圓的綜合題型（圓性質(zhì)的應(yīng)用、圓與四邊形結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究、情景與應(yīng)用題型、隱圓問(wèn)題）原卷版-2025年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建

重難點(diǎn)01圓的綜合題型（圓性質(zhì)的應(yīng)用、圓與四邊行結(jié)

合的動(dòng)態(tài)探究、情景與應(yīng)用題型、隱圓問(wèn)題）

模型01圓性質(zhì)的應(yīng)用）

模型02圓與四邊形結(jié)合的動(dòng)態(tài)探而

專題16圓的綜合題型（圓性質(zhì)的模型03情景與應(yīng)用題型）

應(yīng)用、圓與四邊形結(jié)合的動(dòng)態(tài)探

究、情景與應(yīng)用題型、隱圓問(wèn)題）模型04隱圓問(wèn)題〕

吩時(shí)我解讀

圓的綜合問(wèn)題在中考中常常以選擇題以及解答題的形式出現(xiàn)，解答題居多且分值較大，難度較高，多

考查切線的性質(zhì)與判定、圓中求線段長(zhǎng)度問(wèn)題和圓中最值問(wèn)題，一般會(huì)用到特殊三角形、特殊四邊形、相

似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合、整體代入等數(shù)學(xué)思想.

模型01圓性質(zhì)的應(yīng)用

圓性質(zhì)的應(yīng)用該題型近年主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，在綜合性大題考試中，難度系數(shù)不大，在各類

考試中都以中檔題為主。解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是結(jié)合圓的性質(zhì)及相關(guān)判定定理與推論并結(jié)合圓和其它幾何

的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題。

答?題?技?巧

1.靈活應(yīng)用弦弧角之間的關(guān)系，弦和弧最終轉(zhuǎn)化為角，一般情況下是圓周角；

2.碰到直徑想直角，直徑所對(duì)的圓周角為90°；

3.看到切線一一連半徑一一90°,證明切線時(shí)注意證明90°；

4.圓內(nèi)接四邊形一一對(duì)角互補(bǔ)，外交等于內(nèi)對(duì)角；

［器型行停T

1.（2024,江蘇）如圖，在O。中，2B是直徑，CD是弦，且4B1CD,垂足為E,AB=20,

CD=12,在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F,連接CF,使NFCD=2NB.

（1）求證：CF是。。的切線;

（2）求EF的長(zhǎng).

'支式

1.如圖，四邊形48co內(nèi)接于圓。，400=108。，則/8CD的度數(shù)是（）

A.127°B.108°C.126°D.125°

2.如圖，一個(gè)燒瓶底部呈球形，該球的半徑為5cm,瓶?jī)?nèi)截面圓中弦N8的長(zhǎng)為8c加，則液體的最大深度CD

為（）

3.如圖，為。。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，且NC/B=50。.現(xiàn)有以下操作：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)

為半徑作弧，交4B,3c于點(diǎn)。，E；②分別以點(diǎn)。，E為圓心，大于gDE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于

點(diǎn)尸；③作射線B尸交。。于點(diǎn)G.則/GZC的大小為（）

25°C.20°D.15°

4.如圖，在△4BC中，ZACB=3QO,AC=4,。為2c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以8。為直徑的圓。與相切于

點(diǎn)、B,交4D于點(diǎn)E,則CE的最小值為

5.如圖，48是圓。的直徑.C,。為圓。上兩點(diǎn)，且8。平分/CA4,連接CD,AC,若NACD=29°,

6.如圖，。。是直角三角形N5C的外接圓，直徑/C=4,過(guò)C點(diǎn)作。。的切線，與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,

M為C。的中點(diǎn)，連接BM,OM,且8c與0M相交于點(diǎn)N.

⑴求證：9與。。相切;

⑵當(dāng)乙4=60。時(shí)，在。。的圓上取點(diǎn)尸，使乙45尸=15。，補(bǔ)全圖形，并求點(diǎn)尸到直線48的距離.

7.如圖，是。。的直徑，C,。是同側(cè)圓上的兩點(diǎn)，半徑OD〃8c交/C于點(diǎn)￡,ZBAC=30°.

ac

B

⑴求證：CD=BC；

(2)若/C=2石，求。。的半徑.

