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浙江省杭州市臨安區(qū)2025年中考數(shù)學一?？荚囋嚲?/p>

一'選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分.每小題給出的四個選項中，只一

項符合題目要求.

1.在下列各數(shù)中：—10,(—4)2,+(—3),-1-21，(—1)2024,0,其中是負數(shù)的有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.全國統(tǒng)一的醫(yī)保信息平臺已全面建成，為超過1360000000個參保人員提供醫(yī)保服務.數(shù)1360

000000用科學記數(shù)法表示為()

A.13.6X107B.1.36X108C.1.36X109D.1.36X1O10

3.我國古代數(shù)學家劉徽用“牟合方蓋”找到了球體體積的計算方法.如圖所示的幾何體是可以形成“牟

4.班委對全體成員的活動意向進行了調查(每人僅可選擇一項)，得到的統(tǒng)計圖如圖所示.若九年級

(8)班共有學生45人，老師5人.為了活動方便，植樹小組打算進行兩兩隨機組隊.若小哲和小涵都

選擇了植樹，則他們被分到同一組的概率是()

D-1

5.設S=/1+―y+―y+/1+—y+-n+/1+―n++...+/1H-----n2,貝US最接近的

Nlz2N23N34N20082009

數(shù)是（）

A.2008B.2009C.2010D.2011

6.如圖，^AOB=^COD=90°,下列結論：①乙4OC+ZB。。=90。；②圖中ZBOC有兩個余角;

③若OC平分乙4OB,則。B平分”?！?；④乙4。。的平分線平分NCOB.其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

7.小紅讀一本400頁的書，計劃10天內讀完，前5天因種種原因只讀了100頁，為了按計劃讀

完，則從第六天起平均每天至少要讀多少頁？設第六天起平均每天至少要讀久頁，則根據(jù)題意列不等

式為（）

A.100+5%>400B.100+6%>400C.100+6x>400D.100+5%>400

8.如圖，在矩形中，AB=5,BC=4,以為直徑作。0,將矩形ZBCD繞點C順時針旋

轉，使所得矩形A'B'C'D'的邊力七'與。。相切，邊C。'與。。相交于點E,則CE的長為（）

A.2>/3B.3V2C.3D.4

9.已知二次函數(shù)y-ax2+bx+c（a0）圖象上部分點的坐標（支,y）對應值列表如下，則關于

x的方程a/+力久+2=0的解是（）

05002000

X…

1-11

y???…

A.%1=0,冷=2000B.打=%2=500

C.%i=%2=1000D.勺=500,牝=1500

10.如圖，點E,F,G分別是正方形ABCD邊AB,CD,DA上的點，且EG=GF,NEGF=90°.連

接EF并延長，交AD的延長線于點M,設NM=a,則煞=（）

A1—sinaR1+sina

,1+sina?1—sina

「1—tanaD1+tana

?1+tana*1—tana

二'填空題：本大題有6個小題，每小題3分，共18分.

11.下列算式中計算正確的有（填序號）.

①a3+a3=a6,②（魚一I/=3-2應，

③（一光2）.（_久）4=一久6,（4）^/2+V3=V5.

12.若分式a4有意義,則x的取值范圍是

13.若函數(shù)y=k/-4%+1的圖象與％軸有交點，貝心的取值范圍是.

14.《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓.”度方知圓，感悟數(shù)學之美.如圖1和如圖

2,正方形ABCD的邊長為4,以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形A,B'C'D'，已知

AB::AB=2:1.

（I）四邊形A'B'C'D'的外接圓半徑為.

（2）將正方形ZBCD順時針旋轉一定角度，達到如圖2所示的位置，若點D'在線段CD延長線上，則

00,長為.

15.如圖，在矩形ABC。中，AB=6,=2g,點E是BC的中點，點P是4B邊上一動點，將4

BPE沿PE折疊，點B的對應點為點B,，當射線EB，經(jīng)過矩形ABCD一邊的中點時（不含點E）,貝的

長為

PB

16.如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點。，與BC相交于點G.則下

歹U結論:①NB4D=NC4C；②若點G為BC的中點，則NBGO=90。；③連接BE,CE,若NB47=

40°,貝UzBEC=140。；@BD=DE.其中一定正確的是.(填序號)

三、解答題：本大題有8個小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算.

17.(1)先化簡，再求值：[(3x+2y)C3x—2y)—(x+2y)C5x—2y)]4-(\x),其中

x=100,y=25.

r2o

(2)已知3a=2b,求代數(shù)式Ca+b)-a2-b2+4b(a-b)]-^(2b)的值.

