抽象函數(shù)的綜合性質(zhì)應(yīng)用（10題型+高分技法+限時提升練）原卷版-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專練（新高考）

重難點2-2抽象函數(shù)的綜合性質(zhì)應(yīng)用

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向預(yù)測

近三年高考中抽象函數(shù)的性質(zhì)考查主要集中在選擇預(yù)計2025年高考中，抽象函數(shù)的性質(zhì)仍將以選擇

題和填空題中，偶爾也會在解答題中出現(xiàn).題目難題和填空題的形式出現(xiàn)，且可能作為壓軸小題。題

度從基礎(chǔ)到較難不等，涉及多種函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)目將繼續(xù)考查學(xué)生的綜合推理能力.可能出現(xiàn)創(chuàng)新

用，且難度逐年上升，題目更加注重綜合推理能力，題型，如結(jié)合實際問題或新定義的函數(shù)性質(zhì)進行考

常結(jié)合導(dǎo)數(shù)、不等式等知識點進行考查.查.

重難點題型解讀

題型1抽象函數(shù)的定義域求解題型6抽象函數(shù)的奇偶性問題

題型2抽象函數(shù)的值域求解題型7抽象函數(shù)的周期性問題

題型3抽象函數(shù)的函數(shù)值求解o—抽象函數(shù)的綜合'性質(zhì)應(yīng)用—°題型8抽象函數(shù)的對稱性問題

題型9抽象函數(shù)解不等式問題

題型10抽象函數(shù)比較大小問題

題型1抽象函數(shù)的定義域求解

1、已知/(%)的定義域，求/'(gO))的定義域：若/(%)的定義域為［a,6］,則/'(gQ))中aWg(x)W6,解得x

的取值范圍即為"g(x))的定義域.

2、已知的定義域，求/(x)的定義域：若f(g(x))的定義域為［a,切，則由aWxWb確定g(x)的范圍，j

即為/(%)的定義域.

■

3、已知/(g(x))的定義域，求/'(h(x))的定義域：可先由/'(gO))定義域求得/"(X)的定義域，再由/"(X)的定\

義域求得/(h(x))的定義域.

4、運算型的抽象函數(shù)：求由有限個抽象函數(shù)經(jīng)四則運算得到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個函

數(shù)的定義域，再求交集.

;注意：求抽象函數(shù)的定義域，要明確定義域指的是X的取值范圍，同一個/下括號內(nèi)的范圍是一樣的.

1.（24-25高三上?福建三明?月考）已知函數(shù)y=的定義域是[-1,2],則y=-3x）的定義域為（）

A.-pOB.-；,3C.[0,1]D.-pl

需的定義域

2.（24-25高三上?內(nèi)蒙古呼和浩特?月考）已知函數(shù)y=-1）的定義域是[-1,3],貝I]y=

是（）

A.(-2,5]B.(-2,3]C.[-1,3]D.[0,2]

3.（24-25高三上?安徽亳州?月考）函數(shù)〃x+l）的定義域為[-2,2],函數(shù)g"）=b?"]'則8（無）的

定義域為（）

A.[0,2）U（2,4]B.[-1,2）U（2,3]

C.3,2）U（2,4]D.,,21（2,3]

4.（24-25高三上?湖南邵陽?月考）已知函數(shù)〉=/&工+1）的定義域是[2,4],則函數(shù)g（x）=京：'的定義

域為.

題型2抽象函數(shù)的值域求解

抽象函數(shù)的值域求解通常需要靈活運用多種方法.可以利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)來

推斷值域；通過賦值法代入特殊值或參數(shù)簡化問題；借助數(shù)形結(jié)合法直觀觀察函數(shù)圖像的特征；或者

利用不等式、導(dǎo)數(shù)等工具研究函數(shù)的極值和最值.此外，還可以通過構(gòu)造具體函數(shù)模型、分離常數(shù)、

；整體代換等技巧來求解值域.

i

1.（23-24高三上?上海?月考）已知函數(shù)y=/（"的值域為[-2,2],則函數(shù)y=〃2x+l）的值域為,

2.（24-25高三上?河南?期中）已知函數(shù)/（無）是定義在切上的圖象連續(xù)不間斷的奇函數(shù)，且

{y\y=f^,x^[O,a]\=[m,M],若加之—加，則/（無）的值域是（）

A.[m,M]B,C.[m,-m]D.

