陜西省榆林市府谷縣府谷中學2024-2025學年高二下學期第一次質(zhì)量調(diào)研檢測 數(shù)學試題（含解析）

府谷中學2025年春高二年級第一次質(zhì)量調(diào)研檢測卷數(shù)學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊，選擇性必修第三冊第六章第1節(jié)~第2節(jié).一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某影城有一些電影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部戰(zhàn)爭片及2部喜劇片，小明從中任選1部電影觀看，不同的選法共有（）A.9種 B.12種 C.24種 D.72種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可得解.【詳解】任選1部電影可分四類：第一類選的是科幻片，第二類選的是警匪片，第三類選的是戰(zhàn)爭片，第四類選的是喜劇片，由分類加法計數(shù)原理可得不同的選法共有（種）．故選：B．2.下列求導錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導數(shù)四則運算法則與導數(shù)運算公式逐項計算可判斷.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確．故選：B．3.在等比數(shù)列中，若，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列項的性質(zhì)計算求解即可.【詳解】因為等比數(shù)列中，若，則.故選：C.4.已知數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的通項公式是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)和的關(guān)系求解即可.【詳解】由，當時，，當時，，滿足上式，所以.故選：B.5.已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)至少有2個極值點C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)在處取得極大值【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的圖象判斷其符號，進而可知的單調(diào)性和極值，結(jié)合選項分析判斷即可.【詳解】由的圖象可知：當或時，；當時，；可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)有且僅有兩個極值點，結(jié)合選項可知：ABC正確；D錯誤；故選：D.6.某市政工作小組就民生問題開展社會調(diào)研，現(xiàn)派遣三組工作人員對市內(nèi)甲、乙、丙、丁四區(qū)的居民收人情況進行抽樣調(diào)査，若每區(qū)安排一組工作人員調(diào)研，且每組工作人員至少負責一個區(qū)調(diào)研，則不同的派遣方案共有（）A.12種 B.36種 C.48種 D.72種【答案】B【解析】【分析】按照分組分配問題先將四個區(qū)分為三組，再分配到三組工作人員中去即可.【詳解】先將甲、乙、丙、丁四個區(qū)分成三組，即任意選兩個成為一組，剩余兩個各自一組，共種，再將分好的三組不同的區(qū)分配給三組工作人員，共有種分配方法；因此共種.故選：B7.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.20 B.16 C.7 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)成等差數(shù)列，得到方程，求出答案.【詳解】由題意得成等差數(shù)列，故，即，解得.故選：C8.若，則方程表示的不同直線的條數(shù)為（）A.30 B.25 C.23 D.21【答案】D【解析】【分析】分類討論并結(jié)合排列計數(shù)問題列式計算得解.【詳解】當時，方程不是直線；當時，方程表示直線；當時，方程表示直線；當，且時，方程表示的直線為；當且時，從中分別取2個數(shù)作為，有種取法，其中與表示同一條直線，與表示同一條直線，所以方程表示的不同直線的條數(shù)為.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某高校無人機興趣小組通過數(shù)學建模方式測得了自主研發(fā)的無人機在關(guān)閉發(fā)動機的情況下自由垂直下降的距離（單位：m）與時間（單位：s）之間滿足函數(shù)關(guān)系，則（）A.在這段時間內(nèi)的平均速度為10m/sB.在這段時間內(nèi)的平均速度為12m/sC.在s時的瞬時速度為18m/sD.在s時的瞬時速度為16m/s【答案】BC【解析】【分析】應用平均速度計算判斷A，B，應用導函數(shù)計算瞬時速度判斷C，D.【詳解】在這段時間內(nèi)的平均速度為m/s，故A錯誤，B正確；因為，所以，即在s時瞬時速度為18m/s，故C正確，D錯誤.故選:BC.10.某大熊貓繁育基地對該基地大熊貓幼崽進行體檢，體檢后將體重各不相同的六只小熊貓排成一排曬太陽，則下列說法正確的是（）A.若將三只小熊貓從左到右按照體重遞增的順序排列，則共有120種排法B.若與兩只小熊貓不相鄰，則共有480種排法C.若三只小熊貓排在一起，且只能在與的中間，則共有72種排法D.若小熊貓不在排頭，不在排尾，則共有480種排法【答案】AB【解析】【分析】由定序排列即可判斷A;由插空法即可判斷B;由捆綁法即可判斷C;分類討論、的位置即可判斷D.【詳解】對于，只小熊貓全排列有種方法，全排列有種方法，則從左到右按照體重遞增的順序排列有種方法，故A正確；對于B，先排列除與外的4只小熊貓，有種方法，4只小熊貓排列共有5個空，利用插空法將和插入5個空，有種方法，則共有種方法，故B正確；對于，三只小熊貓排在一起，且只能在與的中間有2種排法，將這3只小熊貓看作一個整體，再與其余3只小熊貓全排列，有種方法，則共有種方法，故C錯誤；對于D，6只小熊貓全排列有種方法，當在排頭時，有種方法，當在排尾時，有種方法，當在排頭且在排尾時，有種方法，則不在排頭，不在排尾的情況共有種，故D錯誤；故選：AB.11.設(shè)數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列為遞減數(shù)列B.若，則C.存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列D.