18.如圖，已知乙4=<B,AE=BE,點D在4C邊上=42,AE,BD相交于點O.,

(1)求證：△AEC=△BED；

(2)若乙2=40。，求NC的度數(shù).

19.某校九年級(1)班為了了解本班同學的體育訓練情況，全班同學進行了一次中考體育模擬考

試，并對全班同學的體育模擬考試成績進行了統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)整理后得到下列不完整的統(tǒng)計圖表，根

據(jù)圖表中的信息解答下列問題：

組另U分數(shù)段人數(shù)

A36<%<413

B41<%<464

C46<%<5115

D51<%<56m

E56<%<6110

（1）九年級（1）班共有名學生，表中的加=;

（2）寫出該班學生的中考體育模擬考試成績的中位數(shù)所落的分數(shù)段是第一組（填組別）;

（3）扇形統(tǒng)計圖中E組所對應的圓心角的度數(shù)是一；

（4）力組的三名同學的成績分別是：36,38,40,這組數(shù)據(jù)的方差為一；

（5）該校九年級有學生600人，請估計成績未達到51分的有—人.

20.如圖，某地欲搭建一座圓弧型拱橋，跨度4B=32米，拱高CD=8米，其中C為ZB的中點，D

為弧43的中點.（參考數(shù)據(jù)：cos37°=0.8,sin37°=0.6,tan37。=0.75,結果保留兀）

（1）求該圓弧所在圓的半徑;

（2）求弧4B的長.

21.宿遷市桃樹栽培歷史悠久，素有“夭桃千頃、翠柳萬行”的美譽.小李家有一片80棵桃樹的桃園，

現(xiàn)準備多種一些桃樹提高桃園產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每棵樹所受光照就會減

少，單棵樹的產(chǎn)量隨之降低.若該桃園每棵桃樹產(chǎn)桃y（千克）與增種桃樹x（棵）之間的函數(shù)關系如

圖所示.

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；

（2）當桃園總產(chǎn)量為7000千克時，求x的值；

（3）如果增種的桃樹x（棵）滿足：10<%<50,請你寫出桃園的總產(chǎn)量W（千克）與x之間

的函數(shù)關系式，并幫小李計算，桃園的總產(chǎn)量最多是多少千克？

22.已知：在矩形/BCD中，AC是對角線.求作：菱形AECF,使點E,尸分別在邊AD,BC上.

BC

作法：如圖，①分別以點4C為圓心，大于。4C長為半徑畫弧，兩弧在線段AC兩側分別交于點

M,N;

②作直線MN交4c于點。，與40,BC分別交于點E,F;

③連接4F,CE.

所以四邊形力ECF就是所求的菱形.

根據(jù)上面設計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接AL4,MC,NA,NC.

"."MA=MC,NA=NC,

是AC的垂直平分線（）（填推理根據(jù)）.

二￡;4=EC.

：.LEAC=^ECA.

:四邊形4BCD是矩形，

：.AD||BC,

：.^EAC=^FCA.

：.^ECA=▲.

又MN1AC,

:.乙COE=乙COF=90°.

:.乙CEF=乙CFE.

：.CF=CE.

：.CF=EA.

又,：CF||EA,

四邊形4ECF是平行四邊形（）（填推理根據(jù)）.

又1EF,

四邊形4ECF是菱形（）（填推理根據(jù)）.

23.綜合與實踐

如圖，在矩形ABC。中，點E是邊AD上的一點（點E不與點A,點。重合），連結BE.過點C

作CFIIBE交AD的延長線于點F,過點B作BG1CF交FC的延長線于點G,過點F作FH1BE交

BE的延長線于點H.點P是線段CF的一點，且CP=FP.

（1）探究發(fā)現(xiàn)：點點發(fā)現(xiàn)結論：ABCG三△FEH.請判斷點點發(fā)現(xiàn)的結論是否正確，并說明理

由.

（2）深入探究：老師請學生經(jīng)過思考，提出新的問題，請你來解答.

①“運河小組”提出問題：如圖1,若點P,點。，點H在同一條直線上，AE=2,ED=4,求

FG的長.

②“武林小組”提出問題：如圖2,連結EP和若乙PEF=AEFB,AB=4,AD=6,求

tanzHBF的值.

24.如圖1,RtAABC中，ZABC=90°,AB=20,BC=15,以AB為直徑的。。交AC于點

D,M是BC的中點，連結DM.