3.（24-25高三上?山西晉中?月考）已知函數(shù)的定義域為（0,+s）,若對于任意的無，ye（0,y）,都有

/（x）+/（y）=/（xy）+2,當x>l時，都有/（無）>2,且/⑶=3,則函數(shù)/⑺在區(qū)間工27]上的最大值為（）

A.2B.3C.4D.5

4.（24-25高一上?河北邯鄲?期中）已知函數(shù)/（X）的定義域為R,且/（尤）+#（1-尤）+1=0,則函數(shù)，（x）的最

大值為（）

題型3抽象函數(shù)的函數(shù)值求解

1----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

以抽象函數(shù)為載體的求值問題的常見形式，是給出函數(shù)滿足的特殊條件，指定求出某處的函數(shù)值或某抽象

代數(shù)式的值，常用賦值法來解決.

常見的賦值情況：（1）第一層次賦值：常常令字母取-2,-1,。,1,2等；（2）第二層次賦值：若題中有條件

I

則再令字母取毛；第三層次賦值：拆分賦值，根據(jù)抽象式子運算，把賦值數(shù)拆成某兩個值對

;應(yīng)的和或積（較多）或者差或商（較少）.

I

1.（24-25高三上?江西?月考）已知函數(shù)的定義域為R,</（x+y）-/（x-y）=2/（y）,則”0）=（）

A.0B.1C.2D.-1

2.（24-25高三上?山東濰坊?期中）已知定義在R上的函數(shù)"》）滿足〃x—y+l）—〃x+y+l）=〃x）/（y）,

且/⑴=2,則〃2）+/（3）+/（4）=（）

A.2B.0C.-2D.-4

3.（24-25高三上?廣西?月考）已知函數(shù)“X）的定義域為R,/（@=-2+夜，且

/（孫）=/（x）/（y）+2x+2y-6,則“-2）=（）

A.-2B.-4c.2A/2-2D.-20+2

4.(24-25高三上?河南?期中)已知函數(shù)的定義域為R,且/(x+y)+/(x—y)=2/(x)+2/(y),〃1)=1,

設(shè)4=/(小(”eN*),則￡

589531

840760

題型4抽象函數(shù)的解析式求解

:①換元法：用中間變量表示原自變量X的代數(shù)式，從而求出犬X).

[②湊合法：在已知/(g(x))=h(x)的條件下，把h(%)并湊成以9。)表示的代數(shù)式，再利用代換即可求/Q)；

:③待定系數(shù)法：已知函數(shù)類型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，求出出關(guān)系式中的未知系數(shù).

j④利用函數(shù)性質(zhì)法：主要利用函數(shù)的奇偶性，求分段函數(shù)的解析式.

ii

，⑤賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出/(%)的表達式.

i⑥方程組法：一般等號左邊有兩個抽象函數(shù)(如/?(>),/(-”)),將左邊的兩個抽象函數(shù)看成兩個變量，變換.

■變量構(gòu)造一個方程，與原方程組成一個方程組，利用消元法求的解析式.

i______________________________________________________________________________________________________________________________1

1.(24-25高三上?全國?專題練習(xí))設(shè)/■(%)是定義在R上的函數(shù)，且滿足對任意無，兒等式

/(2y-x)=-2/(x)+3y(4x-y+3)恒成立，則的解析式為.

2.(24-25高三上?福建泉州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)“X)滿足〃x+y)=〃x)+〃y)+2孫，若"1)=1,則

“25)=()

A.25B.125C.625D.15625

3.(23-24高三下?四川德陽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)尤)的定義域為R,且

/(x+y)-2/(x-y)+/(x)-2/(y)=y-2,則“2024)=()

A.0B.1C.2024D,2025

4.(24-25高三上?全國?專題練習(xí))(1)已知定義在R上的函數(shù)滿足/(-尤)+2〃尤)=尤+1,求外力的

解析式.

(2)若滿足關(guān)系式/(x)+2/3)=3x,求/'(x)的解析式.

(3)已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)與偶函數(shù)g(x)滿足關(guān)系式/(尤)+g(尤)=/+x+a,求f(x)與g(x)的解

析式.

題型5抽象函數(shù)的單調(diào)性問題

i判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：

(1)湊：湊定義或湊已知，利用定義或已知條件得出結(jié)論.

(2)賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時可能要進行多次嘗試.

①若給出的是“和型”抽象函數(shù)/G+丁)=…，判斷符號時要變形為：

/(^)-/(^1)=/((尤2一及)+%)一/(%)或/(^2)-/(^1)=/(%)一/((王一尤2)+%)；

②若給出的是“積型”抽象函數(shù)/(孫)=…，判斷符號時要變形為：

-―/(兒)或)T(xJ=/(%)-/^2—?