8.如圖，在△ZBC中，ZC=90°,/B/C的平分線交2c于點(diǎn)。，點(diǎn)。在48上，以點(diǎn)。為圓心，0/為半

徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，分別交NC、48于點(diǎn)￡、F.

(1)試判斷直線BC與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)若30=36，BF=3,求。。的半徑.

■■^一■■■■

模型02圓與四邊形結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究

考|向|預(yù)|測(cè)

特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究模型該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，主要考

查對(duì)圓性質(zhì)的理解與三角形或四邊形綜合知識(shí)的應(yīng)用。實(shí)際題型中對(duì)數(shù)形結(jié)合的討論是解題的關(guān)鍵。許多

問(wèn)題的討論中需要我們對(duì)四邊形的判定和性質(zhì)有清晰認(rèn)識(shí)。

答|題|技|巧

I.圓的性質(zhì)應(yīng)用，根據(jù)專題1的解題思路進(jìn)行求解；

2.注意結(jié)合的四邊形的形狀，特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定熟練應(yīng)用；

3.四邊形的存在性問(wèn)題注意假設(shè)、反推；

4.數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答

［題型行停T

1.如圖，圓內(nèi)接四邊形4BOC,4B是。。的直徑，0D上BC交BC于點(diǎn)、E,NACB=9Q°.

⑴求證：點(diǎn)。為藍(lán)的中點(diǎn)；

（2）若8E=4,AC=6,求DE.

＞麥K

1.如圖，四邊形NBC。是圓。的內(nèi)接四邊形，ABAD=50°,則Z8CD的度數(shù)是（）

A.120°B.80°C.130°D.50°

2.圓內(nèi)接四邊形4BCD中，AB=AD,BD是對(duì)角線，480=40。，則NC的度數(shù)是（）

3.在。。中，點(diǎn)4瓦。,。在圓上，OB〃DC,OD〃BC,則/N為（）

A.45°B.50°C.60°D.65°

4.如圖，四邊形NBCD是圓。的內(nèi)接四邊形，ZC=110°,則//的度數(shù)為（）

C

5.閱讀下列材料，然后解答問(wèn)題.

經(jīng)過(guò)正四邊形（即正方形）各頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)正四邊形的外接圓，圓心是正四邊形的對(duì)稱中心，這個(gè)正

四邊形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接正四邊形.

如圖，正方形N8CD內(nèi)接于。。，。。的面積為岳，正方形N3CD的面積為S2.以圓心。為頂點(diǎn)作/MON,

使/MON=90。.將/MON繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，OM、ON分別與。。交于點(diǎn)E、F,分別與正方形的邊交

于點(diǎn)G、H.設(shè)由OE、OF、不及正方形工BCD的邊圍成的圖形（陰影部分）的面積為S.

圖②圖③

⑴當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（如圖①）且。。的半徑為1時(shí)，求S的值（結(jié)果保留萬(wàn)）;

（2）當(dāng)于G時(shí)（如圖②），求S、5、邑之間的關(guān)系為：J用含岳、S2的代數(shù)式表示打

⑶當(dāng)/MON旋轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)（如圖③），則（2）中的結(jié)論仍然成立嗎：請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.定義：對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的"閃亮四邊形

圖1圖2

(1)若口/BCD是圓的“閃亮四邊形"，貝！|口/BCD是一(填序號(hào))；

①矩形；②菱形；③正方形

(2)如圖1,已知。。的半徑為ROELBC于點(diǎn)E,四邊形N2C。是。。的“閃亮四邊形

①求證：OE=；AD

②求證：AB2+CD2=4R2

(3)如圖2,四邊形4BCD為。。的“閃亮四邊形"，AC、AD相交于點(diǎn)尸，AC=BD=3BC=4,求。。

的半徑為R

7.定義：若圓內(nèi)接三角形是等腰三角形,我們就稱這樣的三角形為“圓等三角形

(1)如圖1,是。。的一條弦(非直徑),若在。。上找一點(diǎn)C,使得A/BC是"圓等三角形”，則這樣的點(diǎn)

C能找到個(gè).