將數(shù)列與的所有項從小到大排列組成一個新的數(shù)列，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式逐個計算判定即可.【詳解】由題易知對A,因為，故A錯誤；對B,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，若，則，又數(shù)列中各項均為正數(shù)，所以，即，故B正確；對C,若成等比數(shù)列，則，即，顯然時不成立，當時，等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，所以等式不成立，故C錯誤；對D,因為，，又，所以，故D正確．故選：BD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)在處的導數(shù)等于__________.【答案】2【解析】【分析】對函數(shù)求導，進而代值計算即可.詳解】由，則，得.故答案為：2.13.已知數(shù)列的首項為14，且，則的最小值為_______________.【答案】10【解析】【分析】利用累加法求通項公式，并注意檢驗首項，然后用基本不等式求最小值，并考慮取等號條件即可.【詳解】當時，由，得，，…，，將以上各式左右分別相加，得，所以，又滿足上式，所以，則，當且僅當，即時等號成立，即的最小值為10.故答案為：10.14.已知是函數(shù)的兩個極值點，若，且的極小值為整數(shù)，則______．【答案】##【解析】【分析】因為有兩個極值點，所以有兩個變號解，結(jié)合韋達定理得出，又因為，聯(lián)立得出又因為，所以得出或再利用的極小值為整數(shù)即可得出答案.【詳解】由題意知是的兩根，所以且又所以所以即解得或當時，此時的極小值為不合題意；當時，此時極小值為符合題意．故故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共7分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15已知函數(shù)．（1）求曲線在點處切線的方程；（2）求函數(shù)的極值．【答案】（1）（2）極小值為，極大值為13【解析】【分析】（1）求函數(shù)的導數(shù)，最后根據(jù)切點求切線方程；（2）利用導數(shù)求極值.【小問1詳解】由，得，因為，所以，所以曲線在點處切線的方程為，即．【小問2詳解】令，得或，當變化時，的變化情況如下表：300單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減又，所以函數(shù)的極小值為，極大值為13．16.從這7個數(shù)字中取出4個數(shù)字，試問：（1）能組成多少個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？（2）能組成多少個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)？【答案】（1）720（2）420【解析】【分析】（1）按照千位，百位，十位，個位的順序，利用分布乘法計數(shù)原理即可求；（2）個位數(shù)字可能為0，2，4，6，有四種情況，利用分類加法計數(shù)原理即可求.【小問1詳解】第一步：千位不能為0，有6種選擇；第二步：百位可以從剩余數(shù)字中選，有6種選擇；第三步：十位可以從剩余數(shù)字中選，有5種選擇；第四步：個位可以從剩余數(shù)字中選，有4種選擇．根據(jù)分步計數(shù)原理，能組成個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)．【小問2詳解】第一類：當個位數(shù)字是0時，沒有重復數(shù)字的四位數(shù)有個；第二類：當個位數(shù)字是2時，千位不能為0，沒有重復數(shù)字的四位數(shù)有個；第三類：當個位數(shù)字是4時，千位不能為0，沒有重復數(shù)字的四位數(shù)有個；第四類：當個位數(shù)字是6時，千位不能為0，沒有重復數(shù)字的四位數(shù)有個．根據(jù)分類計數(shù)原理．能組成個沒有重復數(shù)字四位偶數(shù)．17.已知等比數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，為數(shù)列的前項和，若，求正整數(shù)的值．【答案】（1）（2）10．【解析】【分析】（1）設(shè)出等比數(shù)列的公比，結(jié)合已知列出方程組即可求出通項公式.（2）由（1）的結(jié)論求出，再利用裂項相消法求和即可得解.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，解得，則，所以數(shù)列的通項公式為．【小問2詳解】由（1）知，所以．由，得，解得，所以滿足的正整數(shù)的值為10．18.已知函數(shù)．（1）當時，求的極值點個數(shù)（2）當時，恒成立，求實數(shù)的最小值．【答案】（1）極值點個數(shù)為（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得解；（2）參變分離可得在上恒成立，令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得解.【小問1詳解】當時，，定義域為，．令，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，所以在上單調(diào)遞減，故的極值點個數(shù)為．【小問2詳解】當時，，不等式可化為在上恒成立，令，則，由（1）可知，，即（當且僅當時取等號），則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以，故實數(shù)的最小值為．19.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（1）若數(shù)列具有性質(zhì)，且，求的值；（2）若，求證：數(shù)列具有性質(zhì)；（3）設(shè)各項都為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列具有性質(zhì)，其中，若，求正整數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）證明見解析（3）9【解析】【分析】（1）由，且數(shù)列具有性質(zhì)，進而得出的值；（2）證明為常數(shù)，即可得出結(jié)論；（3）求出數(shù)列的通項公式，可得出，再求出數(shù)列的通項公式，利用，求正整數(shù)的取值范圍即可得解.【小問1詳解】由得，根據(jù)