IXJIX2j

1.(23-24高三下?湖南常德?三模)已知奇函數(shù)y=/(x)是定義域為R的連續(xù)函數(shù)，且在區(qū)間(0,+S)上單調(diào)

遞增，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=/(x)+Y在R上單調(diào)遞增

B.函數(shù)y=/(x)-/在(0,+oo)上單調(diào)遞增

C.函數(shù)y=爐/(元)在R上單調(diào)遞增

D.函數(shù)y=/里在(0,+功上單調(diào)遞增

2.(24-25高三上?全國?專題練習(xí))定義在R上的函數(shù)滿足對任意實數(shù)羽，都有〃x+y)=/(尤)+/(y)-l,

若x>0時，/(%)>1,則〃尤)()

A.先單調(diào)通減后單調(diào)遞增B.在R上單調(diào)遞增

C.在R上單調(diào)通減D.單調(diào)性不確定

3.(24-25高三上?全國?專題練習(xí))函數(shù)〃x)的定義域為(0,+8),且對一切x>0,y>0都有“力=〃x)_,

當x>l時，有〃尤)>0.

⑴求”1)的值；

(2)判斷〃x)的單調(diào)性并證明；

4.(24-25高一上?甘肅蘭州?月考)/(無)是定義在R上的函數(shù)，對尤,yeR都有/(x+y)=f(x)+f(y),且當

元>0時，/?<0,且/(-L)=L

(1)求/(。)，/(一2)的值;

(2)求/(x)在［-2,4］上的最值.

題型6抽象函數(shù)的奇偶性問題

判斷抽象函數(shù)奇偶性的關(guān)鍵是得到/(X)和/(-X)的關(guān)系，解題時要對有關(guān)變量進行賦值，使其最后只保

留〃X)和/(—X)的關(guān)系?

【注意】證明抽象函數(shù)奇偶性的實質(zhì)是賦值，分析出賦值的規(guī)律.

(1)可賦值，得到一些特殊點的函數(shù)值，如/(0)，/(I)等；

(2)嘗試適當?shù)膿Q元字母，構(gòu)造出x和-x,如/(x+y)可令y=—x,/(肛)可令y=-1等；

(3)通過各類抽象函數(shù)的式子來積累一定的賦值技巧.

1.(24-25高三上?重慶?月考)已知函數(shù)的定義域為R,則“J=/(x)為奇函數(shù)”是"y=|〃無)|為

偶函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.(24-25高三上?山東濟寧?期中)已知函數(shù)的定義域為R,滿足〃x+y)-[〃x)+〃y)]=2024,則

下列說法正確的是()

A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)

C./(x)+2024是奇函數(shù)D./(力+2024是偶函數(shù)

3.(24-25高三上?甘肅白銀?月考)(多選)已知函數(shù)的定義域為RJ(x+y)-"力-/(y)=-2孫，"1)=3,

則()

A./(O)=OB./(-2)=-12

C.y=/(x)+d是偶函數(shù)D.丁=/(%)+/是奇函數(shù)

4.(24-25高三上?全國?專題練習(xí))(1)已知函數(shù)〃x),xER,^\/a,bwR,都有/(a+》)=〃a)+70),

求證：〃尤)為奇函數(shù)；

(2)已知函數(shù)/(無)，xER,若W%,x2eR,都有“玉+%2)+〃%—,求證：為

偶函數(shù)；

(3)設(shè)函數(shù)的定義域為(T/),證明：〃尤)+/(r)是偶函數(shù)，是奇函數(shù).

題型7抽象函數(shù)的周期性問題

i函數(shù)周期性的常用結(jié)論(。是不為。的常數(shù))

(1)若〃X+Q)=〃X),則T=〃；(2)若=—則T=2〃；

(3)若/(x+〃)=—/(%),則T=2Q；(4)若/(X+〃)=/；),則T=2〃；

(5)若/(%+〃)=—-J，則T=2〃;(6)若/(x+a)=/(%+/?),則丁=M一4(awb).

1.(24-25高三上?廣東廣州?月考)已知函數(shù)/(%)的定義域為R,且f(x+y)+f(x-y)=^f(x)f(y),f(l)=-2,

2024

則Z"Q=()

k=\

A.-4B.4C.0D.-2

2.(24-25高三上?福建福州?月考)已知函數(shù)〃%)滿足/⑴>0,/(2)=1,

/(x)/(y)=/(x+y)+/(x—y),(x,y￡R)，則/(50)=()

A.-1B.0C.1D.2

3.(24-25高三上?河北承德?期中)設(shè)/Q)為定義在整數(shù)集上的函數(shù)，/(1)=1,/(2)=0,/(-1)<0,對任

2024

意的整數(shù)X,y均有/(x+y)=/(x)/(l-y)+/(lT)/(y),則》()()

i=l

A.0B.1012C.2024D.4048

4.(23-24高三上?江蘇淮安?月考)函數(shù)/(X)的定義域為R,對任意x,yeR,恒有

“尤)+/(>)=27］言｝寧)，若"1)=；,，⑺=.

