后可求k的取值范圍.【詳解】，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，，由已知，即，令，則在上不存在減區(qū)間，從而當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以.三、解答題：本題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.已知0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字．（1）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（2）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)？（3）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的小于1000的自然數(shù)？（4）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的大于3000且小于5421的四位數(shù)？【答案】（1）個(gè)；（2）個(gè)；（3）個(gè)；（4）個(gè).【解析】【分析】（1）（2）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可分別求解百位，十位以及個(gè)數(shù)的選擇相乘求解，（3）（4）根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合分步乘法即可求解.【小問(wèn)1詳解】分3步:①先選百位數(shù)字有5種選法；②十位數(shù)字有5種選法；③個(gè)位數(shù)字有4種選法；由分步計(jì)數(shù)原理知所求三位數(shù)共有個(gè)小問(wèn)2詳解】分3步：①先選個(gè)位數(shù)字，由于組成的三位數(shù)是奇數(shù)，因此有3種選法；②再選百位數(shù)字有4種選法；③十位數(shù)字也有4種選法；由分步計(jì)數(shù)原理知所求三位數(shù)共有個(gè).【小問(wèn)3詳解】分3類：①一位數(shù)，共有6個(gè)；②兩位數(shù)，先選十位數(shù)字，有種選法；再選個(gè)位數(shù)字也有種選法，共有個(gè)；③三位數(shù)，先選百位數(shù)字，有種選法；再選十位數(shù)字也有種選法；再選個(gè)位數(shù)字，有種選法，共有個(gè)；因此，比1000小的自然數(shù)共有個(gè)．【小問(wèn)4詳解】分4類：①千位數(shù)字為或時(shí)，后面三個(gè)數(shù)位上可隨便選擇，此時(shí)共有個(gè)；②千位數(shù)字為，百位數(shù)字為之一時(shí)，共有個(gè)；③千位數(shù)字為，百位數(shù)字是，十位數(shù)字為之一時(shí)，共有個(gè)；④也滿足條件；故所求四位數(shù)共有個(gè).17.已知在的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．求n的值；求展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和；求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．【答案】（I）；（II）；（III）有理項(xiàng)分別為，；.【解析】【分析】在二項(xiàng)展開(kāi)式的第六項(xiàng)的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于0，求出的值；在二項(xiàng)展開(kāi)式中，令，可得展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和；二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令為整數(shù)，可求出的值，即可求得展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．【詳解】在的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為

為常數(shù)項(xiàng)，，．在的展開(kāi)式中，令，可得展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和為．二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令為整數(shù)，可得，5，8，故有理項(xiàng)分別為，；．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.二項(xiàng)展開(kāi)式定理的問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開(kāi)式定理的應(yīng)用.18.設(shè)f(x)=lnx，g(x)=f(x)+f′(x).（1）求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）討論g(x)與g()的大小關(guān)系.【答案】（1）g(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)；函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞)，最小值為1；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由題設(shè)可得，討論它的符號(hào)即可確定g(x)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求g(x)的最小值；（2）利用作差法，并構(gòu)造h(x)=2lnx+-x(x>0)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，討論x的取值范圍比較g(x)與g()的大小.【詳解】（1）(x>0)，則g(x)=lnx+(x>0).∴，令g′(x)=0，得x=1.當(dāng)0<x<1時(shí)，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.∴當(dāng)x=1時(shí)，g(x)有極小值，也是最小值g(1)=1.綜上：g(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)；函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞)，最小值為1.（2）g(x)=lnx+(x>0)，=-lnx+x，令h(x)=g(x)-=2lnx+-x(x>0).∴h′(x)=≤0，即h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.當(dāng)x=1時(shí)，h(1)=0，此時(shí)g(x)=.當(dāng)0<x<1時(shí)，h(1)>0，此時(shí)g(x)>.當(dāng)x>1時(shí)，h(1)<0，此時(shí)g(x)<.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最值；（2）通過(guò)作差，構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)不同的單調(diào)區(qū)間比較函數(shù)值的大小.19.已知（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求a的取值范圍；【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，求出極值；（2）題意轉(zhuǎn)化為，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，極小值為，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】方程有兩個(gè)不等實(shí)根，令，，則函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，即在R上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，，即，得，又，時(shí)，，所以在和上各存在一個(gè)零點(diǎn)，所以的取值范圍為.20.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）若在上恒成立，求出正整數(shù)k的最大值；【答案】（1）增區(qū)間，減區(qū)間（2）（3）3【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得解；（2）求導(dǎo)，分和兩種情況分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）分類參數(shù)得出對(duì)恒成立，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)得函數(shù)單調(diào)性與極值，即可求解正整數(shù)的最大值.【小問(wèn)1