⑵如圖2,四邊形N3CD是。。的內(nèi)接四邊形，連結(jié)對(duì)角線50,△48。和△BCD均為“圓等三角形”，且

AB=AD.

①當(dāng)乙4=130。時(shí)，求/80C度數(shù).

②如圖3,當(dāng)//=120。，48=2時(shí)，求陰影部分的面積.

模型03情景與應(yīng)用題型

考I向I預(yù)I測(cè)

圓結(jié)合的情景與應(yīng)用模型近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易得滿分。

該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度。該題型通常和我們的日常生活中所接觸的

事物或者生活現(xiàn)象緊密結(jié)合，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的閱讀和理解題意的能力，同時(shí)還要有一定的知識(shí)儲(chǔ)備。

在解題時(shí)要根據(jù)題意把轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)習(xí)的圓的相關(guān)知識(shí)應(yīng)用。

答I題I技I巧

I.理解題意，聯(lián)系圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)；

2.圓的相關(guān)證明與判定依據(jù)模型1的思路總結(jié)；

3.利用四邊形、圓、直角三角形或相似的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解題;

|轂型三例

1.利用素材解決：《橋梁的設(shè)計(jì)》

某地欲修建一座拱橋，橋的底部?jī)啥?用的水面寬AB=L稱跨度，橋面最高點(diǎn)到AB的距離CD=/稱

問(wèn)

拱高，拱橋的輪廓可以設(shè)計(jì)成是圓弧3W或拋物線型，若修建拱橋的跨度￡=32米，拱高〃=8米.

題

驅(qū)，人

動(dòng)

)

方案一：圓弧型方案二：拋物線型

c

圖C

形

A。（0

(1)如圖，我們通過(guò)尺規(guī)作圖作荔所在圓的圓心

(3)以N8所在直線為x軸，48的垂直平分線

任0,得出結(jié)論：不在同一條直線上的_____個(gè)點(diǎn)確

為丁軸建立平面直角坐標(biāo)系，求此橋拱的函數(shù)表

務(wù)定一個(gè)圓.

達(dá)式.

(2)求力所在圓的半徑.

＞支式

1.在學(xué)習(xí)圓的相關(guān)知識(shí)后，小帥同學(xué)進(jìn)行了關(guān)于弦切角的相關(guān)探索（弦切角定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓

相交，另一邊與圓相切的角；如圖，直線〃與。。相切于點(diǎn)/,即是。。的一條弦，則/皿就是弦切角）,

發(fā)現(xiàn)弦切角的大小與它所夾弧所對(duì)的圓周角度數(shù)相關(guān).請(qǐng)根據(jù)這個(gè)思路完成以下作圖和填空.

⑴尺規(guī)作圖：已知是。。的直徑，延長(zhǎng)48,過(guò)點(diǎn)8作。。的切線（M在點(diǎn)8左側(cè)，N在點(diǎn)、B右

側(cè).保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）如圖C、。是圓上兩點(diǎn)，在（1）的條件下，/DBN為弦切角，求證：NDBN=NBCD.

證明：連接工。.

??,是。。的直徑，

NADB=①?

是過(guò)點(diǎn)2的切線,

即NABN=90°，

ZDBN+ZABD=90°

ZA+ZABD=90°

：.ZDBN=ZA

又???NN和ZC是弧麗所對(duì)的圓周角

，//=③.

NDBN=ZC.

由此，我們可以得到弦切角的結(jié)論：弦切角⑷它所夾弧所對(duì)的圓周角.（橫線上填："大于"或"等于"或"小

于"）

2."求知”學(xué)習(xí)小組在學(xué)完"圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”這個(gè)結(jié)論后進(jìn)行了如下的探究活動(dòng):

⑴如圖1,點(diǎn)4B、C在。。上，點(diǎn)。在。。外，線段40、CD與。。交于點(diǎn)E、F,試猜想/8+/?！?0。

（請(qǐng)?zhí)?<"或"="）；

（2）如圖2,點(diǎn)4B、C在。。上、點(diǎn)。在。。內(nèi)，此時(shí)（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)予以證明;