題型8抽象函數(shù)的對稱性問題

ii

Ii00與eI

1、軸對稱：

(1)函數(shù)丁=/(%)關(guān)于直線1=。對稱=/(%+。)=/(。一元)=/(元)=/(24-元)。/(一元)=/(24+%)°

a?

(2)函數(shù)y=/(%)關(guān)于直線％=----對稱="?—%)=/(〃-%)=/(%+").

2

；2、中心對稱：

(1)函數(shù)y=/(%)關(guān)于點(。,0)對稱=/(%)=-/(2〃一%)=/(%+〃)=一/(。一1)；

(2)函數(shù)y=/(%)關(guān)于點(。,。)對稱o/(%+〃)=/(〃一尤)O/(—X)+/(2Q+X)=2/?.

13、函數(shù)的奇偶性和對稱性的關(guān)系：

(1)若/(x+a)為奇函數(shù)，則了⑺關(guān)于(。,0)對稱；

(2)若〃x+a)為偶函數(shù)，則〃尤)關(guān)于x=a對稱；

(3)若〃的+0)為奇函數(shù)，則”九)關(guān)于(火。)對稱；

(4)若/(g+0)為偶函數(shù)，則“X)關(guān)于％=0對稱.

i

........-.-...-.-.-...-I.-...-.-.-...-.-.-...1

1.(24-25高三上?全國?專題練習(xí))已知連續(xù)函數(shù)〃x)的定義域為R,若/(x+y)=〃x)+〃y)+2沖-2,

且/。)=4,則函數(shù)y=/(x)+x的圖象的對稱軸為直線()

A.x=—B.x=--C.x=lD.x=—l

22

2.(24-25高三上?山西太原?期中)(多選)已知定義域為Z的函數(shù)〃尤)滿足對于任意x,yeZ,者口有

/(x+y)=/(x)/(l-y)+/(l-x)/(y),且/(1)=1,則下列結(jié)論正確的是()

A."2)=0B.7'(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱

C.〃x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱D./(2025)--1

47.(24-25高三上?全國?專題練習(xí))(多選)已知函數(shù)/(無)的定義域為R,/(/(x+y))=/(x)+/(y),〃1)=1,

則()

A./(0)=0

B."X)的圖象關(guān)于點(0,0)對稱

C./。)的圖象關(guān)于點G,0)對稱

D.7(2024)=2024

4.(24-25高三上.江蘇鎮(zhèn)江?期中)定義在R上的函數(shù)g(x)滿足y=g(2x+l)-2是奇函數(shù)，則g(x)的對稱中

心為--------；若=g［士［++8Ijll［+…+§］普J("?N*)'則數(shù)列｛%｝的通項公式為---------

題型9抽象函數(shù)解不等式問題

0僅

利用單調(diào)性解不等式的相關(guān)結(jié)論

（1）正向結(jié)論：若丁=/（x）在給定區(qū)間。上單調(diào)遞增，則當Vxi,zeD,且西＜々時，/（%1）＜/（%2）；

，當且X]〉4時，/（xj＞/（x2）.

（）逆向結(jié)論：若（）在給定區(qū)間。上單調(diào)遞增，則當（）＜（々）時，＜；

2y=/xXI,X2GD,/N/%!x2

，當/（西）＞/（X2）時，

j當y=/（x）在給定區(qū)間。上單調(diào)遞減時，也有相應(yīng)的結(jié)論.

抽象函數(shù)解不等式的關(guān)鍵是利用奇偶性、對稱性、周期性將變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行求解.

i

1.（24-25高三上?遼寧撫順?期末）若定義在R上的增函數(shù)y=〃x）滿足〃l+x）+〃l-x）=O,則不等式

〃l+lnx）+〃x）＞0的解集為（）

A.RB.（0,+s）C.D.（0,1）

2.（24-25高三上?江蘇淮安?月考）已知函數(shù)”元）對任意xeR滿足〃尤）=〃T-尤），任意石，x2e（-^,-2],

4

且尤產(chǎn)馬,都有/K）一“-一色）＞o,則不等式y(tǒng)（2x-2）＞『（x+l）的解集是（）

xl—x2

A.（-8,-1）口（3,+8）B.（-8,-1）

C.（3,+功D.（-1,3）

3.（23-24高三下?陜西西安?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（X）的定義域為R,對任意實數(shù)x,y都有

f(x+y)=f(x)+f(y)-l,當尤＞0時,f（x）＞l,且/⑵=5,則關(guān)于x的不等式/■（尤）+/（4-3x）＜6的解集

為（）

A.(l,+oo)B.(2,+oo)C.(-8,1)D,(7,2)

4.（24-25高三上?湖北武漢?月考）已知集合。={小€&》*0},定義在。上的函數(shù)〃尤）滿足：Vx,yeD,

jk=上，+/P，當x＞l時，/（%）＞0,則不等式（2—1）2〃》）＞/〃2*-1）的解集為（）

(-oo,0)up,1ju(l,+(?)