(1)求證：MD是O0的切線;

(2)如圖2,過點B作MD的平行線交AC于點E.

①求AE的長;

②如圖3,點P在線段BE上，連結DP交并延長交。。于點Q,當器=?時，求DQ

的值.

答案解析部分

1.B

2.C

解：1360000000=1.36X10%

故答案為：C.

根據(jù)科學記數(shù)法通常形式為ax10%其中a是一個不小于1但小于10的實數(shù)，n是一個整數(shù)，據(jù)

此即可求解.

3.A

解：由上向下觀察物體得到的視圖是A選項，所以它的俯視圖是A選項.

故選：A.

本題考查幾何體的三視圖，三視圖的投影規(guī)律具體表現(xiàn)為：主視圖與俯視圖長度方向對正，即主視

圖和俯視圖的長度要相等；主視圖與左視圖高度方向平齊，即主視圖和左視圖的高度要相等；俯視

圖與左視圖寬度方向相等，即左視圖和俯視圖的寬度要相等，據(jù)此作答，即可得到答案.

4.B

解：植樹小組的人數(shù)為：（45+5）x8%=4（人），

把小哲和小涵分別記為A、B,其他2人分別記為C、D,

畫樹狀圖如下：

開始

由圖知：共有12種等可能1結果，其中小哲和小涵被分到同一組的結果有4種,

他們被分到同一組的概率是P=W=

故答案為：B.

根據(jù)題意畫出樹狀圖，由圖知共有12種等可能的結果，其中小哲和小涵被分到同一組的結果有4

種，然后再由概率公式求解即可解答.

5.B

6.B

解：(r)\^AOB=/.COD=90°,

：.^AOC=90°-ZBOC,乙BOD=90。一乙BOC,

：.^AOC=^BOD；故①不符合題意.

@VzXOB=乙COD=90°,

：.^AOC+乙BOC=90°=Z.BOC+乙BOD,

.?.NBOC有兩個余角；故②符合題意；

@\'^AOB=2,C0D=90°,0c平分"OB,

J.AAOC=乙BOC=45°,乙BOD=90°-45°=45°；

:.乙BOC=乙BOD=45°；

.??。8平分/。0。，故③符合題意.

@\'^AOB=^COD=90°,乙AOC=LBOD（已證）；

.?.乙4。。的平分線與NCOB的平分線是同一條射線.故④符合題意.

故選：B.

此題主要考查角的和差運算，角平分線的定義，余角的含義，根據(jù)乙4。8=NCOO=90。，由余角的

含義，可得判定①不符合題意，②符合題意，再由。C平分乙40B,結合角平分線的定義，可判定

③符合題意，結合角的和差運算，證得乙4。。的平分線與NCOB的平分線是同一條射線，可得判定

④符合題意.

7.A

解：設第六天起平均每天至少要讀x頁，由題意得：100+5x2400.

故答案為：A.

由題意得不等關系：100頁+后五天讀的頁數(shù)不少于400,根據(jù)不等關系即可列出不等式.

8.D

9.D

由表格可知，x=0和％=2000時對應的函數(shù)值都是1

.?.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aH0）的對稱軸是直線x==1000,

當久=500和x=1500時，y=-1,

又當x=0時，y=1,即c=1,

二?當x=500時，y=—L即—1=ax2+bx+1整理，得ax2+bx+2=0,

2

則方程ax+bx+2=0的解是%i=500,%2=1500,

故答案為：D.

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以得到該函數(shù)的對稱軸和c的值，從而可以得到、=0和％=2000時對應的

函數(shù)值都是1,再將％=500,y=-1代入函數(shù)解析式，整理可以得到方程（ax2+bx+2=0從而可

以得到該方程的解.

10.D

解：如圖，作EN1CD,

???乙END=90°,

設。G=y,DF=x,

???四邊形/BCD是正方形，

???Z-A=/-ADF=90°,

???2LAGE+Z.AEG=90°,四邊形ZEMD是矩形,

???EN=ADfAE=DN,EN||AD,

???乙FEN—Z.M=a,

???乙EGF=90°,

???4AGE+Z-DGF=90°,

???Z-AEG=Z.DGF,

???EG=GF,

.*.△AEG=hDGF（iAAS）,

??.AE=DG=y,AG=DF=%,

EN=AD=x+y,DN=AE=y,

.?.FN=DN—DF=y—x,

?FNy-x

：?tana=vrry=-：—,

ENx+y

DG_y_1+tana

DF~x_1—tana'

故答案為：D.