若不成立，請(qǐng)寫出你的結(jié)論并予以證明；

3.閱讀與思考

直線與圓的位置關(guān)系學(xué)完后，圓的切線的特殊性引起了小王的重視，下面是他的數(shù)學(xué)筆

記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

歐幾里得最早在《幾何原本》中，把切線定義為和圓相交，但恰好只有一個(gè)交點(diǎn)的直

線.切線：幾何上，切線指的是一條剛好觸碰到曲線上某一點(diǎn)的直線.平面幾何中，將

和圓只有一個(gè)公共交點(diǎn)的直線叫做圓的切線…

證明切線的常用方法：①定義法；②距離法（運(yùn)用圓心到直線的距離等于半徑）；③利

用切線的判定定理來(lái)證明.

添加輔助線常見(jiàn)方法：見(jiàn)切點(diǎn)連圓心，沒(méi)有切點(diǎn)作垂直.

圖1是古代的"石磨"，其原理是在磨盤的邊緣連接一個(gè)固定長(zhǎng)度的"連桿"，推動(dòng)"連桿"然

后帶動(dòng)磨盤轉(zhuǎn)動(dòng)，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動(dòng)力傳輸工具為"曲柄連桿機(jī)構(gòu)”.圖2是

一個(gè)"雙連桿"，兩個(gè)固定長(zhǎng)度的“連桿"/尸，的連接點(diǎn)尸在。。上，MN1EF,垂足

為。，當(dāng)點(diǎn)尸在。。上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)48分別在射線加，。尸上滑動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)3恰好

圖1圖2

切.

理由：連接O尸.

???點(diǎn)2恰好落在。。上，

:.ZPBO=-ZPOE.（依據(jù)1）

2

：ZPBO=-ZPAO,

2

ZPOE=ZPAO.

MN1EF,

ZPOE+ZAOP=90°,

ZPAO+ZAOP=90°.

■：ZPAO+ZAOP+ZAPO=180°,（依據(jù)2）

N4Po=90°,

.?.4尸與。。相切.

任務(wù)：

⑴依據(jù)1：.

依據(jù)2：.

（2）在圖2中，。。的半徑為6,4P=8,求3尸的長(zhǎng).

4.如圖1是一張乒乓球桌，其側(cè)面簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)如圖2所示，臺(tái)面AB=274cm（臺(tái)面厚度忽略不計(jì)）與地面平

行，且高度為76cm（臺(tái)面與地面之間的距離），直線型支架PE與。尸的上端E,尸與臺(tái)面下方相連,

PF與QF的下端尸，Q與直徑為4cm的腳輪（側(cè)面是圓）相連（銜接之間的距離忽略不計(jì)），直線型支架CG

與。H的上端C,。與臺(tái)面NB下方相連，下端G,H與PE,。尸相連，圓弧形支架GH分別與PE,QF

在點(diǎn)G,〃相連，且OQ1AB,PE=QF,CG=DH,AB=BD,CE=DF,已知所=106cm,

—=-,tanZECG=tanZFDH=-

CE93

(2)當(dāng)初所在的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸、。時(shí)，求：麗所在的圓的圓心到臺(tái)面48之間的距離

模型04隱圓問(wèn)題

，［而i袁國(guó)

隱圓問(wèn)題主要出現(xiàn)在壓軸題型中，一般是填空題的最后一道或者多可能問(wèn)題中出現(xiàn)，屬于動(dòng)點(diǎn)模型問(wèn)題。

想要解決此類問(wèn)題需要解決此類問(wèn)題，需要真正理解圓的定義及性質(zhì)，根據(jù)圓的定義與性質(zhì)判定動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)

的軌跡。

答?題?技?巧

隱圓問(wèn)題一般有以下幾種表現(xiàn)形式：

(1)根據(jù)圓的定義判定，動(dòng)點(diǎn)在移動(dòng)的過(guò)程中到某一定點(diǎn)的距離始終不變；

(2)等弦對(duì)等角，一般考試中出現(xiàn)直角不變型的情況居多；

(3)四點(diǎn)共圓型，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，對(duì)角互補(bǔ)；

模型01定義型

點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且AB長(zhǎng)度固定，則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓。

模型02直徑所對(duì)的角為直角(直角模型)

一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓??；

如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，ZAPB=90°,則動(dòng)點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。

模型03等弦對(duì)等角模型

一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓弧.