A.B.

題型10抽象函數(shù)比較大小問題

抽象函數(shù)比較大小問題的思路總結(jié)：

(1)首先考慮函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)，通過這些性質(zhì)來判斷函數(shù)值的大小關(guān)系.

(2)對于含參數(shù)的抽象函數(shù)，可以通過合理賦值參數(shù)，簡化問題，從而比較大小.

(3)繪制函數(shù)圖像，通過觀察圖像的走勢、交點等特征，直觀地判斷函數(shù)值的大小關(guān)系.

(4)構(gòu)造具體的函數(shù)模型，類比抽象函數(shù)的性質(zhì)，通過具體函數(shù)的性質(zhì)來推斷抽象函數(shù)的大小關(guān)系.

(5)利用基本不等式或?qū)?shù)研究函數(shù)的極值和最值，從而確定函數(shù)值的大小關(guān)系.

1.(24-25高三上?天津?期中)已知偶函數(shù)/(X)在(3叫上單調(diào)遞減，

04

?=/(0.5),6=〃log05Q4),c=/(log40.5),則()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

2.(24-25高三上?河北滄州朝中)已知函數(shù)的定義域為R,〃x+2)為偶函數(shù)，"》)-1為奇函數(shù)，

且在區(qū)間［6,8］上是增函數(shù).記33),b=f(19),c"(88),則()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

3.(24-25高三上?云南昆明?月考)函數(shù)/(無)的定義域為R,且"0)=1,若〃x+y+l)-y(x)>/(y),則下

列結(jié)論正確的是()

A./(9)>/(11)>/(10)B./(10)>/(11)>/(9)

C./(10)>11D./(-10)<-11

4.(24-25高三上?新疆?月考)已知定義在R上的函數(shù)滿足〃x+y)<〃x)+〃y)—1,且當x>0時，

設(shè)a=6=/(ln(尤+1)),貝l］()

A.a>bB.a<bC.a>bD.a<b

限時提升練

(建議用時：60分鐘)

一、單選題

1.(24-25高三上?廣東深圳?月考)已知函數(shù)〃力的定義域為[-2,2],則函數(shù)歹(尤)=的定義域為()

A.[-1,3]B.[-3,1]C.[-1,0)50,3]D.[-3,0)u(0,l]

2.(24-25高三上?全國?專題練習(xí))若函數(shù)y=/(x)的值域是[1,3],則函數(shù)/(元)=1-/。+3)的值域是()

A.[-8,3]B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]

3.(24-25高三上?江蘇揚州?期中)已知函數(shù)/(x+2)是偶函數(shù)，/(X)在(f,2]上單調(diào)遞增，則不等式

/(3%+2)<〃尤+1)的解集為()

4.(24-25高三上廣西?月考)函數(shù)y="6的定義域為R,滿足:①VxeR,〃-力+/(力=0,②任意x產(chǎn)9，

都有正上山）>o.設(shè)0=_/（皿="陛⑸,c=

則a,6,c的大小關(guān)系為(

%一%2<oyI

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

5.(24-25高三上?廣西南寧?一模)已知函數(shù)的定義域為R"(x+y)〃尤-、)=產(chǎn)(龍)-且當x>0

時，/(x)>0,則()

A.f(O)=lB./(x)是偶函數(shù)C.〃x)是增函數(shù)D.是周期函數(shù)

6.(24-25高三上?全國?專題練習(xí))若劉yeR,/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),且〃2)=g,貝?。?/p>

f(2020)+f(2022)+f(2024)=()

A.-2B.-1C.--D.0

2

7.(24-25高三上.山東淄博.期中)已知函數(shù)滿足/(x+y)=〃x)+〃y)+2*+2y,且/(1)=1,則

f(1000)=()

A.2"7B9.+2995B.21000+2996

C.21000+2995D.2"9+2996

二、多選題

8.(24-25高三上?江蘇?月考)歐拉對函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻，除特殊符號、概念名稱的界定外，歐拉

還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，下面對于定義在R