設。G=y,DF=x,利用AAS判定△力EGBaDGF,進而求得EN=AD=%+y,FN=y-x,再

通過直角三角形的性質得到tana=常，然后進行公式變形求得器=巖|器.

11.②③

12.xW2024

解：;分式1有意義,

x-2024

??x—2024W0,

.*.%=#2024；

故答案是：%*2024

根據(jù)分式有意義的條件(分母不為。)結合題意即可求解。

13.k<4

14.4V2;277—2

15.1或3或百

16.①②④

17.(1)解：[C3x+2y)C3x—2y)—(x+2y)(5久―2y)]+(\x)

=(9x2—4y2—5%2—Sxy+4y2)+(Ax)

=x—2y

當x=100,y=25時,

原式=100-50=50

(2)解：(db)-M—+4bCu-b)+(2b)

二⑷+2ab+b2—a2—b2+4ab—4b2)+(2b)

=^6ab-4b2)H-(2b)

=3a—2b

??,3a=2b,原式=0

⑴利用平方差公式，整式的混合運算化簡為％-2y,然后代數(shù)求值即可；

(2)利用完全平方公式，整式的混合運算化簡為3a-2b,由題意3a=2b,即可得到答案.

18.(1)證明：Vzl+ABDE+2LEDC=180°,z2+zC+zEDC=180°,Z1=z2,

;?(BDE=乙C

又=Z.B,AE=BE,

：.LAEC=△BED{AAS}

(2)解：由(1)知△力EC三4BED,

ACE=DE

：.Z.C=乙CDE

Vz2=40°

???ZC=(180°—42)=1(180°-40°)=70°.

(1)根據(jù)平角概念和三角形形的內角和定理證得4BDE=4C.即可利用AAS證明結論;

(2)根據(jù)全等三角形的性質可得EC=￡7),再根據(jù)等腰三角形的性質，即可求解.

(1)證明一：Vzl+zBDE'=z2+zC,且乙1=42,

：.z.BDE=乙C

又,.?44=ZB,A=BE

△AEC=△BED

證明二：=ZB,乙AOD=CBOE

Azi+乙BEO

Vzl=Z2,

.\Z2=乙BEO

.*.z2+Z-AED=Z-BEO+Z.AED

即44EC=(BED

又..Z=乙B,AE=BE

*??△AEC=△BED

(2)解：由(1)知△力EC三4BED,

ACE=DE

?"C=乙CDE

Vz2=40°

ii

JZC=1(180°-Z2)=|(180°-40°)=70°.

19.(1)50,18

(2)D

(3)72°

(4)|

(5)264

20.(1)20米

1067r來

21.(1)解：設y=-+b,代入(12,74),(28,66),得｛琛加：得

解得k=T,

1=80

Ay與x之間的函數(shù)關系式為y=+80;

-1

⑵解：由題意得，(%+80)(—於+80)=7000,

解得久1=20,%2—60,

Ax的值為20或60.

(3)解：W=(x+80)(-+80)=-j(x-40)2+7200,

<o,10<%<50,

當x=40時,W的最大值為7200.

答:桃園的總產(chǎn)量W(千克)與x之間的函數(shù)關系式為/=-40)2+7200,桃園的總產(chǎn)量最

多是7200千克.

(1)設丫=入+1),將(12,74)、(28,66)代入求出k、b的值，進而可得y與x之間的函數(shù)關系

式；

(2)根據(jù)棵數(shù)義每棵的產(chǎn)量=總產(chǎn)量可得關于x的一元二次方程，求解即可；

(3)根據(jù)棵數(shù)x每棵的產(chǎn)量=總產(chǎn)量可得W與x的關系式，然后利用二次函數(shù)的性質進行解答.

22.(1)解：補全圖形如圖所示：

（2）證明：連接MA,MC,NA,NC,

w

'."MA=MC,NA=NC,

；.MN是AC的垂直平分線(到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上),

：.EA=EC,

：.^EAC=^ECA,

?.?四邊形ABC。是矩形，

：.AD||BC,

J.^EAC=/.FCA,

：.^ECA=LFCA,

又MN14C,

:.乙COE=乙COF=90°,

:.乙CEF=乙CFE,

：.CF=CE,

：.CF=EA,

XVCF||EA,

四邊形AECF是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形),

y."：AC1EF,

四邊形AECF是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)，

(1)根據(jù)作圖-垂直平分線結合題意即可求解；

(2)根據(jù)垂直平分線的性質結合平行線的判定、菱形的判定即可求解。

23.(1)解：因為矩形ABCD,所以ADIIBC,AD=BC,

因為CFIIBE,所以四邊形EBCF是平行四邊形，所以EF||BC,EF=BC,

因為ADIIBC,所以乙HEF=4HBC,

因為CFIIBE,所以NHBC=/BCG,所以4HEF=ABCG,

因為BGJ.CF,FH1BE,所以ZH=ZG=90。，

所以△BCGFEH.