如圖，若尸為動(dòng)點(diǎn)，為定值，乙4依為定值，則

|題型三例

1.如圖，在A42C中，ZACB=90°,AC=3,2c=4,點(diǎn)。在NC邊上，且/。=2,動(dòng)點(diǎn)P

在2C邊上，將△PDC沿直線尸。翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,則△/E2面積的最小值是（）

,支式

1.如圖，在正方形48co中，AB=2,E為邊AB上一點(diǎn)、,下為邊3c上一點(diǎn).連接和/尸交于點(diǎn)G,

連接2G.若AE=BF,則8G的最小值為

cB

E

D

2.如圖，四邊形48CD為矩形，AB=3,BC=4.點(diǎn)尸是線段3C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段4尸上一

點(diǎn).ZADM=ZBAP,則BM的最小值為（）

C.V13-|D.V13-2

3.如圖，菱形/8CD邊長(zhǎng)為4,乙4=60。，M是邊的中點(diǎn),N是N8邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△/MTV沿所在

的直線翻折得到△4MN,連接4C,則4c的最小值是（）

C.277-2D.3

4.如圖，在Rt^ABC中，入4cB=90。，點(diǎn)E在AC上，以CE為直徑的。。經(jīng)過(guò)力B上的點(diǎn)D,與。B交于點(diǎn)尸,

S.BD=BC.

（1）求證：4B是。。的切線；

（2）若4。=遮，AE=1,求方的長(zhǎng).

1.（2023?山西）如圖，△N5C中，ZC=90°,/A4c=30°,48=2,點(diǎn)尸從C點(diǎn)出發(fā)，沿C8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

8停止，過(guò)點(diǎn)3作射線NP的垂線，垂足為。，點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）

A.2爪B.V3C.6兀D.—

363

2.（2023?廣州）如圖，等邊三角形和等邊三角形點(diǎn)N,點(diǎn)M分別為8C,DE的中點(diǎn)，AB=6,

AD=4,△，￡>￡繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，VN的最大值為.

3.（2024?云南）如圖，"筒車"盛水筒的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心。在水面上方，且當(dāng)圓

被水面截得的弦NB為6米時(shí)，圓心到水面的距離為4米，則該圓在水面下的最深處到水面的距離為—

米.

4.（2023?貴州）如圖，在△48C中，ZACB=30°,AC=4,。為8c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以2D為直徑的圓。

與48相切于點(diǎn)8,交AD于點(diǎn)、E,則CE的最小值為

A

5.（2024?青海）如圖，直線28經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且。4=OB,CA=CB.

⑴求證：直線力B是。。的切線；

（2）若圓的半徑為4,NB=30。，求陰影部分的面積.

?模廷滲用

1.一次折紙實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)準(zhǔn)備了一張邊長(zhǎng)為4（單位：dm）的正方形紙片N5。，他在邊和

4D上分別取點(diǎn)E和點(diǎn)使AE=BE,AM=1,又在線段MD上任取一點(diǎn)N（點(diǎn)N可與端點(diǎn)重合），再

將沿所在直線折疊得到△E/W,隨后連接。4,小明同學(xué)通過(guò)多次實(shí)踐得到以下結(jié)論：

①當(dāng)點(diǎn)N在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H在以E為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)；

②W的最大值為4；

③D4'的最小值為2出-2;

④當(dāng)H到43的距離達(dá)到最大值時(shí)，MN=\.

你認(rèn)為小明同學(xué)得到的結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是.

2.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上.

(1)線段ZB的長(zhǎng)等于；

(2)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出圓心。，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)。的位置是如何找到的(不要

求證明).

3.已知以48為直徑的圓。，C為弧的中點(diǎn)，尸為2C弧上任意一點(diǎn)，CDLCP交4P于D,連接8。,

若43=8,8。的最小值為.

4.。。中，A8為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧4C沿NC翻折交42于點(diǎn)。，連接CD.

(1)如圖1,若點(diǎn)。與圓心。重合，AC=3,則。。的半徑