所以點點發(fā)現(xiàn)的結論正確.

(2)解：①在RtACDF中，因為CP=FP,所以CP=DP=FP,所以APED=NFDP,

因為CF||BE,所以/HE。=NPFD,

因為ZFDP=NHDE,所以乙HED=乙HDE,所以HE=HD,

因為四邊形EBCF是平行四邊形，所以EF=BC,

因為AD=BC,所以EF=AD,所以AE=DF=2,

過點H作因為HE=HD,所以￡T==2,TF=4,

因為ZEHF=90°,所以NHEF+乙HFE=90°,

因為471EO,所以NFHT+NHFE=90。，所以4HEF=^FHT,

所以AFHTfHET,所以所以//7=2企，所以HE=2百，

因為HT1EO,AB1ED,所以

因為ET=4E,所以HE=BE,所以=4百，

易證四邊形HBGF是矩形，所以FG=4V3.

②連結DP,在RtACDF中，因為CP=FP,所以CP=DP=FP,所以ZPQC=ZPCD,

因為N40C=乙BCD=90°,所以NEDP=乙BCF,

因為ZPEF=乙EFB,所以△EDPfBCF,

所以綜=第二)所以DEt=3,AE=3,

CFBC2

因為乙4=90。，AB=4,所以BE=5,

易證△ABE?△"RE,所以“E=拶，"尸=葺，

所以tanzHBF=需=魯

(1)根據(jù)矩形的對邊平行且相等可得AD〃:BC,AD=BC,根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行

四邊形，平行四邊形的對邊平行且相等可得EF〃:BC,EF=BC,根據(jù)兩直線平行，同位角相等，內

錯角相等可得NHEF=NBCG,根據(jù)兩角及其一角的對邊對應相等的三角形全等即可證明；

(2)①根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半得到CP=DP=FP,根據(jù)等邊對等角可得

ZPFD=ZFDP,根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得NHED=NPFD,推得NHED=NHDE,根據(jù)等角

對等邊可得HE=HD,過點H作HTLED,根據(jù)等腰三角形底邊上的高和底邊上的中線重合可得

ET=DT=2,TF=4,根據(jù)等角的余角相等可得NHEF=NFHT,根據(jù)有兩個角對應相等的兩個三角形是

相似三角形，相似三角形的對應邊之比相等可求得HT和HE的值，根據(jù)內錯角相等，兩直線平行可

得HT〃AB,根據(jù)平行線截取線段成比例可得HE=BE,求得HB的值，根據(jù)有一個角是直角的平行

四邊形是矩形，矩形的對邊相等即可求解；

②連結DP,根據(jù)等邊對等角可得NPDC=NPCD,推得NEDP=NBCF,根據(jù)有兩個角對應相等的兩

個三角形是相似三角形，相似三角形的對應邊之比相等可求得DE和AE的值，根據(jù)直角三角形中兩

直角邊的平方和等于斜邊的平方求出BE的值，根據(jù)有兩個角對應相等的兩個三角形是相似三角形，

相似三角形的對應邊之比相等可求得HE和HF的值，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解.

24.(1)證明：以AB為直徑的。。交AC于點D,M是BC的中點，如圖1,連接OD、BD、

OM,

^ADB=乙CDB=90°,

???BM=DM=CM.

???Z-MDB=Z-MBD,

?.?OB=OD,

???Z-ODB=Z.OBD,

???Z.MBD+乙OBD=4ABC=90°

???乙ODM=乙MDB+乙ODB=90°,

：OD是。O的半徑，

；.MD是。O的切線；

（2）①解：在RtAABC中，ZABC=90°,AB=20,BC=15,如圖2,連結BD,

（圖2）

由勾股定理得：AC=>JAB2+BC2=25,而黑=sinzCBD=sin”=

解得CD=9.

VBE/7DM,

.\ZCDM=ZCEB,

由（1）可知DM=CM,

ZC=NCDM,

.\ZC=ZCEB,

；.B